Esta es otra presentacion de power point sobre matemàticas.

1. 1. ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, si sus lados iguales miden 20 y su ángulo desigual es igual a 30°? α α 15 15 30 75 75 20 20 √ 6 - √2 √ 6 - √2 √ 6 + √2 4k = 20 k = 5 5 5 5 Recordamos 15 75 4k √ 6 + √2 √ 6 - √2 A ∆ = b x h 2 = 10( √6 - √2) . 5( √6 + √2) 2 50 . 6 - 2 2 = 50.4 2 200 2 100 Rpta

2. 2. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 5 m. y la altura relativa a la hipotenusa 3 m. Calcular el área del triángulo. 5 3 4 X 4 Hallamos “X” por relaciones métricas A ∆ = b x h 2 4 + 9 . 3 4 2 25 4 . 3 2 75 4 2 1 75 8 Rpta = 9 3 ² = 4.x 9 = 4x 9 4 = x

3. 3. En un triángulo ABC se traza la bisectriz CF. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos ACF y CFB, si AC = 5 y BC = 7. B C A α α 5 7 2 2 F A ∆ ACF = 5 2 x 2 10 2 5 A ∆ CFB = 7 2 x 2 7 Relación entre las áreas A ∆ ACF A ∆ CFB 5 7 Rpta

4. 4. En la figura, hallar la relación entre las áreas de los triángulos ABC y ADE. A E D C B a a a a a √2 √ 3a 2a ∆ ABC = a . √3a (a √2) ² + a² = h² a².2 + a² = h² 2 a² + a² = h² √ 3 a² = √ h² √ 3 a = h 2 √ 3a ² 2 ∆ ADE = a ² 2 √ 3a ² 2 a ² 2 √ 3 Rpta

5. 5. El lado del cuadrado mostrado es igual a “L”. Si A y B son puntos medios, hallar el área sombreada. A B S S S S S S/2 S/2 L L /2 L /4 L 4 x L 2 x 1 2 2 L ² 8 Rpta

6. 6. Sea el triángulo ABC recto en B. Si la mediana BM es congruente con uno de los catetos y AC = 10, se pide hallar el área de dicho triángulo. A C B M 5 5 x 5 5 √3 x ² = 5.5 x² = 25 X = 5 5 Hallamos el cateto que falta: 100 = 25 + 2 75 = 2 5√3 = A ∆ ABC = 2 = 5 √3 x 5 2 25 √3 2 12.5 √3 Rpta B x h

7. 7. Calcular el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura relativa a la hipotenusa mide 1 y que los catetos están en la relación de 1 a 3. 1 7k - 1 3k + 1 10 k k √ 10 √ 9 3k 3 √10 √ 9 3k ² + k² = h² 9k ² + k² = h² 10k² = h² 10k = h K = √10 √ 9 A ∆ = 3 √10 √ 9 √ 10 √ 9 2 3(10) 9 2 1 30 18 = 5 3 Rpta

8. 8. Dado un paralelogramo ABCD, se traza la diagonal AC y desde C se traza la perpendicular CH a la prolongación de AD. Si el área del triángulo ABC es 400 √3 y AD = DH, hallar el área del triángulo CDH. 400 √3 400 √3 A B C D H A ∆ ABC = b x h 400 √3 = b x h A ∆ CDH = b x h 400 √3 2 Rpta 2 2

9. 20. En un triángulo rectángulo ABC, se sabe que el radio de la circunferencia inscrita es 2 y el radio de la circunferencia circunscrita es 5. Hallar el área del triángulo. 2 2 5 5 A C B 6 8 A ∆ = 6 x 8 2 48 2 24 Rpta 4 4 4 2 5 3

10. 21. Dado el cuadrado ABCD de lado 6 m, se traza exteriormente a él, el triángulo equilátero BCE. Hallar el área del triángulo ABE. A B C D 6 6 6 6 3 3 E A ∆ ABE = B x h 2 3 . 6 2 = 18 2 = 9 m ² Rpta

11. 22. En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios de AB y BC respectivamente. Sobre AC se toma un punto P y se traza el triángulo MNP. Si el área de ABC es 20 cm ², calcular el área del triángulo MNP. C B A P M N 5 2 4 10 A ∆ ABC = B x h 2 b x h 2 20 = 40 = b x h 10 4 2 A ∆ MNP B x h 2 5 . 2 2 5 cm ² Rpta = 20 cm ²

