Teoría y problemas de Razonamiento Matemático EL POSTULANTE ccesa007

COLECCIÓN EL POSTULANTE
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO

COLECCIÓN EL POSTULANTE
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
E d ito ria l

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - COLECCIÓN E l POSTULANTE
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro
Composición de interiores: Lidia Ramírez
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L.; editor
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima
Telefax: 331-1522
RUC 20260100808
E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007
Segunda edición 2013
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Registro N.° 2012-11993
ISBN 978-612-302-914-2
Registro de Proyecto Editorial N.” 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
sin previa autorización escrita dei autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed ¡n Perú
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Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván
Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L.
RUC 10090984344

INDICE
Planteo de ecuaciones.......................................................................................................................................... 9
Edades.................................................................................................................................................................. 17
Móviles...................................... 22
Operadores matemáticos....................................................................................................................................26
Relojes...................................................................................................................................................................30
Inducción y deducción.........................................................................................................................................35
Sucesiones y series............................................................................................................................................. 41
Conteo de figuras.................................................................................................................................................46
Razonamiento lógico........................................................................................................................................... 51
Comparación de magnitudes.............................................................................................................................. 60
Porcentajes........................................................................................................................................................... 66
Fracciones.............................................................................................................................................................72
Análisis combinatorio...................................................................................................................................... 80
Razonamiento geométrico................................ 87
Regiones sombreadas.........................................................................................................................................93
Cripto aritmética.................................................................................................................................................101

PRESENTACIÓN
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades,
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe
dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de
los contenidos.
-E L EDITOR-

PLANTEO DE ECUACIONES
ECUACIÓN
Igualdad entre cantidades del mismo valor donde
uno o más valores desconocidos están represen
tados por variables.
Para realizar un correcto planteo de ecuaciones es
necesario comprender correctamente e Interpretar
el enunciado para luego simbolizarlo, es decir, pa
sarlo al lenguaje algebraico.
PLANTEO DE ECUACIONES
Enunciado
Lenguaje
matemático
ENUNCIADO
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
a es dos veces b: x = 2y
x es dos veces más que y: x = 3y
El doble, de x más 4: 2(x + 4)
El triple de x, más 7: 3x + 7
El número de manzanas
excede al número de na
ranjas en 8:
M - N = 8
La suma de tres números
impares consecutivos:
(x)+(x + 2)+(x + 4)
El número de varones
es al número de damas
como 5 es a 9:
V 5
D 9
El cubo del doble de x : (2x)3
El doble del cuadrado de x: 2(x2)
Dos menos tres veces un
número:
2 - 3x
Dos menos de tres veces
un número:
3x - 2
El triple de un número, au
mentado en 12:
3x + 12
El triple, de un número au
mentado en 12:
3(x + 12)
La suma de tres números
consecutivos:
(x—1)+ x+ (x+ 1)
La edad de Luis es dos
veces la edad de Kike:
Luis: 2x
Kike: x
ENUNCIADO
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
La edad deAna es dos veces Ana: 3x
más que la edad de Bety: Bety: x
El exceso deA sobre B es40: A-B = 40
A 2
A es a B como 2 a 3:
B 3
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Anita tiene entre conejos y gallinas treinta ani
males. Si el número de patas en total que ella
observa es 100, ¿cuántos conejos tiene?
Resolución:
Como Inicio a la resolución del problema ve
mos que el número de conejos y el de gallinas
es desconocido, es por ello que le damos a
cada uno una variable.
Número de conejos = y
Número de gallinas = x
Ahora planteamos las ecuaciones según los
datos, obteniéndose lo siguiente:
gallinas + conejos = 30 =» x + y = 30
Con respecto a las patas (conejos: 4 patas;
gallinas: 2 patas)
4y + 2x = 100 => 2y + 2(y + x) = 100
~ 6(P
2y + 60 = 100 .-.y = 20
2. Me falta S/.100 para poder comprar una ca
misa y me sobraría S/.50 si decido comprar
un polo cuyo costo es la mitad de la camisa.
¿Cuánto dinero tengo?
Resolución:
Como el precio de la camisa es el doble que
el precio del polo por ello uno es 2x y el otro
x. SI me falta S/.100 para comprar la camisa,
mi dinero es el precio de la camisa menos
S/.100, pero si luego de comprar el polo me
sobra S/.50, mi dinero es el precio del polo
más S/.50. Esto lo expresamos con variables
de acuerdo a lo siguiente:
Precio de la camisa = 2x; Precio del polo = x
Mi dinero: 2x - 100; Mi dinero: x + 50

1 0 | C o lección El Po s tulan te
Planteo la ecuación:
2x - 100 = x + 50 => x = 150
Finalmente mi dinero es: x + 50 = 200
3. Dentro de un establo hay caballos negros
y blancos, el número de caballos negros es
tres veces el número de caballos blancos.
SI saco del establo 13 caballos negros y los
reemplazo por 17 caballos blancos la propor
ción Inicial entre caballos negros y blancos se
invierte. Calcular el número total de caballos
¡nlclalmente.
Resolución:
Al inicio la relación es de 3 : 1, al final será de
1: 3, lo cual se esquematiza con el siguiente
cuadro:
Caballos negros Caballos blancos
3x X
3x - 13 x + 17
3(3x - 13) = x + 17 => x = 7
Total caballos inicialmente: 4x = 28
4. Pepe no sabe si comprar 56 tajadores o por el
mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci
dió comprar el mismo número de artículos de
cada tipo, ¿cuántos compró en total?
Resolución:
Tajador Lápiz Lapicero
Costo de c/u X y z
Sea n el número de artículos de cada tipo que
compró.
Luego según enunciado:
56x = 8y + 8z = n(x + y + z)
Resolviendo: n = 7; pero compró en total:
3n = 21 artículos
5. La hierba crece en el prado con igual rapi
dez y espesura, se sabe que 60 vacas se la
comerían en 25 días y 40 vacas, en 45 días.
¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba
en 75 días?
Resolución:
n.° de
vacas
n.° de
días
n.° total de
hierba
60 25 I + 25C
40 45 I+45C
X 75 I + 75C
I: hierba inicial
C: crecimiento diario
Hierba consumida en 1 día por una vaca:
I + 25C = I + 45C = I + 75C ^ , = 75C
60 x25 40 x45 75x
De donde: x = 30
[ " ejercicios PROPUESTOS 1 |
1. En una fiesta habían 76 personas. Se observó
que el número de hombres era igual a la raíz
cuadrada del número de mujeres adultas. Y el
número de niños era la raíz cúbica del número
de mujeres adultas. Calcule la diferencia entre
el número demujeres y hombres adultos.
a) 4 b) 12 c) 24
d) 56 e) 36
2. Con las tablas que sirven para construir un
área de 40 metros, se desea delimitar un jar
dín de forma rectangular, donde uno de sus
lados sea la pared de la casa y que el área
sea,lo más grande posible. ¿Qué dimensio
nes debe tener dicho jardín?
a) 24 m; 8 m b) 26 m; 12 m
c) 25 m; 7,5 m d) 20 m; 10 m
e) 22 m; 9 m
3. Se tiene un número de 2 cifras donde uno de
sus dígitos es k2. Dicho número es igual a la
suma de sus cifras multiplicada por M, y cuan
do se invierte el orden de sus cifras, se obtie
ne un número igual a la suma de sus cifras
multiplicada por:
a) k + M b) M- k c) 11 - M
d) k - M e) k2+ M + 1
El señor Lolo da a uno de sus colaboradores
90 entradas para el circo, a otro le da 96 entra
das y a otro 78 entradas, para repartirlo entre

Ra z o n a m ie n t o M ate m á t ic o | 11
los trabajadores de la prensa, de manera que
todos den a cada trabajador la misma canti
dad de entradas. ¿Cuál es la mayor cantidad
que podrán dar a cada trabajador y cuántos
son los trabajadores beneficiados con las en
tradas?
a) 6 y 44 b) 3 y 41 c) 4 y 51
d) 3 y 52 e) 4 y 53
5. Brenda compra 30 libros de medicina a S/.70
cada uno, en un descuido le robaron unos
cuantos, y al vender cada uno de los restan
tes aumentó tantas veces S/,2,8 como libros
le hablan robado, resultando que no hubo pér
dida ni ganancia ¿Cuántos libros le robaron?
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 6
6. Con las bolitas que tengo puedo formar dos
cuadrados compactos exactamente, tal que
los lados de los cuadrados se diferencian en 6
bolitas. Pero si formamos un triángulo equilá
tero también compacto colocando en su lado
una cantidad de bolitas igual a la suma de las
bolitas que se colocaron en los lados de los
cuadrados, también alcanzaría exactamente.
Si formamos un solo cuadrado compacto (el
más grande) ¿cuántas bolitas sobran?
a) 20 b) 48 c) 41
d) 24 e) 38
7. El día de los enamorados un ratoncito sale de
su hueco hacia el hueco de su ratoncita dan
do alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con
otro regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero
habiendo recorrido 1,23 m se detiene a suici
darse. ¿Cuánto le faltaba recorrer para llegar
a su hueco?
a) 26 cm b) 30 cm c) 20 cm
d) 32 cm e) 53 cm
8. Al contar x bolitas de colores, algunas blancas
y otras negras, se encontró que 29 de las pri
meras 30 eran blancas, de ahí en adelante 7
de cada 10 contadas eran blancas. Si en total
4 de cada 5 bolas contadas eran blancas, cal
cular x.
a) 60 b) 90 c) 70
d) 120 e) 80
9. Con dos números enteros y positivos se hicie
ron las siguientes operaciones: los sumaron,
los restaron, el menor del mayor, los multipli
can y los dividieron, el mayor entre el menor.
SI la suma de los 4 resultados fue 243, ¿cuál
es el mayor de dichos números?
a) 20 b) 23 c) 21
d) 24 e) 22
10. En un matrimonio masivo participaron 85 pa
rejas, de ellos 68 damas no usaron anteojos, y
hay tantas personas como caballeros que no
los usan. ¿Cuántas personas usan anteojos?
a) 50 b) 53 c) 51
d) 54 e) 52
11. Se tiene una suma de S sumandos todos ma
yores que 1. A tres de ellos se les aumenta 25
unidades a cada uno y se vuelve a sumar, si
el nuevo resultado es el cuádruple del anterior
y se sabe que S es mayor que 6, ¿cuál era el
resultado original?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 50 e) 25
12. Un asta de metal se rompió en cierto punto
quedando con la parte de arriba doblada a
manera de gozne y la punta tocando el piso
en un punto localizado a 20 m de la base. Se
reparó pero se rompió de nuevo. Esta vez en
un punto localizado 5 m más abajo que la vez
anterior y la punta tocando el piso a 30 m de
la base. ¿Qué longitud tenia el asta?
a) 43 m b) 55 m c) 58 m
d) 50 m e) 62 m
13. Considere los tres menores números natura
les consecutivos de tres cifras, cuya suma es
un cuadrado perfecto. Hallar la menor cifra del
mayor de estos tres números.
a) 1 b) 2 c) 0
d) 4 e) 3
14. Max reparte 26 caramelosentre sus 4 sobri
nos. Comen cada uno de los 4 varios cara
melos. Al cabo de una hora comprueba que le
queda a cada uno el mismo número de cara
melos. Si el mayor había comido tantos como
el tercero, el segundo comió la mitad de su

12 | C o le c c ió n El P o s tu la n te
número inicial y el cuarto comió tantos como
los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió
el menor de los 3 sobrinos?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 8 e) 15
15. Un comerciante compró cierto número de
libros por S/.60, se le extraviaron 3 de ellos
y vende los que le queda en S/.2 más de lo
que había costado cada uno, ganando en total
S/.3. ¿Cuántos le costó cada libro?
a) S/.4 b) S/.10 c) S/.6
d) S/.8 e) S/.5
16. Al número xyz se le resta zyx y en el resultado
se observó que la cifra de las unidades era el
doble de las cifras de las centenas. SI x + y +
z es lo máximo posible, calcular xyz.
a) 360 b) 380 c) 460
, d) 405 e) 432
17. En la orilla de un río de 100 m de ancho está
situada una planta eléctrica y en la otra orilla
opuesta a 500 m río arriba, se está constru
yendo una fábrica. Sabiendo que el río es rec
tilíneo y que el tendido de cables a lo largo de
la orilla cuesta S/.9 cada metro y que el tendi
do de cable sobre el agua cuesta S/.15 cada
metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más
económico posible entre la planta eléctrica y
la fábrica?
a) 500 m b) 420 m c) 600 m
d) 950 m e) 550 m
18. Luchito gastó $100 en comprar 100 juguetes
de 3 clases, cada carrito costó $4, cada motito
$2 y cada pelota un tercio de dólar. Si compró
al menos uno de cada clase, ¿cuántos objetos
de cada clase compró Luchito? (El número de
motltos es un número no primo).
a) 8; 12; 80 b) 15; 7; 78
c) 10; 18; 72 d) 14; 16; 70
e) 5; 29; 66
19. El señor Panchito es un hombre muy caritativo
y le da limosna a los mendigos de la siguiente
manera: cuando encuentra a una mujer pobre
y a un ciego, le da a la mujer el doble de lo
que le da al ciego.Cuando se encuentra a un
ciego y a un niño, leda al ciego el doble de
lo que le da al niño. Un día encontró a los 3 y
repartió S/.700 entre ellos. ¿Cuánto le tocó al
ciego?
a) S/.400 b) S/.300 c) S/.200
d) S/.350 e) S/.500
20. Cuando tú tengas el dinero que él tiene, él
tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos
y le será suficiente para comprarse un
automóvil de $3600 y aún quedarse con $400.
SI tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá
en ese entonces, ¿cuánto de dinero tengo?
a) $7000 b) $7500 c) $7600
d) $6000 e) $2500
21. Se desea cambiarun billete de 10 soles en
monedas de 20 céntimos y 50 céntimos. ¿De
cuántas formas diferentes se puede hacer
esto, utilizando al menos una moneda de
cada tipo?
a) 7 b) 9 c) 10
d) 11 e) 8
22. Bruno, Diego y Federico fueron al supermer
cado. Bruno pagó con S/.50 y recibió S/.12
de vuelto. Diego y Federico pagaron cada
uno con un billete de S/.100. Bruno y Fede
rico gastaron entre los dos S/.80. SI el vuelto
de Diego fue la mitad del vuelto de Federico,
¿cuánto gastó Diego?
a) S/.40 b) S/.80 c) S/.51
d) S/.86 e) S/.71
23. En un aula de un seminario de Razonamiento
Matemático hay 86 personas. El profesor ob
serva que el cuádruple de señoritas, disminui
do en 15, es mayor que 65 y que el triple de
estas disminuido en 2 es menor que el doble
de ellas aumentado en 10. ¿Cuántos varones
hay en el aula?
a) 65 b) 69 c) 66
d) 67 e) 41
24. Un agricultor tiene cierto número de cabezas
de ganado, al vender la cuarta parte quedarán
menos de 118 y si la venta fuera la sexta parte
quedarían más de 129, ¿cuántas eran las ca
bezas de ganado que tenía?
a) 155 b) 154 c) 156
d) 150 e) 151

