Fisica modulo i

Darío Vergara Pérez.
INSESAM
Módulo de Física I
Abril 2020
INSESAM
Ciencias Naturales , Física. (daroverg@hotmail.com).

3
ÍNDICE GENERALÍNDICE GENERAL
1 COMO SE CONSTRUYE LA CIENCIA PÁGINA 1
1.1 Introducción 1
1.2 Conceptos de Ciencia y física 1
1.3 Objetivos de la Física 2
1.4 Reseña histórica de la Física 2
1.5 Principales Ramas de la física 4
La medida en la Física4 • Sistema Métrico decimal5 • Sistema Internacional de Unidades (SI)7 • Otros
Sistemas de Medidas 8 • Notación Científica 8 • Análisis dimensional 8 • Ecuación dimensional 9 •
principio de homogeneidad dimensional 9
1.6 Actividades 11
Prefijos y notación científica 11 • Conversión de Unidades 11 • Análisis Dimensional 13
2 VECTORES PÁGINA 15
2.1 Introducción 15
Magnitudes escalares15 • Magnitudes vectoriales16 • Vectores y su representación16 • Operación con
vectores 17 • producto de un vector por un escalar 17
2.2 Adición y sustracción de vectores 17
Suma de vectores 17 • Resta de vectores 18
2.3 Método para sumar vectores 18
Método del Polígono 18 • Regla del paralelogramo 18 • Componentes rectangulares de un vector 19 •
Campo vectorial 20
2.4 Relaciones entre magnitudes 20
2.5 Magnitudes directamente proporcionales 20
Variación lineal o proporción lineal 21
2.6 Magnitudes inversamente proporcionales 22
2.7 Actividades 22
3 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME PÁGINA 29
3.2 El movimiento 29
3.3 Cuerpos Puntuales 30
¿Qué es una partícula? 30

3.4 Trayectoria Y Desplazamiento 30
Trayectoria 30 • Desplazamiento 31
3.5 Velocidad y Aceleración 33
Instantes y lapsos 33 • Velocidad media 33 • ¿Que significa velocidad negativa? 34 • Rapidez media 34
3.6 La aceleración 34
3.7 Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.): 34
Características del movimiento 35 • velocidad en el M.R.U 35 • Encuentros 35
3.8 Actividades 36
Trayectoria y desplazamiento36 • Velocidad y Rapidez36 • aceleracion36 • mru37 • problemas37 • mru
graficos 37 • problemas sencillos MRU 38 • encuentros en mru 39 • Alcance de un movil a otro 39
4 MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO PÁGINA 41
4.2 Movimiento rectilíneo uniformemente variado ó acelerado (M.U.A) 41
4.3 Características del movimiento 41
4.4 Ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado 42
Cálculo de la aceleración42 • Cálculo de la velocidad42 • Cálculo de la posición en función del tiempo
(ecuación Horaria) 43 • Ecuación de la posición en función de la velocidad 44
4.5 Ecuaciones Horarias y Gráficos en el M.U.A 44
Aceleración vs tiempo (a = f (t))45 • velocidad vs tiempo (v = f (t))45 • posición vs tiempo (x = f (t))45
4.6 Actividades 46
Velocidad en el M.U.A 47 • Cálculo de la posición en función del tiempo (ecuación Horaria) 47
4.7 Calculo de velocidad cuando no se conoce el tiempo 48
Cuerpo que se detiene 48
5 MOVIMIENTO VERTICAL PÁGINA 49
5.2 Caída libre de los cuerpos 49
Ecuaciones del movimiento de caída libre 49 • El observador situado en el suelo 50 • Para un
observador situado arriba desde donde se deja caer el objeto 51
5.3 Lanzamiento vertical hacia arriba 52
En la altura máxima la velocidad del cuerpo se hace 053 • Al llegar al suelo, la altura del cuerpo es cero
53
5.4 lanzamiento vertical. Hacia abajo 55
5.5 Actividades 56
6 MOVIMIENTO EN EL PLANO PÁGINA 59
6.2 velocidades relativas 59
velocidades relativas en una dimensión 59 • principio de independencia o del movimiento 62 •
principio de independencia 63

6.3 Movimiento semiparabolico o lanzamiento horizontal 64
Movimiento de proyectiles 66 • Ecuaciones del movimiento de proyectiles 66
6.4 Actividades 67
7 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME PÁGINA 71
7.2 Movimiento Circular Uniforme. 71
frecuencia (f ) 72 • periodo (T ) 72
7.3 Velocidad lineal o tangencial vt 73
velocidad angular (w) 75
7.4 aceleración centrípeta 77
7.5 Actividades 79
Bibliografía 81

1
1 Como se construye la ciencia
1.1 Introducción
La física y la química constituyen ejemplos de ciencias experimentales. La historia de ambas disciplinas
pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con fre-
cuencia, los experimentos científicos sólo pueden ser entendidos en el marco de una teoría que orienta
y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser contras-
tadas experimentalmente. Pero, en ocasiones, los resultados de los experimentos generan información
que sirve de base para una elaboración teórica posterior. Este doble papel de la experimentación co-
mo juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción
de los fenómenos en términos de cantidad. La medida constituye entonces una operación clave en las
ciencias experimentales Para la física y la química, en su calidad de ciencias experimentales, la medida
constituye una operación fundamental. Sus descripciones del mundo físico se refieren a magnitudes o
propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a efectos de comparación, forman
parte de los resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaña de su error o, al menos, se
escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisión de la correspondiente medida
1.2 Conceptos de Ciencia y física
Definición 1.1 (Concepto de ciencia y física)
La palabra ciencia proviene del latín SCIRE que significa conocer.
La ciencia es el conocimiento sistematizado en cualquier campo. En el estudio de las leyes que
rigen los diversos aspectos de la naturaleza.
La ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden a modificar su estado o su
movimiento, sin cambiar su naturaleza. Esta definición tan breve está lejos sin embargo, de ser modesto
en efecto, una rápida reflexión nos hace comprender que todo en la naturaleza es materia en movimien-
to; por consiguiente, la física está presente, de algún modo, en todo los fenómenos por que podemos ver
o imaginar.
Aunque las ideas sobre el mundo físico se remontan a la antigüedad, la física no surgió como un campo
de estudio bien definido hasta principio del siglo XIX. En ese entonces, era frecuente que los físicos fue-
ran al mismo tiempo matemáticos, filósofos, químicos, biólogos o tanto que, muy pocas excepciones,
los físicos modernos tienen que limitar su atención a una o dos ramas de su ciencia.

21.3 Objetivos de la Física
1.3 Objetivos de la Física
La física estudia los fenómenos físicos y sus leyes, así mismo, la física se ocupa de la manera como inter-
actúan diferentes porciones de materia y energía para dar lugar a fenómenos naturales. De esta forma la
física trata de discernir el comportamiento y la naturaleza de las estrellas, la luz, el tiempo, el sonido, y
las partículas subatómicas
1.4 Reseña histórica de la Física
En la antigüedad, los chinos, los babilonios, los egipcios y los mayas observaron el movimiento de los
planetas y lograron predecir los eclipses, pero no consiguieron formular una teoría para explicarse el
movimiento planetario.
En las colonias griegas del Asia Menor, especialmente en la ciudad de Mileto, filósofos como tales, Anaxi-
mandro y Anaximenes (S. VI a. C) desarrollaron el concepto de unidad en el mundo físico. Cada uno de
ellos tenía una idea distinta de la esencia universal: Tales pensaba que era el agua y Anaxímenes que era
el aire.
Arquímedes En Alejandría, el centro científico de la civilización occidental durante el periodo helenís-
tico, hubo notables avances. Allí el matemático e inventor griego ARQUIMEDES diseñó con palancas y
tornillos varios aparatos mecánicos prácticos y midió la densidad de los objetos sólidos sumergiéndolos
en un líquido. Otros científicos griegos importantes de aquella época fueron el astrónomo ARISTARCO
de SAMOS,que halló la relación entre las distancias de la tierra al Sol y de la Tierra a la Luna, el matemá-
tico, astrónomo y geógrafo ERATÓSTENES que midió la circunferencia de la tierra y elaboró un catálogo
de estrellas.
En el siglo II d.C. el astrónomo, matemático y geógrafo TOLOMEO propuso el sistema que lleva su nom-
bre para explicar el movimiento planetario. En el sistema de Tolomeo. La tierra está en el centro y el Sol,
la Luna y las estrellas giran en torno a ella en órbitas circulares.
Durante la edad media se produjeron pocos avances, tanto en la física como en las demás ciencias. Sin
embargo, sabios árabes como AVERROES contribuyeron a la conservación de muchos tratados cientí-
ficos de la Grecia clásica. En general, las grandes universidades medievales fundadas en Europa por las
órdenes monásticas a partir del siglo XIII no supusieron un gran avance para la física y otras ciencias
experimentales. El filosofo escolástico y científico británico ROGER BACON fue uno de los pocos filó-
sofos que defendió el método experimental como autentica base del conocimiento científico; también

3
1.4 Reseña histórica de la Física
investigo en astronomía, química, óptica y diseño de máquinas. La ciencia moderna surgió tras el Rena-
cimiento, en el siglo XVI, y comienzos del XVII, cuando cuatro astrónomos destacados logran interpretar
de forma muy satisfactoria el comportamiento de los cuerpos celestes.
El astrónomo polaco NICOLAS COPÉRNICO propuso un sistema heliocéntrico, en el que los planetas
giran alrededor del Sol. Sin embargo, Copérnico estaba convencido de que las órbitas planetarias eran
circulares. El astrónomo danés TYCHO BRAHE adoptó una formula de compromiso entre los sistema de
Copérnico y Tolomeo; según él, los plantas giraban entorno al Sol, mientras que el Sol giraba alrededor
de la Tierra. Brahe era un gran observador y realizó una serie de medidas increíblemente precisas. Esto
proporcionó a su ayudante JOHANNES KEPLER los datos para atacar al sistema de Tolomeo y enunciar
tres leyes que se ajustaban a una teoría heliocéntrica modificada. GALILEO ,que había oído hablar de la
invención del telescopio, construyó uno, y el 1609 pudo confirmar el sistema heliocéntrico observando
las fases del planeta Venus. También descubrió las irregularidades en la superficie de la Luna, los cuatro
satélites de Júpiter más brillantes las manchas solares y muchas estrellas de la Vía Láctea. Los intereses
de Galileo no se limitaban a la astronomía: empleando planos inclinados y un reloj de agua perfecciona-
do ya había demostrado que los objetos tardan lo mismo en caer, independientemente de su masa ( lo
que invalidaba los postulados de Aristones ), y que la velocidad de los mismos aumenta uniformemente
con el tiempo de caída. Galileo demostró que las leyes de la naturaleza ( o al menos algunas de ellas)
obedecen a ecuaciones matemáticas simples, y desde entonces los físicos han continuado la búsqueda
de relaciones matemática entre los resultado de sus medidas. Los descubrimientos astronómicos de Ga-
lileo y sus trabajos sobre mecánica precedieron la obra matemático y físico británico del siglo XVII.
Isaac Newtom
uno de los científico mas grande de la historia, quien a partir de 1665, cuando tenía 23 años, desarrolló
los principios de la mecánica, formuló la ley de la Gravitación Universal, separó la luz blanca en sus
colores constituyentes e inventó el Cálculo diferencial e integral.
Newton también logró explicar el efecto de la Luna sobre las mareas.
Definición 1.2 (Concepto de ciencia y física)
Método de estudio sistemático de la naturaleza aplicado a todo conocimiento científico que in-
cluye las técnicas de observación, reglas para el razonamiento y la predicación.
Ideas sobre la experimentación planificada y los modos de comunicar los resultados experimen-
tales y teóricos.
El método científico comprende las siguientes etapas:

41.5 Principales Ramas de la física
Observación: que consiste en el estudio de un fenómeno que produce en sus condiciones natu-
rales. La observación debe ser cuidadosa, exhaustiva y exacta A partir de la observación surge el
planteamiento del problema que se va a estudiar. Formulación de hipótesis o suposición provisio-
nal. Existen ciertas pautas que han demostrado ser de utilidad en el establecimiento de hipótesis y
de los resultados que se basan el ellas; estas pautas son: probar primero la hipótesis más simples,
no considerar una hipótesis como totalmente cierta y realizar pruebas experimentales indepen-
dientes antes de aceptar un único resultado experimental importante.
Experimentación: que consiste en el estudio de un fenómeno, reproducido generalmente en un
laboratorio, en las condiciones particulares de estudio que interesan, eliminando o introducien-
do aquellas variables que puedan influir en él. Se entiende por variable todo aquello que pueda
causar cambios en los resultados de un experimento y se distingue entre variable independiente,
y controlada.
Variable independiente: es aquella que el experimentador modifica a voluntad para averiguar si
sus modificaciones provocan o no cambios en las otras variables.
Variable dependiente: es la que toma valores diferentes en función de las modificaciones que sufre
la variable independiente.
Variable controlada: es la que se mantiene constante durante todo el experimento. Todo expe-
rimento debe ser reproducible, es decir, debe estar planteado y descrito de forma que pueda re-
petirlo cualquier experimentador que disponga del material adecuado. Los resultados de un ex-
perimento pueden descubrirse mediante tablas, gráficos y ecuaciones de manera que puedan ser
analizados con facilidad y permitan encontrar relaciones entre ellos que confirmen o no las hipó-
tesis emitidas.
Análisis e interpretación de resultados: de acuerdo con los resultados obtenidos se puede con-
firmar o negar la hipótesis planteada. Una hipótesis confirmada se puede transformar en una ley
científica que establezca una relación entre dos o más variables, y estudiar un conjunto de leyes se
puede hallar algunas regularidades entre ellas que den lugar a unos principios generales con los
cuales se constituyan una teoría. Según algunos investigadores, el método científico es el modo
de llegar a elaborar teorías, entendiendo estás como figuración de leyes. Mediante la inducción se
obtiene una ley a partir de las observaciones y medidas de los fenómenos naturales, y mediante la
deducción se obtiene consecuencias lógicas de una teoría. Por esto, para que una teoría científica
sea admisible debe permitir hacer predicciones de nuevas relaciones y fenómenos que se puedan
comprobar experimentalmente.
La física cubre una amplia gama de campos. Esta tabla proporciona una breve descripción de los temas
tratados en los diferentes ámbitos
1.5.1 La medida en la Física
La mente humana vincula muchos atributos diferentes a las personas y a las cosas, tales como longitud,
peso, color, belleza y patriotismo. Algunos atributos son fáciles de medir como la longitud o el peso pero
otros no, como la belleza o el patriotismo. A la física le interesan los atributos medibles de las cosas.
Medir es comparar algo con una unidad de su misma especie elegida como patrón. La medición puede

Término Descripción
Acústica Estudia las propiedades del sonido.
Física atómica Estudia las propiedades del átomo
Criogenia Estudia el comportamiento de la materia a temperaturas extremadamente
bajas
Electromagnetismo Estudia los campos eléctricos y magnetismo, y las cargas eléctricas que lo
generan.
Física de partículas Se dedica a la investigación de las partículas elementales.
Dinámica de fluidos Examina el comportamiento de los líquidos y gases en el movimiento
Geofísica Aplicación de la física al estudio de la tierra. Incluye los campos de la hidro-
logía, la meteorología, la sismología y la vulcanología
mecánica Estudia el movimiento de los objetos materiales sometidos a la acción de la
fuerza.
Física molecular Estudia las propiedades y estructura de las moléculas.
Física nuclear Analiza las propiedades y estructuras del núcleo atómico, las reacciones nu-
cleares y su aplicación.
Óptica Estudia la propagación y el comportamiento de la luz.
Física cuántica Estudia el comportamiento del sistema extremadamente pequeños y la
cuantización de la energía.
Termodinámica Estudia el calor y la conversión de la energía de una forma a otra
Cuadro 1.1: Principales Ramas de la Física
ser directa o indirecta. La medición es directa cuando la unidad de medida se compara directamente
con el objeto de medir. Por ejemplo: para medir la longitud de un segmento se coloca la regla sobre el
segmento; pata determinar la masa de un cuerpo se coloca en el platillo de una balanza y en el otro
platillo se colocan masas conocidas hasta equilibrar la balanza. La medición es indirecta cuando no se
compara directamente la unidad de medida con el objeto a medir. Ejemplo para determinar la distancia
de la Tierra a la Luna no es posible hacerlo con una cinta métrica si no aplicando procesos físicos y
matemáticos; para determinar el área de una sala rectangular se mide el largo y el ancho y se aplica una
fórmula matemática. A todo lo que es posible medir, se le llama MAGNITUD. Ejemplo: la longitud, el
peso, el área, la velocidad, el tiempo, el volumen, la masa, la fuerza, etc. En la antigüedad, las mediciones
consistían en comparar las dimensiones de los objetos con parte del el cuerpo, como el codo, la pulgada,
el pie, el paso, la brazada, etc., pero se presentaba un problema: un pie podía ser más grande que otro;
un paso más largo que otro, etc. Debido a la gran variedad de medidas que se empleaban en los distintos
países e incluso en las regiones de un mismo país, se dificultaban las transacciones comerciales, por
lo que Francia (1790) surgió la idea de crear un sistema que unificara las medidas. A este sistema se le
conoce con el nombre de Sistema Métrico Decimal.
1.5.2 Sistema Métrico decimal
Sistema decimal de unidades físicas, que toma su nombre de su unidad de longitud, el metro (del grie-
go metron, que significa “medida”). El sistema métrico decimal fue introducido y adoptado legalmente
en Francia en la década de 1790, y adoptado después como sistema común de pesos y medidas por la
mayoría de los países. El sistema métrico decimal se usa en todo el mundo para trabajos científicos. Es

un sistema, por ser un conjunto de medidas; métrico, por que su unidad fundamental es el metro; de-
cimal, por que dentro de de este sistema las diferentes unidades varían como potencia de 10. El metro
(m) se definió originalmente como “una diezmillonésima parte de la distancia entre el Ecuador y el Polo
Norte” a lo largo del meridiano de parís. Entre 1962 y 1799, esta distancia fue medida parcialmente por
científicos franceses. Considerando que la tierra era una esfera perfecta, estimaron la distancia total y
la dividieron entre 10 millones. Más tarde, después de descubrirse que la forma de la Tierra no es com-
pletamente esférica, el metro se definió como “ la distancia entre dos líneas finas trazadas en una barra
de aleación de plano iridio (el Metro Patrón Internacional) conservado en la Oficina Internacional de
pesas y Medidas”. Después volvió a definirse en 1960 como “1.650.763,73 longitudes de onda de la luz
anaranjada-rojiza emitida por el isótopo criptón 86”. Para expresar múltiplos de las unidades del siste-
ma métrico se emplea una serie de prefijos griegos, mientras que para expresar submúltiplos se utilizan
prefijos latinos. El Sistema Internacional de unidades (SI) adoptó esos prefijos y añadió otros.
Prefijo Símbolo Aumento
Miria M 104
=10.000 (Diez millares)
Kilo K 103
=1.000 (un millar)
Hecto H 102
=100 (un centenar)
Deca da 101
=10 (una decena )
Deci d 10−1
=0.1 (un centésimo)
centi c 10−2
Mili m 10−3
=0.001(un milésimo)
Cuadro 1.2: Sistema métrico
En gran Bretaña, Estados Unidos y muchos otros países angloparlantes todavía se emplean pulgadas,
pies, millas, libras, o galones como unidades comunes para medir longitudes, pesos y volúmenes, cono-
cidas como Unidades Anglosajonas. Equivalencias entre las unidades Anglosajonas y las del Sistema
métrico
Unidades Anglosajonas Unidades métri-
cas
Longitud 1 pulgada (in)
1 pie(ft)=12 in
1 Yarda (yd)=3ft
1 milla (mi)=5280 ft
1in=2.54cm
1ft=30.48cm
1yd=91.44cm
1mi=1609m
Masa 1 onza (oz)
Libra (lb)=16oz
1oz=28.34g
1lb=453.59 g
Volumen
Capacidad
1 cucharada
1 galón
14.79ml
3.78 l
El Sistema Métrico Decimal comprende unidades correspondientes a: Longitud, Superficie, Capacidad
Volumen, Masa y Peso

1.5.3 Sistema Internacional de Unidades (SI)
En la actualidad en la mayoría de los países se utiliza un sistema de unidades de medida común denomi-
nado sistema internacional de unidades (SI). Este sistema tiene su origen en el sistema métrico decimal
y su nombre fue adoptado por la XI Conferencia General de la Pesas y Medidas(celebrada en París en
1960). Este sistema tiene siete magnitudes fundamentales y por lo tanto siete unidades fundamentales,
una para cada magnitud (que corresponden también a las siete magnitudes y unidades fundamentales
de la física). Estas magnitudes y unidades se enumeran en la siguiente tabla. Los símbolos de la última
columna son los mismos en todos los idiomas.
Magnitudes
Fundamentales
Unidades
Fundamentales
Símbolo
Longitud Metro m
Masa Kilogramo Kg
Tiempo Segundo s
Intensidad de corriente eléctrica Amperio A
Temperatura Kelvin K
Cantidad de Sustancia Mol Mol
Intensidad Luminosa Candela cd
Las unidades del SI para todas las de más magnitudes se derivan de las siete unidades fundamentales.
Milímetro (mm), kilómetro/hora (km/h) o Mega-vatio (Mw).
Prefijos Decimales
Una característica del SI es que es un sistema coherente, es decir, las unidades derivadas se expresan
como productos y cocientes de unidades fundamentales y otras unidades derivadas. Por eso se adopta-
ron y ampliaron los prefijos desarrollados para el sistema métrico. Estos prefijos se emplean tanto con
unidades fundamentales como derivadas. Algunos ejemplos son: El empleo de prefijos evita el uso de
excesiva cifras decimales (por ejemplo, es más cómodo decir 3 centímetros que 0,03 metros)
Prefijo Símbolo Aumento o disminución
Tera T 1012
(Billón)
Giga G 109
=1000000000
Mega M 106
=1000000 (Millón)
Kilo K 103
=1.000 (un millar)
Hecto d 102
=100 (un centenar)
Deca da 101
=10 (una decena )
Deci d 10−1
=0.1 (un désimo)
centi c 10−2
Mili m 10−3
=0.001(un milésimo)
Micro µ 10−6
millonésimo
Nano n 10−9
trillonésimo
Femto f 10−15
cuatrillonésimo
Cuadro 1.3: Algunos prefijos decimales

Magnitudes y Unidades Derivadas del SI
Las unidades derivadas del SI se obtienen mediante la combinación de las unidades fundamentales.
Ejemplo:
Magnitud Unidad Símbolo
Superficie Metro cuadrado m2
Volumen Metro cúbico m3
Velocidad Metro por segundo m/s
aceleración Metro por segundo cuadrado m/s2
Densidad Kilogramo por metro cúbico kg/m3
Velocidad angular Radian por segundo rad/s
Frecuencia Hertz Hz = s−1
Fuerza Newton N = kg ·m/s2
1.5.4 Otros Sistemas de Medidas
Hoy es obligatorio usar el SI como patrón en el comercio, la industria y la investigación científica sin
embargo todavía subsiste el sistema C.G.S o cegesimal cuyas unidades básicas para la longitud, masa y
tiempo son: Longitud: centímetro (cm) Masa: Gramo (g) Tiempo: segundo(s) En el reino unido y en las
antiguas colonias británicas se utiliza el sistema ingles, cuyas unidades básicas son: Longitud: pie (foot)
Masa: libra (poundal) Tiempo: segundo (second)
1.5.5 Notación Científica
Un número está escrito en notación científica cuando se expresa como un número comprendido entre
uno y diez, multiplicado por una potencia entera de 10. La notación científica sirve para expresar en
forma cómoda aquellas cantidades que son demasiado grandes o demasiado pequeñas.
1.5.6 Análisis dimensional
Para realizar medidas hay que considerar unidades fundamentales. se consideran dos des estas unidades
que son:
El sistema absoluto
cuyas unidades fundamentales se representan con la letra inicial de su nombre.
unidad de masa: M
Unidad de longitud: L
Unidad de tiempo: T
Sistema técnico o gravitacional
unidad de fuerza: F
Unidad de longitud: L
Unidad de tiempo: T

1.5.7 Ecuación dimensional
Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las
que asumen como magnitudes fundamentales.
Las magnitudes de una magnitud física se representan de la siguiente manera:
Sea [A] dimensión de una magnitud física “A” o ecuación dimensional de A.
Ejemplos
1. [longitud] = L
2. [masa] = M
3. [tiempo] = T
4. [intensidad de corriente] = I
5. [temperatura] = 0
6. [intensidad luminosa] = J
7. [cantidad de sustancia] = N
8. [número] = 1
1.5.8 principio de homogeneidad dimensional
Si una fórmula física es correcta, todos los términos de la ecuación deben ser dimensionalmente iguales.
Sea la fórmula física
A = B +C ·D
[A] = [B] = [CD]
Ejemplo: para la fórmula de distancia tenemos:
x = v0 · t +
1
2
a · t2
m =
m
s
· s +
m
s2
· s2
se puede apreciar que todos los términos tienen unidad de longitud.
Reglas
1. Al operar con ecuaciones dimensionales, se pueden emplear todas las reglas algebraicas excepto
las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma
especie da como resultado otra magnitud de la misma especie.
[AB] = [A][B]
[
C
D
=
[C]
[D]
L +L +L = L
T −T −T = T

2. Los ángulos, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y en general cualquier número son
adimensionales.
Convencionalmente la dimensión de un número es igual a la unidad.
Ejemplo:
[90◦
] = 1
[sin20◦
] = 1
[log2] = 1
3. Las expresiones que son exponentes no tienen unidades
4. Toda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario se hace
entero con exponente negativo
LT
M
= LM−1
T
L
T −3
= LT −3
1.1 ecuación dimensional
1. Determinar la ecuación dimensional de las principales magnitudes derivadas
a) [area] = L2
b) [Volumen] = L3
c) [densidad] = [m/v] = ML−3
d) [velocidad] = [x/t] = LT −1
e) [aceleracion] = [v/t] = LT 2
f ) [f uer za] = [m · a] = MLT 2
g) [traba jo] = [F ·d] = ML2
T −2
h) [Potencia] = [W /t] = ML2
T −3
i) [ener gia] = [m ·c2
] = ML2
T −2
j) [presion] = [F/A] = ML−1
T 2
k) [velocidad angular][θ/t] = T −1
l) [per iodo] = T
m) [f recuencia] = T −1
2. En la fórmula física
v =
3· w
R
hallar [R] si w se expresa en joules y v en m/s
Solución
despejamos R de la ecuación
R =
3· w
v2

