Conceptos de transferencia de masa

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA
PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA
Realizado Por: Prof. Johemar Almera y Pedro Vargas
Punto Fijo, Julio 2008

I. Conceptos preliminares de transferencia de masa
Para poder establecer una base común para los estudios de transferencia de masa es
importante estudiar primero las definiciones y relaciones que se utilizan a menudo para
cuantificar las cantidades de los componentes en las mezclas.
1.1 Concentraciones
Las diferencias de concentración pueden expresarse de varias maneras, antes de definir las
leyes y ecuaciones que regulan la transferencia de masa es necesario definir las diferentes
formas de contabilizar la cantidad de una especie (i) en una mezcla de n componentes. A
continuación se presentan las formas más comunes de expresar las concentraciones de un
componente en una mezcla.
Concentración Másica (ρi): es la cantidad de masa del componente i por unidad de volumen de
solución. La suma de todas las contribuciones de los componentes es igual a la densidad de la
mezcla
∑
=
ρ
=
ρ
n
i
i
1 (2)
Donde: n= Número de componente presente en la mezcla.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
total
volumen
i
de
masa
V
m
i
ρ
(3)
De su concepto se desprende lo que se conoce como fracción másica
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
ρ
ρ
=
total
masa
i
de
masa
w i
i 1
w
n
1
i
i =
∑
= (4)
Concentración Molar (Ci): es la cantidad de moles del componente i por unidad de volumen de
solución. La suma de todas las contribuciones de los componentes es igual a la concentración
molar de la mezcla
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
total
volumen
i
de
mol
V
n
Ci
(5)
∑
=
=
n
1
i
i
C
C
(6)
De su concepto se desprende lo que se conoce como fracción molar
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
total
mol
i
de
mol
C
C
x i
i 1
x
n
1
i
i =
∑
= (7)

Fenómenos de transporte: Transferencia de masa Prof. Johemar Almera y Pedro Vargas
3
Con frecuencia se discrimina entre xi y yi, para referirse a las fracciones molares de la
fase líquida y la fase gaseosa respectivamente. Para el caso se un gas ideal, yi se puede
calcular como
Total
esión
Pr
mezcla
la
en
i
de
parcial
esión
Pr
P
P
y i
i =
=
(8)
⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
P moles totales
C
RT vol total
En el sistema internacional
P [Pa] R: 8,314 J mol-1 K-1 T [K] C [mol m-3]
Las concentraciones másicas y molares se relacionan mediante la siguiente expresión:
i
i
i M
C
=
ρ (9)
Y la concentración total de la mezcla
V
n
V
n
C
n
1
i
i
T
∑
=
=
=
(10)
1.2 Relaciones de flujo
El flujo másico, molar o volumétrico de una especie
dada es una cantidad vectorial que denota la cantidad de la
especie particular que pasa en un tiempo dado a través de
un área unitaria normal al vector. Para calcular el flujo de
una especie, a menudo resulta conveniente cuantificar la
transferencia con respecto a un sistema de coordenadas fijo
en ese caso el flujo molar de la especie i puede escribirse
como:
Figura 3. Flujo por unidad de
superficie

4
i
i
i U
C
N = (11)
i
N : Flujo molar de i
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
tiempo
Longitud
moles
2
i
U : Velocidad del componente i respecto a un sistema de referencia fijo
De la misma forma para el flujo de masa
i
i
i U
n ρ
= (12)
i
n : Flujo másico de i
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
tiempo
Longitud
masa
2
Con frecuencia se hacer necesario referir el flujo molar a alguna velocidad distinta de
cero, en este caso velocidad de referencia (U0)
( )
0
0 U
U
j i
i
i −
ρ
= (13)
( )
0
0 U
U
C
J i
i
i −
= (14)
Donde ji y Ji representan los flujos de masa y molar respecto a la velocidad de referencia U0.
1.3 Velocidades media de masa
En un sistema de componentes múltiples, las diferentes especies se moverán de manera
normal a diferentes velocidades; por lo tanto, para evaluar la velocidad de la mezcla de gases,
se necesitan promediar la velocidad de cada una de las especies presente.
∑
=
=
n
1
i
i
i
m
U
w
U
Másica promedio (15)
∑
=
=
n
1
i
i
i
M
U
x
U
Molar promedio (16)
∑
=
=
n
1
i
i
i
i
_
U
C
V
Uυ
Volumétrica promedio (17)
Donde:
i
U : Velocidad absoluta de la especie i con relación a ejes estacionarios de coordenadas.

5
i
_
V : Volumen molar parcial [moles de i/ volumen total]
En el caso en que la velocidad de referencia sea la promedio molar, másica o
volumétrica, la expresión para el flujo relativo en cada caso queda expresada de la siguiente
forma:
( )
m
i
i
i
m U
U
j −
ρ
= (18)
( )
M
i
i
i
M U
U
C
J −
= (19)
La velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o velocidad
molar media se llama velocidad de difusión.
Ui-Um = Velocidad relativa de la especie i a la velocidad media másica.
Ui-UM = Velocidad relativa de la especie i a la velocidad media molar.
De acuerdo a la ley de Fick, una especie puede tener una velocidad relativa a la masa o
una velocidad molar media, solamente si existen los gradientes en la concentración.

