RESPUESTA EN FRECUENCIA - CIRCUITOS ELECTRICOS II

1. Respuesta en Frecuencia
Circuitos Eléctricos 2

2. Resonancia en paralelo
La resonancia es la condición que existe en todo sistema
físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante
produce una respuesta máxima.
Para una red eléctrica la resonancia es la condición que existe
cuando la impedancia de entrada de la red es puramente
resistiva.
Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de
las terminales de entrada se encuentran en fase.

3. Circuito resonante en paralelo
R L C
IL IC
V
ILC
I











L
C
j
R
1
1
Y
Hz
2
1
rad/s
1
0
0
LC
f
LC




 
 
s
s
s
s
Y
s
s
s
Y
LC
RC
C
L
C
R
/
1
/
1
1
2






    
2
2
0
2
1
















d
d
d
RC
j
j
C
s
s
s
s
Y
La frecuencia resonante 0
La frecuencia resonante natural d
2
2
0 



d

4. Patrón de polos y ceros
jwd
jw0
w0

jwd
Plano s
Y(s)
jwd

jwd
Plano s
Z(s)
Patrón de polos y ceros para la admitancia Patrón de polos y ceros para la impedancia

5. Respuesta en función de la
frecuencia
0 2
1
0.707|I|R
|I|R
IC,0 = IL,0 = j0CRI
El máximo ocurre en 0.

6. Factor de calidad Q
Q = factor de Calidad = 2
Máxima energía almacenada
Energía total perdida por ciclo
   
 
T
P
t
w
t
w
Q
R
C
L max
2



 
 
 
2
sen
2
2
1
2
1
cos
2
2
1
2
2
0
2
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
C
R
I
t
w
t
C
R
I
vdt
L
Li
t
w
t
C
R
I
Cv
t
w
m
m
t
L
L
m
C












 

 
    t
RI
t
Ri
t
v
t
I
t
i
m
m
0
0
cos
cos





RC
RC
f
f
R
I
C
R
I
Q
R
I
f
T
P
R
I
P
m
m
m
R
m
R
0
0
0
2
2
2
2
0
2
0
2
2
1
2
2
/
2
/
2
2
1


 




0
,
0
,
0
L
C X
R
X
R
L
C
R
Q 



7. Otras relaciones
2
0
0
0
0
0
0
2
1
1
2
)
/
(
2
1
2
1













Q
Q
C
C
Q
RC
d 




Relaciones entre Q0,  y d
Entonces
2
0
2
2
2
1
1

 



s
s
s
s
LC
RC
Donde z es el factor de amortiguamiento
0
0
2
0
0
2
2
1
2
Q






z

z s
s

8. Variación de los ceros
jd
j0
0

jd
Y(s)
j0
0
Q= ½
C
L
R
2
1

Los dos ceros de la admitancia se
mueven en un círculo cuando R
cambia de ½L/C a .
Q = 
R = 
Cuando R>= ½L/C la respuesta del
circuito es subamortiguada y 
varia de 1/LC hasta 0 y Q0 varia de
½ a 

9. Ancho de banda
Los valores los encontramos cuando el voltaje vale 0.707 de su
valor máximo.
Expresemos ahora el ancho de banda en términos de Q0 y de la
frecuencia resonante
1
2 




El ancho de banda (de media potencia) de un circuito resonante se
define como la diferencia de dos frecuencias de media potencia. Si
1 es la frecuencia inferior de mitad de potencia y 2 es la
frecuencia superior de mitad de potencia, entonces

10. La admitancia de circuito RLC en paralelo
en términos de Q0
o











L
C
j
R
1
1
Y















L
R
CR
R
j
R 0
0
0
0
1
1
Y




















 0
0
0
1
1
jQ
R
Y
Para que la magnitud de Y sea 2/R, debemos obtener las frecuencias en las que
la parte imaginaria tenga magnitud igual a 1.
1
1
1
0
0
1
0
2
0
0
2
0 




























Q
y
Q
Al resolver tenemos










































0
2
0
0
2
0
2
0
0
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
Q
Q
Q
Q

11. La diferencia entre estas expresiones proporciona una
formula muy simple para el ancho de banda
Los circuitos con Q0 mas alta presentan un ancho de banda
mas estrecho y tienen una selectividad de frecuencia o calidad
superior.
También se cumple
0
0
1
2
Q







