M12. Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea.

1. Razón de cambio
promedio. Razón de
cambio instantánea.
Módulo 12
Matemática Básica
2020-2
Semana 13

2. Motivación
Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como
𝑈 𝑡 = 0,1𝑡2
+ 15𝑡 + 10 millones de soles, t años después de su
formación en el 2010.
a) ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades
anuales con respecto al tiempo desde el 2013 hasta el
2015?.
b) ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades
de la empresa en el año 2017? Interprete dicho resultado.
Caso
¿Cómo la idea de incremento, puede ayudarnos a resolver este caso?

3. Saberes previos
¿Cuál es la variación del tiempo,
entre los puntos B y E?
a) 3 millas
b) 22 min
c) 2,5 millas
d) 16 min
¿Con qué otro nombre se le
conoce al aumento o disminución
que experimenta la variable?
Recordemos:

4. Al finalizar la sesión, el estudiante
resolverá ejercicios y problemas en
los que calculará la razón de
cambio promedio e instantánea de
una función, siguiendo un proceso
lógico fundamentado.
Logro
Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea

5. Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea
Sub temas
Razón de
cambio
1. Incremento
2. Razón de
cambio promedio
3. Razón de
cambio
instantánea
4. Situaciones
significativas

6. 1. Incremento
Incremento de 𝒙 Si 𝒙 es la variable independiente de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙) , y su valor cambia desde
𝒙𝟎 hasta 𝒙𝟏, donde 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) con 𝒙𝟎 < 𝒙𝟏; el aumento o disminución que
experimenta dicha variable se llama incremento de 𝒙 y se denota por ∆𝒙. Así
tenemos:
∆𝒙 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Cuando la variable independiente 𝒙 en 𝒚 = 𝒇(𝒙) experimenta un incremento ∆𝑥,
generalmente la función 𝒇 también experimenta un aumento o disminución de su
valor, el cual se denomina incremento de la función y se denota por ∆𝒇, esto es:
∆𝒇 = 𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇 𝒙𝟎
Incremento de 𝒇(𝒙)

7. 1. Incremento
Algebraicamente
El incremento de una función real está dado por:
𝑥0 < 𝑥1
Además:
Donde: 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥
Geométricamente
x0 x1
f (x1)
f (x0) *
*
f
f
x
∆𝒇 = 𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙𝟎

8. Dada la función real 𝑓 𝑥 = 1,7𝑥2
− 2𝑥 + 4,5, determina:
𝑓 4 = 1,7(4)2
− 2(4) + 4,5 = 23,7
Al reemplazar los valores reales 𝑥0 = −2 y 𝑥1 = 4 en la función f, respectivamente resulta:
Ejemplo 1
Solución:
𝑓 −2 = 1,7(−2)2
− 2 −2 + 4,5 = 15,3
y
a) El incremento de la función 𝑓 en el intervalo de 𝑥 = −2 hasta 𝑥 = 4.
b) El incremento de la función 𝑓 en el intervalo de 𝑥 hasta 𝑥 + ∆𝑥 , donde 𝑥 ∈ ℝ.
∆𝑥 es el incremento de x (∆𝑥 ∈ ℝ).
Si se tiene que: ∆𝒇 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0 , 𝑥0 = −2 y 𝑥1= 4, considerando 𝑥0 < 𝑥1.
Luego: ∆𝒇 = 𝑓 4 − 𝑓 −2 = 23,7 − 15,3 = 8,4
Por tanto, el incremento de la función 𝑓 𝑥 en el intervalo −2; 4 es ∆𝑓 = 8,4
a) El incremento de la función 𝑓 en el intervalo de 𝑥 = −2 hasta 𝑥 = 4.