6
1.4 Ejercicios sección 1
1. Una solución ideal contiene 0,1 x 10-3
m3
de metanol y 0,9 x 10-3
m3
de benceno se mueve a
una velocidad media molar de 0,12 m/s. Si el flujo molar del benceno relativo a la velocidad
media de masa es de -1,0 kgmol m-2
s-1
¿Cual es el flujo total del metanol NA y la velocidad
media de masa?
2. Una mezcla gaseosa binaria de A y de B se desplaza a una velocidad media molar de 2,375
m/s y una velocidad media másica es de 2,6 m/s. La presión total del sistema es de 1 atm y la
presión parcial de A es PA= 0,25 atm. Calcule el flujo másico de A relativo a la velocidad másica
promedio (mjA) y el flujo másico convectivo de A (XA(nA+nB)). Escriba todas sus suposiciones. El
sistema se encuentra a 70 ºC.
PMA= 20 kg/kgmol PMB= 35 kg/kgmol
3. En un recipiente de 1500 pie3
se encuentra aire a 250 ºF y 1,5 atm. Determinar las siguientes
propiedades de la mezcla de gas seco.
a) Fracción molar del oxígeno. b) Fracción en volumen del oxígeno.
c) Peso de la mezcla. d) Densidad de la masa de nitrógeno.
e) Densidad de la masa de oxígeno f) Densidad en masa de la mezcla.
g) Densidad molar de la mezcla. h) Peso molecular promedio de la mezcla.
i) Presión parcial de oxígeno.
4. Una mezcla gaseosa a una presión total de 1,5 x 105
Pa y 295 K contiene 20 % H2, 40 % O2 y
40 % H2O en volumen. Las velocidades absolutas de casa especie son – 10 m/s, -2 m/s y 12
m/s respectivamente, todas ellas en la dirección z.
a) Determinar la velocidad promedio en masa.
b) Determinar los Flujos mjO2, MJ02, N02 y nO2.

7
II. ECUACIÓN DE FICK PARA LA DIFUSIÓN MOLECULAR
El movimiento de un compuesto en particular dentro de una mezcla, no se debe sólo al arrastre
que sobre el produce la mezcla (flujo convectivo). Hasta ahora hemos estudiado el
desplazamiento de los componentes de una mezcla en grupos de la misma forma que se
produce el movimiento de un compuesto puro. Si embargo, cuando existen diferencias de
concentraciones en una mezcla, se produce una migración selectiva de los componentes de la
mezcla cuya distribución de concentraciones no sea uniforme. Este movimiento se da
específicamente desde las zonas de alta concentración hasta las zonas de baja concentración
(de la misma forma como en transferencia de calor el flujo se da desde la zona de alta
temperatura hacia la zona de baja temperatura) y esto es lo que en fenómenos de transporte se
conoce como transferencia de masa.
La difusión molecular (o transporte de molecular) puede definirse como la transferencia (o
desplazamiento) de moléculas individuales a través de un fluido por medio de los
desplazamientos individuales y desordenados de las moléculas. Podemos imaginar a las
moléculas desplazándose en línea recta y cambiando su dirección al rebotar otras moléculas
cuando chocan. Puesto que las moléculas se desplazan en trayectorias al azar, la difusión
molecular a veces se llama también proceso con trayectoria aleatoria (Figura 3).
Las leyes de transferencia de masa ponen de manifiesto la relación entre el flujo de las
sustancias que se están difundiendo y el gradiente de concentración responsable de esta
transferencia de masa.
Figura 3. Diagrama esquemático del proceso de difusión molecular.
En la figura 3 se muestra esquemáticamente el proceso de difusión molecular. Donde se
ilustra la trayectoria desordenada que las moléculas de A donde puede seguir difundiéndose
del punto (1) al (2) a través de las moléculas de B. Si hay un número mayor de moléculas cerca

8
del punto (1) con respecto al punto (2) , entonces, y puesto que las moléculas se difunden de
manera desordenada en ambas direcciones, habrá más moléculas de A difundiéndose de (1) a
(2) que de (2) a (1) . La difusión neta de A va de una región de alta concentración a otra de
baja concentración.
El flujo neto de moléculas se relaciona entonces directamente con la diferencia de
concentración respecto a la posición (gradiente de concentración) mediante una relación causa
efecto, es decir la diferencia de concentración producirá el flujo de masa difusivo. La relación
básica correspondiente a la difusión molecular define el flujo molar relativo a la velocidad molar
media MJi. Fick fue quien primero postuló una relación empírica para este flujo molar y, por lo
tanto, se le llama Primera LEY DE FICK. Esta define el componente A de difusión en un sistema
isotérmico e isobárico. Si la difusión se lleva a cabo únicamente en la dirección z, la ecuación
de Fick de la rapidez de flujo molar es :
z
x
CD
J A
AB
AZ
M
∂
∂
−
=
Molar (20)
z
w
D
j A
AB
AZ
m
∂
∂
ρ
−
=
Másico (21)
O para el caso de transferencia de masa en todas las direcciones
A
AB
A
M x
CD
J ∇
−
= Molar (20)
A
AB
A
m w
D
j ∇
ρ
−
= Másico (21)
El signo negativo se debe a que el flujo se da en la dirección de concentración
decreciente
AZ
M J : Es el flujo molar en la dirección de z relativa a la velocidad molar promedio (Kg mol de A
s-1
m-2
) ó (Lbmol de A s-1
pie-2
)
z
x
k
y
x
i
x
x
i
x A
A
A
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
Gradiente de concentración.
xA : Fracción molar del componente A
C : Concentración molar de la mezcla [moles de mezcla/ volumen de mezcla]
z: Coordenada espacial [m o pie]
DAB: El factor de proporcionalidad, es la difusividad de la masa o coeficiente de difusión
correspondiente a un componente A que se difunde a través del componente B [m2
s-1
ó pie2
h-1
]