11
1.6 Actividades
como w se expresa en términos de
joules = Fuer za × distancia tenemos: [W ] = ML2
T −2
, para v se tiene que [v] = LT −1
y
para la constante 3 tenemos [3] = 1, así:
R =
3· w
v2
[R] =
1· ML2
T −2
(LT −1)2
= 1· M$$$$
L2
T −2
·$$$$
L−2
T 2
[R] = M
1.6 Actividades
1.6.1 Prefijos y notación científica
1. Teniendo en cuenta los prefijos decimales SI, completa los siguientes enunciados:
◦ 1 nanosegundo (ns) = s
◦ 40 gigabytes(Gb) = b
◦ 12 megavatios (Mv) = v
◦ 5 microsegundos ( s ) = s
2. Expresar en notación científica las siguientes cantidades:
◦ el tamaño de una molécula orgánica: 0,0000000007m
◦ la vida media del hombre: 1.000.000.000s
◦ masa de la tierra: 5.970.000.000.000.000.000.000.000 Kg.
◦ duración de un día solar: 86,400s
◦ periodo de un electrón en su órbita: 0,000000000000001 s
1.6.2 Conversión de Unidades
1. Expresar 254 Km. en m.
2. expresar 26 segundos en horas
3. expresar la velocidad de 72 Km/h en m/s
4. expresar 3×103
gr. en Kg.
5. expresar en metros las siguientes longitudes

12
1.6 Actividades
a) 48 Km.
b) 0,96dm
c) 3,9×109
cm.
d) .25×10−24
Gm
6. expresar en Kg. las siguientes masas:
a) 0,496g
b) 9,46mg
c) 3,5×107
mg
d) 25×10−24
Gg
.
7. expresar en segundos los siguientes intervalos de tiempo:
a) 34,6min
b) 48,2 h
c) 1 día
d) 1 año
8. Expresar en m/s las siguientes velocidades:
a) 20 Km/h
b) 60Km/h
c) 100Km/h
d) 4,3×106
Km/h
9. Entre las unidades de volumen y capacidad existen las siguientes equivalencias:
Volumen Capacidad
1cm3
1ml
1dm3
1l
1m3
1kl=1000l
Ten en cuenta estas equivalencias y convierte la unidad dada a la unidad que se te indique:
a) 1520 cm3
a litros
b) 0,5 litros a m3
c) 7500ml a m3
d) 0,025K l a cm3
10. . para el agua pura o destilada, existen las siguientes equivalencias entre las unidades de volumen,
capacidad y masa : donde
1cm3
= 1ml = 1g Con la información anterior, transforma la unidad dada a la que se te indica:
2,350g de agua a litros
0,054Hl. de agua a Kg.
11. para medir grandes distancias dentro del sistema solar se emplea la Unidad Astronómica ( U.A) y
para medir distancias interestelares o intergalácticas se emplea el Año-luz. Consultar, qué es una
unidad astronómica y qué es un año luz.
61UA = 149,6×10K m.
1 año luz =9,4605×1012
K m.

13
1.6 Actividades
12. Calcule el volumen de un sólido que tiene las medidas siguientes: largo, 6cm, ancho 400mm y alto
3f t
13. El volumen de un cono circular recto se expresa con la fórmula V =
πr2
h
3
, ¿Cuál es la altura del
cono si su radio es 3cm y el volumen V = 81cm3
?
14. Un jugador de baloncesto tiene 6,5f t de estatura. ¿Qué estatura tiene en metros?
15. ¿Cuántos segundos hay en un mes de 30 días? c) ¿Cuánto es 50mi/h en metros por segundo?
16. Un tablero de avisos tiene una área de 2,5m2
. Exprese esta área en centímetros cuadra dos (cm2
).
17. ¿Que entiendes por modelo? dar ejemplos
18. Explica breve mente la distinción entre observación y experimentación
19. Si dices que un niño tiene tres meses y un joven 18 años, ¿en qué expresión eres más exacto?
1.6.3 Análisis Dimensional
20. La siguiente es una fórmula física correcta
K F = mv
donde F = fuerza, m =masa y v0 velocidad, determina que magnitud representa k
21. de la siguiente fórmula física
PK = mgh
donde p = potencia, m =masa, g = aceleración y h =altura ¿que magnitud representa K
22. de la siguiente fórmula física
K F = mv2
donde f = fuerza, m =masa, v =velocidad ¿que magnitud representa K
23. Un profesor anota dos ecuaciones en el pizarrón: a)v = v0+at y b) x = v
2a , donde x es una distancia
en metros (m); v y v0 son velocidades en metros/segundo (m/s); a es aceleración en (metros/segundo2
),
o sea (m/s2
), y t es tiempo en segundos (s). ¿Las ecuaciones son dimensional mente correctas?
Averigúelo mediante el análisis de unidades.

15
2 Vectores
2.1 Introducción
Muchas cantidades físicas quedan perfectamente determinadas cuando de ellas se conocen su valor nu-
mérico o módulo y su correspondiente unida.
Así, por ejemplo, nada se debe agregar a las expresiones: 5 kilogramos, 8 segundos, 15 pesos, 30 centí-
metros cuadrados,etc. Para quedar enterados de lo que se trata.
Este género de cantidades recibe el nombre de escalares, y para su manejo le son aplicables las reglas
ordinarias de la aritmética. Por ejemplo, un solo objetos de 2 kilogramos de masa es equivalente a dos
objetos, cada uno de masa o kilogramo.
Es cierto que un cuerpo de dos kilogramos de masa no es idéntico a dos objetos de un kilogramo de ma-
sa, pero si lo que le nos interesa es la propiedad masa, se puede sustituir siempre un cuerpo por vario de
la misma masa total .
Algunas cantidades físicas no quedan suficientemente caracterizados cuando de ellas se conocen módu-
lo o valor numérico y su respectivas unidades de medida, si no que exige agregar conceptos de dirección
y sentido; tal ocurre por ejemplo con magnitudes como: velocidad, fuerza, etc. Los científicos al estu-
diar los fenómenos que se producen en la naturaleza, comprueban que ellos, generalmente hay dos (o
más) magnitudes, la otra también cambia. Por ejemplo, la longitud de un tramo de riel de acero aumenta
cuando se eleva su temperatura; la fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumenta
la distancia entre ambos, etc.
Cuando esto sucede es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de
la otra así , la longitud del riel es función de la temperatura y la fuera que el imán ejerce sobre el alfiler es
también función de su distancia.
Existen varios tipos de de funciones que relacionan las magnitudes estudiaremos algunas que serán muy
útiles en nuestro curso de física, empezando con la más simple: la función de proporción directa ( o de
variación proporcional directa).
2.1.1 Magnitudes escalares
Definición 2.1 (Magnitudes escalares)
Recibe el nombre de magnitud escalares la cantidad que tiene la propiedad de quedar suficiente-
mente determinadas al conocer su valor numérico y su correspondiente unidad.

16
2.1 Introducción
2.1 Escalares
si se dice que la masa de un cuerpo es de 50kg, no es necesario establecer en que dirección y
sentido esta dirigida esa cantidad física, ya que la masa del cuerpo queda determinada al conocer
su valor numérico (50) y su correspondiente unidad (K g)
2.1.2 Magnitudes vectoriales
Definición 2.2 (Magnitudes escalares)
Es aquella de la que cierta cantidad queda suficientemente determinada, cuando además de su
valor numérico o modulo y su unidad, se deben agregar conceptos de dirección y sentido.
2.2 Vectores
Si te dicen que una persona caminó los 50 metros desde un punto de partida es difícil estable-
cer la posición donde se encuentra, es posible que se encuentre en la posición inicial por que
no sabemos en que dirección se desplazo, pero si luego, me dan la dirección por ejemplo 20◦
en
la dirección norte-sur, vemos que la dirección dada no es suficiente, es necesario establecer un
sentido. Finalmente conociendo el tipo de magnitud, dirección, y el sentido podremos saber la
posición de la persona
2.1.3 Vectores y su representación
Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su
módulo, su dirección y su sentido.
Un vector se representa gráficamente por medio de un segmento dirigido de la recta. El origen o punto
inicial A y la cabeza o punto final B Se acostumbra a bautizar cada vector con una letra minúscula, la cual
A B
vector ~v
lleva una pequeña flechita encima de si: v La dirección del vector debe coincidir con la dirección de la
recta, el sentido se indica por medio de una flecha y la magnitud o valor numérico queda representado
por la longitud de la recta de acuerdo a una escala libremente elegida. Los vectores mostrados en la figura
tienen la misma dirección pero no el mismo sentido. Por definición dos vectores se consideran iguales si
tienen el mismo modulo o valor, igual dirección y sentido
~a
−~a

172.2 Adición y sustracción de vectores
2.1.4 Operación con vectores
Se aclara además que los procedimientos para operar con cantidad vectoriales son diferentes de los co-
nocidos para escalares a si por ejemplo, un desplazamiento de 3m seguido de otro de 4m no da como
resultado uno de 7m. Dos desplazamientos sucesivos son equivalentes a uno solo desplazamiento, y su
valor puede ser muy diferente de la suma aritmética de los valores de los desplazamientos componentes.
Como se vera mas adelante, los vectores no se suman algebraica-mente si no geométrica-mente.
2.1.5 producto de un vector por un escalar
Todo vector al ser multiplicado por un escalar o número real, conserva su carácter vectorial y lo único
que se altera es su magnitud si el escalar es un número positivo, y también su sentido cuando este es un
número negativo
2.3 Vectores
multiplicar el vector a por tres, suponiendo que el vector tenga 2 unidades, el nuevo vector seria
de 6 unidades
~a = 2u
3~a = 3 · 2u = 6u
Note que el sentido del vector a es el mismo del vector 3a, ya que el vector a se multiplicó por un número
positivo.
¿Que sucede si al vector a lo multiplicamos por un número negativo?
2.2 Adición y sustracción de vectores
2.2.1 Suma de vectores
La suma de dos vectores a y b se obtiene colocando uno de los dos vectores , de tal forma que su origen
o punto de aplicación quede colocado con la cabeza o punto terminal del otro vector ; el vector suma
a +b , es el vector que tiene por origen, el origen del primer vector y por cabeza , la cabeza del segundo
vector.
2.4 Vectores
hallemos la suma de los vectores y de la ﬁgura
~a
~b ~a
~b
~a + b

182.3 Método para sumar vectores
2.2.2 Resta de vectores
A veces se presenta el problema de sustraer un vector de otro. El proceso de restar una magnitud o can-
tidad vectorial de otra equivale a sumar el vector opuesto al que ha de restarse, definiendo como vector
el opuesto o negativo otro vector de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario al dado. Lo
anterior es posible si se tiene encuesta que: la diferencia a −b puede convertirse en la suma de a + −b
En síntesis, cuando se trata de restar un vector de otro, siguiendo un proceso gráfico, basta adicionar al
vector minuendo el vector sustraendo tomado negativamente
2.3.1 Método del Polígono
consiste en colocar en secuencia los vectores manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido;
es decir, se coloca un vector a partir de la punta flecha del anterior. El vector resultante esta dado por el
segmento de recta que une el origen o la cola del primer vector y la punta flecha del último vector. En la
~a
~b
~a
~b
~c
~c
~R
figura R equivale al vector resultante de la suma de los vectores a, b y c
2.3.2 Regla del paralelogramo
Se utiliza para sumar vectores. Así: En un punto cualquiera 0 del espacio se dibujan dos vectores iguales
a y b y de origen 0, luego se completa el paralelogramo, cuyos lados adyacentes son dichos vectores. El
vector suma es la diagonal de este paralelogramo que parte de cero.
1. Si queremos sumar estos vectores de la forma gráfica y utilizando el método del paralelogramo el
resultado es el siguiente
~a
~b ~a
~b
~R
2. Para resolver la suma en forma analítica o manera de calcular matemáticamente la resultante de
dos vectores que no forman un ángulo de 90◦
, consiste en aplicar las leyes del seno y el coseno ; pa-
ra hallar la magnitud del vector suma aplicamos el teorema del coseno R2
= a2
+b2
−2ab cos(180◦
−
θ), donde θ es el ángulo comprendido entre los vectores, aplicando una identidad trigonométrica
cos(180◦
−θ)−cosθ, se tiene
R2
= a2
+b2
+2ab cos(θ)

