1. RAZ. LOGICO UNIDO.pdf

Capacitación Docente Razonamiento Lógico
Editorial César Vallejo Pedidos 993161554
1
Tema: Razonamiento Lógico
Objetivos:
 Desarrollar la capacidad de captar
información, con ellos las ideas centrales de
la actividad que se realiza.
 Inducir el razonamiento de situaciones
abstractas para obtener conclusiones que se
relacionan con la realidad.
 Relacionar premisas dadas en forma
desarrollada y sacar conclusiones válidas.
Introducción: Los problemas que se
presentan en las situaciones lógicas
recreativas aportan en ese sentido, desarrollo
del pensamiento cualitativo, haciendo que la
matemática se tome divertida e inductiva. Es
decir podemos aprender jugando con
pasatiempos matemáticos.
El tema de razonamiento lógico que se
desarrolla a continuación muestra algunos
ejemplos de los modelos generales que se
aplican en la prueba de admisión en el tema
correspondiente, y tiene entre otros objetivos:
1. Familiarizar al aspirante con aspectos
concretos de la misma, que pueden parecer
ajenos a su conocimiento en la descripción
temática general que se presenta.
2. Estimular positivamente el aspecto creativo
y su exploración en la búsqueda de
soluciones.
Algunas preguntas se han estructurado a partir
de situaciones problema en las cuales se
describen procesos relativamente sencillos,
correspondientes en muchos casos a sucesos
observables en la vida diaria y los cuales se
dotan de los apoyos gráficos necesarios que
facilitan su comprensión. Esta modalidad
además de constituirse en una estrategia
importante en los procesos de enseñanza y
aprendizaje, permite una mayor concentración
del aspirante en la prueba, esperando lograr
así un mejor desempeño, como también la
evaluación de competencias diferentes a partir
de un mismo problema.
Ejercicios Desarrollados
1.¿Cuantos palitos de fósforo se deben retirar
como mínimo para que queden solamente cuatro
cuadrados iguales.
Resolución
Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro
cuadrados iguales de la siguiente manera:
Rpta.: 2 palitos
2. En la siguiente igualdad incorrecta ¿Cuántos
palitos como mínimo hay que mover para obtener
una igualdad correcta.
Resolución
Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y
no a 3 como aparece en la igualdad propuesta,
por lo tanto para lograr transformarla en una
igualdad correcta hay que mover un palito de la
siguiente manera:

2
Y obtenemos una verdadera igualdad, ya que
2 + 1 es igual a 3.
Rpta.: 1 palito
3. En la figura adjunta cuantos palitos de
fósforo hay que agregar para obtener uno.
Resolución
Seguro que muchos pensaron en formar el
número uno (1), pero el razonamiento correcto
es formar la palabra UNO; para ello hay que
agregar cuatro palitos de la siguiente manera:
Rpta.: 4 palitos
4.¿Cuántos palitos hay que quitar como
mínimo para que no haya ningún triángulo?
(No dejar cabos sueltos)
Resolución:
Rpta: 3 palitos
5. ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo
para obtener tres cuadrados de diferentes
tamaños?
Resolución:
Rpta.: 6 palitos
6. La figura mostrada es un famoso templo griego
que está hecho con once cerillos. Cuantos
cerillos como mínimo hay que mover de manera
que obtengas 5 cuadrados.
Resolución
Observemos que ya tenemos 2 cuadrados
formados consecutivamente de manera
horizontal, ahora deslicemos hacia abajo los 2
cerillos verticales de los 2 cuadrados
mencionados, y completando adecuadamente
con los 2 cerillos de afuera (encima), tendremos:

3
Contando los cuadrados de la figura obtenida
hallaremos 3 cuadrados grandes y 2
pequeños, es decir, 5 cuadrados en total.
Rpta.: 4 palitos
7. En un avión viajan dos papás, dos mamás,
3 hijos, un abuelo, una abuela, un tío, un
sobrino, dos hermanos, un nieto, una suegra,
un suegro, una nuera y un cuñado. ¿Cuántas
personas como mínimo viajan en dicho avión?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
Resolución
Elaborando un esquema, tenemos:
Como mínimo viajan 6 personas. Rpta.
8. ¿Cuántas personas como mínimo hay en 12
filas de 3 personas cada una?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 18 e) 13
Resolución
Graficando convenientemente, se tiene:
Como mínimo hay 13 personas.Rpta.
9. En un restaurante estaban presentes: 1 padre,
1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1
sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno
consumió un menú de 7 soles. ¿Cuánto gastaron
en total, como mínimo?
a) S/. 42 b) S/. 28 c) S/. 8
d) S/. 56 e) S/. 70
Resolución
Como mínimo estuvieron 4 personas:
Luego:
4(S/. 7)  S/. 28 Rpta.
10.María del Pilar ve en la vereda a un hombre y
dice: “ El único hermano de ese hombre es el
padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué
parentesco tiene el hermano de ese hombre con
María del Pilar?
a) padre b) tío c) tío abuelo
d) abuelo e) suegro
Resolución
Consiste en ir identificando a cada persona desde
el final.
“El único hermano de ese hombre es el
padre de ”
“El único hermano de ese hombre es
mi abuelo
el padre de mi madre
”
Entonces: “El único hermano de ese hombre es
mi abuelo”, dice María del Pilar”
11. Una familia está compuesta por 4 esposos, 2
padres, 2 madres, 1 abuelo, 1 abuela, 3 hijos, 2
hermanos y 2 nietos. ¿Cuántas personas como
mínimo conforman esa familia?
a) 12 b) 10 c)8
d) 6 e) 5
Hijos
Tío
H

