El examen parcial de probabilidad y estadística contiene 4 temas. El Tema 1 pide calcular los límites de confianza para la desviación típica de una muestra de bombillas y determinar el tamaño de muestra requerido. El Tema 2 analiza si es oportuno lanzar una campaña publicitaria para una marca de relojes basado en las ventas mensuales reportadas. El Tema 3 evalúa si los patrones de consumo de tereré concuerdan con estudios previos. El Tema 4 determina si existen

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN – FACULTAD DE INGENIERÍA
2º EXAMEN PARCIAL DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Fecha: 29/12/2018 Duración: 120 minutos
Nombres y apellidos: ...................................................................... CIC Nº: ………..…….
Obs.: Se admitirán consultas, en voz alta, sobre enunciados de temas durante los primeros 15 minutos del
examen. Solo se permite el formulario de la cátedra sin ningún escrito adicional. Todos los temas tienen el
mismo puntaje. La conclusión y/o interpretación es parte de la resolución de los temas.
TEMA 1:
La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 horas. a) Determinar los
límites de confianza del 95% para la desviación típica de ese tipo de bombillas. b) ¿De qué tamaño ha de
tomarse una muestra de las bombillas para tener 99,73% de confianza de que la verdadera desviación típica de la
población no difiera de la desviación típica muestral en más del 10%?
TEMA 2:
Una marca de relojes que posee varias dependencias autorizadas de ventas a nivel mundial, considera que si las
ventas caen por debajo de 170.000 unidades mensuales, es necesario lanzar una campaña publicitaria que
impulse las ventas. Para ello, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 dependencias autorizadas
con un nivel de significación del 5%, seleccionados aleatoriamente, encontrándose que las ventas del último
mes en relojes de esta marca tuvo un promedio de 169.411,8 unidades con una desviación estándar de 32.827,5
unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por dependencia se distribuyen normalmente
a) Aplicar una prueba de hipótesis para concluir si se puede considerar oportuno lanzar una nueva campaña
publicitaria.
b) Calcular e interpretar el Error Tipo II, si el valor histórico de ventas mensuales es de 160.000 relojes.
TEMA 3:
Estudios previos indican que más del 90% de los paraguayos toman tereré. Para validar este tipo de estudios,
investigadores de la Facultad de Ingeniería han realizado una encuesta a 1600 personas sobre sus patrones de
consumo de tereré. Las respuestas se indican en la tabla. ¿Hay evidencia suficiente de que la distribución de la
muestra se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos? Resolver con un nivel de significancia de 0,05
y luego con 0,01.
TEMA 4:
La siguiente tabla da las vidas medias, en horas, de muestras de tres tipos distintas de tubos de televisión
producidos por cierta empresa. Determinar si hay diferencia entre ellos al nivel dc significación 0,05.
1 2 3 4 
Patrón de consumo Porcentaje según estudios previos Frecuencias de la encuesta a 1600 personas
1 vez al día 77% 1192
2 a 3 veces al día 10% 186
1 vez a la semana 6% 89
ocasionalmente 4% 74
nunca bebe 3% 59
Muestra 1 407 409 408
Muestra 2 404 406 408 405 402
Muestra 3 406 408 406 408

