El documento habla sobre la torsión en ingeniería. Explica que la torsión ocurre cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento, causando que las secciones transversales se retuerzan alrededor del eje. Luego discute varias teorías sobre la torsión, incluyendo la teoría de Coulomb para secciones circulares y la teoría de Saint-Venant para secciones no circulares. Finalmente, cubre el diseño y análisis de árboles, los cuales están sujetos a torsión, flexión y otras cargas

1. POR : SERGIO CADENA FLORES
CUARTA UNIDAD

2. 4.1. Torsión en vigas de sección Circular
4.2. El cálculo de árboles de transmisión de potencia
4.3. Ángulo de torsión
4.4. Torsión de barras circulares
TEMAS SOLICITADOS DE LA CUARTA UNIDAD

3.  En ingeniería torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica
un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma
mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión
predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones
diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva
paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado
inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se
retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica). El estudio general de la torsión
es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una
pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:
Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se
representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la
sección. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente,
cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular,
aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales
deformadas no sean planas.
El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace
que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión
alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de
la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas
aproximaciones más simples que el caso general.

4. La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran
inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que
el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo
seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas
aproximaciones para valores , esto suele cumplirse en:
1.-Secciones macizas de gran inercia torsional (circulares o de otra forma).
2-.Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3-.Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant
además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico
predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de
Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo
existe giro.
Torsión recta: Teoría de Coulomb:
La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o
huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos
diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión
genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

5. Donde:
: Esfuerzo cortante a la distancia .
: Momento torsor total que actúa sobre la sección.
: distancia desde el centro geométrico de la sección
hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante.
: Módulo de torsión.
Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre
como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución , es
decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular
hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje
baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se
transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es
decir, se admite que la deformación viene dada por unos
desplazamientos del tipo:

6. Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un
pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para
representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X
coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto
de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:
Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante);
siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de
gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo
unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y
permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal.
Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es
constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia
torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir
de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

7. Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e
introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:
Torsión mixta
En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y
de torsión alabeada dominante, pueden emplearse
con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-
Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en
el dominio central de torsión extrema, se cometen
errores importantes y es necesario usar la teoría
general más complicada.

8. Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el segundo
momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos" se
denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos
para prismas mecánicos.
DISEÑO DE ÁRBOLES
Los árboles y ejes son elementos de máquinas, generalmente de sección
transversal circular, usados para sostener piezas que giran solidariamente o
entorno a ellos. Algunos elementos que se montan sobre árboles y ejes son
ruedas dentadas, poleas, piñones para cadena, acoples y rotores. Los ejes
no transmiten potencia y pueden ser giratorios o fijos. Por otro lado, los
árboles o flechas son elementos que giran soportando pares de torsión y
transmitiendo potencia. muestran transmisiones por cadenas, por correas y
por ruedas dentadas, respectivamente, en las cuales la transmisión de
potencia se lleva a cabo mediante árboles, poleas, correas, ruedas dentadas,
estrellas y cadenas, entre otros elementos.

9. Los árboles están sometidos a torsión, flexión,
carga axial y fuerzas cortantes, y al menos alguna
de estas cargas es variable (en un árbol girando
sometido a un momento flector constante, actúan
esfuerzos normales variables). Como los esfuerzos
en los árboles son combinados y variables, debe
aplicarse la teoría de fatiga para esfuerzos
combinados.

10. Configuración y accesorios de los árboles
Usualmente, los árboles son cilindros escalonados, con el fin de que
los hombros o resaltos sirvan para ubicar axialmente los diferentes
elementos. Además, los hombros sirven para transmitir cargas axiales.
En los árboles se usan diferentes elementos para la transmisión de
potencia o para posicionar o fijar las piezas que se montan sobre
éstos. Algunos métodos utilizados para transmitir pares de torsión y
potencia son las cuñas o chavetas, ejes estriados, espigas o pasadores
, ajustes a presión , ajustes ahusados (con superficies cónicas y
conectores ranurados. Para evitar movimientos axiales de las piezas se
usan, por ejemplo, hombros, tornillos de fijación o prisioneros , anillos
de retención, pasadores , collarines de fijación, tornillos y manguitos.
Algunos métodos sirven tanto para fijar axialmente las piezas, como
para transmitir par de torsión (por ejemplo, los pasadores). Las
chavetas y los pasadores actúan como „fusibles‟, es decir, son
elementos „débiles‟ (y baratos) que tienden a fallar en caso de una
sobrecarga, protegiendo así las piezas caras

