ECONOMIA

1. Modelo de préstamo bancario
Bank One está desarrollando una política de préstamos que implica un máximo de $12
millones. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes en relación con los
préstamos disponibles.
Las deudas impagables son irrecuperables y no producen ingresos por intereses.
La competencia con otras instituciones financieras dicta la asignación de 40% mínimo de los
fondos para préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la construcción de
viviendas en la región, los préstamos para casa deben ser por lo menos 50% de los préstamos
personales, para automóvil, y para casa. El banco limita la proporción total de las deudas
impagables en todos los préstamos a un máximo de 4%.
Tipo de préstamo Tasa de interés % de deudas impagables
Personal 0.140 0.10
Automóvil 0.130 0.07
Casa 0.120 0.03
Agrícola 0.125 0.05
Comercial 0.100 0.02

2. Modelo matemático: La situación se refiere a determinar el monto del préstamo en cada categoría, lo que conduce a las siguientes
definiciones de las variables:
𝑥1 = préstamos personales (en millones de dólares)
𝑥2 = préstamos para automóvil
𝑥3 = préstamos para casa
𝑥4 = préstamos agrícolas
𝑥5 = préstamos comerciales
El objetivo del Bank One es maximizar el rendimiento neto, la diferencia entre el ingreso por intereses y la pérdida por deudas
impagables. El ingreso por intereses se acumula sobre los préstamos al corriente. Por ejemplo, cuando se pierde 10% de préstamos
personales por deuda impagable, el banco recibirá intereses sobre 90% del préstamo; es decir, recibirá un interés de 14% sobre 9𝑥1
del préstamo original 𝑥1. El razonamiento es válido para los cuatro tipos restantes de préstamos. Por lo tanto,
Interés total = 0.14(0.9𝑥1) + 0.13(0.93𝑥2) + 0.12(0.97𝑥3) + 0.125(0.95𝑥4) + 0.1(0.98𝑥5)
= 0.126𝑥1 + 0.1209𝑥2 + 0.1164𝑥3 + 0.11875𝑥4 + 0.098𝑥5
Deuda impagable = 0.1𝑥1 + 0.07𝑥2 + 0.03𝑥3 + 0.05𝑥4 + 0.02𝑥5
𝐌𝐚𝐱𝐢𝐦𝐢𝐳𝐚𝐫 𝐳 = 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫é𝐬 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 – 𝐃𝐞𝐮𝐝𝐚 𝐢𝐦𝐩𝐚𝐠𝐚𝐛𝐥𝐞
= (0.126𝑥1 + 0.1209𝑥2 + 0.1164𝑥3 + 0.11875𝑥4 + 0.098𝑥5
− (0.1𝑥1 + 0.07𝑥2 + 0.03𝑥3 + 0.05𝑥4 + 0.02𝑥5)
= 0.026𝑥1 + 0.0509𝑥2 + 0.0864𝑥3 + 0.06875𝑥4 + 0.078𝑥5

3. El problema tiene cinco restricciones:
1. Los fondos totales no deben exceder de $12 (millones):
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ≤ 12
2. Los préstamos agrícolas y comerciales deben ser iguales a por lo menos el 40% de todos los préstamos:
𝑥4 + 𝑥5 ≥ 0.4(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)
0.4𝑥1 + 0.4𝑥2 + 0.4𝑥3 − 0.6𝑥4 − 0.6𝑥5 ≤ 0
3. Los préstamos para casa deben ser iguales a por lo menos 50% de los préstamos personales, para
automóvil y para casa:
𝑥3 ≥ 0.5(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)
0.5𝑥1 + 0.5𝑥2 − 0.5𝑥3 ≤ 0
4. Las deudas impagables no deben exceder 4% de todos los préstamos:
0.1𝑥1 + 0.07𝑥2 + 0.03𝑥3 + 0.05𝑥4 + 0.02𝑥5 ≤ 0.04(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)
0.06𝑥1 + 0.03𝑥2 − 0.01𝑥3 + 0.01𝑥4 − 0.02𝑥5 ≤ 0
5. No negatividad:
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0, 𝑥5 ≥ 0
Una sutil suposición en la formulación precedente es que todos los préstamos se emiten aproximadamente
al mismo tiempo. Nos permite pasar por alto las diferencias en el valor del tiempo de los fondos asignados
a los diferentes préstamos
Solución:
z = 0.99648, 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 7.2, 𝑥4 = 0, 𝑥5 = 4.8