9. Entonces, al sustituir 𝑥0 = 𝑥 y 𝑥1 = 𝑥 + ∆𝑥 en ∆𝑓 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0
∆𝑓 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥
= 1,7 𝑥 + ∆𝑥 2
− 2 𝑥 + ∆𝑥 + 4,5 − (1,7𝑥2
− 2𝑥 + 4,5)
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 1,7(𝑥 + ∆𝑥)2
− 2(𝑥 + ∆𝑥) + 4,5
= 1,7𝑥2 + 3,4𝑥∆𝑥 + 1,7(∆𝑥)2 − 2𝑥 − 2∆𝑥 + 4,5 − (1,7𝑥2 − 2𝑥 + 4,5)
Nótese que 𝑥0 = 𝑥 y 𝑥1 = 𝑥 + ∆𝑥, ya que 𝑥0 < 𝑥1
= 1,7𝑥2
+ 3,4𝑥∆𝑥 + 1,7(∆𝑥)2
− 2𝑥 − 2∆𝑥 + 4,5 − 1,7𝑥2
+ 2𝑥 − 4,5
Por lo tanto, el incremento de la función en el intervalo 𝑥; 𝑥 + ∆𝑥 es: ∆𝑓 = 3,4𝑥∆𝑥 +1,7(∆𝑥)2
−2∆𝑥
∆𝑓 = 3,4𝑥∆𝑥 +1,7(∆𝑥)2
−2∆𝑥
Considerando: 𝑓 𝑥 = 1,7𝑥2
− 2𝑥 + 4,5
b) El incremento de la función 𝑓 en el intervalo de 𝑥 hasta 𝑥+∆𝑥 , donde ∆𝑥 es el incremento de x (∆𝑥 ∈ ℝ).

10. Hallamos : 𝑓 𝑥 + ∆𝑥
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = −3 + 2,71 𝑥 + ∆𝑥 2
Por tanto, se tiene ∆𝑓 = 5,42𝑥∆𝑥 + 2,71∆𝑥2
Entonces,
Sabemos que: ∆𝑓 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 = −𝟑 + 𝟐, 𝟕𝟏𝒙𝟐
+ 𝟓, 𝟒𝟐𝒙∆𝒙 + 𝟐, 𝟕𝟏 ∆𝒙 𝟐
∆𝑓 = −𝟑 + 𝟐, 𝟕𝟏𝒙𝟐
+ 𝟓, 𝟒𝟐𝒙∆𝒙 + 𝟐, 𝟕𝟏 ∆𝒙 𝟐
− −𝟑 + 𝟐, 𝟕𝟏𝒙𝟐
Ejemplo 2
Dada la función real 𝑓 𝑥 = −3 + 2,71𝑥2
, determinar el incremento de la función en términos de ∆x
Solución:
Si se sabe que: 𝒇 𝒙 = −𝟑 + 𝟐, 𝟕𝟏𝒙𝟐

11. Definición: La razón de cambio promedio de una función 𝑓 cuando 𝑥 varía de 𝒙𝟎 a 𝒙𝟏, se define por:
Nótese que se puede expresar por:
∆𝒇
∆𝒙
=
𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Forma algebraica
Donde 𝒚𝟎 = 𝒇 𝒙𝟎 y 𝒚𝟏 = 𝒇 𝒙𝟏 .
DEBES SABER QUE
La razón de cambio
promedio indica que 𝑦
cambia en una cantidad
𝒚𝟏 − 𝒚𝟎, cuando x
cambia de 𝒙𝟎 a 𝒙𝟏
2. Razón de cambio promedio

12. x0 x1
f(x1)
f(x0) *
f
f
x
DEBE SABER QUE
La expresión algebraica
∆𝑓
∆𝑥
representa la
pendiente de la recta secante a la gráfica
de 𝑓 en los puntos (𝑥0, 𝑦0) y (𝑥1, 𝑦1)
Forma geométrica
2. Razón de cambio promedio

13. a) 𝑥0 = 2 𝑎 𝑥1 = 3
b) 𝑥0= −2 𝑎 𝑥1 = 1
Solución
a) Al visualizar el gráfico, se tiene que para :
Análogamente para:
𝒙𝟎 = 𝟐, 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒚𝟎 = 𝟎.
𝒙𝟏 = 𝟑 se tiene que 𝒚𝟏 = −𝟏
2.5 --
Luego, al reemplazar en: ∆𝒚
∆𝒙
=
𝒚𝟏−𝒚𝟎
𝒙𝟏−𝒙𝟎
∆𝒚
∆𝒙
=
−𝟏 − 𝟎
𝟑 − 𝟐
= −𝟏
Entonces se tiene:
Por tanto, la razón promedio es
∆𝒇
∆𝒙
= −𝟏
Ejemplo 3
El siguiente gráfico corresponde a la función 𝑓, determine las razones de cambio promedio, cuando
𝑥 varía de:
f
2,5 -------

