Practica programacion enterag

1. Grado en Administraci´on de Empresas
Departamento de Estad´ıstica
Asignatura: Optimizaci´on y Simulaci´on para la Empresa
Curso: 2011/2012
PR´ACTICA 4: Optimizaci´on Entera (2)
1. Localizaci´on de plantas y planificaci´on log´ıstica
Una de las grandes aplicaciones de la Optimizaci´on Entera son los modelos de lo-
calizaci´on de centros de servicio y transporte de productos. Se trata de modelos en los
que una compa˜n´ıa fabrica un cierto producto en sus plantas y despu´es lo env´ıa a los
clientes. Adem´as del coste de transporte, existe un coste fijo adicional por cada planta que
est´a abierta. En esta pr´actica veremos un ejemplo de un problema de localizaci´on de
plantas con costes fijos y capacidades.
La empresa Mate produce salsa de tomate en cinco plantas diferentes P1,...,P5. La
capacidad de producci´on anual de cada planta (en toneladas) se da en la Tabla 1. El coste
(en euros) de producir una tonelada de salsa de tomate y enviarlo a cada uno de sus cuatro
clientes (C1,...,C4) aparece en la Tabla 2. Cada cliente tiene una demanda (en toneladas)
dada en la Tabla 3. Adem´as, cada planta operativa (es decir, env´ıa alguna cantidad de salsa
de tomate) incurre en un coste fijo anual (en euros) dado en la Tabla 1.
El objetivo de la empresa es minimizar el coste anual de satisfacer las demandas:
necesita determinar qu´e plantas mantener abiertas as´ı como el plan ´optimo de env´ıos.
P1 P2 P3 P4 P5
Capacidad 300 200 300 200 400
Coste fijo 35000 45000 40000 42000 40000
Tabla 1: Capacidades y costes operativos de las plantas.
Para resolver este problema, necesitamos conocer: 1) los env´ıos de las plantas a los
clientes y 2) qu´e plantas est´an operativas (abiertas). En consecuencia, si I = {1, 2, 3, 4} es
el conjunto de clientes y J = {1, 2, 3, 4, 5} es el conjunto de plantas, definimos las siguientes
variables:
xij=“toneladas de salsa de tomate enviadas al cliente i que han sido producidas en
la planta j;
1

2. Hasta
C1 C2 C3 C4
Desde
P1 1180 1160 1190 1200
P2 810 800 850 760
P3 850 830 890 840
P4 770 750 810 780
P5 800 770 820 830
Tabla 2: Costes de producci´on y transporte.
C1 C2 C3 C4
200 300 200 250
Tabla 3: Demandas de los clientes.
yj =
1, si la planta j est´a operativa,
0, en caso contrario,
i ∈ I, j ∈ J.
Si llamamos cij al coste de enviar al cliente i una tonelada de salsa producida en la
planta j, entonces el coste de producci´on y env´ıo ser´a
CPE =
4
i=1
5
j=1
cijxij.
Por otra parte, si fj es el coste fijo de mantenimiento anual de la planta j cuando ´esta
est´a operativa, el coste fijo total es
CF =
5
j=1
fjyj.
En consecuencia, el coste total que debemos minimizar es
CT = CPE + CF =
4
i=1
5
j=1
cijxij +
5
j=1
fjyj.
Ahora debemos modelizar las distintas condiciones del problema.
En primer lugar, cada cliente debe recibir tantas toneladas como demanda:
5
j=1
xij = di, i ∈ I,
con d = (200, 300, 200, 250).
2

3. Por otra parte, ninguna planta puede producir m´as de su capacidad y solo puede
producir salsa de tomate si est´a abierta:
4
i=1
xij ≤ Mjyj, j ∈ J,
con M = (300, 200, 300, 200, 400).
En consecuencia, el modelo que representa el problema de esta empresa es el siguiente:



Min.
4
i=1
5
j=1
cijxij +
5
j=1
fjyj
s.a
5
j=1
xij = di, i ∈ I,
4
i=1
xij ≤ Mjyj, j ∈ J,
xij ≥ 0, i ∈ I, j ∈ J,
yj ∈ {0, 1}, j ∈ J.
El modelo puede resolverse f´acilmente con Solver. En la imagen podemos ver una
soluci´on ´optima. Ten en cuenta que, siendo un problema entero, conviene dar un valor de
0 % a la tolerance en el men´u Opciones. De lo contrario, existe el riesgo de que Solver
se detenga en una soluci´on sub´optima. Compru´ebalo resolviendo el problema con el valor
por defecto de una tolerancia del 5 %.
3

4. 2. Ejercicios
1. Contesta las siguientes preguntas sobre el ejemplo:
a) ¿Qu´e plantas no se utilizan?
b) ¿Est´an todas las plantas abiertas trabajando a su m´axima capacidad?
c) ¿Hay alg´un cliente que reciba toda su demanda desde una ´unica planta?
d) ¿C´omo impondr´ıas que el cliente 2 debe recibir al menos la mitad de la demanda
desde la planta 3?
2. Abril 2011 Una cadena de supermercados se plantea abrir hasta cuatro nuevos cen-
tros en cuatro ciudades: C1, C2, C3, y C4. Por razones log´ısticas, la cadena no quiere
albergar m´as de un supermercado en una misma ciudad. Cada posible centro puede
ser construido con uno de entre tres distintos tama˜nos: peque˜no (P), mediano (M)
y grande (G). A continuaci´on se muestra una tabla que contiene los costes de con-
strucci´on de cada centro en funci´on de su tama˜no y el beneficio neto esperado de
cada centro. Tanto los costes como los beneficios est´an en millones de euros.
Coste Beneficio
C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4
P 13 20 12 20 A 6 7 5 8
M 30 40 24 30 B 10 14 9 11
G 39 45 48 55 C 12 17 19 20
La compa˜n´ıa tiene un presupuesto de 100 millones de euros.
a) Formula un problema de programaci´on entera que ayude a la compa˜n´ıa a decidir
qu´e centros construye y de qu´e tama˜no de manera que se maximice el beneficio
medio esperado y resu´elvelo con ayuda del Solver.
b) ¿Qu´e restricci´on hay que a˜nadir al problema anterior si necesariamente tiene que
haber un hipermercado en la ciudad C2?, ¿c´omo cambia la soluci´on?
c) ¿C´omo modelar´ıas la siguiente restricci´on? se puede construir un hipermercado
peque˜no en las ciudades C1, C2 y C3 solamente si se construye ese tama˜no en la
ciudad C4. ¿C´omo cambia la soluci´on?
d) ¿Y esta restricci´on? En total, no puede haber m´as de dos tipos de tama˜no con-
struidos. ¿C´omo cambia la soluci´on?
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