2
1
0
2
1
2
0









12. Ejemplo 1
R = 0.500 L = 0.200 C = 0.200
 = 5.00
0 = 25.00
d = 24.49
Q0 = 2.50
z = 0.20
1 = 20.50
2 = 30.50
ancho de banda = 10.00

13. Ejemplo 2
R = 1.000 L = 0.200 C = 0.200
 = 5.00
0 = 25.00
d = 24.87
Q0 = 5.00
z = 0.10
1 = 22.62
2 = 27.62
ancho de banda = 5.00

14. Aproximaciones para circuitos de
alta Q
Dado que
Entonces:
Y las ubicaciones de los ceros se podrían aproximar por
Un circuito de alta Q es un circuito en el cual Q0 es igual o
mayor que 5


 2
1
0
0
2Q



0
2
1
2
,
1 








 j
j d
s

15. En el circuito de alta Q,
Cada frecuencia de media
Potencia se ubica aprox.
A la mitad del ancho de
Banda a partir de la frecuencia
resonante
jwd
j2  j(0 + ½)
s2

Plano s
Y(s)
j1  j(0 – ½)
jd  j0
½
–½

16. Las ubicaciones de las dos frecuencias de media potencia también se
pueden aproximar
o
La admitancia esta dada de manera
aproximada por






























0
0
0
2
0
0
2
,
1
2
1
1
2
1
2
1
1
Q
Q
Q





 2
1
0
2
,
1 
      
2
0
2
0
2
2
s
s
s
s
s
Y 




 C
j
j
C
s = j0
s – s2
s = j
s2 ½ 

17. Sustituyendo
La parte imaginaria de esta ecuación vendría siendo el numero de mitades de
ancho de banda de resonancia y se abreviaría por medio de N, quedando así:
donde
   
  




























2
1
0
2
1
0
2
1
1
1
1
2
j
R
j
C
s
Y
s
Y
 
0
2
1
2 





 j
s
s
   
jN
R

 1
1
s
Y
2
0





N

18. La magnitud de la admitancia es
Y el ángulo estará dado por la tangente inversa
  jN
R

 1
1
s
Y
  N
ang 1
tan

s
Y

19. RS
VS
s
sC
L
s
1
0


Frecuencia 0 es la frecuencia a la que la parte imaginaria
de la frecuencia de entrada se hace cero.
S
s
s
s
R
L
Q 0
0


Resonancia en serie
CS
LS
El factor de calidad esta dado por

20. Las dos frecuencia 1s y 2s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud
de la impedancia es 2 la magnitud mínima de la impedancia.
Estas también son las frecuencias a las cuales la respuesta de corriente es igual al
70.7 % de la respuesta máxima.
s
s
s
s
s
s
s
Q
Q





























2
1
2
1
2
1
1 0
0
2
0
0
2
,
1 

Donde es la diferencia entre la frecuencia superior e inferior de la mitad de
potencia .
Este ancho de banda de la mitad de potencia esta dado por
s
s
s
Q0
0
2
2







Resonancia en serie
s


21. La impedancia de entrada también puede expresarse en forma aproximada
para circuitos con valores altos de Qs.
  s
s
s
s
s
s N
N
R
jN
R 1
2
tan
/_
1
1 




Z
Donde
s
s
N





2
1
0
El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia
resonante
Resonancia en serie

22.      
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
1
























j
Q
j
j
jQ
R
Y
RC
RC
Q
C
L
p
I
I
I
     






























0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
jQ
R
j
Q
j
j
L
R
R
L
Q
s
C
L
Z
V
V
V
Resumen
RS
VS
CS
LS
R L C
IL IC
V
ILC
I

23. Expresiones exactas




















































2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
0
0
1
2
2
1
0
0
2
0
0
2
,
1
2
0
0
2
2
0
0
Q
N
Q
Q
Q
LC
d

Expresiones aproximadas
 
N
N
R
Z
N
R
N
Y
s
p
1
2
1
2
1
0
tan
1
tan
1
2
1













Tabla de expresiones
Q0 >=5 0.90<= || <=1.10
d = 0 2, 1 = 0  ½ 

24. Tarea
Un circuito resonante serie tiene un ancho de banda de 100 Hz
y contiene una inductancia de 20 mH y una capacitancia de 2
mF. Determine a) f0, b) Q0, c) Zent y d) f2.
796 Hz, 7.96, 12.57 + 0j Omhs, 846 Hz

25. Otras formas resonantes
R1
L
C
Y
R2 Le Ce
Re
Circuito RLC paralelo más realista y su equivalente para un rango limitado de
frecuencias.

