Este documento describe los pasos para realizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov para determinar si una serie de datos se ajusta a una distribución de probabilidad específica. Explica cómo calcular las probabilidades observadas y esperadas acumuladas, el estadístico de prueba, y compararlo con un valor crítico para determinar si se puede rechazar la hipótesis nula de que los datos se ajustan a la distribución propuesta. Luego aplica estos pasos para determinar que los datos de tiempo entre roturas de un filamento se a

1. Clase 2

2.  Desarrollada en la década de los treinta del siglo xx, esta prueba permite al igual que
la prueba Chi-cuadrada determinar la distribución de probabilidad de una serie de
datos. Una limitante de la prueba de Kolmogorov-Smirnov estriba en que solamente
se puede aplicar al análisis de variables continuas.

3.  El procedimiento general de la prueba es:
 Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar.
 Calcular la media y la varianza de los datos.
 Crear un histograma de 𝑚 = 𝑛 intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada
intervalo 𝑂𝑖.
 Calcular la probabilidad observada en cada intervalo 𝑃𝑂𝑖 = 𝑂𝑖/𝑛 , esto es, dividir la
frecuencia observada 𝑂𝑖 entre el número total de datos, n.
 Acumular las probabilidades 𝑃𝑂𝑖 para obtener la probabilidad observada hasta el i-esimo
intervalo, 𝑃𝑂𝐴𝑖

4.  El procedimiento general de la prueba es:
 Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad
que se ajuste a la forma del histograma.
 Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada intervalo, 𝑃𝐸𝐴𝑖, a partir de la función
de probabilidad propuesta.
 Calcular el estadístico de prueba:
 𝑐 = 𝑚á𝑥 𝑃𝐸𝑖 − 𝑃𝑂𝐴𝑖 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘, … , 𝑚

5.  El procedimiento general de la prueba es:
 Definir el nivel de significancia de la prueba 𝛼, y determinar el valor crítico de la prueba, 𝐷 𝛼,𝑛
(consulte la tabla de valores críticos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov).
 Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor
que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

6.  Un estudio del comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento, medido
en minutos/rotura, se muestra a continuación:

7.  Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia 𝛼 de 5 %.
 El histograma (vea la figura 4) de los n = 50 datos con m = 8 intervalos, la media
muestral de 4.7336 y la varianza muestral de 12.1991 permiten estimar un parámetro
de forma de 1.38 y un parámetro de escala de 5.19, y establecer la hipótesis:
 𝐻 𝑜: 𝑊𝑒𝑖𝑏𝑢𝑙𝑙 (𝛼 = 1.38, 𝛽 = 5.19) minutos/rotura
 𝐻1: 𝑂𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛

9.  Iniciamos el procedimiento calculando la probabilidad observada en cada intervalo:
 𝑃𝑂𝐴𝑖 =
𝑂 𝑖
𝑛
=
𝑂 𝑖
50
=
12
50
,
25
50
,
34
50
,
40
50
,
46
50
,
48
50
,
49
50
,
50
50
 para después calcular la probabilidad observada acumulada hasta el intervalo 𝑖.
 𝑃𝑂𝐴𝑖 =
𝑂 𝑖
𝑛
=
𝑂 𝑖
50
=
12
50
,
25
50
,
34
50
,
40
50
,
46
50
,
48
50
,
49
50
,
50
50
= 0.24,0.50, … , 1

10.  Posteriormente calculamos la probabilidad esperada acumulada de cada intervalo
𝑃𝐸𝐴𝑖 a partir de la función de probabilidad acumulada de Weibull:
 𝐹 𝑥 = 0
𝑥
𝛼𝛽−𝛼
𝑥 𝛼−1
𝑒
−
𝑥
𝛽
𝛼
𝑑𝑥
 𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒
−
𝑥
𝛽
𝛼
 𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒
−
𝑥
5.19
1.38

11.  Por ejemplo, para el interval con el limite superior de 8:
 𝑃𝐸𝐴8 = 𝐹 𝑥 = 8 = 1 − 𝑒
−
𝑥
5.19
1.38
=0.8375
 Por ultimo calculamos el estadístico de prueba
 𝑐 = 𝑚á𝑥 𝑃𝑂𝐴𝑖 − 𝑃𝐸𝐴𝑖 = 𝑚á𝑥 0.24 − 0.2353 , 0.50 − 0.5025 , … , 1 − 1 = 0.0375

12.  A partir de los cálculos anteriores se obtiene la tabla 2
Intervalo 𝑶𝒊 𝑷𝑶𝒊 𝑷𝑶𝑨𝒊 𝑷𝑬𝑨𝒊 𝑷𝑶𝑨𝒊 − 𝑷𝑬𝑨𝒊
0-2 12 0.24 0.24 0.23526 0.0047
2-4 13 0.26 0.50 0.50247 0.0025
4-6 9 0.18 0.68 0.70523 0.0252
6-8 6 0.12 0.80 0.83747 0.0375
8-10 6 0.12 0.92 0.91559 0.0044
10-12 2 0.04 0.96 0.95839 0.0016
12-14 1 0.02 0.98 0.98042 0.0004
14-8 1 0.02 1.00 1 0.0000
Total 50 1 c 0.0375

13.  El valor del estadístico de prueba, c = 0.0375, comparado con el valor de tablas críti-
co, 𝐷0.05,50 = 0.1923, indica que no podemos rechazar la hipótesis de que la variable
aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Weibull con parámetro de
escala 5.19 y parámetro de forma 1.38.