Taller 2 factorizacion

ESCUELA DE INGENIERIAS Y
ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
Introducción al Cálculo Diferencial
PRIMER SEMESTRE 2015
Taller 2
1. FACTOR COMÚN: se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen
algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:
𝑥3
𝑦 + 𝑥2
𝑦2
− 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥2
+ 𝑥𝑦 − 2)
2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Aquí utilizaremos el caso anterior,
adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común.
Ejemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = ( 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + ( 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) = 𝑥( 𝑎 + 𝑏) + 𝑦( 𝑎 + 𝑏) = ( 𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦)
3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen
con las siguientes características:
 El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos.
 El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser
positivo o negativo.
Se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al
cuadrado, se factoriza así: 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= ( 𝑎 + 𝑏)2
ó 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= ( 𝑎 + 𝑏)2
4. TRINOMIO DE LA FORMA 𝐱 𝟐𝐧
+ 𝐛𝐱 𝐧
+ 𝐜
Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:
 Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la
fórmula).
 El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
 La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del
término número uno.
 Existen dos números que : p + q = b y pq = c
Es decir: 𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥 𝑛
+ 𝑐 = ( 𝑥 𝑛
+ 𝑝)( 𝑥 𝑛
+ 𝑞)
5. TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥 𝑛
+ 𝑐
Debe cumplir con las siguientes características:
 Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
 El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente 𝑎 DIFERENTE DE 1 y la
parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
 La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del
término número uno.
Para resolverlo se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer
término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
𝑎(𝑎𝑥2𝑛
+ 𝑏𝑥 𝑛
+ 𝑐)
𝑎

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y se opera, dando como resultado:
(𝑎𝑥 𝑛
)2
+ 𝑏(𝑎𝑥 𝑛
) + 𝑎𝑐
𝑎
6. DIFERENCIA DE CUADRADOS: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una
diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos
y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así: 𝑥2
− 𝑦2
= ( 𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
7. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS: Tenemos que tener en cuenta las siguientes
reglas para desarrollarlo:
 La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces
cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el
cuadrado de la segunda raíz.
 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de
sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces,
más el cuadrado de la segunda raíz.
Es decir; 𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
) y 𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 +
𝑏2
)
8. CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO:
 Debe tener cuatro términos.
 Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos.
 Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del
primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
 Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último.
Es decir; 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)3
y 𝑎3
− 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎 𝑏2
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)3
9. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES:
Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de:
 𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 + 𝑏 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
 𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛
𝑛𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑎 − 𝑏
FACTORIZAR:
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y =
3. 24a - 12ab = 4. 10x - 15x2
=
5. 14m2
n + 7mn = 6. 4m2
-20 am =
7. 8a3
- 6a2
= 8. ax + bx + cx =
9. b4
-b3
= 10. 4a3
bx - 4bx =
11. 14a - 21b + 35 = 12. 3ab + 6ac - 9ad =
13. 20x - 12xy + 4xz = 14. 6x4
- 30x3
+ 2x2
=
15. 10x2
y - 15xy2
+ 25xy = 16. 12m2
n + 24m3
n2
- 36m4
n3
=

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17. 2x2
+ 6x + 8x3
- 12x4
= 18. 10p2
q3
+ 14p3
q2
- 18p4
q3
- 16p5
q4
19. m3
n2
p4
+ m4
n3
p5
- m6
n4
p4
+ m2
n4
p3
=
20.  22
9
8
4
3
xyyx
21.  24524332
16
1
8
1
4
1
2
1
babababa
22.  babaabba 3322
25
16
15
8
5
12
35
4
23. a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 24. m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
25. x2
( p + q ) + y2
( p + q ) = 26. ( a2
+ 1 ) - b (a2
+ 1 ) =
27. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 28. a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
29. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 30. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
31. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 32. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )
33. a2
+ ab + ax + bx = 34. ab + 3a + 2b + 6 =
35. ab - 2a - 5b + 10 = 36. 2ab + 2a - b - 1 =
37. am - bm + an - bn = 38. 3x3
- 9ax2
- x + 3a =
39. 3x2
- 3bx + xy - by = 40. 6ab + 4a - 15b - 10 =
41. 3a - b2
+ 2b2
x - 6ax = 42. a3
+ a2
+ a + 1 =
43. ac - a - bc + b + c2
- c =
44. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2
- 10cd =
45. ax - ay - bx + by - cx + cy =
46. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
47. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
48.  zxyzxyxzx 75
3
143
3
10
4
21
4
15 2
49.  bnbmamam
5
16
5
4
3
8
3
2
50. x2
+ 4x + 3 = 51. a2
+ 7a + 10 =
52. b2
+ 8b + 15 = 53. x2
- x - 2 =
54. r2
- 12r + 27 = 55. s2
- 14s + 33 =
56. h2
- 27h + 50 = 57. y2
- 3y - 4 =
58. x2
+ 14xy + 24y2
= 59. m2
+ 19m + 48 =
60. x2
+ 5x + 4 = 61. x2
- 12x + 35 =

