Universidad Fermín Toro Sistema de Aprendizaje Interactivo a Distancia Análisis Numérico Violeta León Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Universidad Fermín Toro
Sistema de Aprendizaje Interactivo a Distancia
Análisis Numérico
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Lineales

2. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2
2016 Autor: Violeta León
Método de Eliminación Gaussiana
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales
consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema
en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de
eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente
siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Algoritmo de Eliminación Gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primera columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo
de él.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al término
del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería
tener forma de escalón.
5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba para que en cada renglón tenga
un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del
renglón a los renglones correspondientes.
Es importante observar que en el método de eliminación Gaussiana:
 Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado
repetidamente reduce la matriz.
 En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.
 En el paso 3, los elementos que se hacen cero son sólo los inferiores al pivote.
Eliminación de Gauss-Jordan
La eliminación de Gauss - Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método
aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz
aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una
sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz.

3. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 3
2016 Autor: Violeta León
¿Cómo aplicar el método?
Sea AX = B un sistema de ecuaciones m x n.
1. En el sistema de ecuaciones AX = B se crea un arreglo que contiene la matriz de coeficientes
del sistema y las constantes que aparecen al lado derecho de la igualdad, es decir, se
considera la matriz aumentada (A │ B) asociada al sistema.
2. Se transforman los coeficientes en forma triangular, una columna a la vez, comenzando por
la primera columna. El proceso de transformar una columna en la forma deseada recibe a
veces el nombre de pivoteo.
a. En cualquier transformación de columna primero se crea el elemento que es igual a 1,
llamado 1 principal.
b. Se crea un cero en la parte inferior de la columna usando el 1 principal.
3. En la parte inferior de la matriz equivalente (A’ │B’) se obtienen, si existen, los renglones
cero.
4. Una vez triangulada la matriz, al tener los unos principales en cada renglón, se hace cero la
parte superior de esta columna utilizando el 1 principal.
Método de Descomposición LU
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen
como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible
comprender el porqué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos
matrices triangulares, una superior y otra inferior. La descomposición LU involucra solo
operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular
la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.
Primeramente, se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal
superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular
inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

4. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 4
2016 Autor: Violeta León
Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Superior (Matriz [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero
los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma
el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá
en cero). Esto es: - factor * pivote + posición a cambiar
Método de Jacobi
El método de Jacobi permite hallar las aproximaciones a una solución de sistemas de ecuaciones
lineales, utilizando los valores iniciales para la primera aproximación, luego los de la primera para
la segunda y así sucesivamente; en este método el cálculo de cada variable es independiente por lo
tanto ninguna variable depende de la otra.
Procedimiento A Seguir Para La Aplicación Del Método Jacobi
Se debe introducir unas aproximaciones iniciales, la matriz de coeficientes, el vector de términos
independientes, una tolerancia y un número total de iteraciones.
 Se toman las aproximaciones iniciales para hallar las nuevas aproximaciones, teniendo en
cuenta el fundamento del método.
 En cada paso, es posible calcular el error, que es este caso está definido en normas (las cuales
son infinitas).
 Para la finalización de los programas se tiene en cuenta, si el programa sobrepasa el número
de iteraciones, o si el error es menor del propuesto al principio; una vez ocurra alguna de
estas dos situaciones, la última iteración tendrá las aproximaciones a la solución del sistema
de ecuaciones estudiado.
Método de Gauss Seidel
Permite hallar las aproximaciones a una solución de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando
los valores calculados en cada uno de los pasos, para hallar los nuevos valores, en pocas palabras, en
este método un cálculo siempre depende del anterior, dependiendo las variables de otras variables.

5. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 5
2016 Autor: Violeta León
Secuencia De Pasos Que Constituyen El Método De Gauss-Seidel
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una
hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados
arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero
afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores
supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente
más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los
valores supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita
que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos
valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se
deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado).
Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se
dice que se ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración
particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto є
seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.