CONCEPTOS BASICOS DE MATEMATICA FINANCIERA

1. CAPITULO I
CONCEPTOS BASICOS E INTERES
El filósofo Adam Smith nacido (1723-1790) en Escocia, fue el primero en describir los
principios del Sistema económico capitalista; estos fueron descritos claramente en el
clásico de la economía “Investigación sobre la naturaleza y causas de la riqueza
de las naciones” (editado en 1776), básicamente Smith quiso demostrar que en la
búsqueda de su interés personal, se alcanza el objetivo individual y con ello en
condiciones de laissez-faire1
y de librecambio2
se logra la mayor producción posible
generando el bienestar de la sociedad.
Es decir, sin la intervención del estado el individuo busca maximizar su bienestar,
utilizando de la mejor forma sus recursos. Este principio, se denomina soberanía del
consumidor; solo con el se logra eficiencia y competitividad.
Importancia del interés.
Es lógico que si prestamos una cantidad de dinero en efectivo, que en este libro será
llamado Capital3
o Valor Actual, es solo con la promesa de recibir un capital mayor en
un periodo posterior de tiempo; para ello dichos capitales deban ser valuados como
iguales para el dueño del dinero.
A la diferencia de valor entre ambas cantidades se le llamara interés, el aumento del
dinero es lógico por que su sacrificio presente debe adicionarle al dueño el valor del
dinero por el tiempo prestado o Interés.
Es así que como por el uso o préstamo de cualquier bien, debemos de pagar un
alquiler; por el dinero que nos prestan debemos de pagar también un interés. Así como
la teoría económica nos indica costear y pagar el costo de oportunidad de los factores
de producción, por el dinero en efectivo usado como parte del capital necesario para la
realización de cualquier proyecto, también se le debe de pagar su interés.
El pago del interés por el uso del dinero prestado tiene profundo arraigo en el sistema
económico en que vivimos, y tiene importancia fundamental en nuestra civilización.
Todo el sistema financiero y crediticio mundial descansa sobre este concepto básico:
• Los ingresos de los bancos, se derivan de préstamos e inversiones.
• La bolsa de valores negocia todos los días su importante lista de títulos
• Las compañías y hoy hasta personas naturales que prestan dinero con o sin
hipoteca o garantías.
• Las compañías de seguros y las de inversionistas.
1
En castellano dejar hacer, indica la política de no intervención del estado en asuntos
económicos, propugnado la libre competencia y las preferencias naturales de los consumidores
como los motores del sistema capitalista que permiten alcanzar la prosperidad y la libertad.
2
Política comercial que propugna la libertad de comercio entre los países, y se opone al
proteccionismo. Se privilegia la competencia entre los países.
3
En Matemáticas Financieras es solo dinero en efectivo, entiéndase soles, dólares o euros. En
forma amplia el capital en otros temas se puede referir a los edificios, la maquinaria y otras
herramientas utilizadas para producir en el futuro bienes y servicios destinados al consumo.
1