2.5 Vectores
hallar la resultante de los vectores de 50u y 60u, si sus direcciones forman un ángulo de 60◦
hace-
mos:
60◦
~a = 50u
~b = 60u
Datos:
a = 50u, b = 60u
θ = 60◦
, R =?
R2
= a2
+b2
+2ab cos(θ)
sustituyendo tenemos:
R2
= (50u)2
+(60u)2
+2(50u)(60u)cos(60◦
)
R2
= 9100u2
sacando raíz para eliminar cuadrado tenemos:
R ≈ 95,39u
Gráficamente tenemos:
60◦
~a = 50u
~b = 60u
~R
2.3.3 Componentes rectangulares de un vector
Cuando se tiene que resolver un problema de composición de varios vectores, el método del polígono
resulta ser un procedimiento geométrico de tan fácil realización, pero si además se desea hallar el valor
numérico del vector suma, el método del polígono no parece aconsejable, ya que, al aplicarse, se tiene
que resolver un buen número de casos de triángulos oblicuángulos, cálculos que en la mayoría de las
veces ofrecen algunas dificultades. El problema del cálculo de la resultante de un sistema de vectores se
simplifica bastante si se hace uso de las componentes rectangulares Podemos decir que para sumar dos
o más vectores, descomponiéndolos rectangular mente procedemos de la siguiente manera:

202.4 Relaciones entre magnitudes
~a
~ax
~ay
hallamos las componentes de cada vector
aR = (ax)+
(ay )2
ax = a ·cosθ
ay = a ·sinθ
sumamos las componentes en cada uno de los ejes teniendo en cuenta que las componentes en
la direcciones de los semiejes positivos son positivas y las componentes en las direcciones de los
semiejes negativos son negativas
con las componentes resultantes en cada eje, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el
vector suma
Realiza en tu cuaderno la suma de vectores dadas en el siguiente video.
https://www.youtube.com/watch?v=qT0RVfP_n2k
2.3.4 Campo vectorial
Si cada punto x, y,z de una región del espacio R se le puede asociar un escalar φ x, y,z , hemos defini-
do un campo vectorial V en R.
Ejemplo: Las velocidades den cada punto (x, y,z) en el interior de un fluido en movimiento, en un cierto
instante, define un campo vectorial. V (x, y,z) = xy2
i+ zyz3
j+ x2
zk definen un campo vectorial.
Ejemplo 2: Dados los vectores A = (3,4,6) y B = 5i +11j −2k Hallar A +B
A +B = (3,4,6)+(5,11,−2)
A +B = (3+5,4+11,6−2) = (8,15,4)
2.4 Relaciones entre magnitudes
Para entender la relación existente entre algunas magnitudes físicas es necesario recordar en que con-
siste la proporcionalidad
2.5 Magnitudes directamente proporcionales
Que es une es una proporción directa supongamos que dos magnitudes están relacionadas de modo que
al duplicar el valor de una de ellas el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera la segunda

212.5 Magnitudes directamente proporcionales
también queda multiplicado por tres, etc.
Si siempre que sucede esto decimos que existe entre ambas magnitudes una proporción directa. yαx ,
Definición 2.3 (Magnitudes directamente proporcionales)
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un
número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número
si dos magnitudes son directamente proporcionales están ligados por un cociente constante y = m · x
, en nuestro caso m . El cociente entre ellas permanece invariable y recibe el nombre de constante de
proporcionalidad entre las dos magnitudes proporcionales.
∆y
∆x
, constante de proporcionalidad
Recuerda: ( ∆y = y2 − y1 )
2.6
Un volumen v1 = 1cm3
tiene una masaM1 = 8g
tiene una masa M2 = 16g
tiene una masa M3 = 24g
y así sucesivamente, vemos que la masa de hierro es directamente proporcional a su volumen
(¿por Qué?) La constante de proporcionalidad es igual al cociente entre el volumen y la masa
v1
M1
=
8g
1cm3
, así el valor de la constante de proporcionalidad es m =
8g
1cm3
.
x1 x2
x
y1
y2
y
∆x
∆y
Los valores correspondientes de cada magnitud luego en el plano cartesiano debemos escoger escalas
apropiadas, es decir, elegir cierta longitud sobre un eje para representar un valor dado de la magnitud.
Una vez elegidas las escalas de los ejes, procedemos a situar los puntos de la gráfica a cada par de valores
de la tabla mostrada corresponderá un punto del gráfico. Vemos que la recta pasa por el origen, la gráfica
que representa una magnitud directamente proporcional respecto a otra, es una línea que pasa por el
origen
2.5.1 Variación lineal o proporción lineal
Siempre que representemos gráficamente los valores de dos variables que tengamos una gráfica rectilí-
nea que no pase por el origen, diremos que ambas variables están relacionadas por una variación lineal
o proporcionalidad lineal, la relación matemática entre x y y esy = m · x +b, donde m es la constante de
proporcionalidad (pendiente) y b es el valor de y Cuando x es igual a cero.

222.6 Magnitudes inversamente proporcionales
x1 x2
x
y1
y2
y
b
2.6 Magnitudes inversamente proporcionales
Consideremos dos magnitudes x y y , tales que al duplicar x el valor de y quede dividido entre dos.
Al triplicar x el valor de y resulta dividido entre tres
Al cuadriplicar x el valor de y queda dividido entre 4, etc.
Cuando esto ocurre decimos que “y es inversamente proporcional a x “ o bien, “y es proporcional al
inverso de x”
Deﬁnición 2.4 (Magnitudes inversamente proporcionales)
Dos cantidades son inversamente proporcionalmente si al aumentar una la otra disminuye en la
misma proporción.
Están ligadas por un producto constante Cuándo y es inversamente proporcional a x tenemos y =
1
x
, la
gráﬁca es una hipérbola.
x
y
x1 x2 x3
y1
y2
y3
2.7 Actividades
1. ¿cuál es la diferencia fundamental entre un escalar y un vector?
2. Explica las características de las magnitudes vectoriales.(https://www.youtube.com/watch?v=
sF6NAi9IRl4)
3. ¿cómo se determina la magnitud o módulo de un vector?.

23
2.7 Actividades
4. ¿ cómo se determina el sentido de un vector?.
5. ¿cómo se determina la dirección de un vector?.
6. Dado el vector de la figura hallar:
n
a) 2a
b) −2a
c) 1/2a
d) −a
7. Dado los vectores de la figura hallar utilizando el método del polígono en el enciso d) y en los
m
demás polígono y paralelogramo (https://www.youtube.com/watch?v=xJnAeAqFEhA):
a) a +b
b) a −b
c) b +c
d) a +b +c +d
8. Un vector tiene por componentes rectangulares (4,3), hallar la magnitud y dirección del vector
(ayuda: la dirección puedes calcularla con arctan vx
vy
)
9. Hallar las magnitud y dirección de cada uno de los vectores de la figura dada.
q
10. La vista desde el helicóptero en la figura 1 muestra a dos personas jalando una mula terca. Encuen-
tre
a) la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se muestran
b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza re-
sultante igual a cero. Las fuerzas se miden en unidades de newton (representada por N)

24
2.7 Actividades
13. La vista desde el helicóptero en la figura P3.31 muestra a dos personas jalando una
mula terca. Encuentre a) la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se
muestran y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para
hacer la fuerza resultante igual a cero. Las fuerzas se miden en unidades de newton
(representada por N).
14. Dados los vectores desplazamiento A = (3 i - 4 j + 4 k) m y B = (2 i + 3 j - 7 k) m,
encuentre las magnitudes de los vectores a) C = A + B y b) D = 2A - B, y también exprese
cada uno en términos de sus componentes rectangulares.
15. El vector A tiene componentes x, y y z de 8.00, 12.0 y - 4.00 unidades, respectivamente.
a) Escriba una expresión vectorial para A en notación de vector unitario. b) Obtenga una
expresión en vectores unitarios para un vector B de un cuarto de longitud de A que
apunte en la misma dirección que A. c) Obtenga una expresión en vectores unitarios
para un vector C tres veces la longitud de A que apunte en la dirección opuesta a la
dirección de A.
11. Una magnitud varia linealmente con respecto a otra magnitud x.¿como se expresa matemática-
mente esa relación?
a. Como es el gráﬁco de x contra y ¿Cómo se determina por medio de la gráﬁca, los valores de las
constantes que aparecen en la relación matemática entre x y y?
b. Cite un ejemplo de dos magnitudes que se relacionen de esta manera?
12. cuando una persona compra una tela (de anchura constante) paga por ella un precio p que de-
pende de la longitud L adquirida. Si suponga que un metro de cierto género cuesta $15000
a. Complete la tabla de este ejercicio con los valores de p correspondiente a los valores de L (que
usted debe asignar)
b. ¿Qué tipo de relación existe entre p y L?
c. considere la tabla del ejercicio anterior, divida cada valor de p entre el valor de L ¿el cociente
p
L
varía o es constante?
13. Mientras explora una cueva, un espeleólogo comienza en la entrada y se mueve las siguientes dis-
tancias. Va 75,0m al norte, 250m al este, 125m a un ángulo de 300
al noreste y 150m al sur. Encuen-
tre su desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

Q
c
14. Dos tractores arrastran un enorme tronco de árbol. Uno de ellos tira con una fuerza de 2000 N y
1800N, formando un ángulo de 800
¿Cuál es la fuerza resultante de los dos tractores sobre el tronco?
15. Dos hombres pretenden arrastrar una vaca, aplicando fuerzas de 20N y 10N respectivamente, for-
mando un ángulo de 35º, pero la vaca se opone con una fuerza de 25N, ¿podrán los hombres arras-
trar la vaca? ; aplicando las mismas fuerzas ¿Cómo pueden obtener mejor resultado? .explique

25
2.7 Actividades 1.
2.
3.
4.
5.
Dados los vectores A y B de la figura
Hallar la suma
utilizado el método
del polígono y el
método del triángulo
Halla las componentes rectangulares del
vector de la figura
53°
53°
m
=7u
m
=7u
n=5u
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GIMNASIO DEL SAN JORGE
Dado el vector m de la figura, hallar 3m y -5m
m
Hallar la resultante de la suma de ls
vectores de la figura utilizando el método de
las componentes rectangulares
50° x
x
y
y
Sustenta u fuerza en Dios, Porque él es reflejo de Amor
16. Dos jinetes, pretende arrastrar el nido de la malvada termita, para ello lo atan a sus corceles de tal
forma que el ángulo que forman entre ellos es de 850
, si la fuerza aplicada por cada caballo es de
700N y 800N, ¿cual es la fuerza resultante aplicada sobre el nido de termitas?
1. Dos jinetes, pretende arrastrar el nido de
la malvada termita, para ello lo atan a sus
corceles de tal forma que el ángulo que
forman entre ellos es de 80° , si la fuerza
aplicada por cada caballo es de 700N y
800N, ¿cual es la fuerza resultante
aplicada sobre el nido de termitas?
2. Halla las componentes rectangulares, que
corresponden a la posición de don Erizo,
sabiendo que la magnitud del vector
resultante es de 40k/h y forma un ángulo
de 50° con la vertical
50° v=40km
/h
Dados los vectores A y B de la figura3.
Hallar la suma
utilizado el método
del polígono y el
método del
paralelogramo
B
A
4. Dado el vector m de la figura, hallar 3m y -5m
m
Hallar la resultante de la suma de los
vectores de la figura utilizando el método de
las componentes rectangulares
5.
53°
m
=7u
n=5u
50°
x
y
INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN MARCOS
Apellidos Y Nombres ________________________________________
17. Utilizando los métodos del paralelogramo y el polígono realiza las siguientes sumas
B A m
a) A −B
b) A +B
c) A +m
d) m +B
18. Un río ﬂuye hacia el sur a una velocidad de 20km/h. Una embarcación desarrolla una rapidez
máxima de 50km/h en aguas tranquilas. ¿Cuáles son la rapidez y la dirección resultantes de la
embarcación? si:
a) En el río descrito, la embarcación avanza a su máxima velocidad hacia el oeste.
b) En el río descrito, la embarcación avanza a su máxima velocidad hacia el sur.
c) En el río descrito, la embarcación avanza a su máxima velocidad hacia el norte.
d) En el río descrito, la embarcación atraviesa al río con un ángulo de 40◦
.
19. Sume los dos vectores desplazamiento siguientes mediante el método del paralelogramo: 30N a
30◦
y 20N a 140◦
. Recuerde que los números como 30N y 20N tienen dos cifras signiﬁcativas.
20. Dados los vectores A = (3,5,−6) y B = (−2,4,2) hallar:

26
2.7 Actividades
a) 3A +B
b) −A +2B
c) −2A +2B
d) A +B
21. Dados los vectores:
A = 2i+3j+k y B = 5i−3j+4k hallar:
a) A +B
b) −A +2B
c) −5A +2B
d) A +2B
22. Dados los vectores:
A = 3i+3j y B = (4,−6) hallar:
a) A +B
b) −A +2B
c) −5A +2B
d) A +2B
23. Dos hombres pretenden arrastrar una vaca, aplicando fuerzas de 80N y 70N respectivamente, for-
mando un ángulo de 35◦
, pero la vaca se opone con una fuerza de 145N, ¿podrán los hombres
arrastrar la vaca? ; aplicando las mismas fuerzas ¿Cómo pueden obtener mejor resultado? .(Ayuda:
utilice ley del coseno https://www.youtube.com/watch?v=BFSB3WX7DwA)
24. Utilice el método gráﬁco para calcular la resultante de los desplazamientos 2m a 40◦
y 4m a 127◦
,
lo ángulos se miden como es de costumbre, respecto a la dirección positiva del eje x
25. Si usted se desplaza 4km hacia el este y luego 3km hacia el norte, su desplazamiento neto o resul-
tante respecto del punto de partida tendrá una magnitud de VR y un ángulo θ , respecto del eje x
positivo.
Hallar el valor de la magnitud VR y la dirección θ, del desplazamiento
26. Hallar las componentes rectangulares (https://www.youtube.com/watch?v=MnF4YB3T75U) del
vector de la ﬁgura
x
y
~F = 80N
35◦
27. Utilizando el método de las componentes rectangulares, (https://www.youtube.com/watch?v=
qT0RVfP_n2k) hallar el vector resultante de la suma de los vectores dados.

