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Proyecto Investigación de Operaciones

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Proyecto Investigación de Operaciones

  1. 1. TRABAJO FINAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES JOSE GREGORIO HERNANDEZ HOYOS JULIAN ANDRES GIRALDO HENAO UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN ARMENIA 2013-2
  2. 2. Planteamiento del problema Una empresa fabrica tres productos 1, 2 y 3, que deben procesarse en dos tipos de maquinaria denominadas A y B. En la siguiente tabla se recogen los tiempos de procesamiento (por tonelada procesada) con cada máquina, los beneficios (por tonelada procesada) en euros, y la disponibilidad de cada tipo de maquinaria (en horas por semana): Tipo Maquinaria Productos 1 2 3 Disponibilidad (Horas) A 2 5 4 70 B 3 4 6 86 Benef./ton. (miles de euros) 800 700 950 La empresa considera aumentar la disponibilidad de tiempo de procesamiento de la maquinaria Para ello, puede llevar a cabo alguna de las posibilidades indicadas a continuación: Tipo Maquinaria A B Incremento disp.(horas) 10 15 8 12 Coste Inversión (miles euros) 1600 1700 1700 1750 A lo sumo, se puede realizar un tipo de incremento para cada máquina. Gracias a un estudio de mercado se conocen los límites de demanda de los productos, que son: Producto Demanda (ton) Mínima Máxima 1 6 17 2 3 8 3 7 20 Además, la inversión total no puede exceder de 3400000 euros. Se pide: a) Formular el problema que se debe plantear la dirección de la empresa para obtener el plan de procesamiento e inversión de mayor beneficio. b) Si la empresa desease aumentar la disponibilidad de un sólo tipo de maquinaria, ¿cómo se modifica el modelo anterior reflejando tal situación? c) Si no se quiere añadir disponibilidad de B a menos que se añada de A, ¿cómo se representa esta nueva condición? d) La empresa desea ampliar la disponibilidad con la maquinaria B si, y sólo si, se incrementa también la A. ¿Cómo debe modificarse la condición considerada en el apartado anterior?
  3. 3. Solución a) El problema que se debe plantear la dirección de la empresa para un mayor beneficio debe ser: Las variables de decisión son:  X1, x2 y x3: cantidad de cada producto que se fabrica.  Variables binarias que nos indican si se realiza cada uno de los 4 posibles incrementos o no: 𝐴1, 𝐴2 , 𝐵1 , 𝐵2 𝑨 𝟏 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝑨 𝟏 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝑩 𝟏 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝑩 𝟐 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 La función objetivo a maximizar: beneficios de venta - coste incremento de capacidad de las maquinas 𝟖𝟎𝟎𝒙 𝟏 + 𝟕𝟎𝟎𝒙 𝟐 + 𝟗𝟓𝟎𝒙 𝟑 − 𝟏𝟔𝟎𝟎𝑨 𝟏 − 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨 𝟐 − 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨 𝟑 − 𝟏𝟕𝟓𝟎𝑨 𝟒 Restricciones:  Disponibilidad de Maquinaria 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 𝟑 ≤ 𝟕𝟎 + 𝟏𝟎𝑨 𝟏 + 𝟏𝟓𝑨 𝟐 Máquina A 𝟑𝒙 𝟏 + 𝟒𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟑 ≤ 𝟖𝟔 + 𝟖𝑩 𝟏 + 𝟏𝟐𝑩 𝟐 Máquina B  A lo sumo, se puede realizar un tipo de incremento para cada máquina: 𝐴1 + 𝐴2 ≤ 1 (1) 𝐵1 + 𝐵2 ≤ 1 (2)
  4. 4.  Límites de la demanda de cada producto: 𝟔 ≤ 𝒙 𝟏 ≤ 𝟏𝟕 𝟑 ≤ 𝒙 𝟐 ≤ 𝟖 𝟕 ≤ 𝒙 𝟑 ≤ 𝟐𝟎  La inversión total no puede exceder de 3400000 euros 𝟏𝟔𝟎𝟎𝑨 𝟏 + 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨 𝟐 + 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑩 𝟏 + 𝟏𝟕𝟓𝟎𝑩 𝟐 ≤ 𝟑𝟒𝟎𝟎  X1, x2, x3 ≥ 0 y A1, A2, B1 y B2 variables binarias. Para obtener los valores numéricos de las variables y el análisis de sensibilidad se hará uso de la herramienta Winqsb. Como primer paso se introducen las especificaciones para iniciar el análisis, para este primer caso tenemos un problema de 7 variables e inicialmente 11 restricciones. Figura1. Configuración Inicial Winqsb
  5. 5. Seguidamente ingresamos los valores de las restricciones como se muestra en la Figura2. En este paso se introducen los coeficientes de las restricciones y la función objetivo. En la parte Inferior se especifica si es variable continua o Binaria. Figura2.Ventana Ingreso Parámetros Generamos la solución al problema modelado inicialmente
  6. 6. Figura3.Cuadro solución al problema Interpretación de resultados: En la figura3 se muestra un resumen de los resultados generados por la herramienta. Se puede visualizar los valores de las variables de decisión (continua y binaria), beneficio, el costo reducido que para el caso de las variables básicas es cero ya que no hay aporte de estas al modelo. Se puede observar el beneficio máximo bajo las condiciones planteadas, para dicho modelo el beneficio máximo será de €17800. En la parte inferior se puede ver información referente a las restricciones como por ejemplo los intervalos de optimalizad, precio sombra y el excedente o desperdicio. El costo marginal se interpreta como el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica para este caso 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐵1 + 𝐵2 Precios sombra (indican cuánto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso, o bien, la mejora en el valor de la función objetivo por incremento unitario de cada recurso). De la restricción C1 se puede decir que por cada unidad que incrementemos la disponibilidad nos aumentará €400 el beneficio máximo. Ver figura3 y Figura4. Figura4. Cambio en la Disponibilidad C1