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62. 5x2
+ 11x + 2 = 63. 3a2
+ 10ab + 7b2
=
64. 4x2
+ 7x + 3 = 65. 4h2
+ 5h + 1 =
66. 5 + 7b + 2b2
= 67. 7x2
- 15x + 2 =
68. 5c2
+ 11cd + 2d2
= 69. 2x2
+ 5x - 12 =
70. 6x2
+ 7x - 5 = 71. 6a2
+ 23ab - 4b2
=
72. 3m2
- 7m - 20 = 73. 8x2
- 14x + 3 =
74. 5x2
+ 3xy - 2y2
= 75. 7p2
+ 13p - 2 =
76. 6a2
- 5a - 21 = 77. 2x2
- 17xy + 15y2
=
78. 9a2
- 25b2
= 79. 16x2
- 100 =
80. 4x2
- 1 = 81. 9p2
- 40q2
=
82. 36m2
n2
- 25 = 83. 49x2
- 64t2
=
84. 169m2
- 196 n2
= 85. 121 x2
- 144 k2
=
86.  22
36
49
25
9
ba 87.  44
16
9
25
1
yx
88. 3x2
- 12 = 89. 5 - 180f2
=
90. 8y2
- 18 = 91. 3x2
- 75y2
=
92. 45m3
n - 20mn = 93. 2a5
- 162 a3
=
94. b2
- 12b + 36 = 95. 25x2
+ 70xy + 49y2
=
96. m2
- 2m + 1 = 97. x2
+ 10x + 25 =
98. 16m2
- 40mn + 25n2
= 99. 49x2
- 14x + 1 =
100. 36x2
- 84xy + 49y2
= 101. 4a2
+ 4a + 1 =
102. 1 + 6a + 9a2
= 103. 25m2
- 70 mn + 49n2
=
104. 25a2
c2
+ 20acd + 4d2
= 105. 289a2
+ 68abc + 4b2
c2
=
106. 2ab + 4a2
b - 6ab2
= 107. 2xy2
- 5xy + 10x2
y - 5x2
y2
=
108. b2
- 3b - 28 = 109. a2
+ 6a + 8 =
110. 5a + 25ab = 111. bx - ab + x2
- ax =
112. 6x2
- 4ax - 9bx + 6ab = 113. ax + ay + x + y =
114. 8x2
- 128 = 115. 4 - 12y + 9y2
=

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116. x4
- y2
= 117. x2
+ 2x + 1 - y2
=
118. (a + b )2
- ( c + d)2
= 119. a2
+ 12ab + 36b2
=
120. 36m2
- 12mn + n2
= 121. x16
- y16
=
122. 64 – x3
= 123. 8a3
b3
+ 27 =
124. 27m3
+ 6n6
= 125. x6
– y6
=
126.
27
8
8
1 3
x = 127.
64
13
x =
APLICACIONES
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son
polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por
una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

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Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los
errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican
igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores
comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que
factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra
equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números
enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones
algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene
como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos
sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son
monomios, para no confundir luego los signos.

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Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del
paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador
Veamos el siguiente ejemplo:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo
común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en
fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos
mínimo común denominador (m.c.d.).
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y
es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores
individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo
hacemos así:

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Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como
la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por
los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el
numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones,
multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos
simplificar, si se puede.

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Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplosde multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo
el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos
simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplosde división (cociente) de fracciones algebraicas

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Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
EJERCICIOS
I.- Simplificación de fracciones algebraicas
1)
ab
a2
= 2) 224
62
28
21
xnm
xmn
= 3)
xy
yx2
=
4) 25
543
21
14
cb
cba
= 5)
mca
nca
54
32
26
42
= 6)
ba
a
2
8
2
=
7) 432
32
24
9
yxa
yx
= 8) 10126
643
34
17
zyx
zyx
= 9) 221611
201512
75
15
cba
cba
=
10) 32
22
3
axa
ab

= 11) 22
33 xyyx
xy

= 12)
62
652


x
xx
=
13)
mbanba
bmabna
2222
22
3010
4515


= 14)
aax
x
105
42


= 15)
25
153
2
2


x
xyyx
=
16)
107
20
2
2


aa
aa
= 17)
96
93
2
23


xx
xx
=
II.- Efectuar las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas:
1) 
x
7
x
5
x
9
2)  222
a
9
a
5
a
4
3) 


 2x3
4
2x3
x6

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Taller 2
4) 






 5m2
8m7
5m2
6m5
5m2
m4
5) 
x4
5
x3
2
x
1
6) 
x
3
x2
5
x5
9
7) 
x3
5
x2
7
x
6
2
8) 



m5
1m3
m2
2m
9) 



x12
5x2
x8
6x
10)
  




yx
x
yx
yxy
22
11) 


 12mm
m7
4m
m
2
12) 


 x
y
xy2x
xy2
y2x
x
2
13) 




yx
y
yxy
x
y
x
2
2
2
III.- Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones con fracciones algebraicas:
1) 
x9
y4
y2
x3 2
2) 
by
ax
ax
y
10
25 2
2
2
3)
    



3
x19
ba17
x2
ba3
4) 





5
3
6x
3x
3x
2x
5) 



316
87
54
43
yx
yx
yx
yx
6) 





9x3
2x2
1x
6x5x2
7) 





15x8x
28x3x
14x5x
6xx
2
2
2
2
8) 




28m3m
32m4m
:
21m4m
48m14m
2
2
2
2
9) 22
2
ab2
my14
:
ab
m7
10) 




3x3
15x5
:
1x
15x8x2
11) 




18x3x
14x5x
:
6xx
14x9x
2
2
2
2
12) 




15m8m
24m11m
:
20mm
16m8m
2
2
2
2
13) 33
2
mx5
ay15
:
mx
y3
14) 




14x2
6x3
:
5x
10x7x2
15) 




30xx
6x5x
:
15x8x
3x2x
2
2
2
2
16) 




8m6m
8m2m
:
20m9m
15m8m
2
2
2
2

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