Curso de Investigación de Operaciones II

1. Quinta Semana

2. Proyecto
• Es una secuencia bien definida de
eventos (actividades) con un principio y un
final, dirigidos a alcanzar un objetivo claro,
y realizados por personas dentro de unos
parámetros establecidos, tales como
tiempo, costo, recursos y calidad.

3. Ejemplos
• Edificar una casa
• Desarrollo de un centro comercial
• Desplazarse a una nueva ubicación.
• Desarrollar un nuevo juguete.
• Producir una revista mensual.
• Generar los horarios de clase de una
facultad.

4. Administración de Proyectos
• El objetivo de la administración de
proyectos consiste en administrar la
planeación, programación y control en la
ejecución de un proyecto, por lo que no
implica optimización.

5. Técnicas para Administrar un
Proyecto
• Las técnicas más usadas son:
• PERT / CPM

6. PERT
• P = Program
• E = Evaluation
• R = Review
• T = Technique

7. CPM
• C = Critical
• P = Path
• M = Mathod

8. Fases de un Proyecto
• Planeación
• Programación
• Control

9. Planeación
• Inicia descomponiendo el proyecto en
actividades, determinando el nivel de
precedencia entre actividades y estimando el
tiempo de ejecución para cada actividad.
• El primer objetivo de esta fase es construir la
“red de actividades”, para luego aplicar la
técnica de la ruta critica, determinando así el
tiempo esperado para llevar a cabo el proyecto.

10. Programación
• En esta fase se calculan el “tiempo más
próximo de inicio” y “tiempo más lejano de
termino”, además se calcula las holguras
correspondientes a cada actividad.

11. Control
• En esta fase se hace uso de la red y la
gráfica de tiempos para elaborar reportes
periódicos del progreso de la ejecución del
proyecto.
• Puede incluir un nuevo programa en
relación con las actividades que faltan
ejecutarse.

12. La red del Proyecto
• Es la red usada para representar a un
proyecto.
• Consiste de un cierto número de nodos
(mostrados como círculos o rectángulos) y
arcos (mostrados como flechas) que van
de un nodo a otro.

13. Datos que describen un Proyecto
• Información de la actividad: se desglosa el
proyecto en sus actividades individuales
(el nivel de detalle lo decide el usuario).
• Relaciones de precedencia: se indican los
predecesores inmediatos cada actividad.
• Datos de tiempo: se estima la duración de
cada actividad.

14. Tipos de redes
• Actividades en los arcos (AOA): cada
actividad está representad por un arco.
• Actividades en los nodos (AON): cada
actividad se representa por un nodo
(actualmente la más usada).

15. Representación de la red

16. La Actividad
TPI
TLI
TPT
TLT
Act, d Leyenda:
Act: Nombre de la actividad
d: Duración de la actividad
TPI: Tiempo más próximo de inicio
TPT: Tiempo más próximo de término
TLI: Tiempo más lejano de inicio
TLT: Tiempo más lejano de termino

17. Precedencia
• Las actividades A y B
deben iniciar su
ejecución cuando se
termino la ejecución
de la actividad C.
C, 8
A, 10
B, 12

18. Precedencia
• La actividad C debe
ejecutarse cuando las
actividades A y B
terminan de
ejecutarse.
A, 9
B, 14
C, 16

19. Precedencia
• La actividad B se
inicia cuando la
actividad A concluya
se trabajo.
A, 12 B, 9

20. Ejemplo de Aplicación
Actividad Tiempo en Semanas Precedencia
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
4
5
3
3
6
1
5
4
2
4
A < D, F
B < E, G, H
C < G, H
D <= E
E <= I
F <= J
G <= I

21. Las precedencias
A,4
D,3
F,1
B,5
INICIO,0 E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
A < D, F
B < E, G, H
C < G, H
D <= E
E <= I
F <= J
G <= I

22. TPI: Tiempo más próximo de inicio
A,4
D,3
F,1
B,5
INICIO,0 E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
0
0
0
0
4
4
5
5
5
7 13 15

23. TPT: Tiempo más próximo de término
A,4
D,3
F,1
B,5
INICIO,0 E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
0
0
0
0
4
4
5
5
5
7 13 15
0
4
5 9
15
15
13
7
10
5
3 9

24. TLT: Tiempo más lejano de término
A,4
D,3
F,1
B,5
INICIO,0 E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
0
0
0
0
4
4
5
5
5
7 13 15
0
0
4
5 9
15
15
13
7
10
5
3 9
0
4
11 15
15
15
13
7
13
7
15
8

