Estimación puntual y por intervalos

1. Estimación
Puntual y por
Intervalos

2. Ing. Brayan Barboza Torrez

3. Ing. Brayan Barboza Torrez
Podemos usar la información
contenida en la muestra para
tratar de “adivinar” algún
aspecto de la población bajo
estudio y sustituirla en lo que sería
nuestra “verdad desconocida”
Esto, por supuesto, implica que la información que
obtenemos de nuestras observaciones debe ser
representativa de un particular aspecto de la
población.

4. Ing. Brayan Barboza Torrez
Es importante notar que no siempre coincide la
información que hemos observado con la
información real de la población.
Sin embargo, es una buena aproximación y la
podemos utilizar para la estimación de las
características propias de dicha población.

5. Ing. Brayan Barboza Torrez
Podemos entonces dar
una medida de dicha
incertidumbre:
(Esta medida nos ayudará a crear estimadores
por intervalo para medias y proporciones
muestrales)
𝜺 = 𝜽 − ෡𝜽

6. Ing. Brayan Barboza Torrez
Población
Muestra
Datos
numéricosEstadísticos
Parámetros y
Características
(Poblacionales)
Extrae
Generar
Utilizamos
para obtener
Describir
Estimación

7. Ing. Brayan Barboza Torrez
 Las muestras son tomadas para Estimar
parámetros y para Probar Hipótesis acerca de
los parámetros.
 Un parámetro es una medida numérica de
algún aspecto de la población.
 Cuando no tenemos la información sobre toda
la población es necesario estimar el valor del
parámetro con base en la información de la
muestra sobre dicho aspecto de interés y
tenemos lo que se llama “estadístico”

8. Ing. Brayan Barboza Torrez
Estimación
Utilización de Estadísticos de las muestras para estimar o
inferir los parámetros de la población .
Estimación Puntual
Un solo números que se utiliza para estimar los
parámetros de la población
Estimación por intervalos
Un rango de valores dentro del cual es posible se
encuentre el verdadero parámetro poblacional

9. Ing. Brayan Barboza Torrez

10. Ing. Brayan Barboza Torrez
Insesgado
El promedio de la distribución muestral de los promedios de las
muestras son iguales al promedio de la población.
Eficiente
El estimador más eficiente es aquel que tiene el menor error
estándar
Consistente
Al aumentar el tamaño de la muestra, el ESTADISTICO se
aproxima cada vez más al parámetro de la población.
Suficiencia
Utiliza tanta información de la muestra que ningún otro
estimador puede extraer información adicional sobre el
parámetro poblacional

11. Ing. Brayan Barboza Torrez
Estimador con varianza
mínima pero sesgado
Estimador no sesgado
pero sin varianza mínima
Estimador no sesgado
y con varianza mínima

12. Ing. Brayan Barboza Torrez
Sea X una variable cuantitativa en una población. La
distribución de probabilidad de X es desconocida en
todo o en parte.
θ parámetro desconocido asociado a la distribución de
probabilidad de X (por ejemplo, la media poblacional, µ,
la varianza poblacional, σ2 , la proporción asociada a una
distribución binomial, p etc.)
X1…..,Xn Muestra Aleatoria Simple de la variable X.
Nuestra principal herramienta para obtener
información sobre la distribución de probabilidad de
X ó sobre cualquier parámetro θ.

13. Ing. Brayan Barboza Torrez
Un estimador puntual de θ es una función መ𝜃 de X1,. .. ,Xn que
aproxima el valor de θ. Cuando se da el valor del estimador መ𝜃, hay que
dar también una estimación del error que se comete al aproximar el
valor del parámetro θ mediante መ𝜃.
Promedio: ത𝑋 =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥 𝑛
𝑛
=
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑉arianza Muestral: 𝑉 𝑥 =
1
𝑛
෍ 𝑥𝑖 − ത𝑋 2
𝑠 𝑥 =
1
𝑛
෍ 𝑥𝑖 − ത𝑋 2

14. Ing. Brayan Barboza Torrez

15. Ing. Brayan Barboza Torrez
Un rango de valores dentro del cual es posible que se encuentre el verdadero
parámetro θ de la población.
Nivel de Confianza
La probabilidad asociada con la confianza que el verdadero
parámetro θ se encuentre dentro del intervalo establecido.
Intervalo de confianza
El rango de estimación determinado dentro del cual se debe
encontrar el verdadero parámetro θ de la población
Relación entre Nivel e Intervalo de confianza
A mayor nivel de confianza más grande será el tamaño del
intervalo determinado, pero menor será el nivel de precisión de
la estimación realizada.

16. Ing. Brayan Barboza Torrez
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 99%
0.99
2
= 0.495 → 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑍 = 2.58
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 95%
0.95
2
= 0.475 → 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑍 = 1.96
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 90%
0.90
2
= 0.450 → 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑍 = 1.64

17. Ing. Brayan Barboza Torrez
Gráficamente para una NORMAL TIPIFICADA, un intervalo de confianza
del 95% , se presenta de la siguiente manera:
La probabilidad de que una variable normal estándar tome valores en el
intervalo [-1.96;1.96] es del 95%

18. Ing. Brayan Barboza Torrez
Se tiene 95% de probabilidad que el
promedio de la población esta dentro
del intervalo establecido por la
muestra.
Si seleccionamos muchas muestras del
mismo tamaño y calculamos un
intervalo de confianza para cada una
de las muestras, en alrededor del 95%
de los casos el promedio de la
población caera dentro del intervalo.

19. Ing. Brayan Barboza Torrez