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN – FACULTAD DE INGENIERÍA
2º EXAMEN PARCIAL DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Fecha: 29/12/2018 Duración: 120 minutos
Nombres y apellidos: .................................................................................. CIC Nº:………..…….
Obs.: Se admitirán consultas, en voz alta, sobre enunciados de temas durante los primeros 15 minutos del
examen. Solo se permite el formulario de la cátedra sin ningún escrito adicional. Todos los temas tienen el
mismo puntaje. La conclusión y/o interpretación es parte de la resolución de los temas.
TEMA 1:
La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 horas. a) Determinar los
límites de confianza del 99% para la desviación típica de ese tipo de bombillas. b) ¿De qué tamaño ha de
tomarse una muestra de las bombillas para tener 99,73% de confianza de que la verdadera desviación típica de la
población no difiera de la desviación típica muestral en más del 5%?
TEMA 2:
Una marca de relojes que posee varias dependencias autorizadas de ventas a nivel mundial, considera que si las
ventas caen por debajo de 160.000 unidades mensuales, es necesario lanzar una campaña publicitaria que
impulse las ventas. Para ello, el departamento de marketing realiza una encuesta a 82 dependencias autorizadas,
seleccionados aleatoriamente, encontrándose que las ventas del último mes en relojes de esta marca tuvo un
promedio de 156.411,8 unidades con una desviación estándar de 31.787,5 unidades. Suponiendo que las ventas
mensuales por dependencia se distribuyen normalmente con un nivel de significación del 1%.
a) Aplicar una prueba de hipótesis para concluir si se puede considerar oportuno lanzar una nueva campaña
publicitaria.
b) Calcular e interpretar el Error Tipo II, si el valor histórico de ventas mensuales es de 150.000 relojes.
TEMA 3:
Estudios previos indican que más del 90% de los paraguayos toman tereré. Para validar este tipo de estudios,
investigadores de la Facultad de Ingeniería han realizado una encuesta a 1600 personas sobre sus patrones de
consumo de tereré. Las respuestas se indican en la tabla. ¿Hay evidencia suficiente de que la distribución de la
muestra se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos? Resolver con un nivel de significancia de 0.05
y luego con 0.01.
TEMA 4:
La siguiente tabla da las vidas medias, en horas, de muestras de tres tipos distintas de tubos de televisión
producidos por cierta empresa. Determinar si hay diferencia entre ellos al nivel dc significación 0,01.
1 2 3 4 
Patrón de consumo Porcentaje según estudios previos Frecuencias de la encuesta a 1600 personas
1 vez al día 77% 1192
2 a 3 veces al día 10% 186
1 vez a la semana 6% 89
ocasionalmente 4% 74
nunca bebe 3% 59
Muestra 1 407 411 409
Muestra 2 404 405 404 405 402
Muestra 3 410 408 416 411

3. TEMA 1:
La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 horas. Determinar los
límites de confianza del 99% para la desviación típica de ese tipo de bombillas. ¿De qué tamaño ha de tomarse
una muestra de las bombillas para tener 99,73% de confianza de que la verdadera desviación típica de la
población no difiera de la desviación típica muestral en más del 5%?
Solución:
Los límites de confianza para la desviación típica poblacional  vienen dados por
N2
zs c

 donde zc indica el
nivel de confianza: Usamos la desviación típica muestral para estimar 
Los límites de confianza 99% son 9,12100
400
100
58,2100 
.
Conclusión: tenemos un 99% de confianza de que la desviación típica poblacional se encentra entre 87,1 horas y
112,9 horas.
Los límites de confianza 99,73% para  son
N2
s
3s
N2
3s 

 , usando s como estimación de . Luego el
porcentaje de error en la desviación típica es %
N2
300
s
N2/s3

Si 5
N2
300
 se tiene N = 1800. Luego, la muestra debe ser de al menos 1800 bombillas.
La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 horas. Determinar los
límites de confianza del 95% para la desviación típica de ese tipo de bombillas. ¿De qué tamaño ha de tomarse
una muestra de las bombillas para tener 99,73% de confianza de que la verdadera desviación típica de la
población no difiera de la desviación típica muestral en más del 10%?
Solución:
Los límites de confianza para la desviación típica poblacional  vienen dados por
N2
zs c

 donde zc indica el
nivel de confianza: Usamos la desviación típica muestral para estimar 
Los límites de confianza 95% son 8,9100
400
100
96,1100 
.
Conclusión: tenemos un 95% de confianza de que la desviación típica poblacional se encentra entre 90,2 horas y
109,8 horas.
Los límites de confianza 99,73% para  son
N2
s
3s
N2
3s 

 , usando s como estimación de . Luego el
porcentaje de error en la desviación típica es %
N2
300
s
N2/s3

