1. GUIA No. 5
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
Ejemplo 1 :
Stockco considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporcionara un valor actual neto
(VAN) de 16000 dólares; la inversión 2 un VAN de 22000 dólares, la inversión 3 un VAN
de 12000 dólares y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares. Cada inversión requiere
cierto flujo de caja en el momento actual; la inversión 1 , 5000 dólares, la inversión 2,
7000 dólares, la inversión 3 , 4000 y la inversión 4, 3000 dólares respectivamente . Se
dispone de 14000 dólares para la inversión. Formule un P.E. cuya solución dirá a Stocker
como maximizar el VAN obtenido de las inversiones 1 – 4.
Modificaciones :
1. Stockco puede invertir en a lo mas dos inversiones.
2. Si Stockco invierte en la inversión 2 , también tendrá que invertir en la inversión 1.
3. Si Stockco invierte en la inversión 2, no podrá invertir en la inversión 4.
Ejemplo 2 : COSTO FIJO
Gandhi Cloth Company puede fabricar tres tipos de ropa: camisas, calzoncillos y
pantalones. Para poder fabricar cada tipo de ropa, Gandhi tiene que disponer de la
maquinaria adecuadas. Hay que rentar la maquinaria requerida para fabricar cada tipo de
ropa, a las siguientes tarifas: maquinara para camisas, 200 dólares por semana,
maquinaria para calzoncillos, 150 dólares por semana, maquinaria para pantalones, 100
dólares por semana. La fabricación de cada tipo de ropa también requiere las cantidades
de tela y de trabajo que se dan en la siguiente tabla. Cada semana se disponen de 150 horas
de trabajo y de 160 yardas cuadradas de tela. también se dan los costos unitarios variables y
los precios de venta para cada tipo de ropa. Formule u P.E. cuya solución maximizara las
ganancias semanales de Gandhi.
Trabajo (Horas) Tela (yardas cuadradas)
Camisa 3 4
Calzoncillo 2 3
Pantalón 6 4
Tabla de Requerimiento de recursos .
Precio de Venta (dólares) Costo variable (dólares)
Camisas 12 6
Calzoncillos 8 4
Pantalón 15 8
2. Tabla de información acerca del ingreso y del costo .
Ejemplo 3 :
El problema de Lockbox J.C. Nicles recibe pagos con tarjetas de crédito de cuatro
regiones del país (Oeste, Oeste Medio, Este y Sur). El valor promedio diario de los pagos
enviados por correo por los clientes de cada región, es el siguiente: del Oeste: 70000
dólares, del Oeste Medio , 50000, del Este, 60000 dólares, del Sur , 40 000 dólares, Nicles
debe decidir hacia donde tendrían que enviar los clientes sus pagos. Ya que Nicles puede
percibir 20% de interés anual al investigar esos ingresos, le gustaría recibir los pagos lo mas
pronto posible. Nicles considera montar las operaciones para procesar los pagos (llamadas
frecuentemente Lockboxes) en cuatro ciudades diferentes: Los Angeles, Nueva York,
Chicago y Atlanta. El numero promedio de días (a partir del envió del pago) hasta la
liquidación de un cheque y hasta que Nicles pueda depositar el dinero, depende de la
ciudad a la cual se manda el pago, como se muestra en la Tabla, Por ejemplo si se envía un
cheque del Oeste a Atlanta, Nicles tardaría un promedio de 8 días antes de poder ganar
intereses por e cheque. El costo anual por manejar un lockbox en cualquier ciudad es de 50
000 dólares. Formule un PE que pueda usar Nicles para minimizar la suma de los costos
provocados por intereses perdidos y por el manejo de lockboxes. Supóngase que cada
región tiene que mandar todo su dinero a una sola ciudad y que no hay limite en la cantidad
de dinero que cada lockbox pueda manejar.