Ra z o n a m ie n t o M a te m á tic o | 1 3
25. Al repartir caramelos entre un grupo de niños
se observa que, si se entrega 20 a cada uno
sobraría 40, pero si se les entrega 25 a cada
uno solo sobraría 10 caramelos, ¿cuántos ca
ramelos se van a repartir?
1. d 7. e 13. c 19. c 25. a
2. d 8. e 14. a 20. a 26. c
3. c 9. e 15. e 21. b 27. d
4. a 10. c 16. d 22. e 28. c
5. d 11. e 17. e 23. a 29. b
6. c 12. d 18. c 24. c 30. da) 160 b) 165 c) 130
d) 125 e) 120
26. Gabito le dice a su tío: De los S/.400 que me
diste gasté S/.150 más de lo que no gasté.
¿Cuánto gastó Gabito?
a) S/.295 b) S/.225 c) S/.275
d) S/.250 e) S/.150
27. Rosa y Edith son dos niñas que les gusta co
leccionar chapas de gaseosas; entre las dos
tienen 40. Si Rosa le diera a Edith 12 de sus
chapas entonces Edith tendría ahora el triple
de lo que a Rosa le queda, ¿cuántas chapas
tenía Edith al inicio?
a) 22 b) 30 c) 12
d) 18 e) 15
28. Se tienen tres montones de canicas con dife
rentes números de canicas cada uno; aunque
la diferencia entre ellos es la misma. Además
entre los tres se cuentan 60 canicas. Si del
montón que no es el más grande ni el más
pequeño se pasan al montón pequeño dos
canicas entonces este tendría la tercera parte
de canicas que quedaría en el montón dismi
nuido, inicialmente, ¿cuánto tenía el montón
más grande?
a) 29 b) 30 c) 36
d) 35 e) 40
29. Entre dos niños tienen S/.20, si uno tiene el
triple del otro, ¿cuánto debe dar el que tiene
más al otro para que este tenga el cuádruple
de lo que tiene él?
a) S/.13 b) S/.11 c) S/.21
d) S/.10 e) S/.15
30. Joel lanza 3 dados y observa que la suma es
16, ¿cuánto suman los números que están en
la parte inferior de cada dado?
a) 4 b) 3 c) 10
d) 5 e) 7
[^EJERCICIOS PROPUESTOS^
1. Si tengo que pagar un recibo de luz de S/.100
y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas
monedas tengo, si hay más monedas de S/.5
que de S/.7?
a) 15 b) 18 c) 26
d) 16 e) 20
2. Con 60 monedas en total, unas de 5 soles y
otras de 2 soles, se quiere pagar una deuda
de 204 soles. ¿Cuántas monedas de cada
clase se tienen respectivamente?
a) 28 y 32 b) 30 y 30 c) 44 y 16
d) 40 y 20 e) 32 y 28
3. En una ciudad de 240 personas, a 1/4 de la
población no le gusta ir al cine ni visitar un
museo, a 1/8 de la población le gusta ir al cine
y a los 17/24 les gusta visitar un museo. ¿A
cuántos les gusta ir solo al cine?
a) 8 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
4. En un colegio, se observa la misma cantidad
entre niños y niñas. A la salida, vienen a reco
gerlos sus familiares entre varones y mujeres,
contándose con los niños 16 personas en to
tal. Media hora después se duplica el número
de varones adultos, aumenta en 3 veces más
el número de mujeres y las niñas se duplican,
contándose en total a 38 personas. Calcule el
número máximo de mujeres, entre adultas y
niñas, que habían.
a) 3 b) 4 c)8
d) 9 e) 12
5. Si tengo sólidos geométricos entre tetraedros
regulares y pirámides de base cuadrada, con
tándose un total de 46 aristas, calcule la me
nor cantidad de pirámides.

1 4 | C olección El Po stu la n te
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Si dos números suman 32 y uno es múltiplo
de 3 y otro de 7. Halle el mayor de ellos.
a) 12 b) 14 c) 18
d) 20 e) 21
7. En una reunión, hay 8 mujeres sentadas y
tantas parejas bailando como varones senta
dos. Luego se observa que todas las mujeres
bailan y 8 varones no lo hacen. ¿Cuántas per
sonas hay en la fiesta?
a) 36 b) 40 c) .46
d) 54 e) 56
8. Para tener 20 soles me falta tanto como la
mitad de lo que me falta para tener 28 soles.
¿Cuánto tengo?
a) S/.20 b) S/.12 c) S/.8
d) S/.16 e) S/.18
9. Sobre un estante se puede colocar 15 libros
de Álgebra y 3 libros de Geometría o 9 libros
de Geometría y 5 libros de Álgebra. ¿Cuántos
libros solo de Álgebra entran en el estante?
a) 12 b) 15 c) 20
d) 18 e) 16
10. Pedro y Juan al llevar 7 y 5 panes,
respectivamente, se encuentran con Carlos
y comparten con él los 12 panes en partes
iguales. SI Carlos pagó S/.12 por su parte,
¿cómo deben repartirse el dinero Pedro y
Juan?
a) SI. 2 y S/.10 b)S /.7yS /.5
c) S/.9 y SI.3 d) S/.8 y S/.4
e) S/.7,5 y S/,4,5
11. Tres cestos contienen 575 manzanas. El
primer cesto tiene 10 manzanas más que el
segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas
manzanas hay en el segundo cesto?
a) 190 b) 188 c) 176
d) 197 e) 181
12. Con 38 monedas de plata de 1 y de 5 pese
tas, colocadas en contacto, unas a continua
ción de otras, se ha formado la longitud de un
metro. Calcular el número de monedas que
han entrado de cada clase, sabiendo que los
diámetros de dichas monedas son de 23 y
37 mm.
a) 13 y 25 b) 19 y 19 c) 9 y 29
d) 15 y 23 e) 10 y 28
13. Un padre de familia compró por Navidad una
botella de champagne y un panetón; costando
éste S/.6 más que la botella; el año siguien
te compró otra botella de champagne y otro
panetón resultando este S/.2 más caro que el
del año pasado, y la botella resultó S/.2 más
barata que la del año pasado; entonces ahora
resultó que el precio del panetón era el doble
que el de la botella de champagne. ¿Cuánto
costó el segundo panetón?
a) S/.20 b) S/.12 c) S/.18
d) S/.10 e) S/.15
14. Un chofer de combl iba a cobrar S/.2,50 para
llevar a un grupo de personas; pero le propo
nen llevar a dos personas más y por ello co
bra S/.2 a cada uno. El chofer sacó la cuenta
y observó que ganaría S/.1 más por lo que
realizó el traslado. ¿Cuántos pasajeros llevó
en total?
a) 12 b) 10 c) 11
d) 6 e) 8
15. Un comerciante que llevaba naranjas para
vender en el mercado, razonaba de la si
guiente manera: “SI vendo cada naranja a x
soles, me faltarían R soles para comprar una
bicicleta. En cambio si vendo cada naranja a
y soles, compro la bicicleta y me sobrarían
S soles. ¿Cuántas naranjas llevaba el comer
ciante?
a) R + 1 b) (y —x)/(R + s)
c) (R + S)/(y - x) d) x + y
e ) y - x
16. En una reunión el número de hombres es al
número de damas como 4 es a 5. Si se reti
ran 8 parejas de esposos, la nueva relación
es de 2 a 3. Si se sabe que solo asistieron
2/3 de los Invitados, ¿cuántos Invitados no
asistieron?
a) 18 b) 22 c) 24
d) 25 e) 23

Ra z o n a m ie n t o M ate m á tic o | 1 5
17. En un salón de la academia el día de hoy fal
taron 5 alumnos por problemas de salud. SI
los asistentes se sientan 4 alumnos en cada
carpeta, faltarían 3 alumnos para que todas
las carpetas estén llenas. Pero si se sientan 3
alumnos por carpeta se quedarían 9 alumnos
de pie. Halla el número total de alumnos del
salón.
a) 60 b) 50c) 45
d) 40 e) 55
18. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3
libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclope
dias se obtendrá con 225 cuadernos?
a) 2 b) 23 c) 25
d) 27 e) 31
19. El exceso de un número sobre 20 es igual
al doble del exceso del mismo número sobre
70. Halla el número disminuido en su cuarta
parte.
a) 120 b) 80 c) 90
d) 110 e) 98
20. El cuadrado de la suma de dos números con
secutivos es 81. Halla la diferencia del triple
del mayor y el doble del menor.
a) 9 b) 8 c) 7
d) 12 fe) 10
21. La empleada de ta fonoteca no ha parado de
trabajar en toda la semana. El lunes recibió
varios discos y marcó algunos de ellos. El
martes recibió tantos discos nuevos como no
había marcado el lunes y marcó 12. El miérco
les recibió 14 más que el lunes y marcó doble
número que el lunes. El jueves recibió el do
ble número de los discos que había marcado
el miércoles y marcó 10. El viernes recibió 4
discos y marcó 14 menos de los que había
recibido el miércoles. El sábado marcó los 20
discos que le quedaban. ¿Sabrías decir cuán
tos discos recibió el lunes?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
22. Tres hombres Luis, Miguel y Antonio, van a la
feria con sus hijas, que se llaman Amalia, Lui
sa y Margarita. Cada una de estas personas
compran un determinado número de objetos,
pagando por cada uno un cierto número de
euros igual al número de objetos que com
pran. Antonio compra 23 objetos más que
Margarita y Miguel 11 más que Luisa. Cada
padre gasta 63 euros más que su hija.
¿Cuál es la hija de Antonio?
a) Margarita b) Amalia c) Luisa
d) Faltan datos e)N .A .
23-, Un agricultor desea dividir un terreno de forma
rectangular en pequeñas parcelas cuadradas,
para ello debe colocar cierto número de es
tacas en hileras igualmente espaciados tanto
a lo largo como a lo ancho y el número de
ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace
un primer intento y le faltan 174 estacas, se
decide entonces colocar 3 menos en el largo y
2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96
estacas. Calcular el número de estacas dispo
nibles.
a) 3120 b) 3200 c) 3000
d) 2844 e) 2780
24. Con todos los alumnos de un aula se formó un
cuadrado compacto con n alumnos por lado.
Pero si quisieran formar dos triángulos equi
láteros compactos iguales con n alumnos por
lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos alum
nos hay en el salón?
a) 64 b) 81 c) 100
d) 121 e) 144
25. En un lejano planeta de otra galaxia hay dos
formas de vida mutuamente hostiles: Los
Septicapltas, que tienen 7 cabezas y dos pa
tas, y los Pentápodos que tienen 2 cabezas
y 5 patas. Un día, un número par de Septi-
capitas se encuentran con un número par de
Pentápodos y se organiza un gran tumulto; un
observador contó 210, entre cabezas y patas.
¿Cuántos ejemplares de cada clase Intervi
nieron en la pelea?
a) 14 y 12 b) 12 y 16 c) 10y20
d) 14 y 16 e) 12 y 20
26. Iván cobra en un banco un cheque por S/.2700
y le pide al cajero que le entregue cierta can
tidad de billetes de S/.10, 20 veces esa can
tidad en billetes de S/.20 y el resto en billetes

1 6 | C olec ció n El Po stu la n te
de S/.50. ¿Cuántos billetes en total le entrega
al cajero?
a) 105 b) 108 c) 111
d) 115 e) 118
27. Les preguntanpor sus edades a una madre,
su hijo e hija responde:
- Madre: Nuestras tres edades suman 100
años.
- Hijo: Cuando yo tenía la edad que tiene mi
hermana nuestras tres edades sumaban
70 años.
- Hija: Cuando yo tenga los años que mamá
tenía, cuando mi hermano tenía los años
que dijo, nuestras tres edades sumarán
160 años.
- Mamá: SI yo tuviera los años que tenía,
tengo y tendré, tendría 160 años.
¿Qué edad tiene la hija?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 25
28. Los señores Pérez tienen cinco niños de los
más activos:
- El lunes van al cine cuatro de ellos cuyas
edades suman 38 años.
- El martes van a patinar cuatro cuyas eda
des suman 35 años.
- El miércoles van al parque de atracciones
cuatro, sumando sus edades 36 años.
- El jueves salen cuatro a la piscina, sus
edades suman 36.
- El viernes van cuatro a un concierto, sus
edades suman 38.
- El sábado se van al fútbol cuatro y esta
vez, sus edades suman 39.
Sabemos que ningún chico sale en seis ocasio
nes. ¿Sabrías calcular la edad de cada uno?
Dar como respuesta la suma de cifras de to
das las edades.
a) 15 b) 16 c) 18
d) 19 e) 14
29. Matías y Fernando pasaron la noche en los
refugios A y B, respectivamente. A la mañana
siguiente, Matías camina hacia B y Fernando
hacia A; los dos van a velocidad constante, y
los dos recorren el mismo sendero que pasa
por un bosque. Matías salió de A a las 8:00 h
y llegó a B a las 11:00 h; Fernando salió de B
a ias 8:30 h y llegó a A a las 11:00 h. Los dos
entraron en el bosque a la misma hora (cada
uno siguiendo su dirección) y uno de ellos sa
lió del bosque 3 minutos antes que el otro. ¿A
qué hora salió Matías del bosque?
a) 7:48 h b) 9:48 h c) 8:48 h
d) 8:30 h e) 9:30 h
30. Una tortuga camina 60 metros por hora y
una lagartija lo hace a 240 metros por hora.
Ambas parten con la misma dirección desde
el vértice A de una pista rectangular de 120
metros de largo y 60 metros de ancho, como
lo indica la figura. La lagartija tiene por cos
tumbre avanzar dos lados consecutivos de la
.pista, retroceder uno, volver a avanzar dos,
volver a retroceder uno y así sucesivamente.
¿Después de cuánto tiempo la tortuga y la
lagartija se encuentran por primera vez?
a) 75 min
b) 1,h 15 min A
c) 1 h 20 min
d) 1 h
e) 1 h 25 min
tn
y
1. b 7. e 13. a 19. c 25.
N
a
2. a 8. b 14. e 20. c 26. e
> 3. b 9. c 15. c 21. c 27. b
<
j 4. d 10. c 16. a 22. b 28. d
ü 5. b 11. a 17. b 23. c 29. b
6. c 12. c 18. c 24. b 30. c
y

