ALGEBRA

1. ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Series de Fourier
de funciones pares e
impares , ecuaciones
diferenciales parciales.

2. Objetivos
 Reconoce la serie de Fourier de funciones
pares e impares.
 Calcular la serie de Fourier de una función
no períódica.
 Identifica el orden y grado de una ecuación
diferencial parcial.
 Analiza la solución implícita e explicita de
EDP.
 Reconoce la ecuación de la onda y del
calor.

4. TEOREMA
Los coeficientes de Fourier de una función par
𝒇 𝒙 son
𝒂 𝒏 =
𝟐
𝝅
𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝝅
𝟎
𝒃 𝒏= 𝟎
Por consiguiente, la serie de Fourier de una
función par contiene sólo los cosenos, es decir
𝒇 𝒙 =
𝒂 𝟎
𝟐
+ (𝒂 𝒏 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙))
∞
𝒏=𝟏

5. TEOREMA
Los coeficientes de Fourier de una función impar
𝒇 𝒙 son
𝒃 𝒏 =
𝟐
𝝅
𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝝅
𝟎
𝒂 𝒏= 𝟎
Por consiguiente, la serie de Fourier de una
función par contiene sólo los cosenos, es decir
𝒇 𝒙 = (𝒃 𝒏 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙))
∞
𝒏=𝟏

6. Ejercicio1
a) Desarrolle en serie de Fourier la función
periódica
𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟐
; −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅
de periodo 𝟐𝛑.
b) Utiliza el resultado para calcular
𝟏
𝒏 𝟐
∞
𝒏=𝟏
Solución.-

8. Ecuación Diferencial Parcial
Una ecuación diferencial parcial es aquella que
contiene las derivadas de una o más variables
dependientes, con respecto a una o más variables
independientes.
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones
diferenciales parciales:
a)
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 +
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐 = 𝟎
b)
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 =
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒕 𝟐 −
𝝏𝒖
𝝏𝒕

9. Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial parcial es el
orden de la derivada mayor en la ecuación.
La ecuación diferencial parcial
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐
+
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐
=
𝝏𝒖
𝝏𝒙
Tiene orden 2.

10. Ejemplo 2
Clasifique la siguiente ecuación:
Solución
(a)
0(c)(b)3)( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
















y
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
u
a
parabólicaACB
C,BA
y
u
x
u
:04
;0,030;3
2
2
2








11. Ejemplo 2 (2)
elípticaACB
CBA
y
u
x
u
c
ahiperbólicACB
CBA
y
u
x
u
b
:04
;1,0,1;0)(
:04
;1,0,10;)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2















12. Ecuación diferencial parcial lineal de
segundo orden
La forma general de una ecuación diferencial lineal de
segundo orden (EDP) con dos variables
independientes 𝑥 y 𝑦 tiene la forma
A
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 + 𝑩
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙𝒚
+ 𝑪
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐 + 𝑫
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝑬
𝝏𝒖
𝝏𝒚
+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)
1) Los coeficientes A,B,C,D,E y F son constantes o
dependen sólo de las variables independientes.
2) Cuando 𝑮 𝒙, 𝒚 = 𝟎, la ecuación se llama
homogénea; en cualquier otro caso es no
Homogénea.

13. Ejemplo
Ecuaciones lineal
de segundo orden
1
La ecuación diferencial parcial
a)
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 +
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐 − 𝒖 = 𝟎 es una EDP homogénea.
b)
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 +
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟐 es una EDP no homogénea.

14. Tipos de EDP lineal homogénea con
coeficientes constantes
A la ecuación diferencial lineal parcial.
A
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐 + 𝑩
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙𝒚
+ 𝑪
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒚 𝟐 + 𝑫
𝝏𝒖
𝝏𝒙
+ 𝑬
𝝏𝒖
𝝏𝒚
+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)
Tipo de EDP CONDICIÓN
HIPERBÓLICA 𝐵2
− 4𝐴𝐶 > 0
PARABÓLICA 𝐵2
− 4𝐴𝐶 = 0
ELIÍPTICA 𝐵2
− 4𝐴𝐶 < 0

15. Solución de una EDP
La solución de una ecuación diferencial en
derivadas parciales con dos variables
independientes 𝑥 y 𝑦 es una función 𝑢(𝑥, 𝑦) que
posee todas las derivadas parciales que indica la
ecuación y que la satisface en alguna región del
plano 𝑋𝑌.
La forma de la solución de una EDP para el caso
unidimensional puede ser de dos formas:
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒈(𝒚)

16. Ecuaciones clásicas EDP
a) Ecuación de calor
𝑲
𝝏 𝟐 𝒖
𝝏𝒙 𝟐
=
𝝏𝒖
𝝏𝒕
, 𝐊 > 𝟎
b) Ecuación de la onda
𝒂 𝟐
𝝏 𝟐
𝒖
𝝏𝒙 𝟐
=
𝝏 𝟐
𝒖
𝝏𝒕 𝟐

17. Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations –
Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.