  7. 7. Figura4.Resultados al cambiar la disponibilidad de C1 Se realiza un cambio de disponibilidad en C7 (Figura5) para ver el cambio en el beneficio máximo (figura6). Figura5.Cambio de disponibilidad en C7
  8. 8. Figura6.Resultados obtenidos al cambiar la disponibilidad de C7 b) Al aumentar la disponibilidad en un solo tipo de maquinaria el modelo se modificaría así: Si se siguen manteniendo las restricciones (1) y (2), entonces es suficiente con añadir 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐵1 + 𝐵2 ≤ 1 Si no se mantienen, es decir, solo se puede invertir en una maquina pero las ampliaciones se pueden acumular, entonces hay que añadir 2 nuevas variables binarias que indiquen si se invierte o no en cada máquina: 𝑨 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝑨 = { 𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 Estas 2 variables toman su valor en función del valor de las variables binarias previamente definidas:
  9. 9. 𝐴1 + 𝐴2 ≤ 2𝐴 (3) 𝐴1 + 𝐴2 ≤ 2𝐵 (4) Estas 2 restricciones sustituirían a las anteriores (1) y (2). Además, habría que añadir para modelar la condición que se nos pide ahora: 𝐴 + 𝐵 ≤ 1 Resultados en Winqsb Figura7.Modelo con restricción planteada en el numeral b Figura8.Beneficio máximo al introducir la nueva restricción
  10. 10. c) Si no se quiere añadir disponibilidad de B a menos que se añada de A la condición quedaría representada de la siguiente manera: Si no se elimina la condición de, a lo sumo una inversión en cada máquina, habría que añadir la restricción: 𝐵1 + 𝐵1 ≤ 𝐴1 + 𝐴2 Si se elimina la condición, entonces se definen A y B como antes y se añade la restricción: 𝐵 ≤ 𝐴 Figura9.Ingresamos la restricción planteada en el numeral c Figura10.Resultados del modelo con la restricción ingresada
  11. 11. Realizamos un cambio en la disponibilidad de C2 para ver el impacto en el beneficio Maximo(figura11). Figura11.Aumento de la disponibidad en C2 Figura12.Tabla con cambios generados en el paso anterior Con el anterior procedimiento se verifico el precio sombra para la restricción C2, de donde se ve que un aumento en una unidad de la disponibilidad nos representa €266,6667 de ganancia.
  12. 12. d) La empresa desea ampliar la disponibilidad con la maquinaria B si, y sólo si, se incrementa también la A. ¿Cómo debe modificarse la condición considerada en el apartado anterior? Para que se cumpla dicha condición se debe cambiar la desigualdad por una igualdad, quedando: 𝑩 𝟏 + 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝟏 + 𝑨 𝟐 Figura13.Cambio de restricción planteada en el numeral d Figura14.Resultados del modelo propuesto en el numeral d
  13. 13. De la solución anterior se puede concluir: Se muestra un resumen de los resultados generados por la herramienta. Se puede visualizar los valores de las variables de decisión (continua y binaria), beneficio, el costo reducido que para el caso de las variables básicas es cero ya que no hay aporte de estas al modelo. Se puede observar el beneficio máximo bajo las condiciones planteadas, para dicho modelo el beneficio máximo será de €1728,33. En la parte inferior se puede ver información referente a las restricciones como por ejemplo los intervalos de optimalizad, precio sombra y el excedente o desperdicio. El costo marginal se interpreta como el costo que genera incrementar una unidad para cada variable no básica para este caso 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐵1 , 𝐵2 Precios sombra (indican cuánto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso, o bien, la mejora en el valor de la función objetivo por incremento unitario de cada recurso). De la restricción C2 se puede decir que por cada unidad que incrementemos la disponibilidad nos aumentará €266,6667 el beneficio máximo. Ver figura3 y Figura4. El costo por unidad o utilidad por unidad nos muestra la cantidad de pesos que vamos a ganar por cada tipo de producto (800,700 y 950 respectivamente). El costo reducido nos indica el dinero que hemos dejado de ganar por cada unidad no fabricada, en este caso el negocio suele ser rentable ya que el costo reducido es 0. El rango mínimo y máximo de 𝐶𝑗, es la cantidad mínima o máxima que puedo obtener sin que la base actual cambie para este caso sería 𝑋1 = [525 , 837.5 ] , 𝑋2 = [−∞ , 1066.667 ] 𝑋3 = [−∞ , 1600 ]. Las holguras (Slack o surplas) nos indican un faltante o bien un sobrante. El rango mínimo y máximo de 𝑏𝑗 (Allowable Min/máx. RHS) es el intervalo de cantidades de recurso que se debe de mantener sin que la base actual cambie.

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