HACIA
Ciudad 1
(Los Angeles)
Ciudad 2
(Chicago)
Ciudad 3
(Nueva York)
Ciudad 4
(Atlanta)
región 1 Oeste 2 6 8 8
región 2 Oeste
Medio
6 2 5 5
Region3 Este 8 5 2 5
región 4 sur 8 5 5 2
Ejemplo 4 :
Hay 6 ciudades (ciudades 1 –6) en el condado de kilroy. El condado debe determinar en
que lugar construir estaciones de bomberos. El condado quiere construir una mínima
cantidad de estaciones de bomberos para asegurar que por lo menos una estación este
dentro de 15 minutos (tiempo de viaje) de cada ciudad. En la tabla se muestran los tiempos
requ4eridos (en minutos ) para viajar entre las ciudades del condado de Kilroy. Formule un
PE que dirá a Kilroy cuantas estaciones de bomberos habría que construirse y en donde
DE
HACIA
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6
Ciudad 1 0 10 20 30 30 20
Ciudad 2 10 0 25 35 20 10
3. Ciudad 3 20 25 0 15 30 20
Ciudad 4 30 35 15 0 15 25
Ciudad 5 30 20 30 15 0 14
Ciudad 6 20 10 20 25 14 0
Ejemplo 5
Dorian Auto considera la fabricación de tres tipos de automóviles: compactos, mediano y
largo. En la tabla se presentan los recursos requeridos por y las ganancias proporcionadas
por cada tipo de automóvil.
En la actualidad se cuenta con 6000 toneladas de acero y 60000 horas de trabajo. Para que
la producción de un tipo de automóvil sea económicamente factible, hay que fabricar por lo
menos 1000 automóviles de este tipo. Formule un PE para maximizar la ganancia de
Dorian.
Compacto Mediano Grande
Acero requerido 1.5 Tn. 3 Tn. 5 Tn.
Trabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horas
Ganancia proporcionada 2000 dólares 3000 dólares 4000 dólares
1. PROYECTOS
Considere el problema de presupuestar el capital donde se consideran cuatro proyectos
para ejecutarse en los siguientes tres años. Los rendimientos esperados para cada
proyecto y los gastos anuales (en miles de unidades monetarias) se muestran en
seguida. Suponga que cada proyecto aprobado será ejecutado sobre el período de tres
años. El objetivo es elegir los proyectos que maximizarán los rendimientos totales.
Proyecto
Año 1
Gastos
Año 2 Año 3
Rendimiento
$ mill
1
2
3
4
5
4
7
8
1
7
4
6
8
10
1
10
20
40
15
30
Fondos
Disponibles
Máximos $ mill
25 25 25
2. PLANEAMIENTO DE LA PRODUCCION
4. Considere el problema de planear la producción de 4000 unidades de un cierto
producto que se fabrican en departamentos. Los costos de instalar cada departamento,
los costos de producción por unidad, y la capacidad de producción máxima para cada
departamento están tabulados a continuación. El objetivo es minimizar el costo total de
producción del lote requerido.
Departamento Costo Fijo Costo de
Producción/unidad
Capacidad
(No. De unidades)
1
2
3
100
300
200
11
2
5
1200
1600
2400
3. EMPRESA DE TRANSPORTES
Una empresa de transportes piensa comprar ómnibus de pasajeros de tamaño grande,
mediano y chico. El precio de compra será de $ 33,500 por cada ómnibus grande, $
25,000 por cada mediano, $ 17,500 por cada chico. El consejo directivo ha autorizado
un compromiso máximo de $ 750,000 para esta compra, sin importar qué ómnibus se
compren, se espera que las distancias de viajes terrestres sean lo suficientemente
grandes como para que los ómnibus se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se
estima que la ganancia neta anual, (después de restar los costos de recuperación de
capital) será de $ 2,100 para un ómnibus grande, $ 1,500 si se trata de un ómnibus
mediano y $ 1,150 por cada ómnibus chico.
Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes conductores entrenados como
para operar 30 ómnibus nuevos. Si sólo se compraran ómnibus chico, las instalaciones
de mantenimiento podrían manejar 40 ómnibus, pero cada ómnibus mediano equivale a
1 1/3 ómnibus chicos y cada ómnibus grande equivale a 1 2/3 ómnibus chicos, en
términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento.
Esta información se obtuvo mediante un análisis preliminar del problema. Más
adelante se llevará a cabo un estudio más detallado. No obstante, si se toman estos
datos como una primera aproximación, la gerencia desea saber cuántos ómnibus de
cada tipo debe comprar con el fin de maximizar la ganancia.
4. RUTA MAS CORTA
Formular y resolver la siguiente red, en la que los nodos están en columna y las únicas
rutas posibles se mueven siempre hacia adelante, y una columna a la vez, los números
colocados junto a las ligaduras representan distancias y el objetivo es encontrar la ruta
mas corta del origen al destino.
