Este documento describe las formas indeterminadas que aparecen en los límites de funciones, como 0/0, ∞/∞, 0×∞. Explica que estas expresiones no pueden evaluarse directamente y requieren métodos como la regla de L'Hôpital, que usa derivadas para evaluar tales límites indeterminados. También presenta ejemplos como el cálculo de límites de la forma 1∞ y 00 usando la regla de L'Hôpital de manera repetida.

1. DanielaGil:19.590.464
Formas Indeterminadas
En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica
que involucra límites del tipo:
0
0
,
∞
∞
, 0. ∞,1∞
, 00
, ∞0
, +∞ − ∞
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto
del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis
real.
Interpretación
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a
algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede
no existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente indeterminado
La forma 0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se
acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En
cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se
evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando
informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir
otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que
la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

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Ejemplos:
La forma ∞/∞Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales,
tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos
casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que
se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta
indeterminación pueden aplicarse métodos tales
como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:
Regla de L´Hospital
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de
l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli, es una regla que usa derivadas para ayudar
a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo
XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 -1704), quien dio a
conocer la regla en su obra Analyse des infinimentpetitspourl'intelligence des
lignescourbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial,
aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue
quien la desarrolló y demostró.

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Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de
Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo o .
Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en
(a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.
Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual
a L. Por lo tanto,
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de
reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice
que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las
funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede
aplicarse n veces:

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En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es
así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se
conoce como regla de L´Hopital.
Teorema:Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto
posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x a en I,
g`(x) 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y
límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x
tiende a "a" del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe,
entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo valor.
Producto indeterminado
La forma indeterminada 0 • ∞
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar
ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente
a una forma indeterminada del tipo . Para resolver esta indeterminación

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pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios
conjugados.
Potencia indeterminada
 La forma 00
 La forma ∞0
 La forma 1∞
Ejemplo: el siguiente límite
, es de la forma ; considerando y tomando logaritmos en
ambos miembros resulta
aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital,
se obtiene
de manera que el límite sería