2. • Cualquier empresa que vende electrodomésticos, casas o autos.
Todas ellas son empresas que desaparecerían si no existiera una reglamentación que
reconociera e hiciera cumplir la obligación de pagar por el uso del dinero tomado en
préstamo. Sin el interés no se conciben los negocios.
Hoy en día su uso es cada vez más importante, por que nos imparte los conceptos
básicos para evaluar técnicamente la rentabilidad de los recursos, tanto privada como
social. Mas aun hoy en día por la mayor crisis financiera internacional por su magnitud
e importancia en el contexto de una economía globalizada.
La evaluación privada tan importante por que le indicara al inversionista particular la
rentabilidad que obtendrá por su inversión, y por ello la conveniencia o no de ella; al
compararla con su costo de oportunidad.
El estado asigna los recursos escasos en especial los monetarios, mediante la llamada
evaluación social de proyectos; donde mediante la reglamentación del SNIP (Sistema
Nacional de Inversión Publica) se ponderan proyectos de acuerdo a los intereses de la
sociedad.
CONCEPTOS BASICOS
El costo de oportunidad del capital
Si tenemos una cantidad de dinero (capital) lo gastamos en satisfacer una necesidad,
o lo invertimos (puede ser en ahorro) siempre y cuando la compensación económica
por ello, sea mayor o igual a la mejor opción que dejamos de aprovechar.
Aclaremos el concepto, para eso utilizaremos la conversación de Víctor y Alfredo dos
amigos que tienen claros conocimientos de finanzas:
Víctor: Hola Alfredo
Alfredo: Hola Víctor
Víctor: Que gusto de verte, justo voy al banco ha depositar mis $ 100; y quería
que me aconsejaras sobre depositarlos en el banco que están
ofreciendo la mejor tasa del mercado que es la del 8% en depósitos
Alfredo: Si Víctor, 8% en depósitos es una muy buena tasa; hasta donde yo se
es la mas alta del mercado.
Víctor: Si, yo también se que es la mas alta del mercado.
Alfredo: Pero si me los prestas yo te los voy ha pagar, por que deseo invertir en
bolsa, en acciones de empresas mineras que extraen oro; que en estos
momentos por efectos de la crisis internacional se que es la inversión
mas segura en la BVL4
.
Víctor: Caramba Alfredo, si me pagas el 8% de interés y yo te conozco de
muchos años como una persona correcta y que realiza muchos
negocios rentables por tus altos conocimientos de las finanzas, me seria
4
Bolsa de Valores de Lima.
2

3. indiferente guardar la plata en el banco o prestártelos. Seguro después
debemos de brindar con las ganancias.
Alfredo: Ya Víctor, gracias por tu confianza, pero tu sabes que en todos los
negocios que he realizado, siempre he cumplido mi palabra.
Víctor: Correcto doctor creo que estamos de acuerdo.
Bien, observamos que Víctor tiene $ 100 y tiene la lógica decisión de depositarlos en
el banco5
; el banco le ofrece pagar una tasa de interés del 8% anual. Su gran amigo
Alfredo le pide que le haga el favor de prestarle su dinero por el tiempo de un año, es
lógico que por ese préstamo luego del periodo de un año se le devuelva los $ 100
prestados y que además por lo menos se le pague el 8% de interés de dicho dinero o
capital prestado que es el costo de oportunidad del capital, o sea $ 8 al año por cada
uno de los $ 100 prestados.
Si Víctor no deposita los $ 100 en el banco, indudablemente el 8% que el banco ofrece
pagar con toda seguridad, no lo podría cobrar si se lo presta a Alfredo, es lo que deja
de ganar; este es el llamado costo de oportunidad por los economistas. Alfredo debe
de pagarle como mínimo su capital de $ 100 prestado y los $ 8 que el banco le pagaría
por depositarlos como interés; en total Alfredo debería de devolverle $ 108 como
mínimo y si le paga algo mas, por ejemplo $110 por algún riesgo o imponderable
realmente Alfredo seria un buen amigo6
.
EL CRÉDITO
El crédito es el término utilizado en el comercio y las finanzas que se refieren
específicamente a las transacciones económicas, donde ya se obtuvo el bien o
servicio, pero que implican una transferencia de dinero que se devolverá solo
luego de transcurrido el horizonte temporal7
. Por lo tanto, el que transfiere el
dinero se convierte en acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito
y deuda reflejan para esa transacción las dos caras de una misma moneda.
Pero la pregunta de rigor es por que nos debe interesar el crédito, o sea la
posibilidad del financiamiento de los costosos bienes de capital que usualmente
son la razón de la inversión.
Otra pregunta seria si tenemos el dinero para poder dar cobertura a la compra del
bien del capital, ¿por que accede al crédito para su compra?.
Fuentes de financiamiento
En general, las fuentes de financiamiento pueden agruparse en: vía deuda y
vía capital propio.
5
Lo opción alternativa seria guardarlos debajo del colchón, cosa que no es muy razonable.
6
Realmente si se le paga $ 110, seria un adicional de $ 2 por el riesgo e incertidumbre de esta
decisión, ya que el flujo económico se recibirá en el futuro y este es incierto.
7
Horizonte temporal es la suma de todos los periodos; es el total de tiempo transcurrido.
3