14. Ahora tú sigues ...
Resuelve el ítem
b)
𝒃) 𝒙𝟎 = −𝟐 𝒂 𝒙𝟏 = 𝟏
f
2,5 -------

15. Solución:
Del mismo modo:
a) Al utilizar f x = x2
− 3x + 4, se tiene que:
Si 𝑥0 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 1 = 1 2 − 3 1 + 4 = 2
Si 𝑥1 = 3, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓 3 = 3 2 − 3 3 + 4 = 4
Al sustituir en 𝑓(1) y 𝑓(3) en : ∆𝑓
∆𝑥
=
𝑓 𝑥1 −𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
Se consigue:
∆𝑓
∆𝑥
=
4 − 2
3 − 1
= 1
Por tanto, la razón promedio es
∆𝑓
∆𝑥
= 1
Ejemplo 4
Dada la función real 𝑓, definida por: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥 + 4, determine las razones de cambio
promedio, cuando 𝑥 varía de:
a) 𝑥0 = 1 𝑎 𝑥1 = 3
b) 𝑥0= −2 𝑎 𝑥1 = 2

16. Solución
b) 𝑥0 = −2 𝑎 𝑥1 = 2
Ahora tú sigues ...
Resuelve el ítem
b)

17. Recordamos que para una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), el incremento de 𝒙 y la razón de cambio promedio son:
∆𝒇
∆𝒙
=
𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)
∆𝒙
∆𝒇
∆𝒙
=
𝒇 𝒙𝟏 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Al reemplazar (1) en (2), se obtiene:
(1)
(2)
∆𝒙 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
Forma algebraica
3. Razón de cambio instantánea
∆𝒇
∆𝒙
=
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
Al hacer ∆𝒙= ℎ, se tiene que:

18. Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= Lim
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
Cuando ℎ → 0 , se tiene la razón de cambio
instantánea de f en el punto 𝑥0 dado por:
Definición: Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función, la razón de cambio instantánea de “𝑦” con respecto a “𝑥”
cuando x = 𝑥0 es el limite como en (1) (si existe) de la razón de cambio promedio en el intervalo
𝐱𝟎; 𝐱𝟎 + 𝐡 , cuando 𝒉 se aproxima a cero.
(1)
¿Que pasaría
si 𝒉 → 𝟎?

19. Cuando ℎ → 0
Forma geométrica
x
y
h
h
x0
)
( 0
x
f
f(x0 + h)
x0 + h
h
x0 + h
f(x0 + h) Recta Tangente
3. Razón de cambio
instantánea

20. x
y
x0
Recta Tangente
f (x0)
Luego, la razón de cambio instantánea
en el punto 𝑥0 es la pendiente de la
recta tangente de la función en 𝑥 = 𝑥0
𝑳𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉

21. Dada la función f real , definida por: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐
, determine las razones de cambio instantánea en
los puntos:
a) 𝒙 = 𝟏
b) 𝒙 = −𝟐
Solución
a) En primer lugar: usando la función, encontramos 𝑓(𝑥 + ℎ) y 𝑓(𝑥) esto es:
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= lim
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
= Lim
𝒉→𝟎
𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 − 𝟐𝒙𝟐
𝒉
En segundo lugar: reemplazando las expresiones algebraicas en la
definición de RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA:
𝒇 𝒙 + 𝒉 = 𝟐 𝒙 + 𝒉 𝟐 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 y 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐
Ejemplo 5

22. Ahora evaluamos en 𝑥 = 1 , lo que da
Entonces, la razón de cambio instantánea en el punto x=1 es 4. Esto es:
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= Lim
𝒉→𝟎
𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐
𝒉
= Lim
𝒉→𝟎
𝒉(𝟒𝒙 + 𝟐𝒉)
𝒉
= Lim
𝒉→𝟎
(𝟒𝒙 + 𝟐𝒉) = 𝟒𝒙
Entonces Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= 𝟒𝒙
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= 𝟒 𝟏 = 𝟒
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= 𝟒