27
2.7 Actividades
x
y
~a = 3u
~b = 3:5u
~d = 5u
35◦
42◦
30◦
proporcionalidad
https://www.youtube.com/watch?v=6361SILvFTE
1. En la siguiente tabla de datos realiza una gráﬁca de las variables teniendo en cuenta que la variable
de arriba es la dependiente ¿Qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables?, escribe la
x(m) 2 4 6 8 10
t(seg) 0 1 2 3 4
ecuación matemática que liga las variables
2. En la siguiente tabla de datos realiza una gráﬁca de las variables teniendo en cuenta que la variable
de arriba es la dependiente
x(m) 0 4 8 12 16
t(seg) 0 1 2 3 4
¿Qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables?, escribe la ecuación matemática que liga
las variables
3. Nueve personas realizan un trabajo en 16 días. ¿Cuánto tiempo tardarán en realizar el mismo tra-
bajo 8 personas?
4. Un grifo echa 20 litros de agua por minuto y tarda en llenar un depósito una hora y 30 minutos.
¿Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito un grifo que eche 30 litros de agua por minu-
to?
5. Un tren circulando a 120 km/h ha tardado 6 horas en hacer un recorrido. ¿Cuánto tiempo tardarán
en hacer el mismo recorrido un tren que circula a una velocidad de 90 km/h?
6. Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

28
2.7 Actividades
7. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para
realizar el mismo trabajo? http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Proporcionalidad.
htm

29
3 Movimiento Rectilíneo Uniforme
3.1 Introducción
La descripción del movimiento comprende la representación de un mundo sin reposo. Al parecer, una
cámara “congela” un instante en el tiempo, pero sabemos que en realidad no hay nada que este perfec-
tamente quieto. Usted esta sentado, en aparente reposo, pero su sangre esta fluyendo y el aire se mueve
dentro y fuera de sus pulmones. El aire esta compuesto por moléculas de gases que se mueven a velo-
cidades y direcciones diferentes. Y mientras usted experimenta quietud, usted, su silla, su casa y el aire
que respira se mueve en el espacio junto con la tierra, parte de un sistema solar en una galaxia espiral y
un universo en expansión.
3.2 El movimiento
¿Qué es el movimiento? El movimiento es el cambio de posición que experimentan unos cuerpos con
respecto a otros. Por ejemplo, un pasajero que viaja en un bus se encuentra en movimiento respecto al
suelo (las personas que están en tierra lo ven alejarse o acercarse), pero para las personas que van en el
bus, la persona esta en reposo.
Ver cómo se mueve un objeto significa para la física saber dónde está, qué velocidad tiene, y si esta
velocidad cambia o es todo el tiempo la misma. La parte de la física que estudia el movimiento d e los
cuerpos es la mecánica; para su estudio se divide en tres grandes ramas.
El término CINEMÁTICA deriva de la raíz kinema o kinesia que significa movimiento.
Es así que cuando decimos CINE, nos estamos refiriendo a la cinematografía, palabra compuesta que nos
está diciendo que se trata de grabados (grafía) hechos con luz (foto) que además se mueven (cinemato).
También se recurre a esta raíz para designar a una rama de la medicina: la kinesiología, que se ocupa
del movimiento de las distintas partes del cuerpo humano. En forma análoga, la palabra telekinesis se
refiere a una rama de la parapsicología que asegura poder efectuar movimientos de objetos a distancia
sin tocarlos. También se suele llamar hiperkinéticos a los chicos muy movedizos.
Definición 3.1 (Cinemática)
Es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que
los provocan.

303.3 Cuerpos Puntuales
Definición 3.2 (Dinámica)
Estudia el movimiento de los cuerpos, pero analizando las causas que producen dicho movimien-
to y teniendo en cuenta la masa del cuerpo que se mueve.
Definición 3.3 (Estática)
Estudia el equilibrio de los cuerpos.
Para describir el movimiento de un cuerpo es conveniente utilizar ciertos sistemas de referencia que fa-
ciliten la descripción de dicho movimiento. Estos sistemas consisten simplemente en tres ejes cartesia-
nos mutuamente perpendiculares de forma que la posición de un punto cualquiera p en cierto instante
de tiempo t , está determinado por sus tres coordenadas cartesianas. Puesto que para medir el tiempo
es necesario un reloj, este instrumento también forma parte de un sistema de referencia. Cuando des-
cribimos el movimiento de un objeto debemos establecer el sistema de referencia con respecto al cual
estamos considerando.
Se usa la letra x para indicar la posición porque casi siempre las posiciones se marcan sobre un eje x. Si
el objeto está a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y ( y la altura se indica con la letra
y ).
3.3 Cuerpos Puntuales
Un cuerpo puntual o partícula es un objeto que consideramos sin tamaño, que puede tener movimiento,
pero que no existe en la naturaleza
3.3.1 ¿Qué es una partícula?
Decimos que un cuerpo es una partícula cuando sus dimensiones son muy pequeñas en comparación
con las demás dimensiones que participan en el fenómeno.
3.4 Trayectoria Y Desplazamiento
3.4.1 Trayectoria
Definición 3.4 (Trayectoria)
Es el camino seguido por un cuerpo en su movimiento. Trayectoria de un móvil es la figura forma-
da por la unión de los distintos puntos que van ocupando a medida que trascurre el tiempo
3.1
Trayectoria de la tierra alrededor del sol.
Si la trayectoria es una recta, el movimiento es rectilíneo, si es una curva, es curvilíneo.
En este ultimo caso, el movimiento toma el nombre que describe la curva Si es una circunferencia se
llamara movimiento circular, si es una parábola, se llamara movimiento parabólico, si es una elipse, se
llamara movimiento elíptico

3.4.2 Desplazamiento
Desplazamiento de un móvil es el seguimiento dirigido que une dos porciones diferentes de la trayecto-
ria de dicho móvil El desplazamiento es el cambio de posición que ocupa un cuerpo, se puede obtener
puede obtener Hallando la diferencia entre la posición ﬁnal y la inicial.
−→
∆x = −→xf −−→x0
El símbolo ∆ es la letra griega “delta” y se utiliza para expresar la variación. El espacio total recorrido se
calcula sumando los valores absolutos de los desplazamientos en cada intervalo.
3.2
El siguiente gráﬁco de posición contra el tiempo, representa el movimiento de una partícula du-
rante 8 segundos. Basándose en la información que este te suministra, analiza el movimiento de
la partícula, describe en cada uno de los intervalos de tiempo el desplazamiento que ha sufrido el
móvil, luego analiza el desplazamiento total y el espacio recorrido.
1
2
3
4
5
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8
x(m)
t(s)
1. . cuando t = 0seg. ¿En cual posición se encuentra el móvil? ¿Qué posición ocupa a los 2 seg? ¿cual
fue el desplazamiento en el primer intervalo de tiempo? Rta: cuanto t = 0seg. El móvil se encuen-
tra en cero; en el primer intervalo de tiempo en el desplazamiento es.
Datos: x2 = 3m, x0 = 0m
Ecuación: ∆x1 = x2 − x0
∆x1 = 3m −0m = 3m

2. en el segundo intervalo, ¿Cuál fue el desplazamiento del móvil? ¿Cambio su Posición? ; En t =
4seg.,¿ cual es la posición del móvil?
Datos: x2 = 3m, x4 = 3m
∆x2 = 3m −3m = 0m
la posición no cambio;
3. en el tercer intervalo entre t = 4seg y t = 5seg ¿ que desplazamiento sufre el móvil? ¿ que espacio
ha recorrido el móvil hasta este instante?
Datos: x4 = 3m, x5 = 5m
∆x3 = 5m −3m = 2m
4. entre los cinco y seis segundos, el cuerpo regresa a su posición original, ¿cuál fue su desplazamien-
to?
Datos: x5 = 5m, x6 = 0m
∆x4 = 0m −5m = −5m
5. cuanto tiempo permanece en esta posición entre los 6seg y 7seg el desplazamiento es nulo por
que el cuerpo permanece en reposo.
6. cuàl fue su desplazamiento entre t = 7seg y t = 9seg?
Datos: x7 = 0m, x8 = −2m
∆x6 = −2m −0m = −2m
7. cual fue el desplazamiento total el desplazamiento total se halla calculando la suma vectorial de
los desplazamientos En cada intervalo.∆xTotal = 3m +0m +2m +(−5m)+(−2m) = −2m ¿hallando
la diferencia entre la posición ﬁnal y la inicial ∆xTotal = x8 − x0 = −2m + 0m = −2m . El espacio
total recorrido se calcula sumando los valores absolutos de los desplazamientos en cada intervalo:
xTotal = 3m +0m +2m +|−5m|+|−2m| = 12m
xTotal = 3m +0m +2m +5m +2m +3m +0m +2m +5m +2m = 12m Nota: el espacio recorrido es
una magnitud escalar y el desplazamiento es vectorial

333.5 Velocidad y Aceleración
3.5 Velocidad y Aceleración
3.5.1 Instantes y lapsos
Designamos con la letra t y un subíndice a cada uno de los instantes correspondientes a las posiciones
ocupadas por el móvil.
3.3
t1 designa al instante en que el punto pasó por x1 (se emplea el mismo subíndice que en cada
posición). Supongamos los siguientes valores para los instantes correspondientes a las posiciones
anteriores: t1 = 4seg;t2 = 9seg;t3 = 14seg;t4 = 20seg;t5 = 30seg;t6 = 37seg.
Definimos como Lapso al tiempo transcurrido entre dos instantes cualesquiera. Se simbolizan con ∆t (se
lee “delta te”) y también aquí se emplea un doble subíndice para indicar entre que instantes se calcula.
Ejemplo ∆t1,2 = t2 − t1 = 9seg −4seg = 5seg
3.5.2 Velocidad media
Definición 3.5 (Velocidad Media)
Se define como el cociente entre el desplazamiento realizado por el móvil dividido por el lapso
correspondiente.
Se simboliza con vm1,2
y se calcula como sigue:
Velocidad media: v
Ecuación: ∆v =
∆x1,2
∆t1,2
Geométricamente, la velocidad media, es la pendiente de la recta que pasa por los dos pares (t;x) consi-
derados en cada caso”
x(m)
t(s)
t1 t2
x1
x2
vm = ∆x
∆t
∆x
∆t

34
3.6 La aceleración
3.5.3 ¿Que significa velocidad negativa?
Cuando un cuerpo se desplaza en cierta trayectoria, suele considerarse el movimiento en uno u otro
sentido, uno de los cuales es positivo y el otro, negativo
3.5.4 Rapidez media
Definición 3.6 (Rapidez media)
Cuando consideramos el espacio total recorrido por el móvil, en lugar del desplazamiento que
sufre, nos referimos a la rapidez media en lugar de velocidad media la diferencia consiste en que
la velocidad media es una longitud vectorial, mientras la rapidez media es escalar
Rapidez media: =
Espacio recorrido
Tiempo
En un movimiento con velocidad constante, la distancia recorrida (x), es directamente proporcional al
tiempo t.
La gráfica en x vs t será una recta la cual pasa por el origen y cuya pendiente es igual que el valor de la
velocidad (v)
3.6 La aceleración
En la mayoría de los movimientos la velocidad no permanece constante, los datos en movimiento au-
mentan la velocidad o frenan. Estos cambios se describen mediante una magnitud denominada acele-
ración.
Definición 3.7 (Aceleración)
La aceleración a, es la variación de la velocidad que experimenta un móvil en una unidad de tiem-
po determinada en el sistema internacional.
En el sistema internacional la unidad de aceleración es m/s2
; En el sistema ingles f t/s2
Aceleración: v
Ecuación:
a =
∆x1,2
∆t1,2
a =
vf − v0
tf − t0
Ejemplo: determina la aceleración de un móvil que se encuentra inicialmente en reposo y que aumenta
su velocidad a 36km/h en 10seg
3.7 Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.):
Según Galileo, una cosa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en línea recta y
recorre espacios iguales en tiempos iguales. es decir, si va en linea recta y con velocidad constante

353.7 Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.):
3.7.1 Características del movimiento
a)La velocidad de un móvil animado con M.R.U. es constante.
b)La posición que ocupa dicho móvil sobre la recta donde se mueve, es una función lineal del tiempo.
Estas dos características son interdependientes, y al verificarse una, también se verifica la otra y vicever-
sa.
3.7.2 velocidad en el M.R.U
Se calcula de manera análoga a la velocidad media, pero al ser constante, se pueden tomar datos en
cualquier par de posiciones sobre la trayectoria descripta por el móvil.
Ecuaciónes del M.R.U
Velocidad: v =
x
t
distancia: x = v · t
Tiempo: t =
x
v
3.7.3 Encuentros
¿ Cuándo dos cosas se encuentran? Dos cosas se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo
tiempo. Para que dos cosas se encuentren no alcanza con que pasen por el mismo lugar. Tienen que
pasar por el mismo lugar al mismo tiempo.
Como resolver problemas de encuentro
Los problemas de encuentro son problemas en los que una cosa sale del lugar A y otra sale del lugar B.
Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en el mismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no.
Generalmente se pregunta es: dónde se encuentran los tipos y después de cuánto tiempo. Para resolver
esto conviene seguir estos pasos.
1. Hago un dibujo de lo que plantea el problema (Ilustración). En ese dibujo elijo un sistema de refe-
rencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales de los móviles y la velocidad de dada uno
de ellos con su signo. Si la velocidad va en el mismo sentido del eje x es ( +). Si va al revés, es (-) .
2. Escribo las ecuaciones horarias para cada uno de los móviles.( xA = ...,xB = ...)
3. Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de A debe ser igual a la de B para t = te.
4. Igualo las ecuaciones y despejo te . Reemplazando te en la ecuación de xA o de xB calculo la posi-
ción de encuentro.
5. Conviene hacer un gráfico Posición en función del tiempo para los 2 móviles en donde se vea la
posición de encuentro y el tiempo de encuentro.