4. Las fuentes de financiamiento vía deuda se caracterizan por el pago de
intereses como por ejemplo, los pagarés bancarios, el crédito de proveedores,
la emisión de bonos, etc.
Las fuentes de financiamiento vía capital propio son básicamente 3: emisión de
acciones, aporte de accionistas y las utilidades retenidas.
Un concepto muy importante trata de la diferencia entre punto 1 y periodo uno,
comúnmente se cree que son iguales. Esto es un concepto errado:
El concepto que se debe de revisar es el de Horizonte Temporal: Se representa
por una línea recta horizontal en la cual las unidades de tiempo son
consideradas como segmentos de esta recta.
Periodo 1
1
Periodo 2 Periodo n
0 1 2 n-1 n
Inicio del
periodo 1
Final del
periodo
n, y del
horizonte
Inicio del
periodo 3
o final del
periodo 2
Inicio del
periodo 2
o final del
periodo 1
Al hablar del primer periodo, nos referimos al espacio de tiempo transcurrido
desde el punto cero hasta el punto 1. El punto cero lógicamente es el inicio del
horizonte, y allí generalmente se realiza la inversión. Generalizando el ene-
esimo periodo empieza en el punto n-1 y termina en el periodo n.
Definición de la tasa de interés
Se entiende por tasa de interés (i) al rendimiento porcentual generado por un capital o
a su variación porcentual por unidad de tiempo.
Definición Matemática de la tasa de interés
Tasa de Interés =
12
1
2
12
1
12
tt
1
C
C
tt
C
CC
t
C%
i
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
Definición Matemática del interés
t
C
IInteres
∆
∆
==
Interés es la variación del capital por cada unidad de tiempo. Es la razón de cambio
del capital con respecto a una unidad del tiempo. Es la razón de cambio del capital en
una unidad del tiempo.
Problema 1.- Un capital de S/. 100 nuevos soles se deposita en una cuenta de
ahorros en el Fiecsbank, y luego de un año recibe S/. 110 nuevos soles. Calcular:
a. La tasa de interés anual
4

5. b. El interés anual
Solución
a. Tasa de interés anual
1.0
1
1.0
01
100
10
01
100
100110
i ==
−
=
−
−
==
Como saben 0.10 es un decimal, que en porcentaje es %10%100*10.0i ==
Por cada sol prestado se produce un crecimiento del capital del 10%, o sea de S/. 0.10
de sol, por cada sol prestado al finalizar el periodo de un año.
b.
t
C
IInteres
∆
∆
==
10
1
10
01
100110
t
C
IInteres ==
−
−
=
∆
∆
==
Lo anterior es general; por cada sol se crea un interés del 10%, o sea de S/. 0.10 de
sol al pasar un año (como el tiempo es un año, n=1). Específicamente S/. 100 soles es
el capital invertido o ahorrado, por lo que 101*%10*1001*i*CI === el interés
producido en un año será de S/ 10 soles, y en dos años es el doble, de S/ 20 soles, y
por tres años será de S/ 30 nuevos soles.
Problema 2.- Un capital de S/. 100 nuevos soles se deposita en una cuenta de
ahorros en el Fiecsbank, y luego de dos años recibe S/. 120 nuevos soles. Calcular:
a. La tasa de interés anual.
b. El interés generado en los dos años.
Solución
a. Tasa de interés anual
%10
2
2.0
02
100
20
02
100
100120
i ==
−
=
−
−
==
Como saben 0.10 es un decimal, que en porcentaje es %10%100*10.0j ==
Por cada sol prestado se produce un crecimiento del capital del 10%, o sea de S/. 0.10
de sol, por cada sol prestado al finalizar el periodo de un año.
b.
t
C
IInteres
∆
∆
==
El horizonte es de 2 años, siendo la variación de tiempo de 2 años; siendo este el
periodo en estudio.
20
1
20
01
100120
t
C
IInteres ==
−
−
=
∆
∆
==
El interés producido para un periodo de dos años, es de S/ 20 soles.
5