Si 10
N2
300
 se tiene N = 450. Luego, la muestra debe ser de al menos 450 bombillas.
Criterios para asignación de puntos:
Cálculo del intervalo: 5 puntos
Valor de z de tabla: 1 punto
Calcular los límites: 3 puntos
Interpretación: 1 punto
Cálculo del tamaño: 4 puntos

4. TEMA 2:
Una marca de relojes que posee varias dependencias autorizadas de ventas a nivel mundial, considera que si las
ventas caen por debajo de 170.000 unidades mensuales, es necesario lanzar una campaña publicitaria que
impulse las ventas. Para ello, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 dependencias autorizadas
con un nivel de significación del 5 %, seleccionados aleatoriamente, encontrándose que las ventas del último
mes en relojes de esta marca tuvo un promedio de 169.411,8 unidades con una desviación estándar de 32.827,5
unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por dependencia se distribuyen normalmente
a) Aplicar una prueba de hipótesis para concluir si se puede considerar oportuno lanzar una nueva campaña
publicitaria.
b) Calcular e interpretar el Error Tipo II, si el valor histórico de ventas mensuales es de 160.000 relojes.
Solución:
a) Hemos de decidir entre las hipótesis:
H0: μ = 170.000 unidades/mes y no es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.
H1: μ < 170.000 unidades/mes y es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.
8,596.4
15
5,827.32
Nx



127,0
8,4596
1700008,169411X
z
X






SI SE REALIZA EL PUNTO CRITICO EN FUNCIÓN DE LA MEDIA
64,162427170000
51
5,32817
65,1
N
zX 


Para un nivel de significación del 5% y contraste unilateral se tiene zc = –1,65
Conclusión: como –0,127 > –1,65, los resultados no son significativos al nivel de significación del 5%, por lo
tanto no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo que no es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria
b)
53,0
5,4598
16000064,162427
z 


en el gráfico, para z = 0,53 se tiene: 0,5 – β = 0,2019,
de donde β = 0,2981
Interpretación: Tenemos un 29,81% de probabilidad de
aceptar una hipótesis Nula de 170.000 cuando en realidad
el valor histórico era de 160.000 unidades al mes. Se
comete el Error tipo II
Una marca de relojes que posee varias dependencias autorizadas de ventas a nivel mundial, considera que si las
ventas caen por debajo de 160.000 unidades mensuales, es necesario lanzar una campaña publicitaria que
impulse las ventas. Para ello, el departamento de marketing realiza una encuesta a 82 dependencias autorizadas,
seleccionados aleatoriamente, encontrándose que las ventas del último mes en relojes de esta marca tuvo un
promedio de 156.411,8 unidades con una desviación estándar de 31.787,5 unidades. Suponiendo que las ventas
mensuales por dependencia se distribuyen normalmente con un nivel de significación del 1 %
a) Aplicar una prueba de hipótesis para concluir si se puede considerar oportuno lanzar una nueva campaña
publicitaria.
b) Calcular e interpretar el Error Tipo II, si el valor histórico de ventas mensuales es de 150.000 relojes.
Solución:
a) Hemos de decidir entre las hipótesis:
H0: μ = 160.000 unidades/mes y no es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.
H1: μ < 160.000 unidades/mes y es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.
34,3510
82
5,31787
N
x 


022,1
34,3510
16000018,156411X
z
x






Para un nivel de significación del 1% y
contraste unilateral se tiene zc = –2,33
Conclusión: como –1,022 > –2,33, los resultados no son significativos al nivel de significación del 1%, por lo
tanto no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo que no es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria
65,1zc 
%5
160000 170000