EDADES
ELEMENTOS EN LOS PROBLEMAS DE EDADES
Para resolver los ejercicios de esta parte se requie
re tener en cuenta los elementos que intervienen
en los mismos.
Edad: es un intervalo de tiempo, el cual pue
de variar de acuerdo a la condiciones, sexo,
condiciones de vida, clima, temperatura. Por
ejemplo se dice que las mujeres en promedio
viven seis años más que los hombres, la gen
te que fuma vive en promedio 10 años menos
que los que viven una vida normal, la gente en
oriente vive más años que los de occidente,
etc.
Sujetos: son las personas (o seres vivos) que
tienen un tiempo de vida (edad) y con ellos
trabajaremos en los problemas.
Tiempos: aquí tomaremos la acepción como
un momento determinado en la vida de un su
jeto. Por ejemplo: hace ocho años, dentro de
4 años.
Los problemas sobre edades se clasifican de
diversas formas, veamos:
Cuando interviene la edad de un solo sujeto
Hace 5 años dentro de 8 años
Pasado Presente Futuro
Ejemplos:
1. Tony tenía hace 5 años, 12 años de edad.
¿Qué edad tendrá dentro de 13 años?
Resolución:
Hacemos un esquema:
5 13
Nota que las líneas punteadas señalan el re
sultado de sumas 5 + 13 lo cual da 18. Luego
sumando 12 con 18 obtenemos 30 que es la
edad que Tony tendrá dentro de 13 años.
2 . Dentro de 25 años Anita tendrá el triple de la
edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad ten
drá dentro de 10 años?
Resolución:
'(30)'
Luego: x + 30 = 3x => x = 5
Cuando intervienen las edades de dos o más
sujetos. En este caso suele emplearse una tabla
de doble entrada para distribuir mejor los datos y
obtener la información necesaria que nos permita
resolver el problema. A continuación se presenta
un cuadro con algunos datos; vamos a llenar dicho
cuadro y obtendremos de él algunas observacio
nes importantes:
Ejemplo:
10 15
Lily 7 17 32
Ana 21 31 46
Katy 3 13 28
25
Observaciones:
“El tiempo transcurre por igual para todos los
sujetos”.
Así podemos notar en el esquema:
Si para Lily transcurre 25 años, entonces para
Ana también transcurren 25 años.
Lily Ana
32 - 7 = 4 6 -2 1 =25
“La diferencia de edades se mantiene cons
tante a través del tiempo".
Del esquema comparemos las edades de Ana
y Katy.

1 8 | C olección El Postulan te
En el pasado En el presente En el futuro
21 - 3 = 18 31 - 13 = 18 46 - 2 8 = 18
La diferencia de edades en todos los tiempos
es 18.
“La suma en aspa de valores ubicados simé
tricamente en la tabla son iguales’’.
Analicemos la suma en aspa de las edades de
Lily y Katy en el pasado y en el futuro.
7 + 28 = 32 + 3 = 35
Ejemplos:
1. Dentro de 6 años tu edad será a mi edad
como 11 es a 7 y hace 7 años esa relación era
de 5 a 2. ¿Cuántos años tengo?
Resolución:
Considerando la relación en el pasado (5k,
2k), se construye el cuadro obteniéndose lo
siguiente:
Hace 7 años Dentro de 6 años
Yo 5k 5k + 7 5k + 13
Tú 2k 2k + 7 2k + 13
Como en el pasado nuestra relación con res
pecto a nuestras edades era de 5 a 2 coloca
mos 5k y 2k. Luego en el presente se tendrá
5k + 7; 2k + 7 y en el futuro 5k + 13; 2k + 13.
Además en el futuro la relación de nuestras
edades es de 11 a 7 y por ello planteamos:
5k + 13 = U = 35k + 91 = 22k + 143
2k + 13 7
13k = 52 =* k = 4
Preguntan cuántos años tengo:
5k + 7 = 5(4) + 7 = 27 años
2. Katy tiene 30 años, su edad es el quíntuple de
la edad que tenía Anlta; cuando Katy tenía la
tercera parte de la edad actual de Bety. Hallar
la edad actual de Bety.
Resolución:
En el enunciado hay dos tiempos: pasado (te
nia) y presente (actual). Como en el pasado
no se conoce la edad, se coloca una va
riable: x
Pasado Presente
Katty X 30
Bety 6 3x
La suma en aspa debe darnos valores iguales:
30 + 6 = x + 3x ^ x = 9
Nos piden la edad actual de Bety:
3x = 3(9) = 27 años
Cuando Intervienen el año de nacimiento y la
edad de la persona. En esta parte mostramos el
listado realizado hasta 10 de enero del 2004
Nombre Año de Nac. Edad Resultado
Lolo 1977 + 26 2003
Luis 1980 + 23 2003
Timoteo 1982 + 21 2003
Katy 1988 + 16 2004
Se sabe que Katy cumple años el 5 del mes de
enero por ello al sumarle con su año de nacimiento
da como resultado 2004 (año actual), en cambio
Luis cumple años en octubre, Lolo en julio y Timo
teo en julio por ello para ellos al sumar sus años
de nacimiento con sus edades da como resultado
2003 (un año menos que el actual).
Ejemplo:
En el mes de octubre del año 1933 se le pidió a
12 alumnos que sumen los años que tenían a los
años en los cuales nacieron luego que sumen to
dos los resultados obteniéndose al final 23 911.
¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en
ese momento?
Resolución:
Podemos suponer que todos los alumnos ya cum
plieron años en lo que va del año entonces a cada
alumno el resultado que obtendría sería 1993 y al
sumar todos estos resultados se obtendría:
1.° 2.° 3.° 4.° ... 12.°
1993 1993 1993 1993 1993
Resultado total 12(1993) = 23 916
SI todos hubieran cumplido ya años se obtendría
23 916, pero según el dato se obtuvo 23 911, ve
mos que faltan 5 años; es porque aún 5 personas
todavía no han cumplido años en lo que va del año.

La edad de Katy es los 3/2 de la edad de Luis.
Si Katy hubiera nacido 10 años antes y Luis 5
años después, entonces la razón de ambas
edades sería 16/5 de la razón que habría si
Katy hubiera nacido 5 años después y Luis 10
años antes. Hallar la diferencia de edades.
Resolución:
Edad deKaty:K; edad de Luis: L
3, K L[K = 3x— L =>— = — => i
2 3 2 ] L = 2x
K
Según enunciado:
3x + 10
16í
3x - 5
2x - 5 5 (,2x + 10
x = 10
Piden la diferencia de edades:
3x - 2x => x = 10
Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad
que yo tendré cuando tú tengas lo que yo te
nía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad
que yo tuviese, si tendría 10 años más de los
que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más
de los que tendré y tú los que te he dicho que
tienes, entonces entre ambos tendríamos 110
años. ¿Qué edad tengo? ¡
Resolución:
Tenía
Tienes
Tengo
Tienes
Tendré
Tengas
Tuviese,
10 años más
Yo y z 2x 2x + 10
Tú 2x + 10
4
x - 5 y
Según enunciado:
2x + 10 + x - 5 = 110 = *x: 35
2x + 10
Suma en aspa: y + y = — ^— + 2x
Como x = 35 => y = 45
Suma en aspa: z + y = x - 5 + 2x
Reemplazando: z = 55
3. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la
edad de su hijo; en 1923, la edad del padre
fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la
edad del padre en 1940?
Resolución:
+5 +17
1918 1923 1940
Padre 9x 9x + 5 9x + 22
Hijo X x + 5
Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5)
9x + 5 = 5x + 25 => x = 5
Piden la edad del padre en 1940:
=> 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67
4. Salvador tiene 30 años, su edad es el triple de
la edad que tenía Pítágoras, cuando Salvador
tenía la cuarta parte de la edad que tiene Pitá-
goras. Hallar la edad actual de Pitágoras.
Resolución:
Pasado Presente
Salvador x/4 30
Pitágoras 10 X
Se cumple: + x = 10 + 30
~ = 40 => x = 32 años
4
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s " !
1. Consuelo en el mes de diciembre resta los
años que tenía de los meses que había vivido
y obtuvo 283. Si es mayor que Vianca en 5
meses, ¿en qué mes nació Vianca?
a) Diciembre b) Noviembre
c) Setiembre d) Octubre
e) Agosto
2. Cuando yo tenga el doble de la edad que
tenía cuando tu tenías la cuarta parte de la
edad que tendrás, nuestras edades sumarán
40 años. ¿Qué edad tengo si nuestras edades
al sumarse resultan un cuadrado perfecto, y
además tu edad es un número entero?
a) 20 años b) 22 años c) 18 años
d) 24 años e) 25 años

2 0 | C olección El Po s tu la n te
4.
7.
Mario tiene 40 años; su edad es el doble de
la edad que tenía Juan, cuando Mario tenía la
tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué
edad tiene Juan?
a) 30 años
d) 45 años
b) 25 años
e) 55 años
c) 40 años
Hace 5 años la edad de un hijo se diferen
ciaba en el doble de su edad con la edad de
su padre, y se diferenciaba en la mitad de su
edad con la de su hermano menor. Si dentro
de 7 años el menor tendrá la edad que tiene
su hermano mayor, calcular la edad que tuvo
el padre cuando nació su primer hijo.
a) 21 años
d) 25 años
b) 28 años
e) 30 años
c) 32 años
En el mes de mayo, un estudiante sumó a los
años que tiene todos los meses que ha vivi
do, obteniendo como resultado 232. ¿En qué
mes nació?
a) Abril
d) Julio
b) Mayo
e) Marzo
c) Junio
Hace 12 años las edades de dos hermanos
estaban en relación de 4 a 5; actualmen
te sus edades suman 59 años. ¿Dentro de
cuántos años sus edades estarán en relación
de 8 a 7?
a) 6
d) 9
b) 7
e) 10
c) 8
Al ser preguntado Salvador por su edad, con
testó de la siguiente manera: “SI al año en el
que cumplí 15 años le suman el año en el que
cumplí los 20, y si a este resultado le restan
ustedes la suma del año en que nací con el
año actual, obtendrán 7”. ¿Qué edad tiene
Salvador?
a) 30 años
d) 32 años
b) 26 años
e) 24 años
c) 28 años
Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú
tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene
y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuan
do entre los tres tengamos 300 años y yo ten
ga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si
yo tuviese lo que tengo, tenía y tendré, tendría
240 años, ¿cuántos años tengo ahora?
9.
12.
a) 80
d) 85
b) 75
e) 65
c) 70
Se sabe que si una pareja de esposos, donde
el marido es mayor, tuviese un hijo ahora; al
cabo de cierto tiempo la suma de las edades
de los 3 sería 66 años y que el triple de di
cho tiempo es justamente la diferencia de las
edades de los esposos. Hallar la suma de las
cifras de la edad del esposo.
a) 8
d) 10
b) 4
e) 5
c) 6
10. Mi tatarabuelo nació en el siglo XIX; tenía X
años en el año X2y 126 años después del año
en el que nació, tenía yo tantos años como
expresa las dos últimas cifras del año de mi
nacimiento. Al poner en conocimiento de mi
profesor esta coincidencia, él dijo que con su
edad ocurría lo mismo, ¿qué edad tenía mi
profesor cuando yo nací?
a) 46 años
d) 36 años
b) 86 años
e) 50 años
c) 56 años
11. Nancy y Samlr se casaron cuando tenían 18
años, y luego de un año nació Naty. 'Si cuando
Naty se casó, su edad era igual a la cuarta
parte de la suma de las edades de sus pa
dres, ¿a qué edad se casó Naty?
a) 19 años
d) 17 años
b) 18 años
e) 23 años
c) 21 años
Antonio le dice a Jorge: “Dentro de 4 años mi
edad será 2 veces más que tu edad”. Jorge
responde: “Hace 6 años tu edad era 7 veces
la que yo tenía”. ¿En qué año la edad de uno
de ellos fue el cuádruple del otro? Año actual:
2001.
a) 2000
d) 1996
b) 1999
e) 1992
c) 1998
13. SI una persona nació en 19ba y en 19ab cum
ple (a + b) años, ¿en qué año cumplió 2(ab)
años?
a) 1985
d) 1972
b) 1984
e ) 1970
c) 1980
14. Pepe cuenta que cuando cumplió años en
1994, descubrió que su edad era igual a la

suma de las cifras del año de su nacimiento.
¿Cuántos años tenía en 1979?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 10 e) 11
15. Lina le dice a Katy: “Yo tengo 9 veces la edad
que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú
tienes. Cuando tengas la edad que tengo, la
suma de nuestras edades será de 44 años”.
¿Cuál es la diferencia entre las edades de es
tas dos mujeres?
a) 2 b) 10 c) 4
d) 8 e) 6
16. Cuando a Mary se le pregunta por la edad de
su perrito, ella responde: “Hace dos años tenía
la cuarta parte de la edad que tendrá dentro
de 22 años”. ¿Dentro de cuántos años tendrá
el doble de ¡a edad que tenía hace 5años?
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17. En junio de 1992, tres amigos Carlos, Raúl y
Mario suman sus edades a los años de su na
cimiento, obteniendo como respuesta 5974.
Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre,
¿en qué mes nació Mario?
a) Abril b) Mayo c) Julio
d) Marzo e) Enero
18. En un aula de 40 alumnos, el tutor suma to
das las edades con los años de nacimiento de
cada uno y obtiene 79 670. SI dicha suma se
realiza en 1992, ¿cuántos ya habían cumplido
años ese año?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 35 e) 25
19. Cuando yo tuve la tercera parte de la edad
que tú tienes, tú tuviste la mitad de tu edad
actual. En cambio, cuando yo tenía la mitad
de la edad que tengo, la suma de nuestras
edades era 48 años. ¿Cuál es la edad que
tengo?
20. Dentro de 4 años tu edad será a la mía como
3 es a 4, pero hace 14 años eran como 3 es a
7. ¿Qué edad tengo?
a) 28 años b) 26 años c )29 años
21. Lucas tiene 28 años, su edad es el doble de
la que tenía Pedro, cuando Lucas tenía la
edad que tiene Pedro. ¿Cuál es la edad de
Pedro?
a) 20 años b ) 18 años c) 22 años
22. La suma de las edades de un padre y sus
dos hijos es 75 años. Hallar la edad del pa
dre sabiendo que hace 5 años su edad era
el triple de la suma de las edades de sus
hijos.
1. c 6. c 11. a 16. a 21. e
2. b 7. c 12. a 17. c 22. d
3. d 8. a 13. a 18. c
4. b 9. c 14. d 19. a
5. c 10. e 15. d 20. a