Abuelo
Suegro
tío
tía
primos
hermanos
madre
padre
madre
la suegra de mi esposo
mi

4
Resolución
6 Rpta.
12. El abuelo de Diego se llama Luis; el padre
de Diego se llama Carlos, el hijo de Diego se
llama Matías y el primo de Diego se llama
Marcos; entonces ¿Quién es el único hijo del
padre del abuelo de Diego?
a) Diego b) Carlos c) Luis
d) Marcos e) Matías
Resolución
Se pide:
El único hijo del padre del abuelo de Diego es:
Luis Rpta.
13. Rocío al ver el retrato de un hombre, dijo:
La madre de ese hombre es la suegra de mi
madre. ¿Qué parentesco hay entre Rocío y el
hombre del cuadro?
a) hija b) madre c) prima
d) sobrina e) esposa
Resolución
Realizando el diagrama respectivo
Hija
Rpta.
14.Cuatro hermanas son interrogadas por su
madre, pues una de ellas uso sus joyas en una
fiesta sin su permiso:
 Katia “Liliana fue”
 Liliana “Maribel fue”
 Maribel “Liliana miente al decir que fui yo”
 Zulema “yo no fui”
Si la madre sabe que solo una de ellas dice la
verdad, ¿quién es la culpable?
A) Katia
B) Liliana
C) Maribel
D) Zulema
E) No se puede determinar
Resolución:
 Recuerda que, de dos proposiciones
contradictorias, una tiene que ser verdadera y
la otra falsa.
 Observe que Liliana y Maribel se contradicen;
entonces solo una de ellas puede estar
diciendo la verdad.
 Puesto que de las cuatro hermanas, sólo una
dice la verdad, ella tiene que ser o Liliana o
Maribel; por lo tanto las otras dos hermanas
deben estar mintiendo.
 Entonces si Zulema dice que ella no fue, y
sabemos que está mintiendo, podemos
concluir que:
Rpta.: Zulema es la culpable
2 Padres
3 hijos
2 hermanos
2 nietos
2 madres
4
esposos
Abuelo Abuela
El padre del abuelo de Diego
Luis (abuelo de Diego)
Carlos (padre de Diego)
Diego
Matías
Hermanos
Marcos
(Primo
de
Diego)
Madre
Retrato
Suegra
Madre
Esposo
Hijo
Hija

5
15.Cuatro “hackers” son sospechosos de
haber introducido un ultravirus en el Internet, y
al ser interrogados por la policía contestaron:
* Felipe : “Hernán participó”
* Hernán : “Víctor participó”
* Víctor : “Hernán miente”
* Jesús : “Yo no participé”
Si el único inocente es el único que dice la
verdad. ¿Quién es?
A) Felipe
B) Hernán
C) Víctor
D) Jesús
E) No se puede determinar
Resolución:
 Observa que Hernán y Víctor se contradicen,
por lo cual solo uno de ellos estará diciendo la
verdad.
 Ahora bien, por dato del problema, solo hay
uno que dice la verdad: Entonces Felipe y
Jesús deben estar mintiendo.
 Ya que Felipe miente, es falso que Hernán
participo
 Hernán es inocente Rpta.: B
16.Un individuo miente siempre los martes,
jueves y sábados y es completamente veras
los demás días. Cierto día mantiene el
siguiente dialogo con una dama:
 Pregunta la dama: ¿Qué día es hoy?
 Responde el individuo: sábado
 Pregunta la dama: ¿Qué día será mañana?
 Responde el individuo: miércoles
¿De qué día de la semana se trata?
A) martes B) miércoles
C) jueves D) viernes
E) domingo
Resolución:
 Como el individuo se contradice (no puede hoy
sábado y mañana miércoles) entonces es uno
de los días que le toca mentir.
 Si fuera martes su segunda respuesta seria
verdad y no mentiría.
 Hoy solo puede ser jueves.
17.Tres amigos: Hugo, Paco y Luis tienen la
siguiente conversación:
 Hugo:“yo soy menor de edad”
 Paco:“Hugo miente”
 Luis:“Paco es mayor de edad”
Si se sabe que solo uno miente y que solo uno es
mayor de edad. ¿Quién miente y quién es mayor
de edad, respectivamente?
A) Paco – Paco B) Hugo – Paco
C) Paco – Luís D) Paco – Hugo
E) Luis – Paco
Resolución:
Está claro que Hugo y Paco se contradicen; luego
uno de los dos está mintiendo y como por
condición del problema, hay un solo mentiroso,
entonces Luís (el que sobra) debe estar diciendo
la verdad.
 Hugo dice la verdad y Paco está mintiendo
 Paco es el único mayor de edad Rpta.: B
18.Al llegar a casa de Cenicienta, el príncipe se
dio cuenta de que había olvidado el zapatito de
cristal, por lo que decidió interrogar a las tres
hermanas. Si sólo la verdadera Cenicienta diría la
verdad, ¿quién es Cenicienta?, preguntó el
príncipe:
-Martha:“Yo soy Cenicienta”.
-Lucía :“Martha miente”.
-Irene :“Es cierto, Martha miente”.
¿Cuál de ellas es Cenicienta?
a) Martha b) Lucía
c) Irene d) Tula Rodríguez
e) Doña Florinda
Resolución:
La Cenicienta es:
R
E
S
P
U
E
S
T
A
S
Martha
Lucía
Irene
Martha Lucía Irene
V
F
F
F
V
V
F
V
V
Solo una dice
la verdad
( )
Dos dicen
la verdad
( x )
Dos dicen
la verdad
( x )
Por lo tanto, Martha es la Cenicienta Rpta.