26.  
  














L
j
R
C
j
R
j
1
2
1
1
Im
Im Y
La frecuencia angular resonante se encuentra haciendo cero:
2
1
0
2
2
2
1
1












L
R
LC
L
R
L
C
Resolviendo, obtenemos

27. Ejemplo
Sean R1 = 2 Ohms, L = 1H, C = 1/8 F y R2 = 3 Ohms.
0 = 8 – 22 = 2 rad/s
Y = 1/3 + j2(1/8) + 1/(2 + j(2)(1)) = 1/3 + 1/4 = 0.583 S
Z(2j) = 1/0.583 = 1.714 Ohms
Si R1 fuera cero
0 = 2.83 rad/s
Z(2.83j) = 1.947/_-13.26° Ohms
Frecuencia del máximo
m = 3.26 rad/s
Z(3.26j) = 1.980/_-21.4° Ohms

28. Grafico de la impedancia del ejemplo
3.26
máximo
2.83
sin R1
0= 2
1.714
1.947
1.980

29. Transformación serie paralelo
El factor de calidad Q se puede definir para cualquier frecuencia, no
necesariamente la de resonancia.
Puede mostrarse que para las redes serie y paralelo de las figuras el valor de
Q esta dado por la expresión correspondiente.
jXs jXp
Ys
Yp
Rs
Rp
Qs = |Xs|/Rs Qp = Rp/|Xp|

30. Para que las dos redes sean equivalentes se debe cumplir lo siguiente
p
p
p
s
s
s
s
s
s
s
X
j
R
X
R
jX
R
jX
R
1
1
1
2
2







 Y
Y
Esto se cumple si
p
s
s
s
p
s
s
s
X
X
R
X
y
R
X
R
R 1
1
2
2
2
2




Dividiendo ambas
p
p
s
s
R
X
X
R

Las Q’s de las dos redes deben ser iguales Qs = Qp = Q, por tanto












2
2
1
1
)
1
(
Q
X
X
Q
R
R
s
p
s
p

31. Ejemplo
En  = 1000 rad/s, encuentre la red paralela equivalente a la red serie
8H
100 Ohms












2
2
1
1
)
1
(
Q
X
X
Q
R
R
s
p
s
p
Rp = 100 (1 + (8*1000)2/1002)
= 640 kOhms
Xp = 8*1000(1 + 1/ ((8*1000)2/1002))
= 8000 = 1000*Lp
Lp = 8 H

32. Ejemplo 2
Suponga una red serie RLC con R = 20 W, L = 10 mH y C = 0.01 mF. La red es exitada
por una fuente de 0.5 V y se desea medir el voltaje en el capacitor con un voltímetro
con 100000 W de resistencia interna.
Antes de conectar 0 = 105 rad/s, Q0 = 50 y VC = 25 V.
El arreglo del capacitor en paralelo con la resistencia del voltímetro es equivalente a un
arreglo serie de un capacitor y una resistencia.
Para calcular los valores del circuito equivalente se debe suponer que la frecuencia de
resonancia es también de 105 rad/s, la Q de la red RC estará dada por
Q = Rp/|Xp| = RC = 100
Los elementos equivalentes son
Cs = Cp y Rs = Rp/Q = 10 W
La nueva Q del circuito RLC es 33.3.
El voltaje en el arreglo serie es
|VC| = (0.5/30)|10 – j1000| = 16.67 V

33. Tarea
Dados una resistencia de 10 W en serie con un condensador de 10 mF,
determinar los dos elementos en el equivalente en paralelo si  = : a) 200, b)
1000, c) 5000 rads/s.
Resp. : 50 W, 8 mF; 1 k W, 10 mF; 25 k W, 10 mF
Para  = 105 rads/s, hallar el valor eficaz de Q para las redes RC de dos
terminales que se muestran en las figuras
+---+---+ +---R2---+---+ +---+---R2---+---+
| | | | | | |
R1 C R1 C R3 R1 C
| | | | | | |
+---+---+ +--------+---+ +---+--------+---+
R1 = 4 kW, R2 = 10 W, R3 = 500 W, C = 5mF
Resp. : 2, 10, 20

