Este documento describe diferentes formas indeterminadas que pueden aparecer al calcular límites, incluyendo 0/0 y ∞/∞. Explica que la regla de l'Hôpital puede usarse para evaluar límites de la forma 0/0 reemplazando el cociente por el cociente de sus derivadas. También cubre el uso de la regla para límites laterales y en el infinito, así como otros métodos para evaluar la forma ∞/∞.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
NAYIBETH CAMACHO

2. Los límites indeterminados son aquellos que presentan algunas de estas formas:
En una forma indeterminada 0/0, pues tanto el numerador como el denominador tienden a 0
cuando x tiende a 0. Este límite no puede ser determinado usando operaciones algebraicas que
permitan la cancelación de factores del numerador y denominador. Éste junto con otros límites de
cocientes que son formas indeterminadas 0/0 o infinito sobre infinito pueden ser evaluados aplicando la
regla de l´Hôspital, calculado el límite del cociente de las derivadas.

3. *Regla de l´Hôpital
*Sean f y g derivables y
Si el
límite
existe o bien es
,
entonces

4. 4
*Regla de L’Hospital
entonces:
Se utiliza cuando aparecen las formas indeterminadas


,
0
0
Teorema
Si f y g son derivables, cerca de a y si  0x'g
ó    0limlim 

xgxf
axax

 
 
 
 x'g
x'f
xg
xf
axax 
 limlim
siempre que el segundo límite exista o sea ó  

5. 5
*Notas
1.La regla de L’Hospital afirma que el límite de un
cociente de funciones es igual al límite del
cociente de sus derivadas, siempre que se
satisfagan las condiciones dadas.
2.La regla de L’Hospital también es valida para
los límites laterales y los límites en el infinito:
 
x,x,ax,ax
x
y
f
g
y=m1(x-a)
y=m2(x-a)
a

6. La forma ∞/∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el
denominador, tienen por límite ∞.
En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se
está frente a una forma
indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse
métodos tales como factorización,
derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a
0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se
van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y
del denominador se evalúan en
la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente)
0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de
hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor
particular. Por ello es que la expresión
0/0 se dice que es indeterminada.
,

7. 7
Las formas indeterminadas aparecen al tratar de
hallar límites mediante las leyes usuales de suma,
resta, producto, cociente y potencia.




1;;0;0;;;
0
0 00
Las más comunes son:

8. ,
*Gracias por su
atención