11. Métodos para transmitir par de torsión y para fijar piezas sobre árboles y ejes

12.  El material más utilizado para árboles y ejes es el acero. Se recomienda
seleccionar un acero de bajo o medio carbono, de bajo costo. Si las
condiciones de resistencia son más exigentes que las de rigidez, podría
optarse por aceros de mayor resistencia. La sección 7.4.2 lista algunos
aceros comúnmente usados para árboles y ejes. Es necesario hacer el
diseño constructivo al inicio del proyecto, ya que para poder hacer las
verificaciones por resistencia, por rigidez y de las frecuencias críticas, se
requieren algunos datos sobre la geometría o dimensiones del árbol. Por
ejemplo, para verificar la resistencia a la fatiga en una sección
determinada es necesario tener información sobre los concentradores de
esfuerzos que estarán presentes en dicha sección, así como algunas
relaciones entre dimensiones. El diseño constructivo consiste en la
determinación de las longitudes y diámetros de los diferentes tramos o
escalones, así como en la selección de los métodos de fijación de las
piezas que se van a montar sobre el árbol. En esta etapa se deben tener
en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos: Fácil montaje,
desmontaje y mantenimiento. Los árboles deben ser compactos, para
reducir material tanto en longitud como en diámetro (recuérdese que a
mayores longitudes, mayores tenderán a ser los esfuerzos debidos a
flexión y, por lo tanto, los diámetros).


13. Permitir fácil aseguramiento de las piezas sobre el árbol para evitar
movimientos indeseables.
Las medidas deben ser preferiblemente normalizadas.
Evitar discontinuidades y cambios bruscos de sección, especialmente
en sitios de grandes esfuerzos.
Generalmente los árboles se construyen escalonados para el mejor
posicionamiento de las piezas.
Generalmente los árboles se soportan sólo en dos apoyos, con el fin
de reducir problemas de alineamiento de éstos.
Ubicar las piezas cerca de los apoyos para reducir momentos
flectores.
Mantener bajos los costos de fabricación.
Basarse en árboles existentes o en la propia experiencia, para
configurar el árbol (consultar catálogos y analizar reductores y
sistemas de transmisión de potencia). Después del diseño constructivo
puede procederse a verificar la resistencia del árbol. Los árboles deben
tener la capacidad de soportar las cargas normales de trabajo y cargas
eventuales máximas, durante la vida esperada. Entonces, se debe
verificar la resistencia del árbol a la fatiga y a las cargas dinámicas;
estas últimas son generalmente las cargas producidas durante el
arranque del equipo. Debe hacerse también un análisis de las
frecuencias naturales (críticas) del árbol. Todo sistema tiende a oscilar
con una gran amplitud cuando se excita con determinadas frecuencias;
esto se denomina

14. resonancia. Los árboles, junto con las piezas que se montan sobre
ellos, tienden también a vibrar excesivamente cuando giran a las
velocidades críticas. El diseñador debe asegurar que la velocidad de
rotación del árbol sea bastante diferente de cualquier velocidad
que produzca resonancia; de lo contrario, las deflexiones o
deformaciones del árbol tenderían a ser grandes y a producir la
falla. Finalmente, los árboles deben tener suficiente rigidez, con el
objetivo de evitar que las deformaciones excesivas perjudiquen el
buen funcionamiento de las piezas que van montadas sobre éstos.
Por ejemplo, deformaciones excesivas en los árboles pueden hacer
que el engrane de un par de ruedas dentadas no sea uniforme o no
se extienda en toda la altura de trabajo del diente. Por otro lado,
los cojinetes (de contacto rodante o deslizante) se pueden ver
afectados si las pendientes del árbol en los sitios de los cojinetes
son muy grandes. Como los aceros tienen esencialmente igual
módulo de elasticidad, la rigidez de los árboles debe controlarse
mediante decisiones geométricas. En conclusión, el buen
funcionamiento de un árbol depende de muchos factores, entre los
cuales podemos mencionar una buena resistencia y rigidez, una
correcta fijación de las piezas, una adecuada alineación y
lubricación de los elementos que lo requieran.

15. Esfuerzos en los árboles
Los elementos de transmisión de potencia como las ruedas dentadas,
poleas y estrellas transmiten a los árboles fuerzas radiales, axiales y
tangenciales. Debido a estos tipos de carga, en el árbol se producen
generalmente esfuerzos por flexión, torsión, carga axial y cortante.
muestra esquemáticamente un árbol en el cual está montado un
engranaje cónico y una estrella. Se muestran las fuerzas sobre el
engranaje, las cuales producen los cuatro tipos de solicitación
mencionados.