9
Según lo definido anteriormente, la velocidad de difusión, en este caso está referida a la
velocidad promedio de la mezcla bien sea molar o másica, es decir que la ecuación de difusión
molecular de Fick contabiliza el movimiento adicional debido exclusivamente al gradiente de
concentración. Retomando la expresión para el flujo relativo ( )
M
i
i
i
M U
U
C
J −
= , reacomodando
y despejando Ni
i
M
i
i J
N
x
N +
=
i
i
i x
CD
N
x
N ∇
−
=
Difusivo
Flujo
Convectivo
Flujo
fijo
s
coordenada
de
sistema
un
a
respecto
A
componente
del
Flujo
+
=
Es decir que el movimiento de un componente i en una mezcla es el resultado de la
contribución de dos efectos, el flujo convectivo asociado al desplazamiento en grupo de
moléculas, y al flujo difusivo el cual se debe a la diferencia de concentración del componente.
La mayoría de los casos que vamos a estudiar en esta guía van a tratar sobre sistemas
binarios, en ese caso las expresiones que hemos escrito anteriormente de manera genérica
adoptan la siguiente forma para una mezcla con dos componentes A y B.
A
AB
A
A
M
A
A x
CD
N
x
J
N
x
N ∇
−
=
+
= Molar (22)
A
AB
A
A
m
A
A w
D
n
w
j
n
w
n ∇
ρ
−
=
−
= Másico (23)
MA: Peso molecular de A
A
ρ : Concentración en masa de A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
sol
de
vol
A
de
masa
A
C : Concentración molar de A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
sol
de
vol
A
de
mol
ρ
ρ
= A
A
w
: Fracción de masa A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
sol
de
masa
A
de
masa

10
C
C
x A
A =
: Fracción molar A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
sol
de
moles
A
de
moles
1
w
w B
A =
+ 1
x
x B
A =
+
1
B
B
A
A
M
w
M
w
M
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
B
B
A
A M
x
M
x
M +
= Peso molecular de la mezcla
A
A
B
B
A
A
A
A
A
M
M
w
M
/
w
M
/
w
M
/
w
x =
+
=
( )
2
B
A
A
A
M
/
1
M
M
dw
dx =
Tabla 3. Flujos para sistemas binarios.
Sistema de referencia Flujo molar Flujo de masa
Coordenadas fijas A
A
A U
C
N = A
A
A U
n ρ
=
Velocidad promedio molar ( )
M
A
A
A
M U
U
C
J −
= ( )
M
A
A
A
M U
U
j −
ρ
=
Velocidad promedio de masa ( )
m
A
A
A
m U
U
C
J −
= ( )
m
A
A
A
m U
U
j −
ρ
=
Velocidad promedio de volumen ( )
υ
υ −
= U
U
C
J A
A
A ( )
υ
υ −
ρ
= U
U
j A
A
A
Tabla 4. Relación entre flujos para sistemas binarios.
Relación entre flujos de masa
y molar
Flujo molar relativo a UM Flujo molar relativo a Um
A
A
A M
N
n = M
B
A CU
N
N =
+ m
B
A U
n
n ρ
=
+
A
m
B
A
M J
M
M
j = 0
=
+ B
M
A
M J
J 0
=
+ B
m
A
m J
J
A
A
M
A
M M
J
j = ( )
B
A
A
A
M
A N
N
x
J
N +
+
= ( )
B
A
A
A
m
A n
n
w
j
n +
+
=
A
M
B
A
m J
M
M
J = M
A
A
M
A U
C
J
N +
= M
A
A
m
A U
J
n ρ
+
=
Tabla 5. Forma de la primera Ley de Fick para sistemas binarios.
Flujo molar Flujo de masa
A
AB
A
M x
CD
J ∇
−
= A
AB
A
m w
D
j ∇
ρ
−
=
A
AB
B
A
A
M w
D
M
CM
J ∇
ρ
−
=
2
A
AB
B
A
A
m x
D
M
M
C
j ∇
ρ
−
=
2
( ) A
AB
B
A
A
A x
CD
N
N
x
N ∇
−
+
= ( ) A
AB
B
A
A
A w
D
n
n
w
n ∇
ρ
−
+
=

11
1.1 Coeficiente de Difusión
La constante de proporcionalidad de la ecuación de Fick (DAB), se conoce con el nombre
de coeficiente de difusión. Sus dimensiones fundamentales, que pueden obtenerse a partir de la
siguiente ecuación:
z
C
J
D
A
A
M
AB
∂
∂
−
≡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
s
m2
La unidad es idéntica a la de las otras propiedades de transferencia fundamentales: la
viscosidad cinemática (ν) y la difusividad térmica (α). La difusividad de la masa se ha dado en
cm2
s-1
, las unidades SI son m2
s-1
; o sea un factor 10-4
veces menor. En el sistema inglés, pie2
h-
1
, son las unidades utilizadas. Para hacer conversiones de uno a otro de estos sistemas se
utilizan las siguientes relaciones:
4
1
2
AB
1
2
AB
10
)
s
m
(
D
)
s
cm
(
D −
−
−
= 87
,
3
)
s
cm
(
D
)
s
pie
(
D
1
2
AB
1
2
AB
=
−
−
El coeficiente de difusión depende de la presión de la temperatura y de la composición
del sistema. Como es de esperar, de acuerdo con la movilidad de las moléculas, los
coeficientes de difusión son generalmente mayores en los gases (10-5
m2
s-1
), que en relación
con los líquidos (entre los valores 10-10
-10-9
m2
s-1
) que son mayores a los valores obtenidos en
relación con los sólidos (10-14
-10-10
m2
s-1
).
En ausencia de datos experimentales, se han obtenido expresiones semi-teóricas que
aportan aproximaciones cuya validez es tan buena como la de los valores experimentales
debido a las dificultades que existen para la medición de estas últimas.
1.2 Coeficiente de difusión molecular de los gases
Para mezclas gaseosas binarias a baja presión DAB es inversamente proporcional a la
presión, aumenta con la temperatura y es casi independiente con la composición, para una
mezcla de dos gases determinados.Combinando los principios de la teoría cinética y de los
estados correspondientes se ha obtenido la siguiente ecuación, para estimar DAB a bajas
presiones (Bird et al., 1992).

