1. Alumno:
José Mogollón
CDI: 23.852.228
Materia: Matemática I
Carrera: Informática (78) (Mañana)
Profesor: Domingo Méndez

2. Formas indeterminada
Las formas indeterminadas involucran los límites del tipo: es decir,
cuando una variable que tiende a ese valor parece no existir o no estar
definida.
Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las
formas siguientes_
.
Interpretación
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún
punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no
existir, dependiendo de las funciones f y g.
Cociente indeterminado
La forma0/0
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0,
las razones x/x3, x/x, yx2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo,
si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el
resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y,
de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor
particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
Ejemplos:

3. Indeterminado no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser
hallados con esta regla.
 Tipo
La forma∞/∞
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el
denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla
operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞.
Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización,
derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:

4. Producto indeterminado
La forma indeterminada 0 • ∞
Diferencia indeterminada
En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla
operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma ideterminada del
tipo . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la
multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia indeterminada
 La forma00
 La forma∞0
 La forma1∞
Ejemplo: el siguiente límite1
, esde laforma ; considerando
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
aplicandoal segundomiembrola reglade l'Hôpital,se obtiene

5. de manera que el límite sería

6. Tabla de formas indeterminadas
La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla
de l'Hôpital.
Forma
indeter
minada
Condiciones Transformación a 0/0 Transformación a ∞/∞
—
—

7. Ejemplos
Ejemplo #1
forma indeterminada:
Usando L'Hospital:
Ejemplo # 2
forma indeterminada:
Usando L'Hospital:
forma indeterminada:
Usando L'Hospital:

8. Ejemplo # 3
forma indeterminada:
Usando L'Hospital:
Ejemplo # 4
forma indeterminada:
forma:
Ejemplo # 5
forma indeterminada:
Usando L'Hospital:

9. Regla de L'Hôpital para límites.
La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de
funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:
Un límite indeterminado de la forma:
valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de
numerador y denominador, es decir:
De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.
EJEMPLO Hallar el límite:
este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de
L'Hôpital:
límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a
aplicar la regla de L'Hôpital:
que es en definitiva el valor del límite.
Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la
indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0× , - .

10. Por ejemplo, una indeterminación del tipo / , provendrá de un límite de la forma:
en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no
varía si lo expresamos en la forma:
y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la
0/0.