6
19. Cierto año ocurrió que el primer día de un
determinado mes fue lunes, mientras que el
último día de dicho mes también fue lunes.
¿Qué fecha cayo el último jueves del mes
posterior?
A) 30 B) 25 C) 27
D) 31 E) 24
Resolución:
Bosquejemos un calendario.
Ten en cuenta que el siguiente mes marzo
tiene 31 días
19.Un individuo miente siempre los martes,
jueves y sábados y es completamente veras
los demás días. Cierto día mantiene el
siguiente dialogo con una dama:
 Pregunta la dama: ¿Qué día es hoy?
 Responde el individuo: sábado
 Pregunta la dama: ¿Qué día será
mañana?
 Responde el individuo: miércoles
¿De qué día de la semana se trata?
A) martes B) miércoles
C) jueves D) viernes
E) domingo
Resolución:
 Como el individuo se contradice (no
puede hoy sábado y mañana miércoles)
entonces es uno de los días que le toca
mentir.
 Si fuera martes su segunda respuesta
seria verdad y no mentiría.
 Hoy solo puede ser jueves. Rpta.
19.¿Cuántas esferas hay en la figura 15?
Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
Fig. 1
...
Resolución:
Observar:
Fig. 1
1 esfera
Fig. 2
1 + 2 = 3
esferas
Fig. 3
1 + 2 + 3 = 6
esferas
Fig. 4
1 + 2 + 3 + 4 = 10
esferas
Luego:
El número de esferas en la figura 15 es:
1 + 2 + 3 + 4 +... + 15 =
20.De una baraja de 52 cartas, ¿cuántas cartas
debo extraer como mínimo, para que salga con
seguridad una carta de corazones?
Resolución
Primero debo agotar todas las cartas que no son
corazones, es decir que debo extraer:
trebol espadas diamante corazón
(necesario)
13 + 13 + 13 + 1 = 40
Respuesta: 40 cartas como mínimo
21.Se colocan en una urna 5 bolas blancas y 7
bolas negras. ¿Cuántas bolas hay que sacar al
azar, para tener la seguridad de tener:
a. Una bola negra?
b. Un par de bolas del mismo color?
Resolución:
a. Al sacar 1 bola, hay la posibilidad que sea
negra, pero no se tiene la seguridad pues
también puede ser blanca. Como hay 5 bolas
blancas, entonces después de 5 extracciones se
puede tener la seguridad que la siguiente es
negra, luego:
5 + 1 = 6
BLANCA NEGRA
15 (15 + 1)
2
= 120
D L M M J V S
1
8
15
29

Último día ¡Febrero!
D L M M J V S
1 2 3
10
17
24
31

7
b. Al sacar 2 bolas, no hay la seguridad que
sean del mismo color, pues hay dos colores
diferentes (blanco y negro) en la urna. Al sacar
una tercera bola, del color que fuese, ya se
formará pareja del mismo color, en cualquiera
de las dos anteriores luego:
2 + 1 = 3
22.¿Cuántos triángulos hay en la figura
mostrada?
1
2
3
13
14
15
Resolución:
Analizando por partes:
1 1 triángulo