25. TLT: Tiempo más lejano de inicio
A,4
D,3
F,1
B,5
INICIO,0 E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
0
0
0
0
4
4
5
5
5
7 13 15
0
11
4
5 9
15
15
13
7
10
5
3 9
0
4
11 15
15
15
13
7
13
7
15
8
0 15
13
7
4
10 11
8
2
5
0

26. Tiempo más próximo de inicio (TPI)
• El TPI de una actividad es el tiempo más
cercano en que es posible iniciar su ejecución.
• El TPI de la actividad INICIO es 0 (cero).
• Para las demás actividades se usa la siguiente
formula:
TPI(j) = Máx {TPI(i) + d(i)}, i < j

27. Nota Importante
• El TPI del último evento (actividad) nos da
el tiempo total de ejecución de del
programa.

28. Tiempo más próximo de término TMT
• Se calcula de la siguiente manera:
TPT(i) = TLI(i) + d(i)

29. Tiempo más lejano de término (TLT)
• El TLT de una actividad es el tiempo más lejano
en que es posible iniciar su ejecución.
• El TLT del evento (actividad) FIN es igual al TPI
de este (evento) actividad.
• Para las demás actividades se usa las siguiente
fórmula:
TLT(i) = Mín {TLI(j) – d(j)} , i < j

30. Tiempo más lejano de Inicio (TLI)
• El TLI de una actividad se calcula de la
siguiente manera:
TLI(i) = TLT(i) - d(i)

31. Use la nueva forma y haga su
red

32. Holguras
• Holgura Libre: es el tiempo adicional al
programado que posee una actividad,
cuyo uso no afecta al TPI de las
actividades que siguen a su ejecución.
• Holgura Total: Si por algún motivo se una
toda la HT de una actividad, es posible
que los TPI de las actividades que siguen,
sufran variaciones.

33. Cálculos de las Holguras
• Holgura Libre:
HL(i) = MIN {TPI(j) – TPT(i)} i < j
• Holgura Total:
HT(i) = TLI(i) – TPI(i) = TLT(i) – TPT(i)

34. Actividades no críticas
• En todo proyecto, cuando una actividad
tiene HT > 0, se dice que esa actividad es
NO CRÍTICA.

35. Actividades Críticas
• En todo proyecto, cuando una actividad
tiene HT = 0, se dice que esa actividad es
CRÍTICA.

36. Ruta Crítica
• Es el camino formado por las actividades
críticas.
• Este camino se inicia en el nodo INICIO y
termina en el inicio FIN.
• El tiempo de duración de la ruta crítica es igual
al tiempo de duración de todo el proyecto.
• Un proyecto puede tener más de una ruta
crítica.

37. Determinar la Ruta Crítica del
proyecto dado

38. El Caso Probabilístico

39. Introducción
• La parte anterior se ha tratado solamente con
actividades de duración fija (caso
determinístico).
• No siempre es posible predecir la duración de
las actividades, es decir existe incertidumbre en
la duración de las actividades.
• Para este caso es conveniente usar la técnica
de la evaluación y control de proyectos PERT.

40. La base de la duración
• El tiempo de ejecución de una actividad se
halla a partir de tres estimaciones:
– o: estimación optimísta
– m: estimación más probable, y
– p: estimación pesimista,

41. Cálculo de la duración
• Con estas tres estimaciones se calcula el
tiempo esperado de la actividad “i”.
ui = (oi + 4*mi + pi)/6

42. Su significado
• El tiempo esperado o medio para la
actividad indica el tiempo de duración de
una actividad con la mayor aproximación
de acertar.

43. La incertidumbre
• La medida para expresar la incertidumbre
es la varianza (si
2).
• Esta varianza indica el riesgo de no
acertar la duración media calculada de la
actividad.
 si
2 = ( pi –oi) / 62

44. Notas
• Cuanto más pequeño sea el valor de la
varianza mayor será la confianza que se
puede tener en la cifras de la duración
esperada.

45. Ejemplo
Activi-
dad
Nombre
Prece-
dencia
Tiempo (semanas)
Opti-
mista
Más
proba-
ble
Pesi-
mista
A Detener operaciones de la línea --- 1 2 9
B Preparación del suelo A 2 3.5 8
C
Preparación del sistema
eléctrico
A 4 4 10
D Calibración del nuevo equipo B, C 1 2 3
E Conexión del nuevo equipo B, C 1 2 9
F Pruebas y arranque final D, E 1 3.5 3

46. Determine la ruta crítica y las
respectivas holguras

47. Nota Importante
• El Teorema del Límite Central establece
que: “la suma de “n” variables
aleatorias independientes se ajusta a
una Distribución Normal con:
– Promedio: μ = μ1 + μ2 + μ3 + … + μn
– Varianza: σ 2 = σ1
2 + σ2
2 + σ3
2 + … + σn
2 “

48. Para el problema dado
• Aplicando Teorema del Límite Central:
–La duración del proyecto se ajusta a
una Distribución Normal con:
• Promedio: μA + μC + μE + μF =
3 + 5 + 3 + 3 = 14 semanas.
• Varianza: sA
2 + sC
2 + sE
2 + sF
2 =
1.778 + 1 + 1.778 + 0.111 = 4.667
semanas.

