Material de la Escuela de Talentos Razonamiento Matemático

1. Método Inductivo

2. El MÉTODO INDUCTIVO crea leyes a partir de la observación de los hechos, mediante la generalización del
comportamiento observado; en realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por
medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones.
Estas conclusiones podrían ser falsas y, al mismo tiempo, la aplicación parcial efectuada de la lógica
podría mantener su validez; por eso, el método inductivo necesita una condición adicional, su aplicación
se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto
Caso
1
Caso
2
Caso
3
Caso
General
Casos Particulares
Razonamiento Inductivo

3. Ejemplos de aplicación
Ejemplo 01
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución:
1
2
3
18
19
20
Analizando por partes, tenemos:
Caso 1
→ 1 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 12
1
Caso 2
1
2
→ 4 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 22
Caso 3
1
2
3
→ 9 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 32
En el problema:
1
2
3
18
19
20
→ 202
= 400 𝑡𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠

4. Ejemplo 02
Hallar la suma de cifras del resultado:
𝐸 = 999 … 995
101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
952
= 9025 → 1 𝑥 9 + 7
Resolución:
9952
= 990025 → 2 𝑥 9 + 7
99952
= 99900025 → 3 𝑥 9 + 7
999952
= 9999000025 → 4 𝑥 9 + 7
999 … 99 5
100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
2
= → 100 𝑥 9 + 7 = 907
Suma de CifrasResultado

5. Ejemplo 03
Calcular el valor de:
𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯
40 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
Resolución:
1 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1
2 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2
3 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4
4 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8
40 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠; 𝐸 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯
2 1
− 1
2 2
− 1
2 3
− 1
2 4
− 1
2 40
− 1

6. Ejemplo 04
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer
la palabra “SEBASTIAN”?
Resolución:
S
EE
BB B
AA AA
SS SS S
TTTTT T
II IIII I
A AA AAAA A
N N NNN NNN N
Cuando la palabra tiene:
S: 1 letra
S → 1 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 0
SE: 2 letras
S → 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 1
E E
SEB: 3 letras
S → 4 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 2
E E
B B B
SEBA: 4 letras
S → 8 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 = 2 3
E E
B B B
A A A A-1
-1
-1
-1
En el Problema:
SEBASTIAN: 9 letras
2 8
= Formas

7. Observación:
Debemos de considerar que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n = 3 y n = 4; o hasta n = 50,
entonces se va a cumplir para todo entero positivo n, pues podríamos cometer errores, como en este otro caso
siguiente:
¿Es cierto que 22 𝑛
+ 1 es un NUMERO PRIMO, para todo entero 𝑛 ≥ 1 ?
Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n, nos encontramos
con que:
 Para n = 1: 221
+ 1 = 5 es un número primo
 Para n = 2: 222
+ 1 = 17 es un número primo
 Para n = 3: 223
+ 1 = 257 es un número primo
 Para n = 4: 224
+ 1 = 65537 es un número primo
Donde 5, 17, 257, 65537 son efectivamente números primos; es decir que son números enteros que no
son divisibles por ningún número entero, excepto por sí mismos y por la unidad 1.
Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (22 𝑛
+1) resulta un número primo, estaríamos
cometiendo un error, pues cuando n = 5:
22 𝑛
+ 1 = 225
+ 1 = 4294967297 NO ES PRIMO
Pues 4294967297 es divisible por 641; en efecto 4294967297 = 641x6700417

8. Entonces la manera correcta de inducción es hacer cumplir lo siguiente:
Sea 𝑛 ∈ ℕ; donde si se cumple:
I. n = 1
II. n = k … (Hipótesis)
III. n = k+1 … (Tesis)
Si el caso (III) se cumple a partir del caso (II); entonces la inducción será completada
Ejemplo 02
Probar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales, satisface la fórmula:
12
+ 22
+ 32
+ 42
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2
6
; ∀𝑛 ∈ ℕ
Resolución:
Sea: 𝑆 = 𝑛 ∈ ℕ𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 12
+ 22
+ 32
+ 42
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
6
⊂ℕ

9. Probaremos en base al principio de inducción matemática, que el subconjunto 𝑆 ⊂ ℕ,
coincide con todo ℕ, es decir 𝑆 = ℕ. Veamos que:
 𝑛 = 1 ∈ 𝑆:
12
= 1 =
(1) 1 + 1 2 1 + 1
6
 Asumiendo la HIPOTESIS DE INDUCCIÓN que 𝑛 ∈ 𝑆, es decir que para n se cumple la fórmula
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
Trataremos de implicar que 𝑛 + 1 ∈ 𝑆, es decir que probaremos que:
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
=
(𝑛 + 1) 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
6
En efecto,
12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
= 12
+ 22
+ 34
+ ⋯ + 𝑛2
+ 𝑛 + 1 2
=
𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1
6
+ 𝑛 + 1 2
= 𝑛 + 1
𝑛 2𝑛 + 1 + 6 𝑛 + 1
6
= 𝑛 + 1
2𝑛2
+ 7𝑛 + 6
6
=
1
6
𝑛 + 1 𝑛 + 2 2𝑛 + 3 =
1
6
𝑛 + 1 𝑛 + 1 + 1 2 𝑛 + 1 + 1
Así observamos que (n + 1) ∈ 𝑆.