1 2
2
x
2 (1 + 2) triángulos
2 3
2
x
3 (1 + 2 + 3) triángulos
3 4
2
x
1
2
1
13
14
15
15 16
2
x 120 triángulos
Rpta. 120
23. En una bolsa hay 10 caramelos de limón, 7
de fresa y 8 de menta. ¿Cuántos caramelos se
deben sacar como mínimo, para tener la
seguridad de haber sacado:
a. Dos caramelos del mismo sabor?
b. Dos caramelos de sabor diferente?
Resolución:
a.Como hay tres sabores diferentes, entonces al
sacar tres caramelos todavía no se tiene la
seguridad que dos sean del mismo sabor. Al
sacar un caramelo más, éste formará pareja del
mismo sabor con cualquiera de las anteriores.
Luego: 3 + 1 = 4
b. Como el mayor número de caramelos de un
mismo sabor es 10 (de limón) entonces al sacar
10 caramelos todavía no se tiene la seguridad
que 2 sean de diferente sabor. Al sacar un
caramelo más sí habrá la seguridad que hay 2 de
diferente sabor.
Luego: 10 + 1 = 11
24. Dos cazadores se detienen para comer sus
panes, uno de ellos llevaba 5 panes y el otro 3
panes. En ese momento se presenta otro
cazador, con quien comparten en forma
equitativa. Al despedirse el cazador invitado les
obsequió 8 municiones para que se repartan en
forma proporcional. ¿Cuánto le corresponde a
cada uno?
A) 5 y 3 B) 6 y 2 C) 4 y 4
D) 7 y 1 E) 8 y 0
Resolución
Tenía Comen Le
quedaría
C1 5 panes  15 trozos 8 7
C2 3 panes  9 trozos 8 1
C3 ------ 8
8 panes  24 trozos
Cada pan puede ser fue dividido en 3
trozos, que generaría 24 trozos en total;
que al compartirlos, le toca 8 trozos a
cada uno.
De los 8 consumidos por C3, 7 fueron del
C1 y 1 del C2.
 Se repartirán 7 y 1 municiones Rpta. D

8
Tema: Razonamiento Lógico II
Cortes, Estacas y Pastillas
Se trata de resolver problemas, donde
debemos obtener el número de cortes que se
pueden hacer a una soga, alambre, madera,
etc; O también obtener el número de postes,
estacas o árboles que se puedan plantar en
una cierta longitud o perímetro.
PRIMER CASO: Figuras abiertas o sea que
tengan los extremos separados pueden ser:
(sogas, maderas, alambres, piezas metálicas,
avenidas, pasajes, etc.)
Número de cortes:
T
L
Nº cortes 1
Lu
 
Número de estacas, postes o árboles:
T
L
Nº de estacas 1
Lu
 
Partes iguales:
T
L
Nº partes iguales
Lu

Donde:
T
L : Longitud total
U
L : Longitud unitaria o distancia entre
postes
SEGUNDO CASO: Figuras cerradas (aros,
terrenos, triangulares, cuadrangulares,
rectangulares, circulares, etc.).
T
L Perímetro
Nº de cortes
Lu Lu
 
T
U U
L Perímetro
Nº de estacas
L L
 
Para obtener el número de pastillas:
t
t
T
Nº de pastillas 1
I
 
Donde:
t
T : Tiempo total en que debe tomar las pastillas
el paciente.
t
I : Intervalo de tiempo entre cada pastilla o el
tiempo que va a tomar cada pastilla.
Probabilidades
La probabilidad de un suceso se define como la
relación entre el número de casos favorables y el
número de casos posibles.
El estudio de probabilidades nos permite hacer
observaciones de situaciones de las cuales no
estamos absolutamente seguros de lo que va ha
suceder, pero que expresan ciertas
características de predicción.
La aplicación del cálculo de probabilidades es
diversa.
DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA
PROBABILIDAD.
Si “A” es un evento de un espacio muestral () ,
la probabilidad de ocurrencia de A se denota por
P(A) y está dada por:

#casos favorables
Pr obabilidad
# total de casos
Entonces:
    

n(A)
P(A) ; 0 P(A) 1 ;A
n( )
Ejemplos de aplicación:
1. Encontrar la probabilidad que al lanzar un
dado se obtenga un valor par.
Resolución
Experimento aleatorio : lanzar un dado.
= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Casos favorables:

9
A= {2 ; 4 ; 6 }
 n() = 6
n(A) = 3
  
3 1
P(A) P(A)
6 2
1/2 =0,5 =50% Rpta.
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
“as” al extraer una carta de una baraja de 52
cartas?
Resolución:
Como la baraja tiene 4 ases.
Probabilidad de obtener 1 “as”:
4/52 =1/13 Rpta.
Propiedades.
1. Si “A” es un evento definido en  ,
entonces:
0  P(A)  1
* Si: P(A) =0  A = 
A: es un evento imposible
 Si : P(A)=1  A=
A: es un evento seguro
2. Eventos:
 Evento seguro. Es el que de todas
maneras debe ocurrir.
 Evento imposible. Es el que no va a
ocurrir.
 Eventos complementarios. si uno ocurre y
el otro no.
 Eventos mutuamente excluyentes
Si la ocurrencia de uno de ellos, anula
ocurrencia de los demás.
 Eventos independientes. Cuando no
tienen ninguna relación entre sí ; si la
ocurrencia de uno de ellos no influye en la
ocurrencia del otro.
3. A y B son sucesos mutuamente
excluyentes, es decir que A  B = 
P(A  B) = P(A)+ P(B)
A ó B
4. Si: A y B son sucesos no excluyentes, es decir
A  B  
P(AB) = P(A) +P(B) – P(AB)
A ó B
5. Sea “A” un suceso definido en el espacio
muestral , entonces:
P(A) = 1- P(A’)
6. Si A y B son sucesos independientes,
entonces:
P(AB) = P(A) x P(B)
A y B
7. Probabilidad condicional:


P(B A)
P(A / B)
P(A)
 P(B/A) :Probabilidad de que ocurra el evento
B, dado que el evento A ha ocurrido.
8. Si los eventos A y B son dependientes,
entonces la ocurrencia simultánea de los eventos
es:
P(AB ) = P(A) . P(B)
A B
A B
A B

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Cortes - Estacas - Pastillas
1. Carlos compra 5 varillas de acero
de 8 metros de longitud cada una. De
las dos primeras desea obtener
trozos de 32 cm de longitud y de los
tres últimos trozos de 25 cm de
longitud. Hallar el número total de
cortes que debe realizar.
a) 141 b) 146 c) 151
d) 134 e) 172
Resolución
Dos primeras varillas:
c
800 cm
n = 1 2 24 2 cortes = 48 cortes
32 cm
 
   
 
 
Tres últimas:
c
800 cm
n = 1 3 31 3 cortes = 93 cortes
25 cm
 
   
 
 
Nº de cortes  141 Rpta.
2. Un comerciante tiene una pieza de
paño de 90 metros de longitud que
quiere cortar en trozos de 2 metros;
si necesita 6 segundos para hacer
cada corte. ¿Cuánto tarda en cortar
toda la pieza?
a) 4 min 18 s b) 4 min 30 s
c) 4 min 12 s d) 4 min 24 s
e) 4 min 6 s
Resolución
90
Nº de cortes 1 44
2
  
Tiempo que tarda 44(6) 264 s
 
= 4 min 24 s Rpta.
3. Un reloj da 4 campanadas en 15
segundos. ¿En cuánto tiempo dará 12
campanadas?
a) 40 segundos b) 45 segundos
c) 55 segundos d) 50 segundos
e) 1 minuto
Resolución
4 camp.   3 intervalos  15 segundos
12 camp.   11 intervalos x
donde:
x 55 segundos
 Rpta.
4. Jazmín toma 2 pastillas cada 8 horas.
¿Cuántas pastillas tomará en 5 días?
a) 32 b) 40 c) 48
d) 36 e) 80
Resolución
tiempo total
Nº pastillas 1
int ervalo de tiempo
 
5x24
Nº pastillas 1 2
8
 
 
 
 
Nº pastillas  32 Rpta.
5. Se desea cercar un terreno de forma
cuadrada cuya diagonal mide 400 2
metros. Determinar el número de
estacas necesarias para cercar dicho
terreno. Si cada estaca se coloca a 200
cm. una de la otra.
a) 800 b) 700 c)
650
d) 750 e) 840
Resolución

11
1600 m 1600 m
Nº estacas
200 cm 2 m
 
Nº estacas  800 Rpta.
6. Por los cumpleaños de Mariela su
mamá le regaló una torta circular de
un área de 484 cm. Si ella desea
partir cada 2 cm
 . ¿Cuántos
pedazos obtendrá?
a) 20 b) 19 c) 18
d) 22 e) 23
Resolución
Recuerda:
total
unitaria
L
Nº cortes
L

Además:
circunferencia
L 2 R


2
R 484
 

R 22

total
L 2 (22)


total
L 44

44
Nº cortes 22
2


 
Recuerde:
Nº de cortes Nº de pedazos

Nº de pedazos: 22 Rpta.
7. ¿Cuántas estacas se necesitaran
para cercar los lados AB y AC de un
terreno que tiene la forma de la
siguiente figura; si estas se estacan
cada 3m?
a) 36
b) 29
c) 32
d) 30
e) 21
Resolución
Solo: AB+AC=60
60
# Estacas= 1
3
 
# Estacas= 21 Rpta.
8. Un médico le receta a un paciente
analgésicos que debe tomar durante 8
días cada 6 horas. Si cada pastilla
cuesta S/. 1,50 y en la farmacia paga
con un billete de
S/. 100,00. ¿Cuánto de vuelto recibe?
a) S/. 50,50 b) S/. 33,00
c) S/. 49,50 d) S/. 52,00
e) S/. 51,50
Resolución
400 400
400
400
400 2
45º
45º
2
2 2
A
B
C
3
0
º
20 3
A
B
C
3
0
º
20 3 3
 k
k 20

20
40
60º

12
8 24
T.T.
Nº pastillas 1
T.U.