6. DOS PROCESOS DE TRANSFORMACION DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO
Entonces el interés es el precio que hay que pagar por el uso del dinero tomado en
préstamo por cada unidad de tiempo. Este depende de la tasa, tanto por ciento o tipo
de interés y será mayor por la mayor duración de la deuda y de la cantidad prestada.
El interés de manera absoluta es la variación de dinero por unidad de tiempo; debido a
ello el interés se expresa en unidades monetarias. No siempre es mejor el crédito
donde pagamos menos intereses.
Por ello para calcular el interés hay que tener en cuenta tres factores:
1. Capital, principal o valor presente (VA): Es la suma prestada, ahorrada o
invertida, al empezar el plazo.
2. Tiempo o plazo (n): Es el lapso de tiempo de cálculo del interés. De ordinario
la unidad de tiempo es un año.
3. Tasa, tanto por ciento o tipo de interés (i): Es él número de unidades
monetarias pagadas por cada cien unidades en el plazo determinado. Esta será
mayor, si pensamos que puede existir riesgo o incertidumbre en dicha operación, la
tasa es mayor en economías emergentes como el Perú; y menor en economías mas
estables como en EEUU.
CRITERIO DE HOMOGENEIDAD
Para encontrar la TNX se necesita tener el horizonte o los periodos en términos de X.
Por eso si necesito encontrar la TNA se necesitan tener los periodos en años.
A este requerimiento se le llama homogeneidad, siempre en el trabajo de los
problemas debemos de tenerlas ambas solo en las mismas unidades de tiempo,
siendo lo usual tener una de ellas en meses o en años; entonces la otra hay que
transformarla a este tiempo, es indistinto cual se transforma, pero ambas se deben
manipular en meses o en años. No es necesario el utilizar formulas engorrosas.
INTERES SIMPLE
Es la primera modalidad para calcular el valor del dinero en el tiempo y se caracteriza
porque los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el
capital inicial, al tipo de interés vigente del período.
Este régimen financiero es propio de operaciones a corto (menos de un año). Es mas
casi no se usa; podríamos decir que cuando se realiza este interés es solo para
periodos cortos o muy cortos. Donde usualmente es solo días o a lo mas semanas.
La tasa de interés en IS se le llama tasa de interés nominal o proporcional al tiempo de
inversión del capital.
INTERES COMPUESTO
Es la segunda modalidad para calcular el valor del dinero en el tiempo y se caracteriza
porque los intereses que se producen en cada período se acumulan al culminar cada
periodo, y se encuentra interés del interés surgiendo el llamado proceso de
capitalización al tipo de interés vigente del período.
6

7. La mayoría de operaciones financieras que ocurre en el sistema financiero peruano se
realizan en este tipo de proceso.
La tasa de interés en IS se le llama tasa de interés nominal o proporcional al tiempo de
inversión del capital.
Diferencia fundamental entre interés simple e interés compuesto
En la realidad Latinoamérica como la peruana en las operaciones financieras se usa el
interés compuesto, por la inestabilidad de sus economías. Cosa que no ocurre en
economías estables europeas.
En el régimen de Interés simple de crecimiento del dinero en el tiempo realiza en línea
recta; pero en el de interés compuesto es en forma exponencial. Esto se observa
claramente en la tabla realizada en Excel observada a continuación.
El proceso de acumulación para ambos procesos se compara para 30 periodos, a la
tasa del 10%. Le aconsejamos realizarlo para un periodo mayor para observar
diferencias y graficarlas en Excel: es importante para comprender y saber diferenciar
estos conceptos que son la base de las Matemáticas Financieras.
TNM 10% TEM 10%
Proceso de Interés Simple De Interés Compuesto
Periodo
Capital
Simple
Interés
Simple
Capital
Compuesto
Interés
Compuesto
0 1000 1000
1 1100 100 1.100,00 100,00
2 1200 100 1.210,00 110,00
3 1300 100 1.331,00 121,00
4 1400 100 1.464,10 133,10
5 1500 100 1.610,51 146,41
6 1600 100 1.771,56 161,05
7 1700 100 1.948,72 177,16
8 1800 100 2.143,59 194,87
9 1900 100 2.357,95 214,36
10 2000 100 2.593,74 235,79
11 2100 100 2.853,12 259,37
12 2200 100 3.138,43 285,31
13 2300 100 3.452,27 313,84
14 2400 100 3.797,50 345,23
15 2500 100 4.177,25 379,75
16 2600 100 4.594,97 417,72
17 2700 100 5.054,47 459,50
18 2800 100 5.559,92 505,45
19 2900 100 6.115,91 555,99
20 3000 100 6.727,50 611,59
21 3100 100 7.400,25 672,75
22 3200 100 8.140,27 740,02
23 3300 100 8.954,30 814,03
24 3400 100 9.849,73 895,43
25 3500 100 10.834,71 984,97
26 3600 100 11.918,18 1.083,47
27 3700 100 13.109,99 1.191,82
28 3800 100 14.420,99 1.311,00
7