36
3.8 Actividades
3.8 Actividades
3.8.1 Trayectoria y desplazamiento
Ejemplo de desplazamiento:
https://www.youtube.com/watch?v=k6sRn8Pk8p8
Hallar la velocidad, rapidez teniendo en cuenta los datos de la ﬁgura
10km 20km 30km 40km 50km
t = 0:7h
3.8.2 Velocidad y Rapidez
Velocidad instantanea:
https://www.youtube.com/watch?v=RX2oYPsEt14 Distancia y velocidad:
https://www.youtube.com/watch?v=IUiqu5EXt0w
1. Un móvil sobre una carretera recta inicia su movimiento en la posición x1 = 0km, en un tiempo
t1 = 0h, alcanza la posición x2 = 200km, y luego regresa a la posición x3 = 150km, empleando para
todo el recorrido, un tiempo de 4h.
a) ¿Cuál es la velocidad media del móvil?
b) ¿Cuál es su rapidez media?
c) Expresa los resultados 1 y 2 en m/s
2. Un atleta recorre la mitad de su trayectoria en 20 minutos y la segunda mitad en 30 minutos. Si el
recorrido total es de 38km, ¿cuál es la rapidez media del atleta?
3. Un auto viaja de la ciudad A a la ciudad B separadas 120 km, en 3 horas y regresa en 4 horas. ¿Cuál
es su velocidad media en todo el trayecto? ¿Cuál es su rapidez media?
4. Un corredor recorre 200m en 20seg. Calcular la velocidad en km/h y hacer la gráﬁca del movimien-
to
5. Las velocidades de tres aviones son 950km/h, 280m/seg y 19.6 km/min. ¿Cuál es el más veloz?
6. ¿Cuánto tardará un automóvil, con movimiento uniforme, en recorrer una distancia de 300km, si
su velocidad es de 30m/seg?
3.8.3 aceleracion
https://www.youtube.com/watch?v=htGlherjPmQ https://www.youtube.com/watch?v=s4tJS4RV_
ws
1. Un automóvil reduce su velocidad de 21m/s a 7 m/s en 35 segundos. ¿Cuál es su aceleración?
2. Un auto viaja inicialmente a 15m/seg, después de 30 segundos, su velocidad es 25m/seg ¿Cuál fue
su aceleración?

37
3.8 Actividades
3.8.4 mru
3.8.5 problemas
1. Un cuerpo recorre una distancia de 480km a una velocidad de 3200m/min con M.R.U Calcular el
tiempo empleado para ello en horas, minutos y segundos.
2. Un tren parte de la estación en la marca 0m y viaja con una velocidad constante de 36m/seg. a)
¿Cuantos segundos después pasará el tren frente a la marca 1620m? b) ¿Cuál es la velocidad del
tren en km/h?
3.8.6 mru graficos
https://www.youtube.com/watch?v=lSpG06OmZFQ Ejemplo 2:
https://www.youtube.com/watch?v=3A6kfoun3hE
1. El siguiente gráfico de x contra t ilustra el movimiento de un cuerpo. Describe el movimiento.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
2. Un auto se mueve por una carretera de acuerdo con el siguiente gráfico:
10
20
30
5 10 15 20
v(m=s)
t(s)
-10
-20
a) Describe el movimiento del auto.
b) ¿Qué distancia recorrió?
3. Un auto se desplaza por una carretera de acuerdo con el siguiente gráfico:

38
3.8 Actividades
20
40
60
80
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x(km)
t(h)
-0.5
-20
-40
3.5
a) Describe el movimiento del auto.
b) ¿Cuál fue el desplazamiento total?
c) ¿Cuál fue el espacio total recorrido?
3.8.7 problemas sencillos MRU
1. Un auto se mueve con velocidad constante de 216km/h. Expresa esta velocidad en m/s y calcula
en m el espacio recorrido en 15s.
2. Un móvil viaja con velocidad de 0,6km/h; calcula el espacio recorrido en 3s.
3. La velocidad de un avión es 980km/h y la de otro 300m/s. ¿Cuál de los dos es más veloz?
4. ¿Cuánto tarda un vehículo en recorrer 600km con velocidad constante de 12m/s?
5. El sonido se propaga en el aire con una velocidad de 340m/s. ¿Qué tiempo tarda en escucharse el
estampido de un cañón situado a 15km?
6. Un motociclista viaja hacia el oriente con velocidad de 90km/h durante 10 minutos; regresa luego
al occidente con velocidad de 54km/h durante 20 minutos y ﬁnalmente vuelve hacia el oriente
durante 15 minutos viajando con velocidad de 108 km/h. Calcula para el viaje completo:
a) El espacio total recorrido.
b) La rapidez media.
c) El desplazamiento.
7. La velocidad de una embarcación generalmente se mide en nudo; ( ( 1nudo1,8km/h) ¿Qué dis-
tancia recorre un barco velero que lleva una velocidad de 20 nudos al cabo de 15minutos?
8. ¿Qué rapidez constante debe llevar un auto que recorre 12km en media hora
9. Una persona observa un relámpago y a los 5 segundos escucha el trueno del relámpago al caer si
la velocidad del sonido es 340m/seg ¿A que distancia cayó el relámpago?
10. La distancia entre Medellín y Río Negro es de 40km un bus la recorre en 70minutos ¿Cuál es el valor
de su velocidad media?

39
3.8 Actividades
11. Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre sí 500km, con velocidad de 90km/h y
60km/h respectivamente. Pero el de B sale una hora ante. ¿Cuándo se encontraran y a que distan-
cia?.
a) Si viajan el uno hacia el otro
b) Si viajan en el sentido de A hacia B
12. En la tabla aparecen las distancias a las cueles se encuentra un automóvil del origen del sistema
de referencia en cada instante.
t(s) 0 2 4 6 8 10
X(m) 2 20 38 56 74 92
a) Construye la gráﬁca x vs t
b) ¿Cuál es el valor del automóvil en cada intervalo de tiempo?
c) ¿Cuál es el valor de la aceleración?
3.8.8 encuentros en mru
encuentros de dos moviles:
https://www.youtube.com/watch?v=-mISgOwwgTo
1. Dos trenes partes de una misma estación, uno a 50 km/h y el otro a 72 km/h. ¿A qué distancia se
encontrará uno de otro al cabo de 120 minutos?
a) Si marchan en sentidos opuestos.
b) Si marchan en el mismo sentido.
2. Dos estaciones A y B están separadas 480 km. De A sale un tren hacia B con velocidad de 50 km/h
simultáneamente sale un tren de B hacia A con velocidad de 30 km/h. Calcular a qué distancia de
A se cruzan y a qué tiempo después de haber partido.
3. Dos estaciones A y B están separadas 430 km. De A sale un tren hacia B con velocidad de 40 km/h
y dos horas más tarde sale un tren de B hacia A con velocidad de 30 km/h. Calcular a qué distancia
de A se cruzan y a qué tiempo después de haber partido el segundo tren.
4. Dos trenes parten de dos ciudades A y B distantes entre si 500 km, con velocidades de 90 km/h
y 60 km/h, respectivamente. Pero el de B sale una hora antes. ¿Cuándo se encontrarán y a qué
distancia?
3.8.9 Alcance de un movil a otro
https://www.youtube.com/watch?v=4pHcqsHfWfM
Ejemplo 2
https://www.youtube.com/watch?v=edaw_kjmxss
Dos corredores A y B parten del mismo sitio, con igual dirección y sentido, pero el corredor A parte 30seg
antes que el corredor B y el A se mueve a 5m/seg y el B parte con velocidad de 7m/seg. ¿A que distancia
del punto de partida se encuentran y a que tiempo después de partir B se encuentran?

41
4 Movimiento Uniforme Acelerado
4.1 Introducción
Se puede cambiar la velocidad de algo si se cambia su rapidez, si se cambia su dirección ó si se cambian
las dos. Que tan rápido cambia la velocidad.
La aceleración es igual al cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Estamos familiarizados con
la aceleración de una moto, al manejarla la sentimos cuando tendemos a recargando más en los asientos.
La idea clave que define a la aceleración es el cambio. Supongamos que al manejar aumentamos, en un
segundo, nuestra velocidad de 30 a 35km/h y en el siguiente segundo a 40km/h. A 45km/h en el siguiente
y así sucesivamente, cambiamos la velocidad en 5km/h cada segundo. Este cambio de velocidad es lo
que entendemos por aceleración.
En una curva cuando viajamos en un móvil es posible cambiar de velocidad, sin alterar su magnitud,
este cambio se da en la dirección y también hace parte del teman de aceleración, como para esta guía
se refiere a movimiento rectilíneo (viajar en linea recta), este tipo de aceleración no se verá en estos
momentos.
4.2 Movimiento rectilíneo uniformemente variado ó acelerado (M.U.A)
Un cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando su trayectoria es una rec-
ta y a la vez su aceleración es constante y no nula.
La pendiente de una gráfica de velocidad en función del tiempo, representa físicamente la magnitud de
la aceleración
4.3 Características del movimiento
La aceleración de un móvil animado con M.R.U.V. es constante.
Su velocidad instantánea, es una función lineal del tiempo.
La posición que ocupa dicho móvil sobre la recta donde se mueve, es una función cuadrática del
tiempo.

42
4.4 Ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado
4.4.1 Cálculo de la aceleración
Al ser constante, la aceleración se puede determinar entre dos puntos cualesquiera del movimiento. Así
Aceleración a =
∆v
∆t
a =
vf − v0
t − t0
Para t0 = 0
a =
vf − v0
t
Es decir, cuando en un problema no nos indiquen el tiempo inicial, debemos asumir que t0 = 0, por tanto
la aceleración se calcula con la siguiente ecuación
a(t) =
vf − v0
t
(4.1)
4.4.2 Cálculo de la velocidad
Esta ecuación es la que nos da la velocidad en función del tiempo de un móvil que se mueve con M.U.A.
Es la función lineal de la que se hace referencia en las características del movimiento. Se deduce a partir
de la fórmula que nos permite calcular la aceleración, con tal de despejar v2 de dicha fórmula, quedando
v como variable dependiente en función t (variable independiente).
Tenemos la siguiente ecuación
a =
∆v
∆t
Pasamos multiplicando (t − t0)
a(t − t0) = vf − v0
Despejamos vf
vf = v0 + a(t − t0)
Para que adquiera la forma de una función del tiempo, y no quede particularizada en dos instantes cua-
lesquiera, se expresa así:
v(t) = v0 + a ·(t − t0) (4.2)
Lo cual se lee: “La velocidad (v) que lleva un móvil que se desplaza con M.U.A. es igual a la velocidad
que llevaba en el instante inicial to (velocidad vo) más la aceleración (“a”) multiplicada por el lapso
transcurrido entre t y t0 o sea (t − t0)”. El último término de esta ecuación es la variación de la velocidad
durante ese lapso. Esta se reduce a:
v(t) = v0 + a · t (4.3)