  
6
1 33
 
33 1,5 49,5
 
Vuelto: 100 49,5
  S/. 50,5 Rpta.
9. Se desea cercar un terreno en forma
de triángulo equilátero de lado 35m.
Hallar cuántos se necesita si la longitud
de estaca a estaca es de 7m.
a) 10 b) 16 c) 15
d) 5 e) 6
Resolución
Figura cerrada
Longitud total 35 35 35 105m
   
Por fórmula:
Nro. estacas
Long. Total 105
Long. Unitario 7
 
 15 Rpta.
10.¿Cuántos cortes deben darse a una
soga de 48 metros de largo para
tener pedazos de 6 metros de largo?
a) 6 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
Resolución
Analizamos el problema por partes,
obtenemos:
Para una soga de 6m.
Del análisis que hemos realizado,
obtenemos que:
Longitud total
Nº de partes iguales
Longitud unitaria

para nuestro problema:
48 m
Nº de partes 
6 m
8

Nº de cortes necesarios # de partes iguales 1
 
Para nuestro problema:
Nº cortes necesarios 8 1
   7 Rpta
11.¿Cuántos cortes deben darse a un aro
de 30 metros de longitud para tener
pedazos de 5 metros de longitud?
a) 6 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
Resolución
8d 8 24
 
6h 6h 6h 6h 6h
6m
No se realiza
ningún corte
Se realiza
1 corte
6m 6m
1º Corte
12m
Se realiza
2 cortes
6m 6m 6m
18m
1º Corte 2º Corte

13
Fórmula:
Longitud total
Nº de cortes necesarios=
Longitud unitaria
Luego:
6 cortes
Rpta.
12.Un hojalatero tiene una plancha de
aluminio de 25m de largo por 1,5m de
ancho, diario corta 5m de largo por
1,5m de ancho. ¿En cuántos días habrá
cortado íntegramente la plancha?
Resolución
Por fórmula:
Longitud total
Nº de cortes 1
Longitud unitaria
 
4 Rpta.
13.¿Cuántos árboles pueden colocarse
a lo largo de una avenida que tiene
1,5km de longitud, los árboles se
colocan cada 15 metros?
a) 68 b) 79 c) 90
d) 100 e) 101
Resolución
Antes de pasar a resolver el
problema, veamos algunos:
Generalizamos:
Longitud Total de la avenida
# de árboles 1
Longitud que separa de
estaca a estaca
 
Luego, para el problema, tenemos
que:
1,5 km
Nº de árboles 1
15 m
 
Convertimos los "km" a "m"

 
1,5 1000m
Nº de árboles 1
15 m
 
101 Rpta.
1
2
3
4
5
6
5m
5m
5m
5m
5m 5m
Nota: Está fórmula se cumple para
"figuras cerradas".
1º Corte 2º Corte 3º Corte 4º Corte
5m 5m 5m 5m 5m
1,5m
25m
3m 3m
6m
6
# de árboles 1 3
3
  
3m 3m
9m
# de árboles
9
1 4
3
  
3m
30
# de cortes
m

5 m

25
Nº de cortes 1
5
  

14
14. ¿Cuántas estacas de 2 metros de
altura, se necesitan si se trata, de
plantarlas a lo largo de un terreno,
las estacas se plantan cada 15
metros, el largo del terreno es de
600 metros?
Resolución
Para este tipo de problema, no nos
interesa saber la altura del árbol.
Por fórmula:
Longitud Total del terreno
Nº de estacas 1
Longitud que separa de
estaca a estaca
 
600 metros
Nº de estacas 1 41
15 metros
  
 Nº de estacas  41 Rpta.
15.¿Cuántas estacas se necesitan para
cerrar un terreno en forma de cuadrado
cuyo lado es de 18 metros, si las estacas
se colocan cada 9 metros?
Resolución
De la figura:
Perímetro = 4 x 18 = 72 metros
Longitud unitaria = 9 metros
Se deduce que:
Nº de estacas =
La fórmula se aplica, por ser línea
cerrada.
¡Ojo! Longitud Total o Perímetro.
Sustituyendo los datos mencionados
Nº de Estacas = = 8 Rpta.
16. ¿Cuántas pastillas tomará un
enfermo durante una semana que
está en cama, si toma una cada 3
horas y empezó a tomarlas apenas
empezó su reposo hasta que culminó?
Resolución
Para este tipo de problemas, se
aplicará la siguiente fórmula:
Tiempo Total
Nº de pastillas= + 1
Intervalo de tiempo en tomar
pastilla a pastilla
1 semana
Nº de pastillas 1
3 horas
 
Recuerda que:
 