MÓVILES
A I e = vt I
v = ?
t = S.
T A ..
V
Un móvil recorrió 200 km con rapidez constan
te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor
en 2 km/h hubiera empleado 5 h menos. ¿En
qué tiempo recorrerá 240 km?
Resolución:
200
200 km
v supuesto V + 2 tSUpUe5í0 ■
200
v +2
Sabemos, por dato, que el tiempo en el caso
supuesto es menor que el tiempo en el caso
real, en 5 h; por lo tanto, la diferencia de tiem
pos sería de 5 h. Es decir:
200
v
200
(v + 2)
= 5 l km/h
Un alumno desea calcular la distancia entre
su casa y cierta tienda, observa que caminan
do a razón de 6 m/s tarda 4 segundos más
que si lo hace a razón 8 m/s. ¿Cuál es la dis
tancia mencionada?
Resolución:
Como la distancia es constante, entonces la
rapidez y el tiempo son inversos: '
Í l = !
t2 3
Graficando:
- = l < > 7v2 8 4
t, = 4k; t2 = 3k
v2 = 6 m/s
Casa
y, = 8 m /s ^ ^ _ _
t, = 4k
t, = 3k
Tienda
Sabemos que la diferencia de tiempos es 4 s:
ti —t2 = 4 => 4k - 3k = k = 4
Luego: t, = 16 s
=»d = (6)(16) .-. d = 96m
3. La rapidez de A, B y C es de 8; 10 y 6 m/s,
respectivamente. Participan en una carrera,
donde B les da una ventaja de 40 y 24 metros
a C y A, respectivamente. Si la carrera fue ga
nada por B cuando A le llevaba una ventaja de
14 m a C, ¿en cuánto aventajó B a A en dicho
momento?
Resolución:
Vamos a recurrir a un gráfico para observar
las condiciones iniciales y finales de la carre
ra, además de las distancias recorridas por
cada uno.
Sea t el tiempo transcurrido: (el tiempo es e!
mismo para los tres móviles).
J )
' 24 m ' 16 m ' ' 14 m ' x '
Del gráfico:
8t = 16 + 6t + 14 => t = 15
10t = 24 + 8t + x => 2t = 24 + x
2(15) —24 + x =* x = 6
cVLata/:.................................... ,
i Tiempo de encuentro
e
4. Lolo recorre 23 km en 7 horas; los 8 prime
ros con una velocidad superior en 1 km a la
tF = -
e
V ! + V 2
e
y, - v2

velocidad del resto del recorrido. Calcular
la velocidad con que recorrió el primer tra
yecto.
Resolución:
Se tiene que:
Se sabe que: t = e/v
Como emplea 7 horas en realizar todo el reco
rrido, se tiene:
- + - I t L = 7 v = 4 km/h
v v - 1
ti t2
5. Si un recipiente que tiene ab litros de agua,
se llena a caudal constante, al cabo de 30
minutos se obtiene ba litros y cumplidos los
primeros 60 minutos se tiene aOb litros. Hallar
el caudal en litros por hora.
Resolución:
En la primera media hora llenó: ba - ab litros.
En la segunda media hora llenó: aOb - ba
litros y como el caudal es constante:
ba - ab = aOb - ba
Descomponiendo polinómicamente y efec
tuando:
b = 6a =* a = 1 y b = 6
. => En media hora llenó: 61 - 16 = 45 litros
En una hora llenará: 90 litros.
6. Un avión provisto de un radio de 60 km de
alcance parte del Callao al encuentro de un
vapor cuya velocidad es la quinta parte de la
suya (avión). Cuando sus mensajes alcanzan
al vapor responde este que llegará al Callao
dentro de 15 horas. El avión regresa inmedia
tamente y puede anunciar la noticia al Callao
por medio de su radio cinco horas después de
su partida del Callao. Determinar la velocidad
del avión.
Resolución:
5v
Callao h' * 2
m : . - — —
A B___________C P
60 km x 60 km
Considerando las 3 horas del vapor y según
gráfico, su espacio recorrido será:
15v = 60 + x + 60
=> x = 15v - 120 ...(1)
Considerando las 5 horas del avión y según
gráfico, su espacio recorrido será:
5(5v) = 60 + x + x ...(2)
Reemplazando (1) en (2):
25v = 60 + 2(15v - 120) => v = 36 km/h
Piden la velocidad del avión:
5v =5(36) = 180 km/h
7. Un viajero sale de A y viaja 40 km hacia el
norte y llega al punto B. Se dirige hacia el este
recorriendo 40 km hacia el punto C. De ahí
sigue 30 km al este llegando al punto D, luego
se dirige en trayectoria recta hacia el punto E
que está a 40 km al sur de C, luego vuelve al
punto A. Averiguar cuál fue el recorrido total
del viajero.
Resolución:
DE = 50 km; AE = 40 km
e: recorrido total
e =AB + BC + CD + DE + EA
e = 40 + 40 + 30 + 50 + 40
e = 200 km

2 4 | C olec ció n El Po s tulan te
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s " !
1. El ruido emitido por el avión en A es escucha
do por un observador en C. Cuando el avión
se encuentra en B, hallar la rapidez del avión.
a) 100 m/s
b) 115 m/s
c) 119 m/s 1 ,
d) 120 m/s
e) 125 m/s | | c
2. Un hombre parado sobre una escalera mecáni
ca en funcionamiento sube en 60 s; pero si cami
nara sobre la escalera en movimiento emplearía
20 s. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría ca
minando sobre la escalera en funcionamiento?
a) 55 s b) 58 s c) 60 s
d) 62 s e) 64 s
3. En una pista circular de 3000 m dos velocistas
parten juntos en sentido contrario y se cruzan
al cabo de 20 min. Después de 5 min, llega
el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la
velocidad del otro?
a) 20 m/min b) 25 m/min c) 30 m/min
d) 35 m/min e) 40 m/min
4. Una madre y su hija trabajan juntas en la mis
ma oficina. De su casa a la oficina, la hija em
plea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En
cuánto tiempo alcanzará la hija a su mamá, si
esta sale 8 minutos antes?
a) 24 min b) 28 min c) 20 min
d) 18 min e) 22 min
5. Un tren tarda 60 s en cruzar un túnel de 120 m
de longitud, y en pasar delante de un observa
dor emplea 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren?
a) 55 m b) 58 m c) 60 m
d) 65 m e) 70 m
6. Un tren cuya longitud es de 120 m demora
60 s en cruzar un túnel. Hallar la longitud del
túnel, si la rapidez del tren es 36 km/h.
a) 480 m b) 360 m c) 420 m
d) 460 m e) 380 m
7. Dos móviles parten al mismo tiempo desde los
puntos A y B como se muestra en la figura.
¿En qué tiempo ocurre el encuentro y en qué
lado respecto al punto N, que es un punto me
dio entre A y B?
vA = 30 m/s Vg = 50 m/s
A B
n
i----------------400 m----------------- 1
a) 5 s a la derecha de N, a 50 m
b) 7 s a la izquierda de N, a 60 m
c) 10 s a la derecha deN, a10 m
d) 5 s a la izquierda de N, a50 m
e) 7 s a la izquierda de N, a60 m
8. Un microbús recorre en una hora toda la ave
nida Venezuela, mientras que; otro microbús
lo hace en 35 minutos si el microbús más len
to parte 15 minutos antes, hallar el tiempo en
que el otro lo alcanzará.
a) 21 min b) 20 min c) 22 min
d) 18 min e) 19 min
9. Recorrí 2000 km con rapidez constante. Si
hubiera viajado con una rapidez mayor en
2 km/h hubiera empleado 5 horas menos. ¿En
qué tiempo recorreré 240 km?
a) 20 h b) 30 h c) 32 h
d) 34 h e) 36 h
10. Un alumno de la academia viajando en ómni
bus a razón de 40 km/h generalmente llega a
tiempo; sin embargo, el día que le tocó Razo
namiento llegó con un retraso de 10 minutos,
debido a que el ómnibus solo pudo desarro
llar 30 km/h por razones de tránsito. ¿A qué
distancia de la academia toma el ómnibus el
estudiante?
a) 10 km b)15km c) 18 km
d) 20 km e) 30 km
11. Un asaltante después de robar un banco huye
con el botín en un auto a una velocidad de
80 km/h. Un policía empieza a perseguirlo
después de 15 minutos. ¿A qué velocidad via
jó el policía si capturó al asaltante después de
50 minutos de persecución?
a) 104 km/h b) 78 km/h c) 105 km/h
d) 110 km/h e) 90 km/h

12. El barco explorador recibió la orden de hacer
el reconocimiento en dirección que llevaba
la escuadra; tres horas después la nave de
bía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de
cuánto tiempo, a partir del momento en que se
distancia de la escuadra, debe iniciar el barco
explorador el regreso, si su velocidad es de
60 km/h y de la escuadra 40 km/h?
a) 3 h b) 0,5 h c) 1h
d) 2,5 h e) 2 h
13. Una persona sale de su casa y llega a su tra
bajo en 30 minutos a una velocidad constante.
Un día que salió normalmente de su casa, en
mitad de su trayecto se detiene por un inter
valo de tiempo de 20 minutos, luego renueva
su movimiento duplicando su velocidad hasta
llegar a su centro de trabajo. ¿Cuánto tiempo
retrasado llega a su trabajo?
a ) 12 min b ) 10min c) 11 min
d) 12,5 min e) 11,5 min
14. Pepe y Miriam separados por una distancia de
2400 m, parten al mismo tiempo al encuen
tro uno del otro. Justamente con Pepe parte
Fido, perro fiel a ambos. Fldo al encontrarse
con Miriam regresa nuevamente hacia Pepe
y así sucesivamente de Pepe a Miriam y de
Miriam a Pepe hata que ellos se encuentan.
Se desea saber el espacio total recorrido por
el perro, si se sabe que lp velocidad de Pepe
es de 373 m/h, de Fido 393 m/h y de Miriam
227 m/h.
a) 1572 m b) 1472m c)1752rri
d) 1275 m e) 1742 m
15. Si la circunferencia de cada uno de los rodi
llos de la figura mostrada es de un decímetro,
¿cuánto habrá avanzado la losa cuando los
rodillos dan una vuelta?
y~Losa
T ü ' t ü K f
a ) 10 cm b)13cm c) 20 cm
d)14cm e)18cm
16. En una fábrica se toca la sirena con 2 minu
tos de anticipación alertando a sus obreros; si
uno de ellos al escuchar la sirena Instantánea
mente parte en su automóvil con una rapidez
constante de 20 m/s hacia la fábrica, llegando
un minuto atrasado, ¿a qué distancia de la fá
brica se hallaba el obrero?
a) 3,4 km b) 2,8 km c) 3,6 km
d) 3,2 km e) 3,8 km
17. Dos autos van uno al encuentro del otro, par
tiendo simultáneamente. Uno parte del punto
A y el otro de! B, siendo sus velocidades cons
tantes de 10 m/s y 20 m/s, respectivamente.
Si la distancia entre A y B es de 100 m, hallar
el tiempo que transcurre, hasta que la distancia
que le falta al primer auto para alcanzar el pun
to B sea el triple de la distancia que le falta al
segundo para alcanzar el punto A.
a ) 10s b )5 s c )4 s
d) 8 s e) 7 s
18. Una escalera mecánica tiene una longitud de
5 metros. Cuando está detenida, una persona
sube empleando 10 segundos. Se pide cal
cular la velocidad de la escalera cuando está
funcionando, si en este estado la persona de
mora solo 4 segundos en subir.
a) 0,75 m/s b) 0,80 m/s c) 0,60 m/s
d) 0,85 m/s e) 0,90 m/s
19. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m
de circunferencia y en el mismo sentido. El pri
mero que tiene 20 m de adelanto corre a 5 m/s,
y el segundo, a 3 m/s; calcular la suma de las
distancias recorridas hasta su encuentro.
a) 80 m b)160m c) 200 m
d) 240 m e) 280 m
20. Un automóvil debe hacer un cierto recorrido
en 4 h, una hora después de iniciado el reco
rrido aumenta su rapidez en 16 km/h, lo que
le permite llegar antes. ¿Cuál fue la distancia
recorrida?
a) 125 km b) 120 km c) 128 km
d) 130 km e) 138 km
1. c 5. c 9. b 13. d 17. c
2. c 6. a 10. d 14. a 18. a
3. c 7. b 11. a 15. c 19. e
4. a 8. a 12. d 16. a 20. c

OPERADORES MATEMÁTICOS
OPERACION MATEMATICA
Es un procedimiento que transforma una o más
cantidades en otra llamada resultado, bajo reglas
y/o condiciones convenidas.
Operador matemático
a 9 b = 2a - b
Operación Regla o
definición
Operador matemático. Son símbolos que por sí
mismos no tienen significación. Toda operación
matemática tiene un símbolo que la representa.
Operadores: {*, #, 0, A, f ( ), a, %..... }
Ejemplos:
1. Si: / x = x2 - 3x + 1, calcular: k k
Resolución:
/ k = (-3 )2 - 3(-3) +1 = 9 + 9 + 1 = 1 9
Se define: a 0 b = a2 + 2b + 1; calcular: 4 0 5.
Resolución:
4 0 5 = 4 2 + 2 x 5 + 1
I 1
a b
- 27
Se define: a3a b = 5a + 3b; calcular: 8 a 10.
Resolución:
Dando forma de, la operación:
23a 10 = 5 x 2 + 3 x 1 0 = 40
l
4. SI: = 3x - 1, hallar n en:
(2n + 3) + (2n~^2) = 46
Resolución:
Por regla: CZ5 = 3x - 1
I J
x 3; -1
En la condición:
[3(2n + 3) - 1] + [3(3n - 2) - 1] = 46
6n + 9 - 1 + 9n - 6 - 1'= 46
15n + 1 = 46 .-. n = 3
Dada: / x + = 4x + 6, hallar n en:
/ x - ^ k = / í - n + / £
Resolución:
Por regla: / x + 1 = 4x + 6
x 4; + 2
En la condición:
4(p - 6) + 2 = [4(1 - n) + 2] + [4(2) + 2]
4n - 2 4 + 2 = 4 - 4n + 2 + 10
8n = 38 =» n = 19/4
6. Se define en Z+: [x] = x3(x - 1)
hallar n en:
n
20
18
Resolución:
n
20
- 18
n
20
- 18
■ 23(2 - 1)
Comparando: — - 1 8 = 2
20
= 20 => n = 400
Se define:
J(a~b)(-b _a); si a < b
alb =
(a a)(-b ); si a > b
halle: M = (5t2) - (r 2[21
Resolución:
Esta definición es condicionada, es decir:
I. Si a < b II. Si a > b
^ lb = (a~b)(-b~a) alb = (a‘ a)(-b^b)
- 2 < 2 2 > - 2
^2l_2_ = (—2 2X—22); 2 ^ 2 =(2"2X-(-2r<-2))
1-2L2 = -4 = 1:21-2 = - x -4 = -1
4