16. Diagrama de cuerpo libre:
Al analizar un árbol, es conveniente hacer diagramas de cuerpo libre
para las diferentes solicitaciones, es decir, hacer un diagrama para los
pares de torsión, uno para las fuerzas axiales y otros dos para las
cargas transversales y momentos flectores que actúan en dos planos
perpendiculares. Sin embargo, para facilitar el entendimiento de este
procedimiento presenta el diagrama de cuerpo libre completo del
árbol. La reacción en cada apoyo podría tener componentes en x, y y z.
Sin embargo, en el montaje se tiene que decidir cuál rodamiento
soportará carga axial, ya que cualquiera de los dos o ambos lo pueden
hacer. Por facilidad de montaje, es conveniente que el rodamiento C
soporte la carga axial y que el otro quede “libre” axialmente. Si el
rodamiento A soportara dicha carga, tendría que tener un ajuste a
presión para evitar su movimiento. Esto no ocurre con C, ya que el
hombro soporta la fuerza y no se requiere un ajuste a presión especial.
Además, de esta manera parte del árbol queda a compresión, lo cual
inhibe la fatiga. Nótese que los pequeños ángulos que las fuerzas F1 y
F2 forman con el eje z se han despreciado.

17. Cálculo del par de torsión y diagrama de par de torsión:
Como el sistema tiene una sola entrada y una sola salida de otencia, se
requiere calcular un solo par de torsión, T, el cual depende de la
potencia, P, y de la frecuencia de giro, n, de acuerdo con T = P/(2 n)
(ecuación 3.16, capítulo 3). Si la frecuencia de giro está en
revoluciones por minuto y la potencia en watt, el par de torsión
nominal TN, en N m, está dado por la ecuación 3.17 (capítulo 3):

18. El par de torsión pico es el doble del nominal, entonces T = 159.15
N m. De la figura 7.9 se deduce que las fuerzas que producen
momentos con respecto al eje del árbol (eje x) son Ft, F1 y F2. Por la
rueda entra toda la potencia; entonces, el par de torsión producido por
la fuerza pico Ft debe ser igual a T (par pico). Similarmente, por la
polea sale toda la potencia; entonces, el par de torsión total producido
por las fuerzas F1 y F2 es igual T. Analizando las fuerzas de la figura
7.9, se concluye que los pares de torsión en B y D tienen sentidos
contrarios (ya que F1 > F2); por lo tanto, la suma de éstos es igual a
cero, como debe ser, ya que el sistema está en equilibrio (cuando el
árbol rota a velocidad constante). La figura 7.10 muestra el diagrama
de cuerpo libre de pares de torsión y el diagrama de par de torsión del
árbol. Nótese que los rodamientos en A y C no tienen reacciones, ya
que ellos permiten la rotación libre del árbol. Según la figura, en el
tramo AB no hay par de torsión interno y el tramo más cargado a
torsión es el BCD, con un par constante de 159.15 N m.

19. INTRODUCCION
Podemos decir que un cuerpo está sujeto en una sección a torsión
simple, cuando la reducción de las fuerzas actuantes sobre éste, a un
lado de la sección, da como resultado una cumpla que queda
contenida en el plano de la misma. La solución rigurosa del problema,
para cualquier sección sólo puede obtenerse aplicando la Teoría de la
Elasticidad, lo que escapa a los alcances de este curso. Con las
herramientas de que disponemos en la Resistencia de Materiales
vamos a realizar el estudio para algunas secciones particulares tales
como la circular, la anular y los tubos de paredes delgadas, para las
cuales la solución se encuentra planteado hipótesis muy sencilla. Para
otras secciones tales como las rectangulares o los perfiles laminados,
solamente analizaremos los resultados. El problema de torsión simple
se presenta muy pocas veces, ya que en general aparece la torsión
combinada con flexión y corte. Sin embargo, lo que estudiaremos es
totalmente general, dado que aplicando el principio de superposición
de efectos, a partir del problema de torsión simple puede llegarse a
otros casos de torsión compuesta.

20. SECCION CIRCULAR
Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica
experimentalmente tanto en el caso de secciones circulares macizas como
huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de
la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación
por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su
forma. Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones
tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas
continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado,
las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se
transforman en hélices. A partir de las consideraciones anteriores, que
están relacionadas con la compatibilidad de las deformaciones, deseamos
saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su
distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones
normales σ. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así
existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en
forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε
variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal
al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección
se mantiene plana. En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el
problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su
vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente
equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:

21. Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia
con el borde de la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tangente a la
circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de τ radial, la
que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una
generatriz del cilindro. Esto que ocurre en el borde puede admitirse que
también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales
beberían ser normales al radio. Además, para que puedan cumplirse las
ecuaciones debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean antimétricas a
lo largo de los diámetros de la sección. De lo visto podemos obtener
algunas conclusiones:

22. El ángulo γ resulta ser el “ángulo de istorsión”
de la sección. Debemos tener presente que si
el ángulo θ es pequeño entonces los arcos se
confunden con las tangentes, lo que permite
establecer γ ≅ tg

23. El ángulo de torsión específico θ resulta
directamente proporcional al momento torsor e
inversamente proporcional al producto G. Ip
que recibe el nombre de “Rigidez a la torsión” y
que mide la resistencia a dejarse retorcer. Para
el dimensionamiento debemos tener acotado el
valor de la tensión tangencial máxima.