1 semana 7 días
1 semana 7 24 horas


 
7 24 horas
Nº de pastillas 1
3 horas
 
 Nº de pastillas  57 Rpta.
12. La campana de mi pueblo anuncia
la hora tal que en tres campanadas
transcurren 4 segundos. ¿Cuánto
18 m
18 m
18 m
18 m
perimetro
longitud unitaria
72
9

15
tiempo más tarda en anunciar las 9
de la noche que en anunciar las seis
de la tarde?
a) 6 s b) 2 s c) 3 s
d) 5 s e) 8 s
Resolución
Como:
Nº de intervalos Nº de campanadas 1
 
* A las 6 a.m.
(3 1) 4s
(6 1) x
 

 

 x 10 s

* A las 9 p.m.
(3 1) 4s
(9 1) x
 

 

 x 16 s

* La diferencia: 16 10
  6 s Rpta.
Probabilidades
1. Al lanzar un dado. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número
primo?
a)
1
2
b)
1
3
c)
1
4
d)
1
6
e)
1
5
Resolución
Casos totales:  
1; 2; 3; 4; 5; 6
n( ) 6
 
Casos favorables:  
2; 3; 5 A

n(A) 3

Probabilidad:
n(A) 3
n( ) 6

 
1
2 Rpta.
2. Si se lanzan dos dados
simultáneamente. ¿cuál es la
probabilidad de obtener una suma igual
a un número primo o que la suma sea
5?
a)
1
2
b)
1
3
c)
2
3
d)
4
9
e)
1
4
Resolución
Elaboramos un diagrama:
n( ) 36
 
Eventos:
A: 1º 2º Nº primo
   n(A) 12

B: 1º 2º 5
   n(B) 4

n(A B) 4
 
12 4
P(A B)
36 36
  
4
36

P(A B)
 
1
3 Rpta.
3. Al lanzar 2 monedas juntas, ¿cuál
es la probabilidad de obtener en
ambas, sello?
a) 1/4 b) 1/3 c) 2/5
d) 3/4 e) 1/2
Resolución
Espacio muestral:
C C
C S
S C
S S
4
 Nos piden: (SS)
1
P
4

1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1er. Dado
2do. Dado

16
4. Al lanzar una moneda y un dado,
¿cuál es la probabilidad de obtener
en número mayor que 3 y “cara”?
a) 1/3 b) 2/3 c) 1/4
d) 1/2 e) 3/4
Resolución
(cara)
P(# 3) y P

3
Probabilidad 
1
6
2
1
2
  1
4
Rpta.
5. Se lanza 2 dados legales
simultáneamente. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 8 puntos ó la
diferencia de ambos dados sea 3?
a)
11
36
b)
1
3
c)
9
11
d)
2
9
e)
13
36
Resolución
n( ) 36
 
A: 8 puntos n(A)= 5 ( )
 
B : Diferencia 3 n(B)= 6 (o)

n(A B) 0
 
5 6
P(A B)=
36 36
   
11
36 Rpta.
6. Encontrar la probabilidad que al
lanzar un dado se obtenga un valor
impar.
a) 20% b) 40% c) 50%
d) 30% e) n.a.
Resolución:
Experimento aleatorio: lanzar un dado
Espacio muestral:
 
1, 2, 3, 4,5,6
 
 
n 6
 
Casos favorables:
 
A 1, 3, 5

 
n A 3

 
 
 
n A 3
P A 0,5
n 6
  

 
P A  50% Rpta.
7.Al lanzar tres monedas al aire. ¿Cuál
es la probabilidad de que las tres sean
iguales?
a) b) c)
d) e)
Resolución:
 
CCC;CCS;CSC;SCC;SSS;SSC;SCS;CSS
 
De donde:
 
n 8
 
   
A CCC, SSS n A 2
  
  2
P A
8
 
1
4 Rpta.
1; 2; 3; 4; 5; 6 C; S





1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6 o
o
o
o
o
o
1
2
1
4
1
6
1
3
1
5

17
8.Al abrir un folleto de 100 páginas,
calcular la probabilidad que al
observar ésta página no termine en
cero.
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
 
1 , 2 , 3 , 4 ........ , 100
 
De donde:
 
n 100
 
A página que termina en cero

   
A 10, 20, 30,.......,100 n A 10
  
A' pagina que no termina en cero

Entonces:
   
P A' 1 P A
 
  10
P A' 1
100
 
 
P A'  Rpta.
9.Una casa está conformado por 11
niños y 7 niñas, si se escoge 4
estudiantes al azar .¿Cual es la
probabilidad que todos sean niños?
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
11
4
18
4
C (# casos fav.)
Pr obabilidad
C (# Total casos fav.)