12
( ) ( )
P
M
M
T
T
B
P
PC
T
T
T
a
D
/
B
A
/
cB
cA
/
c
A
b
cB
cA
AB
2
1
12
5
3
1 1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
(23)
DAB [cm2
/s] P[atm] T[K]
Para mezclas binarias no polares a= 2,745 10-4 b= 1,823
Para Agua con un gas no polar a= 3,640 10-4 b= 2,334
A presiones elevadas DAB, ya no disminuye linealmente con la presión. En realidad, se
sabe muy poco acerca de la variación de la presión, excepto en el caso límite de la auto difusión
que se puede investigar muy bien experimentalmente utilizando trazadores isotópicos.
Para el caso de mezcla binaria de gases no polares a bajas presiones, la teoría
desarrollada por CHAMPMAN–ENSKOG, establece la siguiente expresión para el coeficiente de
Difusión
2
1
2
2
3
7
1
1
10
8583
1
/
B
A
AB
,
D
AB
/
AB
M
M
P
T
x
,
D ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
Ω
σ
=
−
[m2
s-1
] (24)
T [K] P = Presión total del sistema [atm] σi, j= Diámetro de colisión [Amstrong]
AB
,
D
Ω : Función adimensional de temperatura y del campo de potencial intermolecular (integral
de colisión) = F(KT / εi-j)
K = constante de Boltzman (1,38x10-16 ergios /°K)
εi-j =Energía de interacción molecular generalmente se estima los parámetros de Lennard–
Jones de la siguiente forma:
( )
B
A
AB
,
D
2
1
σ
σ +
=
Ω
B
A
AB ε
ε
ε =
A continuación se muestran unos valores experimentales de difusividades de gases
diluidos (Tabla 6).
Tabla 6. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de gases diluidos (Bird et
al. 1992)

13
Sistema Gaseoso Temperatura (K) DAB (cm2
s-1
)
CO2-N2O 273,2 0,096
CO2-CO 273,2 0,139
CO2-N2 273,2 0,144
288,2 0,158
298,2 0,165
Ar-O2 293,2 0,200
H2-SF6 298,2 0,420
H2-CH4 298,2 0,726
1.3 Difusión Molecular en líquidos
La difusión de solutos en líquidos es muy importante en muchos procesos industriales,
en especial en las operaciones de separación, como extracción líquido – líquido o extracción
con disolventes, en la absorción de gases y en la destilación. La difusión en líquidos también es
frecuente en la naturaleza como en los casos de oxigenación de ríos y lagos y la difusión de
sales en la sangre.
Resulta evidente que la velocidad de difusión molecular en los líquidos es mucho menor
que en los gases. Las moléculas de un líquido están muy cercanas entre sí en comparación
con las de un gas, por lo tanto, las moléculas del soluto A que se difunden chocaran contra las
moléculas del líquido B con más frecuencia y se difundirán con mayor lentitud que en los
gases. En general, el coeficiente de difusión es de un orden de magnitud 105 veces mayor que
en un líquido. No obstante, el flujo específico en un gas no obedece la misma regla, pues es
sólo unas 100 veces más rápido, ya que las concentraciones en los líquidos suelen ser
considerablemente más elevadas que en los gases.
Las moléculas de un líquido están más próximas unas de otras que en los gases, la
densidad y la resistencia a la difusividad en aquél son mucho mayores. Además, y debido a
esta proximidad de las moléculas, las fuerzas de atracción entre ellas tienen un efecto
importante sobre la difusión.
Una diferencia notoria de la difusión de los líquidos con respecto a lo gases es que las
difusividad suelen ser bastante dependientes de la concentración de los componentes que se
difunden. Las ecuaciones para predecir difusividades de solutos diluidos en líquidos son
semiempíricas por necesidad, pues la teoría de la difusión en líquidos todavía no está
completamente explicada una de las primeras teorías, la ecuación de Stokes- Einstein, se
obtuvo para una molécula esférica muy grande (A) que se difunde en un disolvente líquido (B)

14
de moléculas pequeñas. Se usó la Ley de Stokes para describir el retardo en la molécula móvil
del soluto. Después fue modificada al suponer que todas las moléculas son iguales, distribuidas
eb un retículo cúbico y cuyo radio molecular se expresa en términos del volumen molar.
3
1
16
10
96
9
/
A
AB
V
T
x
,
D
μ
=
−
(25)
Donde:
DAB = Difusividad [m2
s-1
]
T = Temperatura absoluta [K]
μ = viscosidad de la solución [Pa.s]
VA = volumen molar del soluto a su punto de ebullición [m3
kgmol-1]
La ecuación (25) no es válida para solutos de volumen molar pequeño. Se ha intentado obtener
otras deducciones teóricas, pero las fórmulas obtenidas no predicen las difusividades con
precisión razonable. Debido a esto, se han desarrollado diversas expresiones semiteóricas
como la correlación de WILKE- CHANG, puede usarse para la mayoría de los propósitos
generales cuando el soluto (A) está diluido con respecto al disolvente (B).
( ) 6
0
2
1
16
10
173
1 ,
A
B
/
B
AB
V
T
M
x
,
D
μ
ϕ
= −
(26)
Donde:
MB = Peso molecular del disolvente B
μB = Viscosidad de B en [Pa.s]
VA = Volumen molar del soluto en el punto de ebullición [m3 kgmol-1]
φ = Parámetro de asociación del disolvente (para el agua =2,6, metanol = 1,9, etanol = 1,5,
benceno , éter, heptano = 1,0, disolventes sin asociación = 1,0).
Cuando el volumen molar es superior a 500 cm3/ gmol se debe utilizar la ec. (25).