34. El Procedimiento de cambio de escala nos permite
analizar redes formadas por elementos con valores
prácticos haciendo un cambio de escala para permitir
cálculos numéricos mas convenientes, tanto en magnitud
como en frecuencia.
Cambio de Escala

35. 2.5 W ½ H 2F
En el siguiente ejemplo los valores poco prácticos de
sus elementos nos llevan a la improbable curva de
respuesta.
Z

36. Cambio de Escala
El cambio de escala en magnitud: se define como el
proceso por medio del cual la impedancia de una red de
dos terminales aumenta por un factor de Km y la
frecuencia permanece constante.

37. Por consiguiente “la red sufrira un cambio de escala en
magnitud por un factor de 2”, esto significa que la impedancia de
la nueva red sera el doble de la red original:
Los siguientes cambios darán como resultado la red con otra
escala en magnitud por el factor Km :
R  Km R
L  Km L
C 
m
K
C Cambio de escala en magnitud
Cambio de Escala en Magnitud

38. Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:
2.5 W
½ H
2F
Z
5 kW
1000 H
10–3 F
Z

39. La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en
el eje vertical, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva
de respuesta anterior.

40. El cambio de escala en frecuencia se define como el proceso por
medio del cual la frecuencia a la que ocurre cualquier impedancia
aumenta por un factor Kf
Al igual que en el caso anterior “la red sufre un cambio de escala
en frecuencia por un factor de 2”.
El cambio de escala se logra cambiando la escala en frecuencia de
cada elemento pasivo.
Cambio de Escala en Frecuencia

41. Los cambios necesarios en cada elemento pasivo para hacer
un cambio de escala en frecuencia por un factor Kf son:
R  R
L 
C 
f
K
L
f
K
C
Cambio de escala en frecuencia

42. 5 kW
1000 H
10–3 F
Z
5 kW
200 mH
200 pF
Z
Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

43. La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en
el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la
curva de respuesta anterior.

44. Una impedancia dada como función de s también puede
cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia.
Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo
multiplicamos Z(s) por el factor Km .
Ejemplo:
La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en
magnitud es:
Z´(s)=Km Z(s)

45. Para el cambio de escala en frecuencia:
Z´´(s)=Z´
Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos
de impedancia
Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser
realizados a las fuentes dependientes








f
K
s

46. Tarea
Un circuito resonante en paralelo tiene una frecuencia de
resonancia 2500 rad/s, un ancho de banda de 100 rad/s y una
inductancia de 200 mH. Halle el nuevo ancho de banda y
capacitancia si se emplea una escala en el circuito en a) la
magnitud por un factor de 5; b) la frecuencia por un factor de 5;
c) magnitud y la frecuencia por factores de 5.
Una tensión V(s) aplicada a una red dada produce una salida I2(s)
= (2s+5)/(3s2 + 4s+ 6)A. Hallar I2(s) si la red tiene una escala en
a) frecuencia por un factor de 2; b) magnitud por un factor de 2;
c) frecuencia y magnitud por factores de 2; b)

47. Diagramas de Bode
Definición: Una magnitud en decibeles se obtiene tomando el logaritmo en base 10 de
la magnitud y multiplicando por 20.
HdB = 20 log|H(j)|
La operación inversa es:
|H(j)| = 10(HdB/20)
Algunos valores comunes son:
|H(j)| = 1  HdB = 0 dB
|H(j)| = 2  HdB = 6 dB
|H(j)| = 10  HdB = 20 dB
|H(j)| = 10n  HdB = 20n dB
20 log 5 = 20log(10/2) = 20log10 – 20log2 = 20 – 6 = 14 dB
2 20log21/2 = 10x0.3 = 3dB
1/2  3dB

48. Ejemplo
Diagrama de Bode
HdB = 0 si  << a HdB = 20 log(/a) si  >> a
w = logspace(-2,2,100);
a = 1;
H = 1 + j*w/a;
HdB = 20*log10(abs(H));
semilogx(w,HdB)
 