Nos piden:
M = (202.) - (—2l_2_) = -1 - 1 = -2
M = -2
2. Si: lÍH ; calcule: Q = 1^
2
3 3
Resolución:
Sea: P = -^ = m = 4p
Ahora, en la regla de definición:
4p - 4n * p - n
— ------- => p * n = ------
4pn pn
Regla de definición
p n
II
r non -----1
Trabajamos con esta regla ya que solo hemos
acomodado los términos. En lo que nos piden,
primero hallamos lo que está entre paréntesis:
1
1 * 1 = 1
3 3
Ahora: Q = (-■)
_ 1
3
2
9
1*2
3 3
_ 3 X 6
2 5
6 _ 27
5 =
18
10
Q = — =» Q = -
18 2
Si se sabe que: 24*1 5 = 3
49 * 26 = 24
18*23 = 2
a5 1 3 0 = 8
calcule: P = -^1—= ; si: a A b
ba * aa
1 x 5 = 3
2 x 6 = 24
2 x 3 = 2
3 x b = 8
Resolución:
2 4 * 1 5 = 2 x 4
49 * 26 = 4 x 9
18*23 = 1 x 8
a5 * 3b = a x 5
5a - 3b = 8
1 t
4 4 (No cumple, pues debe ocurrir: a A b)
7 9 (Sí cumple)
=> a = 7 A b = 9
Luego: P = ^ = 99*79
ba * aa 97 * 77
9 x 9 -
9 X 7 - 7 x 7 14
p _ 9 x 9 - 7 x 9 _ 18 p _ 9
Si: (x) = x(x + 1) A |®| = 56
calcular: m
Resolución:
Dado la forma necesaria al 56:
® = x(x + 1)
M = 7(7 + 1)
fx ] = 7 => resultado constante
Luego: m
5. En el conjunto 1Nse define: x2 - 2 = x2 - 1
Resolver: ..
Resolución:
De
25 operadores
: x2 - 1i => l~a~| = a + 1
+1
Ahora:
1 operador =>l 1 l = H 2]
2 operadores=
3 operadores =
0 - 2 = l
0 - 2 + 4 |5 +4|=[9l=l
Para 25 operadores será:
í 2] = | 625. [ = 625 + 1 = 626
6. Si se cumple: -/a * b2 = 2(-/b * a2 ■ab,
calcular:
*V3 *6
1*2
Resolución:
Haciendo:
b = /y =» Ib = 4Vy
Reemplazando en la regla dada:
x * y = 2('Vy * x4) - x2/y
=> w * x4 = 2{4I 7 * v ) - 4/y 2
•(i)

2 8 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Aly * x4 = 2(x * y) - Jy x2
(II) en (I):
(x * y) = 2(2(x * y) - Vy x2) - x2^y
(x * y) = 4(x * y) - 2 ¡y x2 - x2/y
=> x * y = x2/y
4V3*6 4/3 2-/6
...(II)
Luego: ■= •13x13 = 3
1 *2 !2V2
[ " e j e r c i c i o s p r o p u e s to s ' l
Se define en IN: [17] = 1 + 2 + 3 + . .. + n
Si: : 231, hallar: x
a) 1
d) 7
b) 3
e) 9
c) 5
2. Se define en IR: x O y =
calcular: 2001 O 2002
(yO x f
a) 1
d) 4
b) 2001
e) 2002
c) 504
3. Se define en IR: Ja * b2 = 2(-/b * a2) - a b
Calcular: 3 * 4
a) 4
d) 48
b) 9
e) 36
c) 18
4. Se define en el conjunto 2Z. nx □ n:x+1 _ v n
calcular: 8 □ 16
a) 3
d) 18
b) 6
e) 27
c) 9
5. Se define en TL.
= la + b + E ly f i1 = a2
hallar el valor de:
a) 1
d) 25
b) 8
e) 30
c) 5
6 . Se define en IR:
mAn = m (nAm)2; (mAn) ¿ 0
hallar: 27 A 1
a) 1/2
d) 1/3
b) 1/4
e) 1/6
c) 1/9
7. Si: a # b = 2a - b, calcular: E = (4# 3) # (2#1)
1#(2#8)
a) 2 b) 3 c)5
d) 7/6 e) 9
8. Si: 2ab * 3ba = -Ia2+ b2, calcular: 128 * 243
c)7a) 5
d) 4
9. Si se sabe que:
calcule: N =
a) 7/9
d) 1/3
b) 25
e) 3
24* 15 = 13
49 * 26 = 48
18*23 = 14
a 5 *3 b = 18
bb*ab
b i * ü
b) 1/5
e) 9/4
c) 1/8
10. Si: | x | = 4x - 3; y (x) = 8x + 9
calcular: (fxn
a) 8x - 3
d) 4x + 5
b) 8x + 3
e) x + 1
c) 4x - 5
11. Si: P (x + 1) = x2 + 3x + 2, calcular y, además:
P(P(y)) = 42
a) 2
d) 1
b) 3
e) 5
c) 4
12. Si: x * y = x - xy - 1
calcular: A = 8 *(8 *(8 *(8 *...)))
a) 1 b) 2 c) 7
d) 8 e) 10
13. Sabiendo que: aAb = a2+ 2a, además:
(mDn) = (mAn) + 1; calcular: 7D(5D(403))
a) 70
d) 8
b) 64
e) 10
c) 7

14. Si: x - 1 = x + 1
calcular: ... x + 5 ...
100 operadores
a) x + 200
c) x + 205
e) x + 210
b) x - 200
d) x - 207
15. Si: (a) = a(a + 1), además:((x + 2JJ = 156,
calcular:
c) 10a) 12 b) 11
d) 9 e) 12
16. Si: f~x~1 = (x - 2)x +1
calcular: A =
a) 1
d) -3
( ( m
b) 3
e) 5
Q IL
c) -1
17. SI: <x - £> = x + 6, además: = x + 8,
; 23. Se cumple que: | x ] = | x - 1 + x - 2
calcular: (
C I O )
además: | 1 | ==3 | 0 |= 5
a) 10 b) 12 c) 16
d) 20 e) 9 Calcule n en: -----1 + n = 3
18. Si: a) -1 b) 1 c) 3
a * b = I a%b l: m%n = m * --■; [Y ] = y2 - 1
calcular: E = 4 * 2
a) 3
d) 63
b) 8
e) 64
c) 9
19. Si: [~IT*in = 2a + b; / x = 2x
calcular x en: / 3 * 5 = x * / 2
a) 4
d) 8
b) 6
e) 7
c) 5
20. Si: Va * b2 = 2(Vb * a2) - ab, calcular:
4V3 * 2
Ve
a) 2
d) 1
b) 3
e) 1,5
c) 4
21. SI: a * b = a + ^ - ,si: a > b
a - b
a * b = ,si: a < b
a + b
además: m * n = 4/7 A n * m = 5/3
calcular: m/n
c) 12/35a) 47/23
d) 35/12
b) 23/47
e) 321/451
22. Si: P(x) = x2(x - 9) + 27 (x - 1)
calcule:
a) P(0)
d) P(4)
[...[[[p(27)r(26)]3p<25)]-l
b) P(1)
e) P(27)
|3p(25)] f 7P(1)
c) P(3)
d) 5 e) 2
tí) 1. b 6. d 11. a 16. a 21. b
LJ 2. d 7. d 12. c 17. b 22. d
>
< 3. c 8. a 13. b 18. d 23. c
J
ü
4. c
5. d
9. d
10. a
14. c
15. a
19. b
20. d
y

RELOJES
ADELANTOS Y ATRASOS
Situaciones donde se encuentran relojes malogra
dos, debemos considerar:
+ Atraso
total
—Adelanto
total
- Atraso + Adelanto
total total
Hora real = Hora adelantada - adelanto
Hora real = Hora atrasada + atraso
<
x <
Hora
atrasada
Hora
real
Atraso
total
Hora _ Hora
adelantada real
Adelanto
total
RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y
MINUTERO
Punto de partida Recorrido
cY lo tw :-
Partíendo las agujas de las 12:00 a las 12:30,
el horario ha recorrido, 15°, mientras que el
minutero 180°, es decir, el minutero avanzó:
180
15
En general:
12 veces lo que avanzó el horario.
m = 12H
Donde: m: recorrido del minutero
H: recorrido del horario
Observación:
1.
1 división horaria O 30°
1 división de minuto 0 6°
El reloj tiene 12(5) = 60 divisiones que equi
valen para el rtiinutero 60 minutos o 360°
(1 vuelta)
60 div. < > 6 0 min < > 360°
1 div. = 1 min = 6° (para el minutero)
Veamos cuantos grados sexagesimales reco
rren las agujas cuando transcurre un tiempo
determinado en minutos (a partir de las 4 en
punto):
Tiempo que
transcurre
(en minutos)
Angulo que
recorre el
minutero
Ángulo que
recorre el
horario
60’ 360° 30°
30' -> 180° —> 15°
20' 120° -> 10°
10' —> 60° —> 5°
8’ 48° —> 4°
3’ . -> 18° —> 3
2
1'
-
6° —> 1
2
m’ —» m DIV ^ D IV
12
ANGULO QUE FORMAN EL MINUTEROY EL HORARIO
1.° caso: cuando el minutero adelanta al horario:
m antes que H
0 = 11 m - 30H
2

Ra z o n a m ie n t o M ate m á tic o ¡ 3 1
Por ejemplo, si la hora es 3:35: H = 3 y m = 35
« 0 = ^ (35) - 30(3) = 102,5°
2.° caso: cuando el horario adelanta al minutero:
H antes que m
0 —30H —
2
Por ejemplo, si la hora es 4:10: H = 4 y m = 10
=» 0 =30(4) - ^ (10) = 65°
1. ¿Qué hora es si hace 4 horas faltaba, para
acabar el día, el triple del tiempo que faltará
para acabar el día, pero dentro de 4 horas?
Resolución:
Hora exacta |
Hace 4 h Dentro de 4 h x h
r ^ T . f a lt a >
Oh V ^ 24h
i ^ — |
(3x)h ' i
1 día < > 24 horas
Del gráfico: 4 + 4 + x = 3x =» x = 4
Hora exacta: 24 - (4 + x) = 16
i8~"
Son las 16 h o 4 p. m.
2. Ya pasaron las 3:00 p. m., pero todavía no
son las 4:00 p. m. de esta tarde. Si hubieran
pasado 25 minutos más, faltaría, para las
5:00 p. m., los mismos minutos que pasaron
desde las 3:00 p. m. Hasta hace 15 minutos;
¿qué hora es?
Resolución:
Se deduce que el intervalo de tiempo en el
cual trabajaremos es de 3:00 a 5:00 p. m.
Luego:
| Hora exacta |
a Hace 15' Dentro de 25’ a
T. transcurrido*- sL-" T. falta
Oh 24 h
___________________________ /
2 h < > 120°
Entonces: a + 15 + 25 + a = 120 =» a = 40
Hora exacta: 3 p. rr>- + (a + 15)’ =>3 p. m. + 55’
La hora exacta es: 3:55 p. m.
3. Faltan para las 8:00 a. m., la mitad de los mi
nutos que pasaron desde las 6:00 a. m. de
esta mañana, hasta la hora actual. ¿Qué hora
indica el reloj?
Resolución:
Distribuyendo convenientemente los tiempos
según los datos, tenemos:
| Hora exacta |
2(40)’ 40’
. *^ítranscurridcr''' ^ffaitaN
6:00 8:00
______________________________ /
2 h < > 120’ < > 3(40 )
Hora exacta: 6 h + 80 min = 7 h 20 min
Son las 7:20 a. m.
4. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue re
trasándose a razón de 3 segundos por minu
to. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para
tener una hora de retraso?
Resolución:
Para retrasarse 1 hora, falta retrasarse:
1 h - 3 min = 57 min
En 1 min — retraso— 3 s
x ----------------► 57 min = 57 x 60 s
= 5 7 x 6 0 x 1 min = 1UQ
3
5. Hallar el ángulo formado por las agujas de un
reloj en cada caso:
• 4:12 • 10:44

3 2 | C o lección El Po s tu la n te
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi
nutero aún no pasa al horario.
• 4:12
0 = 30(4) - 11(12) = 54 .-.0 = 54°
• 10:44
0 = 3 0 (10 )- 11(44) = 58 .•.0 = 5 8 °
reloj en los siguiente casos:
• 4:40 • 2:26
Resolución:
nutero ya pasó al horario.
• 4:40
0 = 11(40) - 30(4) = 100 0 = 100°
• 2:26
6 = y (26) - 30(2) = 83 .'.0 = 8 3 °
7. Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera
vez se forma un ángulo de 40°?
Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté
delante del minutero y la segunda vez a la In
versa, luego aplicaremos:
0 = 30H - l m
2
40 =30(5)-ll m => m=20
La hora será: 5:20.
8. Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul
táneamente al mediodía. Si el reloj de A se
atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante
5 minutos y el de C señala la hora correcta,
¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los
3 relojes equidistarán entre sí?
Resolución:
Sea x la cantidad de horas necesarias para
que se cumpla la siguiente situación:
En cada hora el minutero B adelante 5 min al
minutero C o 30°, luego:
Tiempo Ángulo
1 h ------------ ► 30° (1)120°
=>X= = 4h
x — — * 120° 30
9. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al
cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la
hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la
hora correcta?
Resolución:
En 1 hora se atrasa ( 3 m¡nutos
En 6 horas -Sejatrasará ( x
x = -!0 = 18 m¡n (atrasototal)
=» Hora correcta = 8:17 + 18 = 8:35
[^E JE R C IC IO S PROPUESTOS |
2. Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos.
¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes?
a) 35 s b) 1 min 20 s c) 25 s
d) 40 s e) 60 s
3. A las 7:15 p.m. un alumno dela academiale
dice a su compañera cuando la suma de cifras
de las horas transcurridas sea igual ai doble
¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si:
3a - 0 = 40°
a) 10:17/9
b) 10:97/8
c) 10:73/11
d) 10:80/11
e) 10:110/9

Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 3 3
de las horas que quedan por transcurrir, será
la hora de salida. ¿A qué hora terminan las
clases en la academia?
a) 10 p. m.
c) 9:20 p. m.
e) 8:30 p. m.
b) 8 p. m.
d) 10:40 p. m.
4. En un día:
I. Cuántas veces se superponen el horario y
minutero.
II. Cuántas veces se encuentran formando 180°
III. Cuántas veces aparecen las agujas for
mando 90°.
a) 23; 23; 45
c) 22, 23; 43
e) 23; 23; 48
b) 22; 22; 44
d) 21; 21; 44
5. Se tienen dos relojes sincronizados a las 12
del medio día (hora exacta). Si el primero se
adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa
3’ cada hora, responder:
I. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue
vamente la hora correcta los 2 relojes si
multáneamente?
II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la
misma hora?
a) 3 días; 6 días
c) 7 días; 3 días
e) 9 días; 3 días
b) 2 días; 9 días
d) 5 días; 6 días
6. Un alumno le dice a su amiga: cuando la
suma de las cifras de las horas transcurridas
sea Igual a las horas por transcurrir, te espero
donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
a) 12 a. m. b)10p. m. c) 7 a. m.
d) 9 p. m. e) 11 p. m.
7. El campanario de un reloj indica las horas con
igual número de campanadas, para indicar las
h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas)
habrá transcurrido desde el Instante en el que
se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins
tante que empleó 2n s para indicar la hora?
a)
d)
n(h - 1)
4(n - 1)
4n
h -1
n (h - 1)
4h
c)
2n(h - 1)
11.
13.
Arturo al observar un campanario nota que da
5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo
demorará en dar 25 campanadas?
a) 50 s
d) 52 s
b) 62 s
e) 65 s
c) 60 s
Un campanario tarda n2x s en tocar tantas
campanadas como n veces el tiempo que de
mora entre campanada y campanada, hallar
el tiempo en función a n que demora entre
campanada y campanada si es igual a x.
n(n + 2)
b) — s c) n s
d)
■Í4r? + 1
2n
e)
n - 1
n2+ 1 .
10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen
ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun
dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?
a) 16
d) 24
b) 18
e) 12
c) 20
Al preguntarle la hora a un profesor de Razo
namiento Matemático de la academia respon
dió: “El duplo de las horas que han transcu
rrido es igual al cuádruplo de las que quedan
por transcurrir”. ¿Qué hora es?
a) 4 p. m.
d) 11 a. m.
b) 8 a. m.
e) 6 p. m.
c) 3 p. m.
12. ¿Qué hora es?, si a = (
c) 10:39^
d) 10:38-) e) 10:39
11
El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él
se dé cuenta, si después de un determinado
tiempo a José se le pregunta la hora y respon-

32 | Colección El Postulante
Resolución:
nutero aún no pasa al horario.
• 4:12
0 = 3 0 (4 )-^ (1 2 ) = 54 .-.0 = 54°
• 10:44
9 = 30(10) —-y (44) = 58 .-.0 =58°
reloj en los siguiente casos:
• 4:40 • 2:26
Resolución:
nutero ya pasó al horario.
• 4:40
0 = y ( 4 O ) - 30(4) = 100 ■••9 = 100°
• 2:26
0 = y (26) - 30(2) = 83 0 = 83°
7. Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera
vez se forma un ángulo de 40o?
Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté
delante del minutero y la segunda vez a la in
versa, luego aplicaremos:
9 = 30H - , ^ m
2
40 = 30(5) - y m => m = 20
.-. La hora será: 5:20.
8. Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul
táneamente al mediodía. Si el reloj de A se
atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante
5 minutos y el de C señala la hora correcta,
¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los
3 relojes equidistarán entre si?
Resolución:
Sea x la cantidad de horas necesarias para
que se cumpla la siguiente situación:
En cada hora el minutero B adelante 5 min al
minutero C o 30°, luego:
Tiempo Ángulo
1h ------------ -- 30- 11)12°: _ 4h
x ------------ ► 120° 30
9. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al
cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la
hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la
hora correcta?
Resolución:
En 1 hora — . atrasa „ 3 minutos
En 6 horas se atrasara ( x
x = --x 3 — — = 18 min (atraso total)
=> Hora correcta = 8:17 -t- 18 = 8:35
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ” l
2. Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos.
¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes?
a) 35 s b) 1 min 20 s c) 25 s
d) 40 s e) 60 s
3. A las 7:15 p. m. un alumno de la academia le
dice a su compañera cuando la suma de cifras
de las horas transcurridas sea igual ai doble
¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si:
3a - 0 = 40°
a) 10:17/9
b) 10:97/8
c) 10:73/11
d) 10:80/11
e) 10:110/9

de las horas que quedan por transcurrir, será
la hora de salida. ¿A qué hora terminan las
clases en la academia?
a) 10 p. m.
c) 9:20 p. m.
e) 8:30 p. m.
b) 8 p. m.
d) 10:40 p. m.
En un día:
I. Cuántas veces se superponen el horario y
minutero.
II. Cuántas veces se encuentran formando 180°
III. Cuántas veces aparecen las agujas for
mando 90°.
a) 23; 23; 45
c) 22, 23; 43
e) 23; 23; 48
b) 22; 22; 44
d) 21; 21; 44
5. Se tienen dos relojes sincronizados a las 12
del medio día (hora exacta). Si el primero se
adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa
3’ cada hora, responder:
I. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue
vamente la hora correcta los 2 relojes si
multáneamente?
II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la
misma hora?
a) 3 días; 6 días
c) 7 días; 3 días
e) 9 días; 3 días
b) 2 días; 9 días
d) 5 días; 6 días
6. Un alumno le dice a su amiga: cuando la
suma de las cifras de las horas transcurridas
sea igual a las horas por transcurrir, te espero
donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
a) 12 a. m. b)10p. m. c) 7 a. m.
d) 9 p. m. e) 11 p. m.
7. El campanario de un reloj Indica las horas con
igual número de campanadas, para indicar las
h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas)
habrá transcurrido desde el Instante en el que
se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins
tante que empleó 2n s para indicar la hora?
a)
d)
n(h - 1)
4 (n - 1)
4n
h-1
n ( h - 1)
4h
c)
2n(h - 1)
13.
Arturo al observar un campanario nota que da
5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo
demorará en dar 25 campanadas?
a) 50 s
d) 52 s
b) 62 s
e) 65 s
c) 60 s
Un campanario tarda n x s en tocar tantas
campanadas como n veces el tiempo que de
mora entre campanada y campanada, hallar
el tiempo en función a n que demora entre
campanada y campanada si es igual a x.
b)
n(n + 2)
n - 1
c) n s
d)
■¡4r?+ 1
2n
e)
10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen
ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun
dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?
a) 16
d) 24
b) 18
e) 12
c) 20
11. Al preguntarle la hora a un profesor de Razo
namiento Matemático de la academia respon
dió: “El duplo de las horas que han transcu
rrido es igual al cuádruplo de las que quedan
por transcurrir". ¿Qué hora es?
a) 4 p. m. b) 8 a. m. c) 3 p. m.
d) 11 a. m. e) 6 p. m.
12. ¿Qué hora es?, si a = 6
c) 10:39y
d) 10:38-) e) 10:39
11
El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él
se dé cuenta, si después de un determinado
tiempo a José se le pregunta la hora y respon-

34 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te
14.
15.
16.
18.
de acertadamente. ¿Cuánto tiempo se atrasó
el reloj hasta ese momento, si este es el me
nor posible?
a) 24 h
d) 360 min
b) 12 h
e) 180 min
c) 36 h
Un reloj marca las 3:x; x está entre las 8 y las
9, pasado cierto tiempo el horario y el minute
ro se permutan. ¿Qué hora era inicialmente?
a) 3 :4 2 ^ b )3 :4 2 ^
d) 3:41 ^2 e) 3:41í ¡
c) 3:42
11
Un reloj indica las horas tocando tantas cam
panadas como hora indica y además toca 2
campanadas en las medias horas. ¿Cuántas
campanadas se escucharán en 1 día?
a) 204
d) 342
b) 202
e) 324
c) 348
El reloj de Luis empieza a atrasarse a las
8:00 a. m. Si después de 3 horas cuando el re
loj marcaba 10:30 de la mañana Luis arregla
su reloj. ¿Después de cuánto tiempo volverá
a marcar la hora exacta, si el reloj a partir del
momento en que lo arreglan empieza a ade
lantarse 10 minutos por hora?
a) 1 día
d ) 3 | días
b) 5 días
2
e) 4 — días
5
c )3 días
17. Cada cuánto tiempo las manecillas de un reloj
(horario y minutero) forman un ángulo de 0°.
a) 1 h 6— min
11
c )1 h -8 min
11
e) 1 h min
b) 1 h 5— min
11
d) 1 h 7 | min
En la tarde melancólica de un día viernes Al-
fredito proyecta una sombra de -Í3 m, si su
estatura es igual a 1 m, ¿cuál es el ángulo que
forman las agujas en ese instante?
a) 70°
d) 60°
b) 120°
e) 127°
c) 135°
19. La mitad del tiempo que ha pasado desde las
9:00 a. m. es una tercera parte del tiempo que
falta para las 7:00 p. m. ¿Qué hora es?
20.
2 1 .
22.
a) 11:00 a. m.
d) 2:20 p. m.
23.
b) 1:00 p. m. c)4:00p. m.
e) 10:— p. m.
3
Se construye un reloj que tiene el horario más
grande que el minutero, cuando Timoteo ve la
hora dice: “Son las 9:29, si el ángulo que forman
las manecillas es 114°, ¿qué hora es en realidad?
a) 5:47
d) 5:48
b)5:45y
e) 5:47-.
c|5:48l ¡
A qué hora entre las 6 y las 7 el horario ade
lanta a la marca de las 6 tanto como el minu
tero adelante a la marca de las 7.
„c.4 21
a ) 6 l F
la c. 420
b) 6- l T
d) 6:
424
13
e) 6:
.313
11
Un reloj anuncia las horas con un número de
campanadas igual a las horas que está Indi
cando, para anunciar los cuartos de hora da
una campanada y para anunciar las medias
horas da 2 campanadas, pero el reloj se ma
logra a las 11:00 a. m., con lo cual deja de dar
una campanada en todos los casos. ¿Cuán
tas campanadas a dado el reloj desde las 10
horas hasta las 12 horas 15 minutos?
a) 40
d) 37
b) 41
e) 36
c) 39
Un reloj anuncia las horas con un número de
campanadas igual a las horas que está marcan
do, además este mismo reloj da 3 campanadas
en 8 segundos, entonces, ¿a qué hora exacta
mente terminará el reloj de anunciar las 21 horas?
a) 21 h 32 s b) 22 h 4 s c) 21 h 28 s
d) 22 h 21 s e) 21 h 10 s
m 1. d 6. d 11. a 16. c 21.
N
b
Ld 2. d 7. a 12. a 17. b 22. e
< 3. a 8. c 13. b 18. b 23. a
J 4. b 9. c 14. d 19. b
ü 5. a 10. b 15. a 20. d
y

INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN
INDUCCION
La palabra inducción proviene del latín inductivo
(¡n: en y ducere: conducir) que es la acción y
efecto de inducir. Es definido como una manera
de razonar, en la cual se obtiene de los hechos
particulares, una conclusión general. Así el razo
namiento inductivo deductivo desempeña un gran
papel en la resolución de diversos problemas
matemáticos aplicándose también en las ciencias
experimentales. Se puede representar de la si
guiente forma:
Casos particulares =» Caso general
Ejemplos:
1. Calcular la suma de cifras del resultado en E,
si se sabe que en la base hay 49 cifras 3.
E = (333...333)2
Aplicando inducción:
Con 1 cifra: (3)2 = 9
Suma de cifra del resultado
9(1)
1 cifra
Con 2 cifras: (33)2 = 1089 9(2)
2 cifras
Con 3 cifras: (333)2 = 110 889 9(3)
3 cifras
En el problema:
Con 49 cifras: (333...33)2= 9( ) = 9(49) = 441
Calcular la suma de cifras del resultado de:
M = (111...1)2
9 cifras
1 cifra:
2 cifras:
3 cifras:
4 cifras:
(1)2 = 1
(11)2 = 121
(111)2 = 12321
(1111 )2= 1234321 16 = 4 '
Suma de cifras
1 = 12
4 = 22
9 = 32
= 42
Entonces si fueran 9 cifras:
9 cifras: (11 ...11 )2 = 12...21 81
DEDUCCION
La palabra deducir proviene del latín deducere que
significa sacar consecuencias (conclusiones). La
deducción es la acción de deducir; también es la
conclusión que se obtiene en un proceso deducti
vo. En lo que respecta a nuestro estudio, veremos
como a partir de casos generales llegamos a es
tablecer cuestiones particulares para la resolución
de un problema.
Caso general =» Casos particulares
Ejemplo:
Calcular: bca + cab + abe, s¡: (a + b + c)2 = 324
Aplicando deducción:
(a + b + c)2—324 ■-> a + b 4-c = 18
Piden: bca + cab + abe =» bca +
cab
abe
1998
Por lo tanto: bca + cab + abe = 1998
1. Si: abed =(...4321)4-9999
hallar: a + b + c + d
Resolución:
Según el primer dato:
abcd = (,..4321) h- 9999
El 9999 pasa al otro miembro multiplicando:
abed x 9999 = 4321
Podemos escribir(10 000 - 1) a cambio de 9999
Entonces abed x (1000 - 1) = ... 4321
abcdOOOO - abed = ...4321
Es lo mismo que: _______
abcdOOOO-
abed
7..4 3 2 1
de donde: d = 9 ;b = 7 ;c = 6;a = 5
a + b + c + d = 29