15
Tabla 7. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de líquidos (Bird et al.,
1992).
Sistema binario Temperatura (K) xA DABx105
(cm2
s-1
)
283 0,033 0,096
Clorobenceno (A)
Bromobenceno (B) 0,264 1,007
0,512 1,146
0,965 1,291
298 0,05 1,13
Etanol (A)
Agua (B) 0,50 0,90
0,95 2,20
Agua(A) 303 0,131 1,24
n-Butanol (B) 0,358 0,560
0,524 0,267
1.4 Difusión molecular en sólidos
Ahora se estudiarán los sólidos porosos que tienen canales o espacios vacíos
interconectados que afectan a la difusión. En la figura a se muestra el corte transversal de un
sólido poroso típico.
Figura 4. Esquema de un sólido poroso Típico
En caso de que los espacios vacíos estén totalmente llenos de agua líquida, la
concentración de sal en agua en el punto 1 es cA1 y en el punto 2 es cA2. Al difundirse en el agua
por los conductos vacíos, la sal sigue una trayectoria sinuosa desconocida que es mayor que
(z2 – z1) por un factor z, llamado sinuosidad. (En el sólido inerte no hay difusión.) Se aplica la
siguiente ecuación para la difusión en estado estacionario de la sal de una solución diluida.

16
( )
( )
1
2
2
1
z
z
C
C
D
N A
A
AB
A
−
τ
−
ε
=
(27)
donde ε es la fracción de espacios vacíos, DAB es la difusividad de la sal en agua y τ es un
factor de corrección de la trayectoria más larga que (z2 – z1). En sólidos de tipo inerte τ varía
desde 1,5 hasta 5. En muchos casos es conveniente combinar los términos en una expresión
de difusividad efectiva:
AB
eff
,
A D
D
τ
ε
=
(28)
Tabla 8. Difusividades experimentales de algunos sistemas binarios de gases diluidos (Bird et
al., 1992)
Sistema Gaseoso Temperatura (K) DAB (cm2s-1)
He en SiO2 293 2,4-5,5 x 10-10
He en pirex 293 4,5 x 10-11
780 2 x 10-8
Bi en Pb 293 1,1 x 10-16
Hg en Pb 293 2,5 x 10-15
Sb en Ag 293 3,5 x 10-21
Al en Cu 293 1,3 x 10-30
Cd en Cu 293 2,7 x 10-15

17
EJERCICIOS
1. Calcular la difusividad del manitol, CH20H(CHOH)4CH20H, C6H14O6, en solución diluida en
agua a 20 ºC. Comparar con el valor observado, 0,56 x 10-9
m2
s-1
.
Calcule las difusividades de las siguientes mezclas gaseosas:
2NH3 Î N2 + 3H2
a) Acetona-aire, 1 atm, 0 ºC.
R: 9,25x10-6
m2
s-1
.
b) Nitrógeno-dióxido de carbono, 1 atm, 25 ºC.
c) Cloruro de hidrógeno-aire, 200 kN m-2
, 25 ºC.
R: 9,57x10-6 m2
s-1
.
d) Tolueno-aire, 1 atm, 30 ºC. Valor experimental 0,088 cm2
s-1
.
e) Anilina-aire. 1 atm, 0 ºC. Valor experimental 0,0610 cm2
s-1
.
2. La difusión de CO2(A), a través de una película de Aire (B) es estudiada mediante la
medición de concentraciones en diferentes posiciones a lo largo de una película. Datos
experimentales muestran que el perfil de fracciones molares es el siguiente (Fig. 1). Si
el flujo total de NA es 0,150 kgmol m-2
s-1
, calcule la contribución debida a difusión y la
debida a convección en unidades molares (MJA y xA(NA+NB)).
La presión del sistema es de 1 atm y se encuentra a 300 K.
PMA= 44 kg kgmol-1
PM B= 29 kg kgmol-1
DAB= 5,1x10-5
m2
s-1
.
Fracción molar vs Posición
0,282
0,284
0,286
0,288
0,290
0,292
0,294
0,296
0,298
0,300
0,302
0,099 0,1
00 0,1
01 0,1
02 0,1
03 0,1
04 0,1
05 0,1
06 0,1
07
pos(mm)
X
A