8. 29 3900 100 15.863,09 1.442,10
30 4000 100 17.449,40 1.586,31
TOTAL 4000 3000 17.449,40 16449,40
MONTO 7000 17.449,40
El capital en Interes Simple y en Compuesto
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Capital Simple Capital Compuesto
El capital en Interes Simple y en Compuesto
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31
Capital Simple Capital Compuesto
El interés simple se genera en todos los periodos en forma constante y el monto se
acumula en línea recta con pendiente n*i; pero en interés compuesto crece en forma
exponencial. Observe la diferencia del crecimiento de los montos solo para 2.5 años.
INTERES SIMPLE vs INTERES COMPUESTO
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Interes Simple Interes Compuesto
8

9. INTERES SIMPLE vs INTERES COMPUESTO
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31
Interes Simple
Interes Compuesto
El interés en el proceso de valuación en Interés simple se genera en todos los
periodos en forma constante, pero en interés compuesto crece en forma exponencial.
Las graficas son solo para 2.5 años; un buen consejo es realizar este ejercicio en
Excel para 5, 10 y luego para 20 años.
Criterio de los días terminales
Este criterio lo usan los banqueros y hombres de negocio en Inglaterra y los Estados
Unidos. El criterio exige que no se tome en cuenta el día inicial.
Por ejemplo si ahorramos dinero el 5 de mayo y lo retiramos el 6 del mismo mes,
habrá un día de ahorro. Y no dos como los profanos lo asegurarían.
Interés simple ordinario y exacto
El año comercial u ordinario es de fácil uso por que se lo define con 360 días y 12
meses de 30 días cada uno.
El interés exacto es de 365 días y en los años bisiestos de 366. Si no se especifica se
tendrá que utilizar el año comercial.
Para clarificar las ideas tenemos que encontrar el interés ordinario y el exacto de un
millón de dólares al 0.36% por un día.
Interés exacto 863.9$0036.0*
365
1
*1000000i*n*VAI ===
Interés ordinario 00.10$36.0*
360
1
*1000000i*n*VAI ===
Claramente se observa que el interés ordinario es mayor que el interés exacto. Si el
problema no dice nada, se trabaja con año ordinario o comercial.
9

10. INTERES SIMPLE vs INTERES COMPUESTO
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31
Interes Simple
Interes Compuesto
El interés en el proceso de valuación en Interés simple se genera en todos los
periodos en forma constante, pero en interés compuesto crece en forma exponencial.
Las graficas son solo para 2.5 años; un buen consejo es realizar este ejercicio en
Excel para 5, 10 y luego para 20 años.
Criterio de los días terminales
Este criterio lo usan los banqueros y hombres de negocio en Inglaterra y los Estados
Unidos. El criterio exige que no se tome en cuenta el día inicial.
Por ejemplo si ahorramos dinero el 5 de mayo y lo retiramos el 6 del mismo mes,
habrá un día de ahorro. Y no dos como los profanos lo asegurarían.
Interés simple ordinario y exacto
El año comercial u ordinario es de fácil uso por que se lo define con 360 días y 12
meses de 30 días cada uno.
El interés exacto es de 365 días y en los años bisiestos de 366. Si no se especifica se
tendrá que utilizar el año comercial.
Para clarificar las ideas tenemos que encontrar el interés ordinario y el exacto de un
millón de dólares al 0.36% por un día.
Interés exacto 863.9$0036.0*
365
1
*1000000i*n*VAI ===
Interés ordinario 00.10$36.0*
360
1
*1000000i*n*VAI ===
Claramente se observa que el interés ordinario es mayor que el interés exacto. Si el
problema no dice nada, se trabaja con año ordinario o comercial.
9