3 6 | C olección El Po s tulan te
2. Calcular la suma de cifras de P:
P = 7444...44- .88038
1000 cifras 500 cifras
Resolución:
Tomando casos simples pero con la mis
ma estructura del problema planteado, pero
teniendo en cuenta que el número de cifras
cuatro es el doble del número de cifras ocho.
Entonces:
. V44 - 8 = 6
1 cifra
. 74444 - 88 =66
X 3~
2 cifras
. 7444444 - 888 = 666
H Z T
3 cifras
En el problema:
7444...444 - 88...88 = 666...66 => su™ade
I l l I i I Clfras
1000 cifras 500 cifras 500 cifras 6(500) = 3000
l____________I
3. Hallar el valor de: x = 797 x 98 x 99 x 100 + 1
Resolución:
Aplicando el método inductivo en el proble
ma:
• 7 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 5 => 5 = 1 x 4 + 1
• 7 2 x 3 x 4 + 5 + 1 =11 11 = 2 x 5 + 1
• 7 3 x 4 x 5 x 6 + 1 =19 =» 19 = 3 x 6 + 1
Aplicando al problema:
7 9 7 x 9 8 x 9 9 x 1 0 0 + 1 = x
= 97 x 100 + 1 .-. x = 9701
4. Hallar la suma de todos los elementos de la
siguiente matriz:
1 2 3 4 ... 9 10
2 3 4 5 10 11
3 4 5 6 .. 11 12
4 5 6 7 12 13
9 10 11 12 .. 17 18
10 11 12 13 .. 18 19
Resolución:
Sumar los 100 elementos que conforman la
matriz va a ser demasiado operativo, aplican
do inducción tendremos:
[ 1 ] => suma = 1 = (1)3
. n.° filas
|1 (D j
12 3 ¡
1 2(3}
2 3 4
3 4 5
1 2
2 3
3 4
10 11
=> suma = 8 = (2)
. n.° filas
suma = 21 = (3)3
■n.° filas
11
12
19
.-. suma = (10)3 = 1000
L— n.° filas
.-. suma = 1000
5. Calcular E y dar como respuesta la suma de
sus cifras. E = (333...333)2
200 cifras
Resolución:
Por Inducción tendremos:
3^ = 9 =» Scifras = 9 = 9(1)
1 cifra '-------► n.° cifras
(33)2 = 1089
2 cifras
Dcifras = 18 = 9(2)
►n.° cifras
(333) = 110 889
3 cifras
E = (333...333)2 = 11...110 88...889
S c ifra s = 27 = 9(3)
L-►n.° cifras
200 cifras 199 cifras 199 cifras
■■■Scifras = 9(200) = 1800
I ► n.° cifras
6. Hallar la suma de cifras del producto siguien
te: P = 777...777 x 999...9999
50 cifras 50 cifras
Resolución:
_7_ x _9_ = 63
1cifra 1cifra
Suma de cifras
9 = 9(1)

_77_x 99 = 7623 18 = 9(2)
2cifras 2cifras
l l l x 999 = 776 223 27 = 9(3)
3 cifras 3 cifras
Luego:
P = 77...777x999...999 9(50) = 450
50 cifras 50 cifras
7. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la si
guiente gráfica?
Resolución:
Vamos a proceder a contar aplicando el mé
todo inductivo, es decir, analizando casos
simples, cuidando que la formación (distribu
ción de las esferas) se mantenga uniforme
mente, así:
n.° de puntos de contacto
[ ” EJERCICIOS PROPUESTOS l
1. Si: (a + b + c)° = 2b6, además: ab2= a0c5
calcular: abe + bea + cab
a) 1666 ' b) 1776 c) 1206
d )446 e) 1006
2. Halle la siguiente suma: abed + mnpp + xyzw;
sabiendo que:
bd + np + yw = 160
ac + mp + xz = 127
ab + mn + xy = 124
a) 12 437 b) 12 590 c) 11 590
d) 11 440 e) 12 780
3. Si: x + — = 2. hallar M:
X
M = x + x~1 + x2 + x”2 + x4 + x"4 + ...
+ X1024 + X -1024
a) 20 b) 10 c) 22
d) 18 e) 16
4. Se tienen 2 rectas paralelas, en una de ellas
se ubica 8 puntos y en laotrase ubican 4
punto. Si cada punto de la primera paralela
se une a cada punto de la segunda parale
la. Hallar en cuántas veces se cruzan dichas
rectas.
a) 168 b) 160 c) 32
d) 66 e) 78
5. Si se tiene el caso, en que una recta trate de
cortar en lo máximo a una circunferencia, ha
llar cuántos puntos de corte se puede realizar
como máximo con 5 rectas y 6 circunferen
cias.
a) 60 b) 30 c) 40
d) 120 e) 150
(a + 3 f + (a + 4)2
6. Si: E = —2 2 ---------1
a2+ (a + 1)2+ (a + 2)2
además: a eZZ+, si E toma su mínimo valor,
calcular el valor de A: A = 2e4 + 234E+ 23E
a) 2 b) 4 c) 20
d )7 e) 1

7. ¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden
contar en la siguiente figura?
1 2 88 89 90
a) 8100
d )3000
b) 3900
e )9321
c) 7200
En la siguiente figura, calcular el total de pun
tos de intersección y de tangencia.
48 49 50
a) 11 325
d) 12 325
b) 7500
e) 10 150
c) 11 300
9. Hallar cuántas bolitas no están pintadas en la
figura 20.
; ^ -
o
a) 1140
d) 400
b) 1120
e) 501
c) 1540
10. Hallar cuántas bolitas no están pintadas en la
figura 10.
F,
a) 1963
d) 100
b) 1962
e) 962
c) 900
11. Halle la suma de las tres últimas cifras del re
sultado de:
S = 5 + 66 + 555 + 6666 + ... + 666...6
a) 9
d) 15
b) 10
e) 17
40 cifras
C) 13
12. Si: m = / 7 - / 5 ; n = V 3 -V 7 ;p = 75 - /3
hallar B:
. 4 .4 ^ 4 '
B =
a) -5
d) 2
4 D4
+ — h (mn + np + m p r1
mp m n /' r r '
c) 1
rn
np mp
b) -3
e) 4
13. En la siguiente figura se han contado 570 pun
tos de contacto. Calcule el número de mone
das colocadas en la base.
a) 10 b) 12
d) 18 e) 20
c) 14
14. Calcule R(20); si:
R(d = 1 -
R(2) = 4 +
3 - 2bü x 2
9
(5) : 25 - 35
50 .
+ 248 ■
,46 ,
,44 .
242 x 126
R(3)-=9 - 1 5 x 2 x 28
R(4) = 16 + 24 - 244 - 65
a) -12 457
d) -14 655
b) -11 255
e) 13 255
c) -1 3 455
15. En qué cifra termina:
S =7/47 +7/48 + ... 99
a) 8
d) 7
653sumandos
b)1
e) 2
c) 9

16. Halle la cifra de las decenas:
S = 1! + 2! + 3! + ....+ 10 508!
c)2a) 0
d) 1
b) 3
e) 4
17. En cada una de las figuras mostradas, debes
unir los centros de las circunferencias con
los centros de sus vecinas. Haciendo esto,
¿cuántos triángulos simples (los más peque
ños) se pueden contar en la figura 100?
a) 60 000
d) 30 000
b) 57 420
d) 17 200
c) 23 400
18. En cada casilla del siguiente tablero se colo
can los números 1; 2; 3: 4 de tal manera que
en cada fila, columna y diagonal figuren los 4
números.
X z
y w
Calcula el máximo valor de E:
E = 2W+ 3y + 2Z+ 3X
a) 140
d) 150
b) 178
e) 100
c) 120
19. Calcule el número total de hexágonos que se
pueden contar, considerando el tamaño que
se Indica en la figura.
a) 1250
b) 1225
c) 1500
d ) 1600
e) 1275 0 0 0
1 2 3
OOO51 52 53
20. Calcular a + b:
(71°° - 2)(77" - 2)(798 - 2).
20 factores
..ab
a) 0
d) 7
b) 9
e) 10
c) 5
21. Si: ^7(a + 1)b5 = k5, calcular: a + b + k
c) 11b) 10
e) 13
a) 9
d) 12
22. Hallar: K = ' ^ 1 R2x 9989 + R x 5545 + 16
si: R = (99 - 1)(98 - 2)(97 - 3)...(1 - 99)
c) 99892a) 4
d) 0
b) 9989
e) 1998!
23. Calcular el número de triángulos en F(40).
a AF(1) F(2)
a) 1640
d) 840
F(3)
b) 401
e) 820
c) 640
24. En el poste A hay n discos de madera de di
ferentes tamaños. Trasladando los discos de
uno en uno se deben pasar todos los discos
al poste C, pudiendo utilizar el poste B como
punto de paso. ¿Cuántos traslados como mí
nimo se deben realizar, si un disco grande no
puede ser colocado sobre uno pequeño?
" f l
4J=
21
_lC
A B
a) 2n b) 2" - 1
d) 2n+1 - 1 e)n2
c) 2n_1 - 1
25. Si: abcd x m = 12 492; abcd x n = 21 861;
calcular la suma de cifras de: abcd x mnonm
c) 18a) 16
d) 20
b) 17
e) 19
26. Calcular el valor de la siguiente expresión:
[1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 ...]+ m
M =
1 + 2

a) 2m b) 2m + 1 c) m2
d) m2 + 1 e) 4
27. ¿Para qué valor de n la suma de las cifras de
A es igual a 39?
A2 + 222 ... 222 = 111 ... 11
n cifras 2n cifras
a) 10 b) 11 c) 12
d) 14 e) 13
28. En qué cifra termina E:
E = ...5e + ...6e + ...9E + ...4e
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
29. Calcule la suma de cifras del resultado de A.
A=[(a + 5Xa + 5)... (a + 5) - (a + 4Xa + 4)... (a + 4)]
6 cifras 6 cifras
a) 72 b) 42 c) 36
d) 81 e) 64
30. Si: — + — = 2
n m
a) 100 b) 4 c) 5
d) 13 e) 81
31. Calcule: m + n; x e S +
x51 + (x + 1)52 + (x + 2)53 + ... = O rín
(2n + 1) sumandos
a) 12 b) 8 c) 7
d) 15 e) 20
32. Se colocan mil fichas numeradas del 1 al
1000 en forma circular sobre una mesa. Lue
go se empieza a tomar las fichas a partir del
número uno y en forma alternada, siempre
en forma alternada, vuelta tras vuelta y co
menzando desde el inicio, después de cada
vuelta, ¿qué número tendrá la última ficha to
mada, sabiendo que después de cada vuelta
se empieza tomando la primera que se en
cuentre?
a) 200 b) 400 c)512
d) 999 e) 800
33. Halle x + y:
(13x 33 x 53 x 73x ... x 19993)2 = Zxy
a) 7 b) 9 c) 12
d) 25 e) 10
34. Halle a + b: 1a + 2a + 3a + ... + 7a = bb6
a) 10 b) 11 c) 9
d) 12 e ) 14
1. b 8. a 15. c 22. a
X
29. c
tn 2. b 9. e 16. d 23. e 30. c
lii 3. c 10. e 17. a 24. b 31. c
< 4. a 11. a 18. b 25. b 32. a
_l 5. a 12. a 19. e 26. e 33. a
U 6. b 13. e 20. d 27. e 34. b
7. a 14. b 21. c 28. e
-/

SUCESIONES Y SERIES
TIPOS DE SUCESIONES
Aritméticas. Llamadas también progresiones arit
méticas, son aquellas que cumplen con la siguien
te regla de formación: “Todo término (excepto el
primero) menos el anterior es una constante llama
da razón aritmética”.
a 1i a 2Í a 3Í a 4; a n
+r +r +r
Aplicando Inducción:
a-, = ay, a2 = a, + r; a2 = + 2r
an = ai + .(n - 1)r
ay. primer término; an: término de lugar n
r: razón; n: n.° de términos desde a1hasta an
A una progresión aritmética también se le conoce
como sucesión polinomial de primer grado o sim
plemente sucesión lineal
Ejemplo:
Hallar el término de lugar 50: 11:18; 25; 32; 39;...
Resolución:
r = 7; n = 50; a, = 11
as0 = 11 + (50 - 1)(7) = 354
Sucesiones polinómiales de segundo grado.
Llamadas también sucesiones cuadráticas, son
aquellas que cumplen la siguiente regla de forma
ción: “Las diferencias de sus términos adyacentes
están en progresión aritmética”.
En toda sucesión cuadrática el término enésimo es
de la forma:
am + bn + c
Donde: a; b; c son valores constantes que se cal
culan de la siguiente manera:
api JA ; a2;__a^__a4; ...
+m0 -t-m, +m2 +m3
+r +r +r
r
2
b = m0 - a
O
II
Q)o
Ejemplo:
Hallar el término de lugar 40:
13; 16; 22; 31; 43; 58;...
Resolución:
Arreglando la sucesión:
13; 13; 16; 22; 31; 43;...
+0 +3 +6 +9 +12
+3 +3 +3 +3
r = 3;
a = 1,5;
m0 = 0;
b = -1,5;
3o —13
c = 13
Reemplazando:
a40 = 1,5(40)2 + (—1,5)(40) + 13 ^ a40 = 2353
Geométricas. Llamadas también progresiones
geométricas, son aquellas que cumplen con la si
guiente regla de formación: “Todo término (excep
to el primero) dividiendo entre el anterior, es una
constante llamada razón geométrica”.
a T a 3Í__ a 4; ■■■I a n
xq xq xq
3 l = 31 i 3 2 == 3 i CJi a3 = a-,q
■■a,q
at : primer término; an: término de lugar n
q: razón geométrica;
n: n.° de términos desde a-¡ hasta an.
Ejemplo:
1. Hallar el término de lugar 10: 4; 12; 36; 108;...
Resolución:
4; 12; 36; 108
x3 x3 x3
q = 3; n = 10; a, = 4
a10 = 4(3)9 = 78 732
SERIE NUMÉRICA
Se denomina serie numérica a la adición Indica
da de los términos de una sucesión numérica,

4 2 | C olec ció n El Po s tulan te
al resultado de la adición se le llama valor de
la serie.
Sumatorias notables
1. Suma de los n primeros enteros positivos:
n
Y 'j = 1 + 2 + 3 + ... + n
¡ = 1
Y - n (n + 1)
Zj ~ p
1=1 ^
2. Suma de los n primeros números pares positivos:
¿ (2 i) = 2 + 4 + 6 + ...+ 2n
£ ( 2i) =n(n + 1)
¡= 1
3. Suma de los n primeros números impares po
sitivos:
¿ (2 i - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
4. Suma de cuadrados de los n primeros enteros
positivos:
12 + 22 + 32 + ... + n2
n(n + 1)(2n + 1)
¡= i' “ 6
5. Suma de cubos de los n primeros enteros po
sitivos:
n
Z '3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3
z ¡ 3 =
¡= 1
n(n + 1)
PROGRESION ARITMETICA
ai! a2Í a3Í a4; ...; an
+r +r +r
an = a1 + (n —1)r n = ^ + 1
S„ = | ^ l | n Sn = [2a1 + (n -1 )r]^
PROGRESION GEOMETRICA
ti! t2; t3; t4; ...; tn
xq xq xq
tn = tiq n
ti(qn- 1)
q —1
s L =
1 - q
1. Hallar la suma de términos de la fila n.° 45.
2 4
6 8 10 12
14 16 18 20 22 24
Resolución:
Por inducción en la fila n.° 45 habrán 90 términos.
Calculamos la cantidad de términos desde la
fila n.° 1 hasta la fila n.° 45:
2 + 4 + 6 + ... + 90 = 45 x 46 = 2070
Último término en la fila n.° 45:
20 70 x2 = 4140
Primer término en la fila n.° 45:
4140 - 8 9 x 2 = 3962
suma = | 3962 + 4140 j 90 = 364 590
2. La suma de los 6n primeros números Impares
es 5ab. Calcular (a + b + n).
Resolución:
1 + 3 + 5 + ... + x = 5ab => (6n)2 = 5ab
6n términos
Observamos que: V5ab es un n.° de 2 cifras;
la cifra de las decenas tiene que ser 2:
V5ab = 6n = 6 x 4 = 24
5ab = 242 = 576
7 + 6 + 4 = 17
3. Si son 50 términos, calcular el valor de:
M = 1 x 100 + 2 x 9 9 + 3 x 9 8 + ...