18
III. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE MASA
Si se hace un balance de masa en un cuno de volumen diferencial con dimensiones Δx,
Δy Δz,
Figura 5. Elemento diferencial de volumen
Entra-Sale+Genera-Consume= Acumula
( ) ( ) ( ) t
z
y
x
z
y
x
r
y
x
n
n
z
x
n
n
z
y
n
n A
A
.
z
z
Az
z
Az
y
y
Ax
y
Ay
x
x
Ax
x
Ax
∂
ρ
∂
Δ
Δ
Δ
=
Δ
Δ
Δ
+
Δ
Δ
−
+
Δ
Δ
−
+
Δ
Δ
−
υ
Δ
+
Δ
+
Δ
+
Donde
υ
A
.
r es lo que se genera o se consume por unidad de volumen de A debido a
reacción química. Dividiendo por z
y
x Δ
Δ
Δ y tomando el límite cuando tienden a cero:
υ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
ρ
∂
A
.
Az
Ay
Ax
A
r
z
n
y
n
x
n
t (29)
0
r
n
.
t
A
.
A
A
=
−
∇
+
∂
∂ υ
ρ
(30)
Esto es lo que se conoce como la Ecuación de continuidad para el componente A de una
mezcla binaria que describe la concentración de A con respecto al tiempo para un punto fijo en
el espacio, la variación resulta del movimiento de A y de las reacciones químicas en las que se
ve involucrado. Haciendo el mismo balance para el componente B y combinando con la
ecuación anterior ( 0
=
+
υ
υ
B
.
A
.
r
r )
( ) ( ) 0
=
∇
+
∂
ρ
∂
n
.
t (31)
Haciendo el mismo balance anterior pero en función de unidades molares,

19
0
=
−
∇
+
∂
∂ υ
A
.
A
A
R
N
.
t
C
Para A (32)
υ
υ
+
=
∇
+
∂
∂
B
.
A
.
R
R
N
.
t
C
Para la mezcla (33)
Reescribiendo la ecuación de continuidad para el componente A tanto en balance molar
como másico en función de la Ley de Fick, obtenemos:
( )
υ
=
ρ
∇
+
∇
ρ
∇
−
∂
ρ
∂
A
.
m
A
A
A
A
r
U
.
w
D
.
t (34)
( )
υ
=
∇
+
∇
∇
−
∂
∂
A
.
M
A
A
A
A
R
U
C
.
x
CD
.
t
C
(35)
Caso 1: Para el caso en que no hay reacción química, la sustitución de la primera ley de Fick
en la ecuación (35) da
( ) 0
1
1
=
∇
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∇
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∇
+
∂
∂ υ
U
C
.
x
CD
x
V
C
.
t
C
A
A
A
A
A
_
A
A
(36)
Caso 2: En la ausencia de flujo convectivo.
( )
A
A
A
x
CD
.
t
C
∇
∇
=
∂
∂
(37)
Caso 3: Para el caso de concentración total y difusividad constante
A
A
A
C
D
t
C 2
∇
=
∂
∂
(38)
Esta ecuación es llamada la segunda Ley de Fick y ha encontrado amplia aplicación en
la determinación experimental de coeficientes de difusión.
Caso 4: Para el caso de régimen permanente (estado estable, estacionario)
0
2
=
∇ A
C (39)
Válida cuando, C= constante, U0=0, DA=constante
0
=
∂
∂
t
CA
y 0
=
υ
A
.
R
Escribiendo estas ecuaciones para el caso de diversas geometrías tenemos:

20
Tabla 9. Ecuación de continuidad de A en diversos sistemas coordenados.
Coordenadas rectangulares
υ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
Az
Ay
Ax
A
R
z
N
y
N
x
N
t
C
Coordenadas cilíndricas
( )
υ
θ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
Az
A
Ar
A
R
z
N
N
r
rN
r
r
t
C 1
1
Coordenadas esféricas
( ) ( )
υ
φ
θ =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ
∂
∂
θ
+
θ
θ
∂
∂
θ
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
A
A
Ar
A
R
N
)
(
rsen
)
(
sen
N
)
(
rsen
N
r
r
r
t
C 1
1
1 2
2
Tabla 10. Ecuación de continuidad de a para ρ y DAB constantes.
Coordenadas rectangulares
υ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
A
A
A
AB
A
z
A
y
A
x
A
R
z
C
y
C
x
C
D
z
C
v
y
C
v
x
C
v
t
C
2
2
2
2
2
2
Coordenadas cilíndricas
υ
θ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
A
A
A
AB
A
z
A
A
r
A
R
z
C
C
r
r
C
r
r
r
D
z
C
v
C
r
v
r
C
v
t
C
2
2
2
2
2
1
1
1
Coordenadas esféricas
υ
φ
θ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ
∂
∂
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
∂
∂
θ
θ
∂
∂
θ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
φ
∂
∂
θ
+
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
A
A
A
AB
A
A
A
r
A
R
C
)
(
sen
r
C
)
(
sen
)
(
sen
r
r
C
r
r
r
D
C
)
(
rsen
v
C
r
v
r
C
v
t
C
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Ya deducidas las ecuaciones diferenciales que describen el proceso de difusión se
deben seleccionar las condiciones límites a las cuales deben ser resueltas. Para los casos de
régimen permanente, las condiciones límites a menudo encontradas son como las que se
mencionan (condiciones de borde).
Concentración en la superficie CA=CA1 en z=z1
El flujo de masa en una superficie
( )
∞
=
−
= A
A
c
z
z
AZ C
C
k
N 1
1 kC es el coeficiente de transferencia
de masa
3. Reacción química en la superficie para una reacción de primer orden
1
1
1
1 A
s
s
z
,
A
.
z
z
AZ C
k
R
N =
=
=