49. Nota Importante
• Si existiera más de una ruta crítica, se
calcula la varianza de cada ruta crítica y
se elige la mayor.

50. Estimación de las probabilidades
en el cumplimientos de la duración
total del proyecto
• Si deseamos conocer la probabilidad de que el
proyecto termine antes o después del tiempo
calculado (T) se aplica la siguiente formula:
z = (Td – T) , s2
Td: Tiempo deseado,
z: Factor de probabilidad (Tabla de Distribución
Normal).

51. Ejercicio
• Para nuestro ejemplo:
– Determine la probabilidad de que el proyecto
se termine a las
• A) 17semanas
• B) 14 semanas
• C) 12 semanas.
– Determine el tiempo de finalización del
proyecto con un 90% de probabilidades.

52. Otras preguntas (1)
• Se ha establecido
una política de multas
al contratista como s
muestra en la tabla
adjunta:
• Se pide hallar el valor
esperado de la multa.
Entre 14 y 16
semanas
$ 1000
Entre 16 y 18
semanas
$ 2000
Más de 18
semanas
$ 3000

53. Otras preguntas (2)
• La actividad D requiere de un técnico
especializado que llegará en la semana 9.
¿Cuál es la probabilidad que se requiera
de ese técnico antes?

54. Nota
• Estas preguntas se dejan como ejercicio,
si no se resuelven, se resolverán en la
próxima clase.

55. Solución de los Problemas (1)
• Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 14
semanas”
• Sabiendo que la duración del proyecto ≈
Normal (14, 4.667), entonces:
    5
.
0
0
667
.
4
14
14
14 















 


 Z
P
Z
P
X
P

56. Solución de los Problemas (2)
• Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 12
semanas”
• Sabiendo que la duración del proyecto ≈
Normal (14, 4.667), entonces:
    334
.
0
4285
.
0
667
.
4
14
12
12 
















 


 Z
P
Z
P
X
P

57. Solución de los Problemas (3)
¿Qué plazo de entrega debe ofrecerse para
tener un 90% de probabilidad de cumplir?
Lo que se pide es P( duración del Py ≤ Plazo) =
0.90
0.90
Plazo
semanas
Plazo
Plazo
Z
Plazo
76
.
16
28
.
1
667
.
4
14
667
.
4
14
90
.
0






58. Solución de los Problemas (4)
• Sea X = “Duración del Proyecto” ≈ Normal (14,
4.667). Para hallar el valor esperado, primero se
hayan las probabilidades para cada tipo de
multa (la suma de estas probabilidades debe ser
igual a 1):
0.50 0.32 0.15 0.03
14 16 18
Esperanza = 0 x 0.5 + $1000 x 0.32
+ $2000 x 0.15 + $3000 x 0.03
Esperanza = $ 710

59. Solución de los Problemas (5)
Sobre el técnico:
Se pide: P(D requiera técnico antes de la semana 9)
Es decir: P(Inicio más temprano de D ≤ 9)
El inicio más temprano de D ≈ Normal con:
• Promedio = ITD = 8 semanas
• Varianza = Máximo { (σ2A + σ2C) , (σ2A + σ2B + σ2f 1 ) } = 2.778
– Entonces:
  726
.
0
60
.
0
778
.
2
8
9
















 
 Z
P
Z
P

60. Gracias

61. Relación entre la duración y el
costo del proyecto

62. Un problema
Actividades Precedencia Duración
A --- 6
B A 5
C --- 7
D C 6
E B, C 10
Hagan la red

63. Consideraciones
• El tiempos dado en la tabla para cada actividad
es el llamado tiempo normal.
• Existe un tiempo mínimo de duración de cada
actividad (llamado tiempo de quiebre)
• Existe un costo por ejecutar la actividad en el
tiempo normal (llamado costo normal)
• Existe un costo por ejecutar la actividad en el
tiempo de quiebre (llamado costo de qiebre)

64. Gráficamente
(Curva de Costos)
Tiempo
Tiempo
Normal
Tiempo
De quiebre
Costo de
Quiebre
Costo
Normal
Costo
(Tiempo de Quiebre, Costo de
Quiebre)
(Tiempo Normal, Costo Normal)
Actividad

65. Conclusión
• Al reducir la duración de la actividad su
costo sube.
• La pregunta es: ¿en cuanto sube?

66. Respuesta
• El costo por unidad de tiempo reducida se
calcula por medio de la formula de la
pendiente:
Costo Normal – Costo de Quiebre
m =
Tiempo Normal – Tiempo de Quiebre

67. Nota
• Esta pendiente sale negativa, por la
inclinación de la curva de costos.
• Para efectos de proyectos nos interesa
solo el valor absoluto.