24.  Torsión de barras circulares y anulares (2012) Problema 1.
Considere la barra de sección circular mostrada en la figura y
suponga que su radio es R. Se aplica como se muestra un momento
torsor distribuido por unidad de longitud mt , de magnitud
constante. La rigidez torsional G·I0 se considera conocida, las
unidades consistentes y se desprecia el peso propio de la barra.
Halle: a) Una expresión que represente el giro a de la barra como
función de la coordenada axial. b) Una expresión que represente la
máxima tensión τmax que soporta la barra, como función de la
coordenada axial.

25.  Problema 2. Considere la barra de secciones circulares mostrada en
la figura y suponga que
 sus radios son R1 y R2 para las zonas 1 y 2 respectivamente. Es
aplicado como se muestra un momento torsor distribuido por
unidad de longitud mt en la zona denominada 1 y un momento
torsor T0 en el extremo libre. El material es el mismo para ambos
tramos y el momento polar de inercia es I01 e I02 para las zonas 1 y
2 respectivamente. Las unidades se suponen consistentes. Si se
considera despreciable el peso propio de la barra, halle: a) Una
expresión que represente el giro a de la barra como función de la
coordenada axial. b) Una expresión que represente la máxima
tensión max que soporta la barra, como función de la coordenada
axial.

26.  Problema 3. Sabiendo que el diámetro interno del árbol que se
muestra en la figura es d = 0.9 in, halle el momento polar de inercia
de la sección anular y determine la máxima tensión de corte causada
por un torque de magnitud T = 9 kip·in.
Problema 4. En condiciones
normales de operación, el motor
eléctrico ubicado en A produce
un torque de 2.4 kN·m.
Sabiendo que cada tramo del
árbol es de sección circular
sólida, determine la máxima
tensión de corte en los tramos
AB, BC y CD.

27. Problema 5. Considere la barra de sección circular mostrada en la
figura y suponga que su radio es R. Se aplica como se muestra un
momento torsor distribuido por unidad de longitud, de magnitud mt =
2·x y una carga puntual P en dirección axial como se muestra. El
módulo de Young y el módulo de corte se consideran conocidos y de
magnitudes E y G, respectivamente. Las unidades se suponen
consistentes y se desprecia el peso. Se pide hallar: a) Una expresión
para el giro de la barra en función de la coordenada x. b) El máximo
valor que alcanza dicho giro y el lugar de la barra donde se produce. c)
Expresiones para los desplazamientos u, v y w., en función de las
coordenadas x, y y z. d) El máximo valor de los desplazamientos y los
lugares de la barra donde se producen

28. Consideremos una barra o eje de sección transversal circular sujeta a
torsión por pares T aplicados en sus extremos Una barra cargada en
esta forma se considera sometida a torsion pura. Si se considera la
simetría, se demuestra que las secciones transversales de la barra
circular giran como cuerpos rígidos alrededor del eje longitudinal, los
radios permanecen rectos y la sección transversal permanece plana y
circular. También, si el ángulo de torsión total es pequeño, no variarán
la longitud de la barra ni su radio. Durante la torsión ocurrirá una
rotación alrededor del eje longitudinal, de un extremo de la barra
respecto al otro. Por ejemplo, si se fija el extremo izquierdo de la
barra, entonces el extremo derecho girará un pequeño ángulo φ con
respecto al extremo izquierdo fig. 2. El ángulo φ se conoce como el
Angulo de torsion. Además, una línea longitudinal en la superficie de
la barra, tal como la línea nn, girará un pequeño ángulo a la posición
nn¶. Debido a esta rotación, un elemento infinitesimal rectangular
sobre la superficie de al barra, tal como el elemento de longitud G[,
adquiere la forma de un romboide.

29.  Durante la torsión la sección transversal derecha gira con respecto a
la cara opuesta, y los puntos E y F se trasladan a E¶ y F¶,
respectivamente. Las longitudes de los lados del elemento no
cambian durante esta rotación, pero los ángulos de las esquinas ya
no miden 90º. Así, se aprecia que el elemento está en un estado de
cortante puro y la magnitud de la deformación por cortante ges
igual a la disminución en el ángulo recto en D. Esta reducción en el
ángulo es:

30. La distancia bb es la longitud de un arco pequeño de radio r
subtendido por el ángulo d, que es el ángulo de rotación de una
sección transversal con respecto a la otra. De esta manera, se
determina que bb rd. Además, la distancia DE es igual a G[, la longitud
del elemento. Al sustituir estas cantidades en la ecuación anterior, se
obtiene una expresión similar a la deformación por cortante.: La
cantidad d/dx representa la razón de cambio del Angulo de torsion.
Tanto f, como d/dxson funciones de [. Se indicará la cantidad d/dx
mediante el símbolo q y se referirá como ángulo de torsión por unidad
de longitud.