Este documento describe una experiencia de enseñanza de lógica proposicional utilizando los conectores de Peirce. Los estudiantes descubrieron que existen 16 operaciones lógicas posibles entre proposiciones representadas por todas las combinaciones binarias de 0 y 1. Además, establecieron criterios para identificar propiedades algebraicas como conmutatividad e idempotencia a partir de la forma de los conectores de Peirce. Finalmente, exploraron las relaciones entre los conectores y diagramas de Venn.

1. La enseñanza de la
lógica proposicional a
partir de conectores de
Peirce. Una experiencia
de aula en el IPN
César Rendón Mayorga
Licenciado en Matemáticas
Universidad Pedagógica Nacional
Octubre de 2015

2. Los elementos “necesarios”
Un universo de
proposiciones
Afirmaciones sobre las
cuales se puede decidir si
son verdaderas o falsas en
un contexto determinado.
p : el sol es una estrella
q : 2 + 2 = 4
r : el día tiene 24 horas
Un conjunto de conectores
Representados históricamente
por símbolos distintos según el
autor que se siga (Heyting –
Tarski – Hilbert, Zellweger,
Peirce, Lukasiewicz, etc.) con el
fin de escapar de las
subjetividades que presenta el
lenguaje común y abstraer las
propiedades lógicas sin importar
el contexto.

3. Los conectores aristotélicos*
Conector Representación
verbal
Representación
usual
Implicación material
(condicional)
Si…entonces… ⟶
Bicondicional … Si y solo si … ⟷
Conjunción … y … ∧
Disyunción … o … ∨
Disyunción exclusiva … ó … ⊻

4. La enseñanza usual…
p ∧ q
V V V
V F F
F F V
F F F
p ∨ q
V V V
V V F
F V V
F F F
p ⟶ q
V V V
V F F
F V V
F V F
p ⟷ q
V V V
V F F
F F V
F V F

5. Cambios iniciales
1. Se utilizan símbolos basados en el sistema de
numeración binario, haciendo que V = 0 y F = 1, con lo
cual se obtiene:
p ∧ q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
p ∨ q
0 0 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
p ⟷ q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 0 1
p ⟶ q
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1

6.  ¿Cuántas posibles combinaciones de cuatro elementos
se pueden hacer con 0 y 1?
0000 1000
0001 1001
0010 1010
0011 1011
0100 1100
0101 1101
0110 1110
0111 1111
Existe una correspondencia entre las posibles
combinaciones y los resultados de las operaciones
entre proposiciones…

7. p ∧ q
0 0
0 1
1 0
1 1
Corresponde a la combinación “0111”
p ∨ q
0 0
0 1
1 0
1 1
Corresponde a la combinación “0001”
Por lo anterior se concluyó que no existen solo cuatro o
cinco operaciones entre proposiciones. Los estudiantes
descubrieron que existen ¡16 operaciones posibles!

8. Las 16 operaciones entre
proposiciones…
 La “operación 1”:
p q
0 0 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Corresponde a 0001 y
0001 equivale a 1 en base diez.

9.  La “operación 4”:
Las 16 operaciones entre
proposiciones…
p q
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
Corresponde a la combinación
0100 y
0100 equivale a 4 en base diez.

10. Construyendo estructuras
algebraicas…
Es posible extender las operaciones usando otras
combinaciones de número, por ejemplo:
4 7 10
0 1 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
p 7 q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
Lo que se puede escribir como:
4 [7] 10 = 14

11. Un ejemplo más con la operación 7:
8 7 13
1 1 1
0 1 1
0 0 0
0 1 1
p 7 q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
Luego se tiene que:
8 [7] 13 = 13
Este ejercicio se puede extender a los 16 números en binario
y construir una tabla que representa la estructura algebraica
determinada por la operación 7

12. 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 15
2 2 3 2 3 6 7 6 7 10 11 10 11 14 15 14 15
3 3 3 3 3 7 7 7 7 11 11 11 11 15 15 15 15
4 4 5 6 7 4 5 6 7 12 13 14 15 12 13 14 15
5 5 5 7 7 5 5 7 7 13 13 15 15 13 13 15 15
6 6 7 6 7 6 7 6 7 14 15 14 15 14 15 14 15
7 7 7 7 7 7 7 7 7 15 15 15 15 15 15 15 15
8 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15
9 9 9 11 11 13 13 15 15 9 9 11 11 13 13 15 15
10 10 11 10 11 14 15 14 15 10 11 10 11 14 15 14 15
11 11 11 11 11 15 15 15 15 11 11 11 11 15 15 15 15
12 12 13 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15
13 13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15
14 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15 14 15
15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
Tabla de la operación 7
 Conmutativa
 Idempotente
 Elemento neutro (a
izquierda y derecha)
 Elemento absorbente
(por izquierda y
derecha)
 No tiene inversos
 Se puede demostrar
asociatividad
Se tiene un Semigrupo
Conmutativo Con
Elemento Neutro

13. 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 14 15 13 13 10 9 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
2 13 13 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
3 12 13 14 15 8 9 8 11 4 5 6 7 0 1 2 3
4 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
5 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
6 9 8 11 8 13 12 15 14 1 0 3 2 4 4 7 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 4 7
8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
9 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 7
10 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
11 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
12 3 2 1 0 7 6 4 4 11 10 9 8 15 14 13 12
13 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Tabla de la operación 9
 Conmutativa
 Elemento neutro
 Unipotente
 Tiene inversos (un
elemento es su
propio inverso)
 Se puede mostrar
asociatividad
Se tiene un Grupo
Abeliano

14. Los conectores de Peirce
 Se proponen ante la necesidad de dotar de símbolos a las
nuevas operaciones descubiertas sin que se presten a
ambigüedades.
 La idea de Peirce es que cada símbolo (objeto semiótico)
represente algunas características matemáticas de la
respectiva operación (conmutatividad, idempotencia, etc.).