21
Difusión a través de una película de gas estancada
Estudiemos el caso en el que una columna de líquido (A) que se
evapora en el seno de una fase gaseosa. La concentración del
gas (A) varía desde la concentración de saturación en la interfase
(CA1) hasta el seno de una corriente gaseosa (CA2).
Aunque es sólo el componente A el que se evapora,
necesitamos información acerca de la transferencia de masa del
componente B. A continuación deduciremos las expresiones que
regulan el proceso de transferencia de masa a las condiciones
descritas.
Tradicionalmente cuando todos los componentes se
mueven a la misma velocidad, basta con la ecuación de
continuidad y las condiciones de borde adecuadas para describir el movimiento, sin embargo en
el caso en que los componentes se mueven a diferentes velocidades, debemos imponer alguna
relación adicional en la que se especifique el movimiento relativo de los componentes entre si o
con respecto a la mezcla. A continuación vamos a ver los dos casos límite mas estudiados,
contradifusión equimolar y difusión a través de una película estática.
4.1 Contradifusión equimolar
El caso de contradifusión equimolar es un caso límite, en el que se considera que cada mol de
A que difunde en una mezcla binaria es repuesto con un flujo de igual magnitud pero de signo
contrario de B. En este caso, para la geometría que estamos considerando, NAZ=-NBZ, de esta
forma el flujo convectivo de la mezcla será nulo.
Basados en la expresión de la ecuación de continuidad con difusión para este caso
(geometría crectangular) tenemos que
υ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
.
Az
Ay
Ax
A
R
z
N
y
N
x
N
t
C
Suposiciones
- Difusión en estado estacionario
0
=
∂
∂
t
CA
- Si no hay reacción química.

22
0
=
υ
A
.
R
- Si la transferencia de masa es sólo en la dirección z
0
=
∂
∂
=
∂
∂
y
N
x
N Ay
Ax
En ese caso la ecuación de continuidad quedará expresada de la siguiente forma
0
=
∂
∂
z
NAZ
Î cte
NAZ =
Es decir que bajo estas suposiciones, la conclusión es que el flujo de NA en la dirección
z es constante. Sustituyendo la expresión general para la estimación del flujo de A tenemos
( )
z
X
CD
x
N
N
N A
AB
A
BZ
AZ
AZ
∂
∂
−
+
=
Por ser contradifusión equimolar NAZ=-NBZ. Entonces:
z
C
D
N A
AB
AZ
∂
∂
−
=
(40)
Esta ecuación diferencial debe ser resuelta bajo las siguientes condiciones de borde.
CB1 CA(z=z1)=CA1 CB2 CA(z=z2)=CA2
Queda como
( )
2
1
1
2
A
A
AB
AZ C
C
z
z
D
N −
−
=
(41)
A la distancia z2-z1, se le conoce como trayectoria de difusión y generalmente se denota con la
letra δ.
( )
2
1 A
A
AB
AZ C
C
D
N −
δ
=
(42)
A la relación δ
AB
D
es lo que se le conoce como coeficiente de transferencia de masa y se
denota por la letra k. Es bien importante hacer notar que el coeficiente de transferencia de masa
se debe a dos cantidades: al coeficiente de difusión del sistema de estudio y a alguna
trayectoria de difusión que independientemente del arreglo geométrico de alguna forma debe

23
contabilizar el recorrido que realiza una molécula de A que difunde desde la concentración CA1
hasta la concentración CA2.
δ
= AB
´
c
D
k
[longitud2
tiempo-1
]
( )
2
1 A
A
´
c
AZ C
C
k
N −
=
Para líquidos
( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1 A
A
´
x
A
A
´
L
A
A
´
L
AZ x
x
k
x
x
Ck
C
C
k
N −
=
−
=
−
= (43)
Para gases a bajas presiones
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 A
A
´
y
A
A
´
G
A
A
´
G
A
A
´
c
A
A
´
c
AZ y
y
k
y
y
Pk
P
P
k
P
P
RT
k
C
C
k
N −
=
−
=
−
=
−
=
−
=
(44)
1.5 Difusión a través de una película estática
El segundo caso limite que se estudia es aquel en el que a difunde a través de un gas B
que permanece estático (NBZ=0). En ese caso y bajo las mismas suposiciones que en el caso A,
la ecuación de continuidad queda como:
0
=
∂
∂
z
NAZ
Î cte
NAZ =
Es decir que bajo estas suposiciones, la conclusión es que el flujo de NA en la dirección
z es constante. Sustituyendo la expresión general para la estimación del flujo de A tenemos
( )
z
X
CD
x
N
N
N A
AB
A
BZ
AZ
AZ
∂
∂
−
+
=
Por ser B estático NBZ=0. Entonces:
( )
z
C
D
x
N A
AB
A
AZ
∂
∂
−
=
−
1
(45)
Esta ecuación diferencial debe ser resuelta bajo las siguientes condiciones de borde.
CB1 CA(z=z1)=CA1 CB2 CA(z=z2)=CA2
( )
( )
2
1
1
A
A
M
A
AB
AZ C
C
x
D
N −
−
δ
=
(46)
Donde

