2. Dado un sistema de ecuaciones lineales
podremos sacar dos matrices:
M La matriz de los coeficientes o
matriz del sistema
M* La matriz ampliada que incluye
además los términos independientes
3. Matriz de los coeficientes 6 3 2
o matriz del sistema
M 3 4 6
1 3 2
6 x 3 y 2z 5
3 x 4 y 6 z 3
x 3 y 2z 0
6 3 2 5
Matriz ampliada M* 3 4 6 3
1 3 2 0
4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Si Rg M = Rg M* el sistema es compatible y
tiene solución
Si Rg M ≠ Rg M* el sistema es incompatible
y no tiene solución
5. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
Si Rg M = Rg M* = nº de incógnitas (SCD)
Sistema compatible determinado, tiene 1 solución
Método de Cramer
Si Rg M = Rg M* < nº de incógnitas (SCI)
Sistema compatible indeterminado, tiene ∞
soluciones
Método de Gauss
Si Rg M ≠ Rg M* (SI)
Sistema incompatible, no tiene solución
6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Los sistemas homogéneos tienen como término
independiente 0 en todas sus ecuaciones
2 x 3 y 5z 0
3 x 4 y 2z 0
x 3 y 2 z 0
Se tratan de sistemas compatibles, siempre
tienen solución Rg M = Rg M*
Si la solución es única se trata de la solución
trivial (0, 0, 0)
7. MÉTODO DE CRAMER
Se aplica en sistemas compatibles
determinados (SCD) con 1 solución
Rg M = Rg M* = nº de incógnitas
x 3 y 2 z 11 1 3 2 1 3 2 11
3 x 4 y 6 z 1 M 3 4 6 M * 3 4 6 1
1 3 2 1 3 2 1
x 3 y 2z 1
8. Rango de M
1 3 2
M 3 4 6
1 3 2
1 3 2
3 4 6 8 18 18 8 18 18 72
1 3 2
El determinante da distinto de 0 → Rg M = 3
Rg M = 3 = Rg M* = nº de incógnitas SCD
10. El valor de las incógnitas se obtiene como
cociente de determinantes.
Como denominador se coloca el determinante
de la matriz de los coeficientes o del sistema.
¿ ...? ¿ ...?
¿ ...?
x y z
1 3 2 1 3 2 1 3 2
3 4 6 3 4 6 3 4 6
1 3 2 1 3 2 1 3 2
11. Como numerador se pone el mismo
determinante cambiando la primera columna si
se trata de la x, la segunda columna si se trata
de la y, la tercera columna si se trata de la z, y
así sucesivamente.
¿ ...? 3 2
¿ ...? 4 6 1 3 ¿ ...?
¿ ...? 3 2 3 4 ¿ ...?
x 1 3 ¿ ...?
1 3 2 z
1 ¿ ...? 2 1 3 2
3 4 6
3 ¿ ...? 6 3 4 6
1 3 2
1 ¿ ...? 2 1 3 2
y
1 3 2
3 4 6
1 3 2
13. MÉTODO DE GAUSS
Se puede aplicar siempre en cualquier
sistema, y es el más aconsejable para
sistemas compatibles indeterminados (SCI)
con ∞ soluciones
Rg M = Rg M* < nº de incógnitas
x 2 y 2z 1 1 2 2 1 2 2 1
M 3 1 4 M* 3 1 4 1
3 x y 4 z 1
2 3 6 2 3 6 2
2 x 3 y 6 z 2
14. Rango de M
1 2 2
M 3 1 4
2 3 6
1 2 2
3 1 4 6 18 16 4 12 36 46 46 0
2 3 6
El determinante da 0 → Rg M = 2
16. Se trabajará con tantas ecuaciones como indique
el rango del sistema. Cogeremos siempre las
ecuaciones más sencillas.
x 2 y 2z 1
x 2 y 2z 1
3 x y 4 z 1 Rg M = 2 = Rg M*
2 x 3 y 6 z 2
3 x y 4z 1
Tenemos más incógnitas que ecuaciones.
A partir de ahora vamos a considerar que tenemos
tantas ecuaciones como incógnitas. Pasamos las
incógnitas que nos sobra a la otra parte de la
igualdad y pasarán a considerarse parámetros.
17. x 2 y 2z 1 x 2 y 1 2z
3 x y 4z 1 3 x y 1 4z
Por reducción o Gauss hallamos las
incógnitas, que generalmente dependerán de
los parámetros o incógnitas que hemos pasado
x 2 y 1 2z E1 = E1 x 2 y 1 2z
3 x y 1 4z E2 = - 3E1 + E2 7 y 4 10z
4 10z
y x 2 y 1 2z
7
4 10z 4 10z 7 14z 8 20z 1 6z
x 2 1 2z x 1 2z 2
7 7 7 7
1 6 z 4 10z
Sol : , , z)
Sol : ( x , y , z ) 7 7