23. Solución
𝐛) 𝒙 = −𝟐
Ahora tú sigues ...
Resuelve el ítem
b)

24. 4. Situaciones significativas
Cuando el precio de venta de un libro es de 100 soles se venden al mes
50 libros. Al aumentar el precio a 110 soles se venden al mes 20 libros.
a. Determine ∆𝒙 y ∆𝒇
b. Interprete los incrementos
1
∆𝑥 = 110 − 100
∆𝑓 = 20 − 50
Interpretación:
Al existir un aumento de S/10 en el precio de cada libro, entonces las ventas disminuyen en
30 libros al mes.
= 10
= −30
∆𝑥 , representa el incremento del precio de los libros.
∆𝑓 , representa el incremento en el número de libros vendidos.
Solución:
a)
b)

25. Solución:
Sea 𝑼(𝒙) la función utilidad: 𝑼 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪(𝒙)
Sea 𝑥 el número de toneladas de cierto fertilizante
Costo por semana: 𝐶 𝑥 = 20000 + 40𝑥 dólares
Ingreso :𝑅 𝑥 = 100𝑥 − 0.01𝑥2
= 100𝑥 − 0.01𝑥2 − (20000 + 40𝑥)
𝑈 𝑥 = −0.01𝑥2
+ 60𝑥 − 20 000
Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir 𝑥 toneladas de
cierto fertilizante está dado por 𝐶 𝑥 = 20000 + 40𝑥 dólares y el ingreso obtenido por la venta de 𝑥
toneladas está dado por 𝑅 𝑥 = 100𝑥 − 0.01𝑥2
. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por
semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana.
a) Determine el incremento en la función utilidad.
b) Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas
2

26. Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir 𝑥 toneladas de
cierto fertilizante está dado por 𝐶 𝑥 = 20000 + 40𝑥 dólares y el ingreso obtenido por la venta de 𝑥
toneladas está dado por 𝑅 𝑥 = 100𝑥 − 0.01𝑥2
. La compañía actualmente produce 3100 toneladas por
semana; pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana.
a) Determine el incremento en la función utilidad.
b) Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas
2
a) El incremento en la función utilidad cuando 𝑥 cambia de 3100 a 3200 es
∆𝑈 = 𝑈 3200 − 𝑈(3100) = −0.01 3200 2
+ 60 3200 − 20 000 − (−0.01 3100 2
+ 60(3100) − 20 000)
= 69600 − 69900 = −300
La utilidad decrece en $300
b) Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas
∆𝑈
∆𝑥
=
𝑈 3200 − 𝑈(3100)
3200 − 3100
La utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada con el incremento dado en la producción
=
−300
100
= −3

27. Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar a la educación de los niños en edad
preescolar en cierta ciudad. El sociólogo estima que después de x años después de iniciado un
programa particular , 𝑓 𝑥 cientos de niños estarán inscritos , donde :
𝑓 𝑥 = 15x + 𝑥2
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 12
a) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el tercer año después de iniciado el
programa?
b) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en el noveno año después de iniciado el
programa?
3
Solución:
Primero determina 𝑓(𝑥 + ℎ) y 𝑓(𝑥), esto es:
𝑓 𝑥 = 15𝑥 + 𝑥2
𝑓 𝑥 + ℎ = 15 𝑥 + ℎ + (𝑥 + ℎ)2
= 15𝑥 + 15ℎ + 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2
Luego: reemplazando las expresiones algebraicas en la definición de RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA:
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= lim
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉

28. = Lim
𝒉→𝟎
(𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒉 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − (𝟏𝟓𝒙 + 𝒙𝟐)
𝒉
= Lim
𝒉→𝟎
𝟏𝟓𝒉 + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐
𝒉
= Lim
𝒉→𝟎
𝒉(𝟏𝟓 + 𝟐𝒙 + 𝒉)
𝒉
Lim
𝒉→𝟎
𝟏𝟓 + 𝟐𝒙 + 𝒉 = 𝟏𝟓 + 𝟐𝒙 + 𝟎 = 𝟏𝟓 + 𝟐𝒙
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= lim
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
Ahora podremos resolver el problema
a) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos en
el tercer año después de iniciado el programa?
Tercer año indica que x=3, luego
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= 𝟏𝟓 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟓 + 𝟐 𝟑 = 𝟐𝟏
Interpretación: la razón de cambio instantáneo de los
inscritos en el programa en el tercer año de iniciado
es de 2100 niños.
b) ¿Cuál es la razón de cambio de los niños inscritos
en el noveno año después de iniciado el programa?
Noveno año indica que x=9, luego
Lim
∆𝒙→𝟎
∆𝒇
∆𝒙
= 𝟏𝟓 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟓 + 𝟐 𝟗 = 𝟑𝟑
Interpretación: la razón de cambio instantáneo de
los inscritos en el programa en el noveno año de
iniciado es de 3300 niños.

29. Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como 𝑈 𝑡 = 0,1𝑡2
+ 15𝑡 + 10 millones de soles, t
años después de su formación en el 2010.
a) ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades anuales con respecto
al tiempo desde el 2013 hasta el 2015?.
b) ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el
año 2017? Interprete dicho resultado.
Caso
Solución (a)
Datos del problema: t = número de años
U(t) = Utilidades anuales (millones de soles)
Analizando, se tiene que:
El 2010, es 𝑡 = 0
El 2013, es 𝑡 = 3
El 2015, es 𝑡 = 5

30. 𝑼 𝟑 = 0,1(3)2+15 3 + 10 = 55,9
Aplicando la definición de RCP, se tiene: ∆𝑈
∆𝑡
=
𝑼 𝟓 − 𝑼(𝟑)
5 − 3
=
87,5 − 55,9
2
= 15,8
Por tanto, la razón de cambio promedio de las utilidades de la empresa de los años
2013 y al 2015 es de 15,8 millones de soles por año.
𝑼 𝟓 = 0,1(5)2+15 5 + 10 = 87,5
Interpretación:
Las utilidades anuales de cierta empresa fueron expresadas como 𝑈 𝑡 = 0,1𝑡2
+ 15𝑡 + 10 millones de soles, t
años después de su formación en el 2010.
a) ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las utilidades anuales con respecto
al tiempo desde el 2013 hasta el 2015?.
b) ¿Cuál fue la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el
año 2017? Interprete dicho resultado.
Caso
Reemplazamos t=3 y t=5 en la función utilidad U(t) respectivamente:

31. Tema: Razón de cambio promedio. Razón de cambio instantánea
= Lim
ℎ→0
(0,1𝑡2 + 0,2𝑡ℎ + 0,1ℎ2 + 15𝑡 + 15ℎ + 10) − (0,1 𝑡 2 + 15 𝑡 + 10)
ℎ
Usando la regla, hallamos U(t) y U(t+h) esto es:
𝑈 𝑡 = 0,1 𝑡 2 + 15 𝑡 + 10
Reemplazando las expresiones algebraicas en la definición de RCI:
𝑈 𝑡 + ℎ = 0,1 𝑡 + ℎ 2
+ 15 𝑡 + ℎ + 10 = 0,1𝑡2
+ 0,2𝑡ℎ + 0,1ℎ2
+ 15𝑡 + 15ℎ + 10
Lim
∆𝑡→0
∆𝑈
∆𝑡
= lim
ℎ→0
𝑈 𝑡 + ℎ − 𝑈(𝑡)
ℎ
Lim
∆𝑡→0
∆𝑈
∆𝑡
= Lim
ℎ→0
0,2𝑡ℎ + 0,1ℎ2 + 15ℎ
ℎ
= Lim
ℎ→0
0,2𝑡 + 0,1ℎ + 15 = 0,2𝑡 + 15
Ahora evaluamos en t= 7 , tendría Lim
∆𝑡→0
∆𝑈
∆𝑡
= 0,2𝑡 + 15 = 0,2 7 + 15 = 16,4
Por tanto la razón de cambio instantánea de las utilidades de la empresa en el año 2017
es de 16,4 millones de soles.
Interpretación:
Solución (b)
Datos del problema: El 2017, es 𝑡 =7

32. Conclusiones
Se identifica la razón de cambio instantánea de una función con la
pendiente de una recta tangente.
2. El límite de la razón de cambio promedio se llama razón de cambio
instantánea de f respecto a x cuando x=a, lo cual se interpreta
geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva
y=f(x) en (a; f(a)).
1. La razón de cambio promedio de f respecto a x cuando va desde
x=a hasta x=b, lo cual se interpreta geométricamente como la
pendiente de la recta secante a la curva y=f(x) en los pares
ordenados (a; f(a)) y (b; f(b)).
Se identifica la razón de cambio promedio de una función con la
pendiente de una recta secante.

33. Matemática Básica
2020-2
Semana 13
Razón de cambio promedio.
Razón de cambio
instantánea.
Módulo 12