24
( )
2
1 A
x
−
( ) ( ) ( )
( )
( )
BM
A
A
A
A
M
A x
x
x
ln
x
x
x =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
=
−
1
2
1
2
1
1
1
1
1
(47)
Para líquidos
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1
2
1
1
A
A
x
A
A
L
A
A
L
A
A
M
A
AB
AZ x
x
k
x
x
Ck
C
C
k
C
C
x
D
N −
=
−
=
−
=
−
−
δ
=
(48)
Para gases
( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1 A
A
BM
G
A
A
BM
´
c
A
A
BM
AB
AZ P
P
P
Pk
P
P
RTP
Pk
P
P
P
RT
PD
N −
=
−
=
−
δ
=
(49)
O bien
( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1 A
A
y
A
A
G
A
A
G
AZ y
y
k
y
y
Pk
P
P
k
N −
=
−
=
−
=
(50)
Tabla 11. Resumen de coeficientes de transferencia de masa.
Contradifusión equimolar
Difusión a través de una película
estática
Unid. Coef. Transf.
Masa
Flujo
Coef. Transf.
Masa
Flujo
Coef. Transf.
masa
Gases Gases
( )
2
1 A
A
´
C
A C
C
k
N −
=
δ
= AB
´
c
D
k
( )
2
1 A
A
C
A C
C
k
N −
=
BM
AB
C
P
PD
k
δ
=
mol
(tiempo)(área)(mol/vol)
( )
2
1 A
A
´
G
A P
P
k
N −
=
RT
D
k AB
´
G
δ
=
( )
2
1 A
A
G
A P
P
k
N −
=
BM
AB
G
RTP
PD
k
δ
=
mol
(tiempo)(área)(presión)
( )
2
1 A
A
´
y
A y
y
k
N −
=
RT
PD
k AB
´
y
δ
=
( )
2
1 A
A
y
A y
y
k
N −
=
BM
AB
y
RTP
D
P
k
δ
=
2 mol
(tiempo)(área)(fracción
mol)
Líquidos Líquidos
( )
2
1 A
A
´
L
A C
C
k
N −
=
δ
= AB
´
L
D
k
( )
2
1 A
A
L
A C
C
k
N −
=
BM
AB
L
x
D
k
δ
=
mol
(tiempo)(área)(mol/vol)
( )
2
1 A
A
´
x
A x
x
k
N −
=
δ
= AB
´
x
D
k
( )
2
1 A
A
x
A x
x
k
N −
=
BM
AB
x
x
CD
k
δ
=
Mol
(tiempo)(área)(fracción
mol)

25
EJERCICIOS
1. Se han investigado varios métodos para reducir la evaporación de agua de recipientes
grandes regiones semiáridas. Uno de los métodos que se ha aprobado es el de rociar una
sustancia química no volátil sobre la superficie del recipiente. En un intento por determinar la
eficiencia de este método, la superficie de un recipiente rectangular de 1 m x 5 m lleno con agua
se cubrió con una capa de la sustancia química de 0,002 m de grosor. En vista de que el agua y
el químico sólo son ligeramente miscibles, la velocidad de evaporación del agua se puede
determinar al calcular la difusión del agua a través de una película de la sustancia química
estática. Usando los datos que se dan abajo, calcule el coeficiente de transferencia de masa y
la velocidad a la cual se evapora. El coeficiente de difusión del agua a través de la película es
2,30 x10-9
m2
s-1
. La concentración del agua en la sustancia química en la interfase líquido-
líquido es CW1= 0,3 kgmol m-3. La concentración del agua en la sustancia química en la
interfase gas-líquido es CW2= 0,05 kgmol m-3
. Suponga que la densidad molar de la sustancia
química es 0,35 kgmol m-3
.
2. Se esta difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de
estado estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La presión total es 105 N m-2
y
la temperatura es 0 ºC. La presión parcial de oxígeno en dos planos separados por 2,0 mm es,
respectivamente, 13000 y 6500 N m2
. La difusividad para la mezcla es 1,87x10-5
m2
s-1
. Calcular
la rapidez de difusión del oxigeno en kgmol s-1
a través de cada metro cuadrado de los dos
planos.
3. Calcular la rapidez de difusión del ácido acético(A) a través de una película de agua, no
difusiva de 1 mm de espesor a 17 ºC, cuando las concentraciones en los lados opuestos de la
película son respectivamente 9 y 3% en peso de ácido. La difusividad del ácido acético en la
solución es 0,95 x10-9
m2
s-1
.
En una mezcla gaseosa de oxigeno-nitrógeno a 1 atm 25 ºC, las concentraciones del oxigeno
en dos planos separados 2 mm son 10 y 20% en vol., respectivamente. Calcular el flujo de
difusión del oxigeno para el caso en que:
a) El nitrógeno no se esta difundiendo.
R: 4,97x10-5 kgmol m-2
s-1
.
b) Existe una contradifusión equimolar de los dos gases.

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4. El H2S sale en condiciones normales de la refinería a una concentración de 1,0x10-5
kgmol m-
3
. Un día en particular, la torre de absorción encargada de extraerlo de las corrientes gaseosas
de proceso se daña, razón por la cual, el gas que es desechado a la atmósfera sale a una alta
concentración de H2S (x= 0,051). Los límites máximos permitidos de H2S son 1,0x10-3
kgmol m-
3
de sin causar daños a la salud. Si el poblado mas cercano está a 1 Km, y el flujo por unidad de
área que sale de la torre es de 1,45x10-10
kgmol m2
s-1
, formule un modelo que le permita
determinar la concentración de H2S en las cercanías del pueblo, para ver si hay o no riesgo de
daños a la salud de los habitantes.
Suponga que hay transferencia de masa sólo por difusión en la dirección x, y que el flujo
de masa se relaciona con la diferencia de concentraciones por una relación de contradifusión
equimolar. El coeficiente de difusión del H2S en aire es de 8,1 x 10-5
m2
s-1
. Las condiciones
ambientales son P= 1 atm y T= 300 K.

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BIBLIOGRAFÍA
- C. J. Geankopolis. Procesos de transporte y operaciones unitarias. Operaciones Unitarias.
Compañía editorial continental. 1995.
- R. B. Bird, W.E. Stewart y E. N. Lightfoot. Fenómenos de transporte. Editorial Reverté, México,
1998.
- Hines A. y Maddox R., Transferencia de masa, Fundamentos y aplicaciones. Prentice-Hall
Hispanoamericana, México 1987.

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