33,2zc 
%1

5. SI SE REALIZA EL PUNTO CRITICO EN FUNCIÓN DE LA MEDIA
91,151820160000
82
5,31787
33,2
N
zX 


Conclusión: Los resultados no son significativos al nivel de significación del 1%,
156.411,8 >151.820,91 por lo tanto no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo que no es oportuno lanzar una nueva
campaña publicitaria
b)
52,0
34,3510
15000091,151820
z 


en el gráfico, para z = 0,53 se tiene: 0,5 – β = 0,1985,
de donde β = 0,3015
Interpretación: Tenemos un 30,15% de probabilidad de aceptar una hipótesis Nula de 160.000 cuando en
realidad el valor histórico era de 150.000 unidades al mes. Se comete el Error tipo II
Criterios para asignación de puntos:
a) Formulación de hipótesis: 1 punto
Cálculo de x
 : 1 punto
Cálculo de z: 1 punto
Comparación y conclusión: 2 puntos
b) Cálculo de z: 1 punto
Cálculo de β: 1 punto
Interpretación: 2 puntos
150000 160000



6. TEMA 3:
Estudios previos indican que más del 90% de los paraguayos toman tereré. Para validar este tipo de estudios,
investigadores de la Facultad de Ingeniería han realizado una encuesta a 1600 personas sobre sus patrones de
consumo de tereré. Las respuestas se indican en la tabla. ¿Hay evidencia suficiente de que la distribución de la
muestra se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos? Resolver con un nivel de significancia de 0,05
y luego con 0,01.
Patrón de consumo Porcentaje según estudios previos Frecuencias de la encuesta a 1600 personas
1 vez al día 77% 1192
2 a 3 veces al día 10% 186
1 vez a la semana 6% 89
Ocasionalmente 4% 74
nunca bebe 3% 59
Solución:
Hemos de decidir entre las hipótesis:
H0: la distribución de la muestra se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos
H1: la distribución de la muestra no se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos
Regla de decisión: Si 2
< 2
.95, entonces aceptamos H0
Si 2
< 2
.99, entonces aceptamos H0
Se obtiene el valor de 2
para 5 – 1 = 4 grados de libertad. De las tablas: 2
.95 = 9,49 ; 2
.99 = 13,3
Se calcula el valor de 2
de la muestra. Para ello se calcula las frecuencias en la siguiente tabla:
Patrón de consumo Frecuencias esperadas Frecuencias observadas
1 vez al día 1600 × 0,70 = 1232 1192
2 a 3 veces al día 1600 × 0,10 = 160 186
1 vez a la semana 1600 × 0,06 = 96 89
Ocasionalmente 1600 × 0,04 = 64 74
nunca bebe 1600 × 0,03 = 48 59
1600
12,10
48
)4859(
64
)6474(
96
)9689(
160
)160186(
1232
)12321192( 22222
2











Como 2
> 2
.95, entonces aceptamos H0 y concluimos, para un nivel de significación 0,05, que la distribución
de la muestra no se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos
Como 2
< 2
.99, entonces no aceptamos H0 y concluimos, para un nivel de significación 0,01, que la
distribución de la muestra se ajusta a la distribución obtenida por estudios previos.
Conclusión: estadísticamente no se puede concluir que la distribución de la muestra se ajusta o no a la
distribución obtenida por estudios previos; se recomienda tomar otra muestra y repetir la prueba y de ser posible,
con una muestra mayor.
Criterios para asignación de puntos:
Formulación de hipótesis: 2 puntos
Cálculo de 2
: 4 puntos
2
de tabla: 2 puntos
Conclusión: 1 punto