5. 5. NUEVOS PROYECTOS
Una empresa esta contemplando la alternativa de invertir en nuevos proyectos para el
próximo año. Se han seleccionado 10 proyectos cuyos requerimientos de capital y de
personal administrativo son los siguientes:
Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Capital,
miles $
25 30 60 15 20 25 30 35 40 100
Personal
Adm.
4 6 10 3 4 4 7 8 10 20
Retorno
miles $
5 10 12 3 3 4 8 5 10 18
La empresa dispone de $120000, para el total de la inversión y se ha restringido la
contratación de personal a no mas de 25 personas.
Además se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. El proyecto 2 no se puede realizar si el proyecto 1 no se implementa simultáneamente.
2. Solo se puede incluir un proyecto entre los proyectos 2,3, y 4.
3. Si se consideran los proyectos 4 y 5 simultáneamente, el proyecto 6 debe ser también
considerado.
4. Si se consideran los proyectos 5 y 6 a la vez, el proyecto 7 no se puede considerar.
5. El proyecto 8 puede ser considerado, solo si los proyectos 9 y 10 son aceptados.
Se tiene que decidir en cuáles proyectos invertir de manera que se cumplan todas las
consideraciones, maximizándo el retorno total.
I3=1
I2=4 I4=5
I6=3
I1=5
I10=4
I5=2 I9=6
I7=3 I12=7
I8=3
I11=3
DESTINOORIGEN
6. 6. LABORES DOMESTICAS
Una joven pareja, Juan y Rosa, viven con la suegra en la misma casa, por ello quieren
dividir las principales tareas del hogar; de manera que se minimice el tiempo total que
ocupen en realizar tales tareas. El tiempo que utiliza cada persona por cada tarea se
muestra en la siguiente tabla:
Lavar ropa Lavar platos Limpiar Cocinar Comprar
Suegra 4 2 4 2 7
Juan 5 5 3 8 5
Rosa 3 5 4 7 6
La suegra avisa que a lo mucho realizará 3 tareas. Juan 1 ó 2 tareas y Rosa no menos
de 2 tareas.
Luego de un arduo debate, se han llegado a las siguientes condiciones:
A.- Una mujer debe lavar ropa
B.- Si la suegra cocina, Juan no debe lavar platos
C.- Si Rosa compra y cocina a la vez entonces la suegra debe lavar platos
D.- Rosa ó lava platos ó lava ropa, pero no las dos cosas juntas.
E.- La suegra sólo cocinará si es que va de compras
F.- Si la suegra lava la ropa ó los platos entonces Juan no debe comprar
Formule el modelo de programación lineal que resuelva el problema, definiendo e
indicando claramente el tipo de variable a utilizar.
7. LA GRAVE CITY
La Grave City está considerado la reubicación de diversas sub-estaciones de
policía para lograr una mejor aplicación de la justicia en áreas de delincuencia
elevada. Los lugares que se consideran, junto con las áreas que se cubrirían a partir
de esos lugares, son los que se presentan a continuación:
Ubicación Potenciales
para subestaciones
Areas que se cubren
A 1,5,7
B 1,2,5,7
C 1,3,5
D 2,4,5
E 3,4,6
F 4,5,6
G 1,5,6,7
Plantee el modelo de programación lineal en enteros que pueda resolver para encontrar
el número mínimo de lugares necesarios para ofrecer cobertura a todas las áreas.
7. 8. UTILIDADES VARIABLES
Una empresa tiene tres (3) secciones dentro de su área productiva y cuatro (4) productos.
Los datos relevantes de esta estructura son:
PRODUCTO
SECCION
CONSUMO UNITARIO
(horas)
1 2 3 4
CAPACIDAD
(horas)
A
B
C
2 1 2 1
2 2 2 2
1 3 4 1
400
600
800
UTILIDAD ($) 6 8 10 4
Las utilidades indicadas son válidas para producciones menores que 100 en cualquiera de
los cuatro productos. Si la producción sobrepasa en esa cantidad, la utilidad monetaria sube
a $8, $12, $16 y $6 respectivamente. La nueva utilidad monetaria se aplica a la totalidad de
la producción. Bajo estas condiciones se requiere determinar el programa de producción
que maximice la utilidad total.
Presentar el modelo de programación entera que represente el caso indicando claramente el
tipo de variables utilizadas.