68. Para nuestro ejemplo
Activ. Durac. Tiempo
Normal
Tiempo
De Quie.
Costo
Normal
Costo
De Quieb
A 3 1 1000 4000
B A 5 2 2000 6000
C 7 3 4000 7200
D C 6 2 3000 6500
E B,C 10 5 8000 12000

69. El costo del proyecto
• Para calcular el costo del proyecto se
usan los costos normales.
• Se deben sumar todos los costos
normales, no solo los de a ruta crítica.
• Para nuestro ejemplo el costo es: 18000

70. Para la actividad A
• Determinación del costo de reducción
para la actividad A:
1000 - 4000
m =
3 - 1
m = - 1500 entonces m = 1500

71. El costo de reducción para las
otras actividades
Actividad Costo de reducción
A 1500
B 1333.33
C 800
D 875
E 800

72. La reducción en el proyecto
• Hacer el ejercicio manual en pizarra

73. Usando Programación Lineal
• Variables: Cuanto reducir cada actividad
• Función Objetivo: Minimizar la reducción
de las variables
• Restricciones:
– Reducción máxima
– De tiempo de inicio
– De la duración del proyecto

74. Para el problema (1)
• Variables de Decisión:
– CA: Lo que se va a reducir la actividad A
– CB: Lo que se va a reducir la actividad B
– CC Lo que se va a reducir la actividad C
– CD: Lo que se va a reducir la actividad D
– CE: Lo que se va a reducir la actividad E

75. Para el problema (2)
• Restricciones de reducción máxima:
CA <= 2
CB <= 3
CC <= 4
CD <= 4
CE <= 5

76. Para el problema (3)
• Restricciones de Tiempo de Inicio.
IA >= 0, no tiene precedentes
IB >= IA + DUR(A) – CA, la precedencia es A
IC >= 0
ID >= IC + DUR(C) – CC
IE >= IB + DUR(B) – CB
IE >= ID + DUR(D) – CD, E tiene dos
precedencias B y D.

77. Para el problema (4)
• Restricción de la duración del proyecto:
IFIN <= 23
Con este valor el costo saldrá “0”, pues no
necesita reducirse, a partir de aquí
cambiamos este valor por la duración que
deseamos.

78. Para el problema (5)
• Función objetivo:
Min = 1500*CA + 1333.33*CB + 800*CC +
875*CD + 800*CE

79. Nota
• El costo obtenido debe sumarse al costo
del proyecto, pues es un incremento es
este.

80. El modelo en Lingo
• MODEL:
• ! SE DEBEN DE CONSIDERAR LAS ACTIVIDADES IP Y FP, INICIO Y FIN DEL PROYECTO;
• ! SUS PARAMETROS TIENEN VALOR DE 0;
• SETS:
•
• ACT/IP A B C D E FP/:C, DUR, MC, IR,CR;
• PREC(ACT, ACT)/IP,A IP,C A,B C,D B,E D,E E,FP/;
• ! C = CUANTO SE VA A REDUCIR LA ACTIVIDAD;
• ! IR = INICIO MAS TEMPRANO DE LA ACTIVIDAD;
• ! EN EL CONJUNTO DERIVADO SOLO SE ENUNCIAN LOS PARES QUE TENGAN LA CORRESPONDENCIA "ES PRECEDENTE DE ";
• ENDSETS
• DATA:
• MC = 0 2 3 4 4 5 0; ! MC = MAXIMA REDUCCION QUE SE PUEDE HACER A LA RESTRICCION;
• DUR = 0 3 5 7 6 10 0; ! DUR = DURACION DE LA ACTIVIDAD;
• CR = 0 1500 1333.33 800 875 800 0; ! CR = COSTO POR UNIDAD DE REDUCCION (PENDIENTE POSITIVA);
• ENDDATA
•
• MIN = @SUM(ACT:CR*C);
• @FOR(ACT:C <= MC);
• @FOR(PREC(I,J):IR(J) >= IR(I) + DUR(I) - C(I));
• IR(7) <= 20;
• END
A,4
D,3
F,1
B,5
E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
A < D, F
B < E, G, H
C < G, H
D <= E
E <= I
F <= J
G <= I
A,4
D,3
F,1
B,5
E,6
G,5
H,4
C,3
I,2
J,4
FINAL,0
A < D, F
B < E, G, H
C < G, H
D <= E
E <= I
F <= J
G <= I