Este documento presenta conceptos básicos de conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Introduce conjuntos y sus operaciones, define los números reales como la unión de racionales e irracionales, y explica las propiedades de la adición y multiplicación. Luego, cubre desigualdades, intervalos y valor absoluto, resolviendo ejemplos. Finalmente, incluye referencias bibliográficas.

1. Nombre: Wiliany
Figueredo.
C.I.: 25.627.680.
Materia: Matemática.
CONJUNTOS,
NÚMEROS REALES,
DESIGUALDADES Y
VALOR ABSOLUTO

2. CONJUNTO
S
Es una colección de objetos. Los objetos son los elementos
del conjunto. Se usan letras mayúsculas, A, B, C, X, Y… para
denotar conjuntos y se usan letras minúsculas para, a, b, c, x,
y… para denotar elementos. Si x es un elemento del conjunto
A, diremos que x pertenece a A y escribiremos x ∈ A. En
cambio, si x no es un elemento de A, diremos que x ∉ A.

3. OPERACIONES CON
CONJUNTOS
La intersección de A y B
es el conjunto:
La unión de A y B es el
conjunto:
La diferencia de A y B
es el conjunto:
El complemento de A
es el conjunto:
Ejercicio: Hallar los conjuntos A y B
sabiendo que:
a) U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} c) CA ∩
CB= {6}
b) A − B= {7,9} d) A ∩ B=
{0,5,8}
Solución: A= {0,5,7,8,9} y B=
{0,1,2,3,4,5,8}

4. El conjunto R de los números reales es la unión del conjunto
de los números racionales con el conjunto de los números
irracionales, esto es:
NÚMEROS REALES
∩
R= Q I
Axiomas de cuerpo o campo, establecen las propiedades de la
adición y multiplicación. Son las siguientes:
Axiomas de la adición:
Ley comutativa: x + y = y + x para todo x, y ∈ R.
Ley asociativa: (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.
Elemento neutro: denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo
x ∈ R.
Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + y = 0.

5. Sustracción o resta:
Dos números reales a y b, se llama diferencia de a y b al
numero real que es la suma de a con el inverso aditivo de b,
es decir, a – b= a + (-b).
Axiomas de la multiplicación:
Ley comutativa: xy = yx para todo x, y ∈ R.
Ley asociativa: (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.
Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por
1 tal que 1x = x1 = x para todo x ∈ R.
Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy
= 1.
Axioma distributivo:
Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz.

6. Ejercicio: A= (2⋅3⋅5)3/152⋅60
Solución: 15=3⋅5 y 60=22⋅3⋅5. Reemplazando en A, tenemos:
A= (2⋅3⋅5)3/(3⋅5)2⋅22⋅3⋅5
Por la propiedad (ab)n= an⋅bn, se cumple:
A=23⋅33⋅53/32⋅52⋅22⋅3⋅5, ahora tenemos: A=
23⋅33⋅53/32+1⋅52+1⋅22
Luego, A=23⋅33⋅53/33⋅53⋅22
Aplicando propiedad de fracciones: A=23/22⋅33/33⋅53/53
Por la regla an/am= an-m tenemos: A= 23-2⋅33-3⋅53-3=
2⋅30⋅50
Como a1= a y a0= 1, finalmente decimos que A= 2⋅1⋅1 = 2

7. DESIGUALDADES
Proposición que relaciona dos expresiones algebraicas
cuyos valores son distintos.
Reglas para desigualdades
1. Si a < b, entonces a+b < b+c.
2. Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d.
3. Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
4. Si a < b y c < 0, entonces a > bc.
5. Si 0 < a <b, entonces 1/a > 1/b.
Intervalos
1. Intervalo cerrado: [a, b] 4. Intervalo infinito
abierto: (a, +∞)
2. Intervalo abierto: (a, b) 5. Intervalo infinito
cerrado: (-∞, a]

8. Ejercicio: Resolver la desigualdad 3x-5 < 4x-6
Solución: Para resolver esta inecuación debemos llevar todas
las variables a un lado de la desigualdad y los términos
independientes al otro lado, es decir:
3x-5 < 4x-6 3x-5+5 < 4x-6+5 (Sumando 5 en ambos
miembros)
3x+0 < 4x-1
3x < 4x-1
3x-4x < 4x-4x-1 (Sumando -4x en ambos
miembros)
-x < 0-1
-x < -1
x > 1 (Multiplicando por -1 en ambos
miembros cambia el
sentido de la desigualdad).

9. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número a, denotado por a , es la
distancia de a a 0 en la recta real.
Las distancias son siempre positivas o 0, de modo que
tenemos:
a ≥ 0 para todo número a.
Ejercicio: Resolver 2x-5 = 3
Solución: Aplicando la propiedad x = a de valor absoluto,
tenemos que
2x-5 = 3 es equivalente a:
2x-5 = 3 o 2x-5 = -3
Por tanto, 2x = 3+5 o 2x = -3+5 2x = 8 o 2x
= 2

10. DESIGUALDADES CON
VALOR ABSOLUTO
Ejercicio 1: Resolver la desigualdad |x+5| ≥ 2
Solución: Aplicando la propiedad |x| ≥ a de valor absoluto,
tenemos que:
|x+5| ≥ 2 ⇔ x+ 5 ≥ 2 o x +5 ≤ −2
⇔ x ≥ −3 o x ≤ −7
Entonces x ∈ ( −∞, −7 ] ∪ [ −3, +∞ ).
Ejercicio 2: Resolver la desigualdad 1 ≤ |x| ≤ 4
Solución: Aplicando la propiedad a ≤ |x| ≤ b de valor absoluto,
tenemos que:
1 ≤ |x| ≤ 4 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 o 1 ≤ −x ≤ 4
⇔ −1 ≥ x ≥ −4
Entonces, x ∈ [ −4, −1 ] ∪ [ 1, 4 ].

11. BIBLIOGRAFÍA
Libro: Calculo Diferencial - Jorge Sáenz.
Libro: Cálculo de Una Variable - James Stewart.
https://matematicasn.blogspot.com/2015/12/numeros-
reales-ejercicios-resueltos.html.
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Inecuaciones/
desclasi.html#:~:text=Vemos%20que%20hay%20desigualdade
s%20en,oinecuaciones.