 
2
2
2
2
1
log
20
1
log
20
1
1
1
a
a
j
H
a
a
j
j
a
dB















H
s
s
H
Gráfico de Bode para la
magnitud de un cero
simple

49. Diagrama de Bode
H(s)| = 1 + s/a
ang H(j) = ang(1+j/a) = tan1/a
ang H(j) = 0° si  < 0.1a ang H(j) = 90° si  > 10a
w = logspace(-2,2,100);
a = 1;
H = 1 + j*w/a;
Hang = angle(H);
semilogx(w,Hang)
axis([0.01,100,0,2.5])
Gráfico de Bode para la
fase de un cero simple

50. |H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)
2  6 dB
s 20 dB/década en 0
1 + s/10  20 dB/década en 10
1 + s/20000  20 dB/década en 20000
cruza por 0 en  = 400,000
w = logspace(-1,6,100);
H = -2*j*w./((1 + j*w/10)...
.*(1 + j*w/20000));
HdB = 20*log10(abs(H));
semilogx(w,HdB)
axis([0.1,10e6,-20,40])
grid
101 102 103 104 105 106
1
20
40
10 nF
20 mF
1 k W
4 k W
5 k W
Vx
Vent Vsal
Vx
200
+
-
+
-
s
1 +s/10 1 +s/20000

51. H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000)
2  6 dB
s 20 dB/década en 0
1 + s/10  20 dB/década en 10
1 + s/20000  20 dB/década en 20000
w = logspace(-1,6,100);
H = -2*j*w./((1 + j*w/10)...
.*(1 + j*w/20000));
Hang = atan(imag(H)./real(H))...
*180/pi-180;
semilogx(w,Hang)
grid
101 102 103 104 105 106
1
-90

52. Algunas consideraciones
Un término sn representa una magnitud que pasa por  = 1,
con una pendiente de 20n dB/década, la respuesta en fase es
un ángulo constante de 90n°.
Un cero múltiple (1+ s/a)n representa la suma de n curvas de
respuesta en magnitud o fase de un cero simple. Por tanto se
obtiene una respuesta de 0 dB para <a y que tiene una
pendiente de 20n dB/década cuando >a. el error es –3n dB en
a, y –n dB en 0.5a y 2a.
El diagrama de fase es 0° para <0.1a, 90n° para >10a, 45n°
para =a, y una línea recta con pendiente de 45n°/década para
0.1a<<10a. El error es 5.71n° en las dos frecuencias.

53. Ejemplo
Haga el diagrama de la función
H(s) = (1 + s/10)/((1 + s/500)(1 + s/10,000)2)
101 102 103 104 105
1
20
30
(1+s/10)
1 +s/500
(1 +s/10,000)2
10

54. |H(s)| = 1 + 2z(s/0) + (s/0)
HdB = 20 log|H(s)| = 20 log|1 + j2z(/0)  (/0)2|
Si z = 1 se tiene un cero de segundo orden.
Se tiene una asíntota en 0dB y otra que corresponde al término cuadrático
de –40 dB/década.
Para  =  0 hay que hacer un ajuste, HdB = 20log(2z)
Si z = 0.1, HdB = –14 dB.
w = logspace(-2,1,100);
w0 = 1;
zeta = 1;
H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -...
(w/w0).^2;
HdB1 = 20*log10(abs(H1));
z = 1
z = 0.5
z = 0.25
z = 0.1
Pares complejos conjugados

55. ang H(s) = tan1(2z(/0)/(1  (/0)2))
Debajo de  = 0.10 ang H(s) = 0°
Arriba de  = 100 ang H(s) = 180°
Para  = 0 ang H(s) = 90°
w = logspace(-2,2,100);
w0 = 1;
zeta = 1;
H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -...
(w/w0).^2;
Hang1 = angle(H1)*180/pi;
z = 1 z = 0.5
z = 0.25
z = 0.1

56. H(s) = 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2))
w = logspace(-1,3,100);
w0 = 100;
zeta = 0.1;
H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 + ...
2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));
HdB = 20*log10(abs(H));
semilogx(w,HdB)
Ejemplo

57. ang H(s) =ang( 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2)))
w = logspace(-1,3,100);
w0 = 100;
zeta = 0.1;
H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 +...
2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2));
Hang = angle(H)*180/pi;
semilogx(w,HdB)
Ejemplo

58. Tarea
Haga el diagrama de Bode de magnitud de
H(s) = 1000s2/(s2+5s+100)