7. TEMA 4:
La siguiente tabla da las vidas medias, en horas, de muestras de tres tipos distintas de tubos de televisión
producidos por cierta empresa. Determinar si hay diferencia entre ellos al nivel dc significación 0,05.
Solución:
Formulación de hipótesis:
H0: 1 = 2 = 3 y no existen diferencias significativas entre los tipos de tubos de televisión.
H1: algún i  j y existen diferencias significativas entre algunos tipos de tubos de televisión.
Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:
total de fila media de fila
A 407 409 408 1224 408
B 404 406 408 405 402 2025 405
C 406 408 406 408 1628 407
total = 4877 Media total = 4877/12
La variación de las medias de filas respecto de la media global es:
VB = 3(408 – 4877/12)2
+ 5(405 – 4877/12)2
+ 4(407 – 4877/12)2
= 227/12 ; VB = 227/12  18,92
La variación total es:
V = (407 – 1219/3)2
+ (409 – 1219/3)2
+ (408 – 1219/3)2
+ (404 – 1219/3)2
+ (406 – 1219/3)2
+ (408 – 1219/3)2
+ (405 – 1219/3)2
+ (402 – 1219/3)2
+ (406 – 1219/3)2
+ (408 – 1219/3)2
+ (406 – 1219/3)2
+ (408 – 1219/3) =
4877/12 ; V = 539/12  44,92
La variación VW es: VW = V – VB = 539/12 – 227/12 = 26 ; VW = 26
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
de la tabla F para un nivel de significación 0,05; con 2 y 9 G. L.: F.95 = 4,26
Conclusión: como 3,27 < 4,26 , para un nivel de significación 0,05 se concluye de que no existe diferencia
significativa entre los diferentes tipos de tubos de televisión.
La siguiente tabla da las vidas medias, en horas, de muestras de tres tipos distintas de tubos de televisión
producidos por cierta empresa. Determinar si hay diferencia entre ellos al nivel dc significación 0,01.
Solución:
Formulación de hipótesis:
H0: 1 = 2 = 3 y no existen diferencias significativas entre los tipos de tubos de televisión.
H1: algún i  j y existen diferencias significativas entre algunos tipos de tubos de televisión.
Calculamos los totales de filas, la media de filas y la media total, como se indica en el siguiente cuadro:
total de fila media de fila
A 407 411 409 1227 409
B 404 405 404 405 402 2020 404
C 410 408 416 411 1645 411,25
total = 4892 Media total = 1223/3
La variación de las medias de filas respecto de la media global es:
VB = 3(409 – 1223/3)2
+ 5(404 – 1223/3)2
+ 4(411,25 – 1223/3)2
= 1487/12 ; VB = 1487/12  123,92
La variación total es:
V = (407 – 1223/3)2
+ (411 – 1223/3)2
+ (409 – 1223/3)2
+ (404 – 1223/3)2
+ (405 – 1223/3)2
+ (404 – 1223/3)2
+ (405 – 1223/3)2
+ (402 – 1223/3)2
+ (410 – 1223/3)2
+ (408 – 1223/3)2
+ (416 – 1223/3)2
+ (411 – 1223/3) =
4877/12 ; V = 518/3  172,67
La variación VW es: VW = V – VB = 1487/12 – 518/12 = 48,75 ; VW = 48,75
Con estos datos hacemos el análisis de varianza del siguiente cuadro:
de la tabla F para un nivel de significación 0,01; con 2 y 9 G. L.: F.99 = 8,02
Conclusión: como 11,44 > 8,02 , para un nivel de significación 0,01 se concluye de que existe diferencia
significativa entre los tipos de tubos de televisión.
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
VB = 227/12 a – 1 = 2 ŜB
2
= 227/24 ŜB
2
/ ŜW
2
= 3.27
VW = 26 N – a = 12 – 3 = 9 ŜW
2
= 26/9
V = 539/12 n –1 = 12 – 1 = 11
Muestra 1 407 411 409
Muestra 2 404 405 404 405 402
Muestra 3 410 408 416 411
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
VB = 1487/12 a – 1 = 2 ŜB
2
= (227/12)/2 = 1487/24 ŜB
2
/ ŜW
2
= 11,44
VW = 48,75 N – a = 12 – 3 = 9 ŜW
2
= 65/12
V = 518/3 n –1 = 12 – 1 = 11
Criterios para
asignación de puntos:
Formulación
de hipótesis: 2 p
Cálculo de z: 4 p
z de tabla: 1 p
Conclusión: 2 p
Criterios para
asignación de puntos:
Formulación
de hipótesis: 2 p
Cálculo de z: 4 p
z de tabla: 1 p
Conclusión: 2 p