9. CARGA O PROBLEMA DE LA MOCHILA
Considere el problema de carga (ó problema de la mochila) Suponga que cinco artículos se
van a cargar en el barco. El peso Wi y el volumen Vi por unidad de los diferentes artículos
así como la utilidad obtenida Ri están tabulados en el cuadro siguiente:
ARTICULO i Wi Vi Ri
1 5 1 4
2 8 8 7
3 3 6 6
4 2 5 5
5 7 4 4
El peso y el volumen máximos de la carga están dados por W=112 y V=109
respectivamente. Se requiere determinar la carga más valiosa en unidades discretas de cada
artículo.
Formule y resuelva como un modelo de programación entera.
10. ASIGNACION DE LA PRODUCCION
8. Se debe producir tres tipos de productos, para lo cual se dispone de tres máquinas. Cada
máquina debe procesar un solo producto y cada producto debe ser procesado
completamente en una sola máquina.
Los costos de producción del producto 1 en la máquina 1 es de $ 8 000, el producto 1 en la
máquina 2 es de $ 9 000 y el producto 1 en la máquina 3 es de $ 7 000.
Los costos de producción del producto 2 en el máquina 1 es de $ 6 000, del producto 2 en la
máquina 2 es de $ 5 000 y del producto 2 en la máquina 3 es de $ 8 000.
Los costos de producción del producto 3 en la máquina 1 es de $9 000. Del producto 2 en la
máquina 2 es de $ 8 000 y del producto 3 en la máquina 3 es de $ 6 000.
Formular el modelo de programación entera binaria.
.
11. SECUENCIACION DE MAQUINAS
Se desea desarrollar 3 trabajos A,B,C, en las máquinas M1, M2, cada
trabajo se procesa primero en la máquina M1, y luego pasa a la máquina M2. A
continuación se muestra los tiempos (min) de operación de cada trabajo en la máquina
respectiva.
Máquinas
Trabajos M1 M2
A 10 15
B 13 17
C 15 8
Encontrar la secuencia de trabajos que minimice la duración total:
12 CAMBIO MAQUINA-HERRAMIENTA
ENUNCIADO
El costo de cambiar una máquina-herramienta de un trabajo a otro es:
Al trabajo
A B C D
A ... 300 250 492
B 765 ... 121 431
Del trabajo C 982 350 ... 103
D 706 689 921 ...
Costos en miles de soles
9. Formule, un modelo entero que programe la secuenciación que tenga el costo mínimo.
Cada trabajo se realiza una sola vez. El trabajo inicial deberá coincidir con el trabajo final.
13. EMPRESA REGIONAL DE ELECTRICIDAD
La empresa regional de electricidad está planeando la expansión de su capacidad
generadora para los próximos cinco años. Su capacidad actual es de 800 MW. El pronóstico
de la demanda aparece en la tabla, la empresa puede aumentar su capacidad instalando
generadoras de 1.5, 2.0 y 2.2 MW.
El costo de instalación depende del tipo de generador y del año de instalación tal como se
indica en la Tabla. Se desea determinar el plan óptimo de expansión que garantice la
satisfacción de la demanda.
Costo de Instalación
Año
Tamaño del 1 2 3 4 5
Generador
1.5 MW 300 280 255 220 215
2.0 MW 660 630 550 505 470
2.2 MW 940 900 850 800 700
demanda (MW) 1000 1100 1200 1350 1540
14. PROGRAMACION DE VUELOS
El programador de vuelos de una compañía aérea debe programar exactamente un
vuelo de Lima a cada una de las siguientes ciudades: Cuzco, Arequipa, Trujillo y
Ayacucho. En el aeropuerto Jorge Chávez hay disponibilidad de salida de aviones a
las 8.00 a.m., 10.00 a.m. y 12 a.m. Y a esas horas solo dos salas de Embarque están
disponibles, de tal modo que a lo más dos vuelos pueden ser programados en cada
una de esas horas. Los datos de demanda sugieren la utilidad esperada por vuelo en
función de la hora de salida:
Destino UTILIDAD ESPERADA EN MILES $
HORA
12.00 8.00 10.00
Cuzco
Arequipa
Trujillo
Ayacucho
9.5 10.5 10
11 15 14
10 12 10.5
4.5 6.5 6
Formule y resuelva para hallar el plan óptimo de vuelos.