43
(para el caso en que t0 sea cero). Y se reduce aún más a: v(t) = a.t ,si es cero la velocidad inicial (v0 = 0).
La gráfica de la velocidad en función del tiempo es la de una función lineal, como la usada al ejemplificar
el cálculo de la aceleración media.
4.4.3 Cálculo de la posición en función del tiempo (ecuación Horaria)
Esta ecuación es la que nos da la posición ocupada por el móvil en función del tiempo, para calcular-
la conociendo la gráfica de velocidad vs tiempo, lo que debemos hacer es hallar el área bajo la curva,
En la Figura 4.1 esta área corresponde a la suma del área del rectángulo (representa el desplazamiento
realizado por v0 ) + el área del triángulo ( representa el movimiento debido a la aceleración)
v
v0
tt0
∆v = v − v0
velocidad
tiempo
Figura 4.1: Gráfica de velocidad vs tiempo
El desplazamiento total será la suma de ambas áreas. ∆x= área del rectángulo + área del triángulo
Así tenemos
∆x = (t − t0)· v0 +
1
2
∆v ·(t − t0)
Pero: ∆v = a ·(t − t0)
reemplazando este valor
∆x = (t − t0)· v0 +
1
2
a ·(t − t0)·(t − t0)
∆x = (t − t0)· v0 +
1
2
a ·(t − t0)2
como ∆x = x − x0 se tiene:
x − x0 = (t − t0)· v0 +
1
2
a ·(t − t0)2
despejando x como variable dependiente en funcion del tiempo (x(t)) y ordenando términos tenemos

444.5 Ecuaciones Horarias y Gráﬁcos en el M.U.A
ﬁnalmente la ecuación.
x(t) = x0 + v0 ·(t − t0)+
1
2
a ·(t − t0)2
(4.4)
Para la posición inicial y tiempo inicial nulos (x0 = 0,t0 = 0) se tiene la ecuación.
x(t) = v0 · t +
1
2
a · t2
(4.5)
4.4.4 Ecuación de la posición en función de la velocidad
Esta ecuación se deduce de la ecuación ( 4.10 y 4.11)
v(t) = v0 + a ·(t − t0)
x(t) = x0 + v0 ·(t − t0)+
1
2
a ·(t − t0)2
Al despejar (t − t0) en la primera ecuación y sustituirlo en la segunda ecuación se obtiene
x(v) = x0 +
v(t)2
− v2
0
2· a
(4.6)
Cuando x0 = 0 se tiene
x(v) =
v(t)2
− v2
0
2· a
(4.7)
Nota algunos libros no trabajan con fraccionario, en este caso el denominador de la fracción pasa a
multiplicar y se tiene una ecuación equivalente a la ecuación (4.7)
2a · x(v) = v(t)2
− v2
0 (4.8)
4.1
¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es 2m/seg2
, para alcanzar una
velocidad de 90km/h a los 4seg de su partida?
Solución
Datos:
v0 =?, a = 2m/seg2
, t = 4seg
v(4seg) = 90km
h × 1000m
1km × 1h
3600seg = 25m/seg
v(t) = v0 + a(t), despejamos v0, tenemos:
v0 = v(t)− a(t), reemplazando los valores que nos suministra el problema se tiene:
v0 = 25m/seg −2m/seg2
(4seg) = 25m/seg −8m/seg = 17m/seg
Rta: La velocidad con la que debe iniciar es 17m/seg
Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

4.5.1 Aceleración vs tiempo (a = f (t))
La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es cons-
tante.
aceleracion
tiempo
a = cte
Figura 4.2: aceleración vs tiempo
4.5.2 velocidad vs tiempo (v = f (t))
Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta ( o disminuye )
linealmente con el tiempo. Al graficar la velocidad vs tiempo obtenemos una recta de la forma y = mx+b
velocidad
tiempo
t
v0
v
v = v0 + a · t
Figura 4.3: velocidad vs tiempo
4.5.3 posición vs tiempo (x = f (t))
Hemos visto que la ecuación de la posición en función del tiempo es x(t) = x0 +v0 ·(t −t0)+ 1
2 a ·(t −t0)2
como podemos ver corresponde a una función cuadrática (por estar el tiempo elevado al cuadrado) y al
graficar estas funciones obtenemos una parábola. por tanto la gráfica es:
posicion
tiempo
t
x0
x x = x0 + v0t + 1=2a · t2
Parabola
Figura 4.4: posición vs tiempo

46
4.6 Actividades
4.6 Actividades
1. ¿Que velocidad alcanzara un móvil que parte del reposo con una aceleración de 5m/seg2
al cabo
de 20seg?
2. Un tren va a 18m/seg; frena y se detiene en 15seg calcular: Su aceleración y la distancia recorrida
al frenar
3. Un automóvil que viaja a 80km/h se le aplican los frenos y se detiene después de haber recorrido
una distancia de 36,4.ft ¿Qué tiempo después de haber aplicado los frenos se detuvo el auto?
4. Un cuerpo parte del reposo tiene durante 4seg una aceleración constante de 10m/seg2
sigue des-
pués durante 8 seg con el movimiento adquirido y finalmente vuelve al reposo con la acción de
una aceleración negativa de 10m/seg2
. Determinar:
a) El tiempo total del movimiento
b) Distancia total recorrida ( nota ilustra la situación con un gráfico)
5. Dos móviles parten, el uno hacia el otro desde los extremos de una recta de 500m de longitud.
Se mueven con movimiento uniformemente variado con aceleración de 20m/seg2
y 30m/seg2
respectivamente
a) ¿En que instante se chocan?
b) ¿A que distancia de los extremos?
6. Un camión viaja con velocidad constante de 20m/seg. En el momento que pasa al lado de un
automóvil detenido, este avanza con aceleración constante de 2m/seg2
a) Realiza el gráfico de v contra t
b) ¿Que tiempo tarda el automóvil en adquirir la velocidad del camión?
7. El movimiento rectilíneo de un automóvil está descrito por la siguiente gráfica velocidad tiempo
t(s)
v(m=s)
5
10
15
20
5 10 15 20 25 30
Figura 4.5: velocidad vs tiempo
a) ¿Cuánto tiempo ha estado el automóvil en movimiento?

47
4.6 Actividades
b) ¿Qué tipo de movimiento ha llevado en cada tramo del trayecto?
c) ¿Cuál es valor de la aceleración en cada tramo
d) ¿Cuál es la distancia total recorrida?
e) ¿Cuál es el desplazamiento total?
4.6.1 Velocidad en el M.U.A
En esta sección vamos a utilizar la velocidad en función del tiempo, cuya ecuación es la siguiente:
v(t) = v0 + a ·(t − t0) (4.9)
Por comodidad hacemos v(t) = v y asumiendo que el tiempo inicial es cero t0 = 0así la ecuación se puede
escribir como:
v = v0 + a · t (4.10)
Cuando decimos que un móvil parte del reposo la velocidad inicial es cero (v0 = 0) y si frena es la veloci-
dad final la que vale cero (v = 0) En el siguiente enlace podrás ver un video relacionado con este tema.
https://www.youtube.com/watch?v=g49ZeC0DMsk
1. Despejar t, luego a y finalmente v0 de la ecuación ( 4.10 )
2. Calcular la aceleración de un móvil que en 20seg, partiendo del reposo, adquiere una velocidad de
60m/s Rta:3m/s2
3. ¿Cuál es la velocidad de un móvil a los dos minutos si parte del reposo con una aceleración de
0,8m/s2
? Rta:96m/s
4. Qué tiempo emplea un móvil que parte del reposo con una aceleración de 30m/s2
en recorrer
14,5km Rta:31,1s
(ayuda https://www.youtube.com/watch?v=-Mh2qEdh6eY)
5. Un móvil posee una velocidad de 15m/s. si en ese instante aplica los frenos y se detiene después
de 20s ¿Cuál es su aceleración?Rta:−0,75m/s2
6. La velocidad de un móvil después de 2 segundos es de 20m/s, si su aceleración es de 5m/s2
. ¿Cual
es su velocidad inicial? Rta:10m/s
7. Un auto cuya velocidad es de 5m/s cuando el tiempo es de 4s, si acelera a 4m/s2
, realiza la grafica
de velocidad vs tiempo.
4.6.2 Cálculo de la posición en función del tiempo (ecuación Horaria)
x(t) = x0 + v0 ·(t − t0)+
1
2
a ·(t − t0)2
(4.11)
Para la posición inicial y tiempo inicial nulos (x0 = 0,t0 = 0) se tiene la ecuación.
x(t) = v0 · t +
1
2
a · t2
(4.12)
https://www.youtube.com/watch?v=pjH6zI-IqT0

484.7 Calculo de velocidad cuando no se conoce el tiempo
1. que distancia recorre en 120seg , un móvil que parte con velocidad de 30m/seg, si su aceleración
es 0,6m/s2
2. Una locomotora necesita 10s. para alcanzar su velocidad normal que es 25m/s. Suponiendo que
su movimiento es uniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y qué espacio
ha recorrido antes de alcanzar la velocidad regular? Rta:2,5m/s2
;125m
3. Un tren que va a 30m/s debe reducir su velocidad a 20m/s. al pasar por un puente. Si realiza la
operación en 5 segundos, ¿Qué espacio ha recorrido en ese tiempo? Rta: 125 m
4. Un auto viaja inicialmente a 15m/s, con aceleración de 3m/s2
, dibuja la gráﬁca de distancia vs
tiempo.
5. Un auto viaja inicialmente a 20m/s, y desacelera 2m/s2
, dibuja la gráﬁca de distancia vs tiempo.
4.7 Calculo de velocidad cuando no se conoce el tiempo
2a · x(v) = v(t)2
− v2
0 (4.13)
1. Un avión lleva una velocidad de 110 km/h antes de aterrisar ha recorrido 2 km. Si su aceleración
es constante encuentra el tiempo que tardará en detenerse
4.7.1 Cuerpo que se detiene
https://www.youtube.com/watch?v=plspzeXmRLY
1. Un tren posee una velocidad de 75km/h. Aplica los frenos y se detiene al minuto y medio. Calcular
su desaceleración y distancia recorrida.
Rta: −0,23m/s2
y 80m
2. Un móvil tiene una velocidad inicial de 30m/s, comienza a desacelerar a razón de 0,5m/s2
. ¿ Cuan-
to tiempo tardó en detenerse y que distancia recorrió?

49
5 Movimiento Vertical
5.1 Introducción
El ejemplo más común de movimientos con aceleración constante (aproximadamente) es de un cuerpo
que cae hacia la tierra. No habiendo resistencia en el aire se encuentran que todos los cuerpos, indepen-
dientemente de su tamaño, peso, o composición, caen con la misma aceleración en el mismo punto de
la superficie de la tierra, y si la distancia recorrida se conserva constante en la toda la caída.
5.2 Caída libre de los cuerpos
Definición 5.1 (Caída Libre)
Al movimiento en el cuál no se toman en cuenta ni la resistencia del aire, ni el pequeño cambio de
la aceleración con la altura, se llama caída libre
la aceleración de un cuerpo que cae libremente se llama aceleración debida a la gravedad y se representa
por el símbolo g. cerca de la superficie de la tierra su magnitud es aproximadamente de:
g = 9,8m/s2
g = 32f t/s2
Y está dirigida hacia abajo, hacia el centro de la tierra
5.2.1 Ecuaciones del movimiento de caída libre
Escogemos un marco de referencia rígidamente fijo a la tierra. En el eje de las y se lo tomará como positi-
vo verticalmente hacia arriba. Entonces la aceleración g debida a la gravedad sería un vector que apunte
verticalmente hacia abajo (hacia el centro de la tierra) Nuestras ecuaciones para aceleración constante
son aplicables en este caso
vy = v0y + ay · t
y = 1/2(v0y + vy )· t
y = v0y · t +
1
2
ay · t2
vy = v2
0y +2· ay · y

Donde ay =aceleración en el eje y, v0y = velocidad inicial en el eje y, vy velocidad transcurrido un tiempo
t en el eje y, y altura y t tiempo
Para problemas de caída libre podemos ay = g . Note que hemos escogido la posición inicial como origen
5.2.2 El observador situado en el suelo
El cuerpo se halla inicialmente a una altura que designaremos y0 . El cuerpo que cae hacia él, aumen-
tando la velocidad a medida que se acerca, debido a que g se dirige hacia el observador. Por lo que las
ecuaciones son:
g
y
x
y0
Ecuación de velocidad:
v(t) = −g · t
Ecuación de posición:
y(t) = y0 −
1
2
gt2
El signo – no tiene valor real, indica que el objeto se acerca. Ejemplo
¿Con que velocidad llega un cuerpo al suelo que se deja caer desde una altura de 80m ?
Datos:
v0 = 0; y = 80m
v2
= v2
0 +2g y
como v0 = 0, por ser caída libre
v2
= 2g y
despejando v
v = 2g y
v = 2·9,8m/s2 ·80m
v = 39,59m/s

5.2.3 Para un observador situado arriba desde donde se deja caer el objeto
para este caso y0 = 0 velocidad a medida que se aleja, debido a que g se aleja al observador. Por lo que
las ecuaciones son:
g
y
x
v(t) = g · t
Ecuación de posición:
y(t) =
1
2
gt2
5.1
se deja caer un cuerpo a partir del reposo y cae libremente. Determinarse la posición y la velocidad
del cuerpo después de 4,0 segundos de caída
Datos:
g = 9,8m/s2
t = 4s
y(t) =?
v(t) =?