15. Antecedentes de la propuesta
 Documentos y estudios realizados por el Dr. Arnold
Oostra (Universidad del Tolima).
 Estudio realizados por el PhD. Fernando Zalamea
(Universidad Nacional) quien lidera el Centro de
Sistemática Peirceana.
 Documentos y experiencias por el profesor William
Jiménez durante su labor como docente del IPN y de la
UPN.

16. Construcción del conector de
Peirce
p ∧ q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1

17. Construcción del conector de
Peirce
p ∨ q
0 0 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1

18. Tomado de Oostra, A. (2003)

20. Actividades para conjeturar…
 Utilizando los conectores de Peirce y considerando las
operaciones que son conmutativas, determine un criterio para
establecer, solamente con observar el conector, si una
operación dada es conmutativa o no.
 De forma análoga al ítem anterior, establezca un criterio para
determinar cuándo una operación es idempotente, a partir del
conector de Peirce.
 Siguiendo la misma línea de los ítems anteriores, desarrolle un
criterio para determinar cuando una operación es unipotente.

21. Trabajo sobre regularidades, curso 1103 –
IPN, 2014

22. Resultados
Se establecieron los siguientes criterios:
 Si el conector de Peirce es abierto a ambos lados o
cerrado a ambos lados, entonces la operación que
representa es conmutativa (las operaciones 0, 1, 6, 7, 8,
9, 14 y 15).
 Si el conector de Peirce está abierto arriba y abajo, o si
está cerrado arriba y abajo, entonces la operación que
representa es idempotente (las operaciones 0, 2, 4, 6, 9,
11, 13 y 15).
 Si el conector está cerrado abajo y abierto arriba,
implica que la operación que representa es unipotente
(las operaciones 1, 3, 5 y 7).

23. Actividades geométricas…

24. Como se puede observar
la propiedad
conmutativa se mantiene
invariante ante la
reflexión realizada, de
igual forma ocurre con la
idempotencia y la
unipotencia.

25. En este caso, se puede ver de nuevo que la propiedad
conmutativa es una invariante ante reflexiones en el plano.
No obstante la idempotencia y la unipotencia sí cambian en
esta ocasión, por lo que no son invariantes respecto a la
isometría realizada.

27. La rotación de los conectores
de Peirce produce unos
efectos más marcados en
relación con sus propiedades
algebraicas, así por ejemplo la
conmutatividad se mantiene
en algunos casos, lo mismo
pasa con la idempotencia y la
unipotencia lo que conlleva a
no poder extraer conclusiones
generales sobre la rotación en
este primer acercamiento.

28. Una relación con los
diagramas de Venn
Se puede ver una relación gráfica muy clara sobre un conector
de Peirce y su operación asociada con conjuntos. En este caso
es posible observar el conector de la conjunción con el
diagrama para la intersección de conjuntos. Se solicitó a los
estudiantes explorar esta relación como introducción a las
operaciones entre conjuntos.

29. Trabajo por hacer…
 Explorar los conectores de Peirce ante otros
movimientos rígidos en el plano y ver qué ocurre.
 Establecer otros criterios para los conectores de Peirce
con el fin de identificar a simple vista otras propiedades
de la operación correspondiente (elemento neutro,
inversos, etc.)
 Estudiar las 16 operaciones entre conjuntos que
emergen naturalmente del estudio entre la relación
entre los diagramas de Venn y los conectores de Peirce.

30. Conclusiones y agradecimientos…
 La inclusión de una propuesta de este tipo en el aula provee de
herramientas poco tratadas en la escuela y potencia procesos
matemáticos en los estudiantes tales como: conjeturar, visualizar,
generalizar, razonar y clasificar.
 Es un pretexto para incluir dentro de los contenidos escolares la
teoría de conjuntos como un cumulo de objetos matemáticos
susceptibles de ser explorados y redefinidos.
 Pone de manifiesto el carácter constructivista de las matemáticas
al mostrar que es un conocimiento que no es estático y que se
pueden desarrollar en el aula (matemáticas elementales, pero
matemáticas al fin.)
 Agradecimientos a la profesora Margarita Rojas de Roa, asesora de
práctica en el IPN, al profesor Irwin Medina, docente titular del
grado 11 del IPN y a los estudiantes del colegio, promoción 2014.

31. Bibliografía
Morela, J., Hurtado, C & Jiménez W. (2012). Una propuesta alternativa
para la enseñanza de teoría de conjuntos. Memorias del 13er Encuentro
Colombiano de Matemática Educativa (pp. 1266-1271). Medellín. Sello
Editorial Universidad de Medellín.
Zalamea, F. (1993). Una jabalina lanzada hacía el futuro: anticipos y
aportes de C.S. Peirce a la lógica matemática del siglo XX. Universidad
Nacional de Colombia. Mathesis, Vol. 9 391-404.
Oostra, A. (2003). Simetría en algunas tablas de C.S. Peirce. Memorias del
XIV Encuentro de Geometría y sus aplicaciones. Universidad Pedagógica
Nacional. Bogotá.
Oostra, A. (2011 ). La lógica gráfica de C.S. Peirce. Memorias del XXIV
Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística. Universidad Francisco José
de Caldas. Bogotá.