4.
Resolución:
Observamos que en cada producto la suma
de los 2 factores es 101, en 50:
M = 1 x 100 + 2 x 9 9 + 3 x 9 8 + ... + 50 x 51
+101
M = 1(101 - 1 ) +2(101 -2 ) + ... +50(101 -5 0 )
M = 101(1 + 2 + ... + 50) - (12 + 22 + ... + 502)
M = 101 x 50x51 50x51 x101
2 6
M = 85 850
La suma de los 4n primeros números pares
es (2a)(2b)0. Hallar la suma de los (a6 + b6)
primeros números impares.
Resolución:
2 + 4 + 6 + ...+ x = (2a)(2b)0
4n términos
4n(4n + 1) = (2a)(2b)0
Aplicando descomposición polinómica y ope
rando:
n(4n + 1) = 5 x ab
5 21
ab = 21 =» a = 2; b
Nos piden:
S = 1 + 3 + 5
1 =
= 652
26 + 16 = 65
=4225
65 términos
5. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pa
sajeros y en cada estación suben dos pasa
jeros más de los que subieron en la estación
anterior. Si al llegar a su paradero final se con
taron 616 pasajeros, ¿en cuántas estaciones
se detuvo a recoger pasajeros?
Resolución:
Inicio: 1.°
7 9
2.°
11
3.°
13
Total de pasajeros:
7 + 9 + 11 + 13 + ... + □ =
n
O
616
Final
616
Luego:
(n + 1) términos
(n —1)2
9 + - n = 609 « n = 21
6. La reyna y el rey de un reino salen a pasear
por los bosques de sus dominios; mientras
la reyna da 20 pasos en forma constante por
cada minuto, el rey avanza 1 paso en el pri
mer minuto, 2 pasos en el segundo minuto,
3 pasos en el tercer minuto, y así sucesiva
mente. Si al final ambos han dado la misma
cantidad de pasos, ¿cuántos pasos han dado
en total cada uno? (Los pasos del rey y de la
reyna son de igual longitud)
Resolución:
1.° 2.° 3.° ... n Suma
Reyna: 20 + 20 + 20 + ... + 20 = 20n
n(n + 1)
Rey 1 + 2 + 3
Como han dado la misma cantidad de pasos:
n(n + 1)
= 20n => n = 39
2
Ahora; como ambos han dado el mismo nú
mero de pasos dicha cantidad es:
20(39) = 780
7. Un obrero ha ahorrado este mes 178 soles y
tiene con esto S/.1410 en la caja de ahorros,
habiendo economizado cada mes S/.12 más
que el mes anterior. ¿Cuántos ahorró el pri
mer mes?
Resolución:
1.er 2.°
mes mes
actual pasado
178 + 166 +
3.er ... n.°
mes 1.ermes
antepasado de ahorro
154 + ... + 190 - 12n
n sumandos
178 +
(n - 1)(n - 12)
n = 1410 =» n = 15
.-. El 1.er mes ahorró: 190 - 12(15) = 10
En la siguiente igualdad, ambas series tienen
el número de términos dependientes de n.
1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 40 + 38 + 36 + ... + y
n términos (n - 4) términos
hallar: x + y
Resolución:
Como x es un número impar será:
x = 2n - 1 (término enésimo de los números
impares)
En el 2.° miembro de la igualdad tenemos:
PA: 40; 38; 36; ... =» t„ = 42 -2n

4 4 | C olec ció n El Po s tu la n te
En el término enésimo calculamos para n - 4
y simplificando obtenemos: tn_ 4 = 50 - 2n
Luego: x = 2n - 1 A y = 50 - 2n
x + y = 49
Hallar la suma de la siguiente serle:
S = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 + ...42
Resolución:
La sucesión asociada es:
1; 2: 12; ... ; 42
Puede apreciarse claramente que hay dos
subsucesiones:
S+ 1; 7; 13;...; tn = 6n - 5
S2: 2; 7; 12; ...; tn = 5n - 3
Luego: S2 = 2; 7; 12; ...;42
=» 42 = 5n - 3 => n = 9
De lo cual se concluye que: S2 tiene 9 térmi
nos. Además, S, también tiene 9 términos, t9
de St es:
t9 = 6(9) - 5 = 49
Entonces la serie se puede escribir así:
Si S2
S = 1+7 +13 +19 + ...49+ 2 + 7+ 12 +17 + ...+42
9 sumandos 9 sumandos
Calculando el valor de cada serie tendremos:
S = 11 +'49')9 + ( 2 +„ 42'l9 ••• S = 423
|~EJERCICIOS PROPUESTOS' |
1. ¿Cuántos sumandos hay, si la mitad de ellos
es 2275?
S —2n + (2n + 3) + (2n + 6) + ... + 5n
c) 26a) 24
d) 27
b) 25
e) 28
2. Efectuar: S = 2 + 4 + 6 + ... + (2m)'
a) 4m2(m + 1)2
c) 4m2(m - 1)
e) 4m
b) 4m(m - 1)2
d) 4m2(m - 1)2
3. Hallar: K = A + B, donde:
A = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...
B = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
a) 8
d) 9,5
b) 8,5
e) 7,5
c) 9
4. Que letra continúa: A; D; F; G; J; I ; ...
a) L b) M c) K
d) N e) Q
5. Que letras continúan: Y; W; S; N; ...
a) Y b) C c) Q
d) F e) J
6. Efectuar: S = -J- + -2 - + - ®
a) 5
d) 10/81
10 102
b) 7/8
e) 81/7
•+ •
10J 104
c) 10/7
7. ¿Cuánto suman los números pares conte
nidos en los n primeros números naturales,
siendo n impar?
a) (n2 + 1)/4
c) n(n3 + 1 )/2
e) (n2 - 1)/6
b) (n2 - 1)/4
d) n3(n + 1)/6
8. La suma de 30 números naturales consecu
tivos es K. Hallar la suma de los 30 números
siguientes.
a) K + 900
c) 2K + 930
e) 0,5K + 900
b) 2K + 900
e) K + 930
9. Hallar el valor de x en: 22; 7; 0; 0; 12; x
a) 20 b) 19 c) 18
d) 15 e) 17
10. Si: Sn = 1+2 + 3 + ... +n, hallar el valor de:
A = S2o - S19- S18 —S17 + ... + S2 - S-|
c) 110a) 420
d) 120
b) 210
e) 220
11. Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos
positivos de 3, más los 20 primeros múltiplos
positivos de 5.
a) 2445
d) 2454
b) 1395
e) 2654
c) 1050

Ra z o n a m ie n t o M a te m á tic o [ 4 5
12. Hallar el valor de x:
4 + 7 + 10 + ... + x = 175
a) 26 b) 31 c) 30
d) 29 e) 28
13. Hallar x + y:
8; 16; 17; 3; 35; x; y;
a) 140 b) 141 c) 139
d) 151 e) 142
14. Se suman tantos números pares consecutivos
desde el 20, como números naturales conse
cutivos desde el 40. Si las sumas son iguales,
¿cuántos números pares se consideran?
a) 50 b) 41 c) 42
d) 30 e) 28
15. En la progresión aritmética que sigue: a; ...;
a la . La suma de todos sus términos es 43 512
y el primer término vale igual que la razón. Ha
llar el valor de a.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 8 e) 7
16. Calcular: S =-5- + -^ -+ ^ | + ^ + ...
22 24 2 2
a) 5/2 b) 5/8 c) 3
d) 1,5 e) 5/3
17. Hallar n si:
n + ... + 75 + 77 + 79 = 700
a) 59 b) 61 c) 63
d) 30 e) 31
18. En una caja se pone 2 caramelos, en otra
4, en otra 6 y así sucesivamente. ¿Cuántas
cajas tengo en total, si solo tengo 380 cara
melos?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 20 e) 19
19. Efectuar si son 140 sumandos:
M = 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + ...
a) 10 000 b) 9250 c) 9870
d) 9960 e) 9710
20. La suma de los 100 primeros números pares
excede a la suma de los 100 primeros núme
ros impares en:
a) -200 b) 0 c) —100
d) 200 e) 100
21. Qué número continúa:
4; 8; 7; 14; 13; 26; 25; 50; ...
a) 46 b) 49 c) 52
d ) 56 e) 100
22. Hallar x: 2; 6; 30; 260; x; ...
a) 530 b) 585 c)3130
d )525 e )3118
tn 1. c 6. d 11. a 16. e 21. b
Id 2. a 7. b 12. b 17. b 22. c
>
< 3. b 8. a 13. d 18. e
J 4. b 9. e 14. b 19. d
ü 5. d 10. a 15. e 20. e

CONTEO DE FIGURAS
METODO COMBINATORIO
Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las
figuras simples y luego se anotan los dígitos o
combinaciones de ellos que corresponden a cada
figura observada. Se recomienda proceder al
conteo ordenado (en forma creciente). Por ejem
plo: figuras de un dígito, figuras de 2 dígitos y así
sucesivamente.
Ejemplo:
Calcular el número total de triángulos.
De 1 cifra: 1; 2; 3; 5; 6; 7 =• seis
De 2 cifras: 12; 23; 24; 35; 67 => cinco
De 3 cifras: 123; 356 =* dos
De 5 cifras: 23 456 => uno
En total: 6 + 5 + 2 + 1 = 14 triángulos
Conteo por Inducción. Para resolver los siguien
tes ejercicios hacemos uso del método inductivo.
Conteo de segmentos
¿Cuántos segmentos como máximo hay en la si
guiente figura?
V V i r n - í n ’
n.° de segmentos
Si: n = 1 => 1 = 1
n = 2 => 3 = 1 + 2
n = 3 =• 6 = 1 + 2 + 3
n(n + 1)
Total de segmentos: 1 + 2 + 3 + ... + n = — - —
Ejemplo:
Indicar cuantos segmentos hay como máximo en
la figura:
Resolución:
7 x 8
Total de segmentos: —~ = 28 segmentos
Conteo de ángulos
¿Cuántos ángulos agudos se observa en la si
guiente figura?
n.° de ángulos
agudos
Si: n = 1 => 1 = 1
n = 2 = * 3 = 1 + 2
n = 3 =? 6 = 1 + 2 + 3
Total de ángulos agudos:
Ejemplo:
Calcular el número total de ángulos.
Resolución:
5 x 6
Total de ángulos: = 15 ángulos.
Conteo de triángulos
¿Cuántos triángulos como máximo se observa en
la siguiente figura?
n.° de triángulos
Si: n = 1 =» 1 = 1
n = 2 = 3 = 1+2
n = 3 = 6 = 1 + 2 + 3
n(n + 1)
Total de ángulos: 1 + 2 + 3 + ... + n = — - —
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura,
para n = 10?

Resolución:
10x 11
Total de triángulos: — - — = 55 triángulos
Conteo de triángulos en la siguiente figura
m
3
2
Total de triángulos:
n(n + 1)
— -— x m
1 2 3 ... n
Ejemplo:
¿Cuántos triángulos hay?
Resolución:
n.° de triángulos: x 5 = 30
Conteo de cuadriláteros y conteo de cuadrados
En la figura: | 1 | 2 | 3 | ... | n |
n ( n + 1)
Total de cuadriláteros: — - —
2
En la figura:
1 2 3 n
2
3
m
Total de cuadriláteros:
n ( n + 1) m(m + 1)
En la figura:
1 2 3 n
2
3
n
Total de cuadrados:
n(n + 1)(2n + 1)
Ejemplos:
En la siguiente figura:
¿Cuántos cuadriláteros hay?
¿Cuántos cuadrados hay?
¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados
se puede observar?
Resolución:
Total de cuadriláteros:
52<6x 5><6 _ 225
Total de cuadrados: ^ x .§.--1-11 = 55
Total de cuadriláteros que no son cuadrados:
225 - 55 = 170
Conteo de cubos y paralelepípedos
En la figura:
Total de cubos:
n(n + 1)
12 ... n
En la figura:
a
1 2
Total de paralelepípedos:
n(n + 1) m(m + 1) p ( p + 1)
— ^— x ------- - -------x — - —

48 | C olec ció n El Po stu la n te
1. En la figura:
/ V / A /
y
/
/
/
1 2 3 4
2
3
4
5
/
/
/
/ /
/
¿Cuántos paralelepípedos hay?
¿Cuántos cubos hay?
• ¿Cuántos paralelepípedos que no son cu
bos hay?
Resolución:
• Total de paralelepípedos:
=900
• Total de cubos:
(con 1 cubito)
4 x 5 x 6 = 60
(con 8 cubitos)
4 x 6 = 24
(con 27 cubitos)
2 x 3 = 6
n.° total de cubos: 90
Paralelepípedos que no son cubos
900 - 90 = 810
2. ¿Cuántos triángulos hay?
Resolución:
n.° de triángulos formados por:
1 figura simple: 4; 5; 6; 7; 8; 9
2 figuras simples: 15; 27; 39
4 figuras simples: 468a; 579a
Todas las figuras simples
(6)
(3)
(2)
(1)
Total de triángulos: 6 + 3 + 2 + 1 =12
3. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
1
2 3 4
5 6 7 8 9
Resolución:
De 1 cifra: 1; 2; 3; 4: 5; 6; 7; 8; 9 (9)
De 2 cifras: 12; 23; 25; 34; 36; 47; 56; 67; 78; 89 (10)
De 3 cifras: 125; 234; 567; 678; 789 (5)
De 4 cifras: 2356; 3467; 5678; 6789 (4)
De 5 cifras: 56789 (1)
De 6 cifras: 234567 (1)
Total de cuadriláteros: 9 + 10 + 5 + 4 + 1 +1 =30
4. Hallar el total de cuadriláteros en:
Resolución:
n.° de cuadriláteros:
6(6 + 1) 4(4+1)
2 2
n.° de cuadriláteros: 21 x 10 = 210
[jEJERCICIOS PROPUESTOS " !
1. ¿Cuántos cuadriláteros se puede contar en la
figura 100 del siguiente arreglo?
U ;
1 2
’ Q3 4
a) 4350
d ) 4805
b) 4385
e) 4881
c) 4951
2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 30
b) 90
c) 75
d) 165
e) 225

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