12. 23. Se tiene un triángulo ABC cuya área es 27 cm ². Se traza MN // BC. Hallar el área del triángulo AMN, si 3 MN = BC. A B C N M x 3x 27 cm ² 3 3 9 6 A ∆ ABC = B x h 2 27 = B x h 2 54 = B x h 9 6 2 4 A ∆ AMN = B x h 2 3 . 2 2 3 m ² Rpta

13. 24. En la figura, ABCD es un cuadrilátero cuya área es 120 cm ² . El triángulo ABD tiene un área de 25 cm². ¿Cúal es el área del triángulo BMD, sabiendo que M es punto medio de la diagonal AC? A B C D M 10 7 5 25 cm ² B x h = 25 2 B x h = 50 10 5 A ∆ BMD = 10 x 7 2 70 2 35 cm ² Rpta

14. 25. La base de un triángulo isósceles ABC mide 15 m. y una de las alturas iguales 12 m. Calcular el área del triángulo. B C 15 base 10 12 altura A A ∆ = B x h 2 15 x 2 2 = 150 2 75 m ² Rpta

15. 26. Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el que: AC = BC = 25 y AB = 40. Se traza DE // AB, de modo que el área del triángulo EDC sea igual al área del trapecio ABED. Se pide hallar la distancia de C a DE. 37 37 53 S S A C B 20 20 40 x 20 √2 D E 25 25 Propiedad: S 2S = x ² 40 ² 800 = x ² 20 √2 = x 40 . 15 2 2 S = 150 = S 15 A ∆ = 20 √2 . X 2 = 150 X = 15 √2 √ 2 . √2 15 √2 2 = 7,5 √2 Rpta A ∆ ABC = b x h 2

16. 27. Hallar, sobre la diagonal AC de un cuadrado ABCD de lado 3 m, la distancia AP en la que se ubica un punto P, que al unirlo con los vértices A, B y D divide al cuadrado en tres partes equivalentes. A D B C S S S 3 3 3 3 P √ 2 3 √2 AP 3 √2 - √2 2 √2 m. Rpta =

17. 28. Se da un triángulo ABC en donde las medianas AD y BE se cortan en F. Si el área del cuadrilátero FDCE es 8 m ², hallar el área del triángulo ABC. A B C E D 4 4 F 8m ² 8 4 4 2 A = B x h 2 8 = 4 . 2 8 = 8 4 2 2 6 A ∆ ABC = 8 . 6 2 24 Rpta 2

18. 37. Se tiene el cuadrado ABCD de 4 m de lado. Se construye exteriormente los triángulos equiláteros AEB y BFC. Calcular el área del triángulo EBF. E B A C D F 4 6 4/3 6 x 4 3 2 24 3 2 1 24 6 4 Rpta A ∆ EBF =

19. 38. En un rectángulo ABCD, AB = 9 y AD = 6. La bisectriz interior de  corta a BD en F y a CD en E. Hallar el área del triángulo DEF. D A B C 45° 45° 9 8 E 1 F 4 2 h 1.8 6 A ∆ DEF = 8 x 1.8 2 14.4 2 7.2 = Rpta

20. 39. Si el lado del cuadrado ABCD es “a”, hallar el área sombreada, sabiendo que M y N son puntos medios. A N B C D M a/2 a/2 S S a a √2 12 a √2 a √2 Hallamos la base: a √2 12 + a √2 12 2a √2 12 A ∆ = a √2 x 2a √2 12 2 2a ² . 2 12 2 1 4a ² 24 a ² 6 Rpta 12

21. 142. En una circunferencia de radio igual a 8 m, se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB. Hallar el área del círculo tangente a AB y CD. 8 A B C D 2 √3 8 A = π R ² = π (2√ 3) ² = π 4.3 12 π m ² Rpta

22. 151. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”, AD es un semicírculo y AC un cuarto de círculo. Hallar el área sombreada. A B C D 45° a/2 a/2 S = π a ². 45° 360 = π R ² 4 . 90 360 - a ² 4 1 2 . S c = π a ² 8 - π a ² 16 - a ² 8 S = π a ² 16 - a ² 8 S = a ² 16 π 2 - 2 S = a ² 16 π - 2 a Rpta