52
5.3 Lanzamiento vertical hacia arriba
Sustituyendo los valores del tiempo y gravedad en las ecuaciones de altura y velocidad tenemos:
y(t) =
1
2
g · t2
y(4seg) =
1
2
9,8m/s2
(4s)2
y(4seg) =
1
2
9,8m/s2
16s2
y(4seg) = 78,4m
Hallemos la velocidad a los 4 segundos
v(t) = g · t
v(t) = 9,8m/s2
·4s
v(t) = 39,2m/s
Las ecuaciones que describen el lanzamiento vertical hacia arriba de un cuerpo son:
v(t) = v0 − g · t
Si se lanza desde el suelo y0 = 0.
y0
yv0
Ecuación de posición (altura):
y(t) = y0 + v0 · t −
1
2
gt2
Velocidad en función de la altura:
v2
= v2
0 −2· g · y

53
5.3.1 En la altura máxima la velocidad del cuerpo se hace 0
Se considera cero la velocidad y se despeja el tiempo ese es el tiempo que tarda en ascender: v = v0 −g ·t;
0 = v0 − g · t
t =
v0
g
AL sustituir ese tiempo en la ecuación de altura, se obtienen la altura máxima:
y = v0 · t −
1
2
gt2
ymax = v0 ·
v0
g
−
1
2
g(
v0
g
)2
ymax =
v2
0
2g
Cuando se pide cualquier cosa relativa a la llegada al suelo del cuerpo, hay que saber que la velocidad de
llegada al suelo no es igual a 0. Aquí la velocidad tiene su máximo valor. 0 es la altura.
5.3.2 Al llegar al suelo, la altura del cuerpo es cero
Se considera cero la altura y se despeja el tiempo total de vuelo, quedando:
t =
2v0
g
Si se sustituye el tiempo total de vuelo en la ecuación de velocidad:
v(t) = v0 · tgt
v(t) = v0 − g(
2v0
g
)
v = −v0
Con esto se saca que tarda lo mismo en ascender hasta la máxima altura que en descender desde ese
punto hasta el suelo. También la velocidad con la que llega al suelo es igual a la que tenía inicialmente
solo que de signo opuesto.
5.2
Desde un puente de 30f t Se dispara hacia arriba una pelota, con una velocidad de 30m/s Hallar
la altura máxima que alcanza la pelota, el tiempo de vuelo, y la velocidad con que cae al suelo.

54
Solución:
Datos
g = 32f t/s2
, y0 = 30f t
v0 = 30m/s ×
1f t
0,3048m
= 98,42f t/s
Hallamos la altura máxima, medida desde el puente
ymax =
v2
0
2g
=
92,42f t/s2
2×32f t/s2
ymax = 151,35f t
A hora si queremos conocer la altura medida desde el suelo
yT = ymax + y0 = 151,35f t +30f t = 181,35f t
Hallemos el tiempo total de vuelo, este tiempo está compuesto por el tiempo de subida y reposo hasta el
puente mas el tiempo que tarda desde el puente hasta el suelo. Hallemos el tiempo que tarda en regresar
al puente
t1 =
2v0
g
=
2·98,42f t/s
32f t/s2
t1 = 6,15s
Hallemos el tiempo que gasta desde el punto hasta el suelo.
Datos:
y0 = 30f t, v0 = 98,42f t/s con la misma velocidad de subida en la misma de bajada por punto de la tra-
yectoria
y0 = v0 · t +
g · t2
2
Despejando t, tenemos:
t =
−v0 + v2
0 +2· g · y
g
t2 = 0,29s
así el tiempo total es:
tTotal = t1 + t2 = 6,15s +0,29s = 6,44s Hallemos la velocidad con que cae al suelo
Datos:
v0 = 98,42f t/s;t2 = 0,29s
q = 32f t/s2
reemplazamos en la ecuación
v = v0 + g · t
v = 98,42f t/s +32f t/s2
·0,29s
v = 107,7f t/s
5.3
se dispara una pelota verticalmente hacia arriba a partir del suelo con una velocidad de 24,4m/s

555.4 lanzamiento vertical. Hacia abajo
a. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su máxima altura?
b. ¿Hasta qué altura llega la pelota?
Solución:
En el punto más alto v = 0
v0 = 24,2m/s;g = 9,8m/s2
v = v0 − g · t
despejando t
t =
v0 − v
g
t =
24,4m/s −0
9,8m/s2
t = 2,5s
Hallemos la altura que alcanza la pelota
En el punto más alto v = 0
v0 = 24,2m/s;g = 9,8m/s2
v2
= v2
0 − g ·2g y
despejando y
y =
v2
0 − v2
2g
t =
(24,4m/s)2
−02
2×9,8m/s2
y = 30,5m
5.4 lanzamiento vertical. Hacia abajo
Como se trata de un movimiento uniformemente variado, le son aplicables las formulas de este. Ecua-
ción de velocidad
v(t) = v0 + g · t
Ecuación de posición.
y(t) = v0 · t +
1
2
gt2
v2
= v2
0 +2· g · y

56
5.5 Actividades
5.4
una piedra se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 10m/s y llega al suelo
en 10s ¿Desde qué altura fue lanzada? y ¿Con que velocidad toca la tierra?
Datos
v0 = 12m/s;g = 9,8m/s2
,t = 10s
y = v0 · t +
g · t
2
y = 12m/s ·10s +
9,8m/s2
·100s2
2
y = 610m
hallemos la velocidad conque toca la tierra
v = v0 + a · t
v = 12m/s +9,8m/s2
·10s = 110m/s
5.5 Actividades
1. Desde una torre se deja caer una piedra que tarda 10 segundos en llegar al suelo, calcular:
a) la velocidad con que llega al suelo
b) la distancia recorrida a los 3 segundos de ser soltada
c) la altura de la torre
2. se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad de 90m/s calcular:
a) el tiempo de subida de la piedra
b) la altura máxima que alcanza.
3. una piedra se deja caer libremente de un precipicio de 800m de altura. Un segundo más tarde, una
segunda piedra se lanza hacia debajo de tal forma que alcanza a la primera, justamente cuando
esta llega al fondo.
a) ¿Qué velocidad levaba la primera piedra cuando fue alcanzada?
b) ¿Con que velocidad se lanza la segunda piedra?
c) ¿Cuánto tiempo dura en el aire la segunda piedra?
4. una persona que está en un acantilado ha cierta altura del suelo, arroja una pelota verticalmente
hacia arriba con una velocidad inicial (n) y después arroja otra pelota directamente hacia abajo
con la misma velocidad inicial. Ilustre la situación mediante un dibujo y responda:
a) ¿cuál de las dos pelotas, si acaso, tiene mayor velocidad al llegar al suelo?

57
5.5 Actividades
b) ¿o ambas tienen la misma velocidad?
c) Nota: No tome encuentra la resistencia del aire
5. ¿Con que velocidad debe lanzarse verticalmente una pelota hacia arriba para que llegue a una
altura de 15,2m ? ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
6. De la boquilla de una ducha está goteando agua al piso que se encuentra a 2,05m abajo. Las gotas
caen a intervalos de tiempo regulares, llegando al piso la primera gota en el momento en que
la cuarta comienza a caer. Encontrar la posición de las diversas gotas cuando una de ellas está
llegando al piso.

59
6 Movimiento en el plano
6.1 Introducción
Ya estudiamos el movimiento de los cuerpos a lo largo de una trayectoria rectilínea y analizamos dos
tipos de ellos: aquel que se produce con velocidad constante, llamado movimiento uniforme y el movi-
miento cuya velocidad es variable; pero la aceleración constante, llamado movimiento uniformemente
variado. En esta guía estudiaremos los movimientos que se presentan cuando un cuerpo está sometido
a mas de una movimiento.(movimiento curvilíneo)
El movimiento curvilíneo es muy fácil analizar mediante componentes de movimiento rectangulares.
Prácticamente usted fracciona o resuelve el movimiento cuervo en componente rectangulares (x, y) y
estudia el movimiento en línea recta en cada dirección. A esos componentes usted les puede aplicar
las ecuaciones cinemáticas vistas anteriormente para encontrar la posición de un objeto que se mueva
en una trayectoria curva. Por ejemplo, usted sólo debería encontrar las coordenadas x, y para cualquier
momento; luego la posición del objeto como el punto (x, y)
6.2 velocidades relativas
Las mediciones se deben hacer con respecto a alguna referencia. Esta se toma por lo general como el
origen del sistema de coordenadas. El punto que usted designe como origen de un conjunto de ejes de
coordenadas es arbitrario y completamente a su elección. Por ejemplo, usted puede “ﬁjar” el sistema de
coordenadas al camino o al suelo y medir el desplazamiento o la velocidad de un automóvil en relación
a los ejes.
6.2.1 velocidades relativas en una dimensión
Cuando las velocidades son lineales (a lo largo de una línea recta en la misma dirección o en la opuesta) Y
todas ellas tienen el mismo punto de referencia, las velocidades relativas se encuentran simplemente por
la sustracción de vectores. Ejemplo: considere los automóviles que se mueven con velocidad constante
de una carretera recta, La velocidad relativa de dos objetos está dada por la diferencia en la velocidad
(vectorial) Así: la velocidad del automóvil B relativa al automóvil A está dada por
vB A = vB − vA = 90km/h −0km/h = 90km/h
De manera similar; la velocidad del automóvil C es
vC A = vC − vA = −60km/h −0km/h = −60km/h

60
y
x
A
vA = 0
B
vB = 90km=h
C
vC = −60km=h
Si deseamos conocer las velocidades de los otros automóviles relativas al automóvil B (el observador está
en el automóvil B), o relativas a un conjunto de ejes de coordenadas con el origen ﬁjo en el automóvil B,
no se está moviendo y actúa como punto de referencia ﬁjo. Los otros automóviles se están moviendo en
relación con el automóvil B. La velocidad del automóvil C, relativo al B es:
y
xA
vA = −90km=h
B
vB = 0km=h
C
vC = −150km=h
vCB = vC − vB
vCB = −60km/h −(+90km/h) = −150km/h
El auto A tiene una velocidad relativa al auto B de
vAB = vA − vB = 0km/h −(+90km/h) = −90km/h
Nota: ¡Utilice con cuidado los subíndices!
6.1
Suponga que un andador que está en línea recta en un aeropuerto se mueve con una velocidad de
vwg = +1m/s, donde los subíndices indican la velocidad del andador (w) con respecto a la relación
con el piso (g). Un pasajero (p) en el andador trata de hacer conexión con un vuelo; camina con
una velocidad de vpw = 2m/s en relación con el andador
1. ¿Cuál es la velocidad del pasajero relativa a un observador que está de pie (relativa al piso)?
La velocidad que buscamos, vpq está dada por
vpg = vpw + vwg = 2m/s +1m/s = 3m/s
Es decir que el observador estacionario ve pasar al pasajero con una rapidez de 3m/s sobre el andador
2. ¿Que sucede si un pasajero camina sobre el andador en dirección opuesta y con la misma velocidad

61
que el andador?
Así
vpw = −1m/s
en este caso
vpq = vpw + vwg
vpq = −1m/s +1m/s = 0
velocidad relativa en dos dimensiones
Las velocidades no tienen siempre direcciones iguales u opuestas, para resolver problemas que com-
prendan velocidades relativas en dos dimensiones, debemos utilizar los componentes rectangulares pa-
ra sumar o restar vectores.
6.2
La corriente de un rio recto de 500m de ancho tiene una velocidad de ﬂujo de 2,55km/h. un bote
de motor que viaja con una rapidez constante de 8km/h en el agua tranquila cruza el rio
x
puente
~vrs
~vbr
~vbsθ
a.) Si la proa del bote, apunta directamente a lo ancho del rio hacia la rivera opuesta ¿ cuál es la velo-
cidad del bote relativa al observador estacionario que está en el puente?

62
b.) ¿Qué tan lejos corriente abajo llegará el bote a tierra a partir del punto directamente opuesto a su
punto de partida?
c.) ¿Cuál es la distancia viajada por el bote al atravesar el rio?
Solución
Datos:
ymax = 500m ancho del rio
vr s = 2,55km/h = 0,709m/s (velocidad del rio
relativo a la rivera)
vbr = 8km/h = 2,22m/s (velocidad del bote
en el rio)
a.) La velocidad del bote relativa (vbs) se obtiene mediante una adición de vectores
vbs = vbr + vr s
vbs = vbr
2 + vr s
2
vbs = (2,22m/s)2 +(0,709m/s)2 = 2,33m/s
la dirección esta definida por:
θ = tan−1
(
vr s
vbr
) = 17,7◦
b.) Para encontrar la corriente x que la corriente arrastra al bote corriente abajo, utilizamos los com-
ponentes ymax = vbr · t
t =
ymax
vbr
= 225seg
asi que durante ese tiempo el bote es arrastrado corriente abajo por la corriente una distancia
x = vr s · t = 159,52m
d.) d = vbs · t = 524m
6.2.2 principio de independencia o del movimiento
En la guía del movimiento uniforme se estudiaron objetos que se mueven en línea recta, a lo largo de
los ejes cartesianos (x o y) pero, ¿Qué sucede si el movimiento no tiene lugar a lo largo de un eje? Por
ejemplo considere la situación que se ilustra en la figura
x
y0
vx
vy v
En esta figura la pelota se mueven de manera uniforme a través de la dirección x, se mueve en una
dimensión, es decir su movimiento se puede descubrir una sola coordenada, x, de igual manera, el mo-
vimiento de la pelota que rueda en la dirección y se puede descubrir con una sola coordenada y, no

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