11 10 9 8
Pr obabilidad
18 17 16 15
  

  
Probabilidad 
11
102 Rpta.
10. Se lanzan dos dados al aire
simultáneamente. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 8 puntos?
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
   
n 36 ; n A 5
  
 
P 8 puntos 
5
36 Rpta.
11.Para una rifa se venden 20 cupones;
Mario compra dos cupones, si se
ofrecen dos premios. ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga solo uno
de los premios?
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6



er
1 dado
do
2 dado


9
5
9
6
9
10
9
4
9
10
9
10
11
50
11
102
11
40
11
100
5
4
5
36
5
8
5
26
9
5
9
10
9
8
9
4

18
10
2
20
2
19 18
C 2
Pr obabilidad
20 19
C
2

 

Probabilidad 
9
10 Rpta.
12.Se tiene una caja con 3 bolas
rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas
verdes. Determinar cuál es la
probabilidad de que se extraiga una
bola roja ó blanca.
a) b) c)
d) e)
Resolución
 
F 3
P 1 rojo
T 12
 
  5
1 blanca
12
F
P
T
 
Piden:
 
P 1 roja ó 1 blanca
   
P 1 roja P 1 blanca

3 5 8
12 12 12
  
2
3 Rpta.
13.En una urna se tiene 4 bolas de
color rojo, 6 bolas de color verde y 8
bolas de color azul. ¿Cuál es la
probabilidad de que al extraer una
bola sea de color verde o azul?
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
Total de bolas:
 
n 4 6 8 18
    
Verde ó azul
 
n A 6 8 14
  
  14
P verde ó azul
18

 
P verde ó azul 
7
9 Rpta.
14. Se arrojan 6 monedas. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 4 caras y dos
sellos?
a) b) c)
d) e) n.a.
Resolución
Para cada moneda se tiene dos
probabilidades.
 
n 2 2 2 2 2 2 64
       
A obtener 4 caras y 2 sellos

  6
410
n A P

permutación con repetición
  6!
n A 15
4 !2!
 
 
 
 
n A 15
P A
n 64
 

 
P A 
15
64 Rpta.
15.En una caja hay 20 bolas numeradas
del 1 al 20, se extrae al azar una bola
¿Cuál es la probabilidad que el numero
de la bola extraída sea mayor a 14?
a) 15% b) 30% c)
20%
d) 36% e) 24%
Resolución
Del enunciado.
2
3
5
9
4
9
1
3
7
9
7
9
7
2
7
5
7
8
15
64
15
16
15
31
15
13

19
Luego: donde A es sacar una
bola cuyo
número sea mayor a 14 se tendrá.
 
 
 
A
casos faborables 6 3
P
casosdesfaborables 20 10
 
 
A
P 0,3
  30%
Rpta.
16. Ocho amigos juegan al golf, 5
jóvenes y 3 adultos. Si los jóvenes
tienen la mitad de habilidad de los
adultos ¿Cuál es la probabilidad que
un joven gane?
a) 5/8 b) 5/11 c) 5/9
d) 5/13 e) 1/2
Resolución
Sea la habilidad de los jóvenes como
1 entonces la habilidad de los adultos
será como si fueran 2 personas
jóvenes. Entonces se podría decir que
en vez de considerar 3 adultos, estos
fueran:
 
3 2 6 Jóvenes

Luego:
Sea A: Probabilidad de que gane un
joven.
 
A
6 JOVENES
casos faborables solo hay 5 jóvenes
P
casos posibles 5 jóvenes 3 adultos
 

 
A
5 5
P
5 6 11
 

 
A
P 
5
11 Rpta.
17.Seis personas se sientan al azar,
alrededor de una fogata ¿Cuál es la
probabilidad que 3 personas ocupen
lugares continuos?
a) 0,3 b) 0,4 c)
0,7
d) 0,9 e) 0,6
Resolución
El total de formas de sentarse 6
personas alrededor de un centro
está dada por.
 
C
P 6 5 ! 120 formas
 
Pero deseando que se cumpla el
evento
A: 3 personas ocupan lugares
continuos.
Se consideró que las 3 personas
forman un solo elemento, lo que
indicaría que hay 4 elementos a
permutar circularmente.
 
C
P 4 3! 6 formas
 
Pero cada una de estas formas
cambiara según se altere la forma
como las tres personas se sientan, y
esto será:
3
P 3! 6 formas
 
Habrá entonces
6 6 36 formas
 
diferentes, para que se cumpla el
evento “A”
Luego:
 
A
36
P
120
  0,3
Rpta.
18. De una baraja de 52 cartas se
extraen al azar 5 cartas. Determine la
probabilidad de que 3 de ellas sean
negras y las otras no.
1 2 ....... 14 15 ....... 20
CASOS POSIBLES
CASOS PROBABLES
 
A
P

20
52
2
C
a) b) c)
d) e)
Resolución
De las cartas: 26 son negras
26 son rojas
Luego, elegir 5 cartas de 52 se tendría.
Formas diferentes ahora.
Escoger 3 cartas negras:
Escoger 3 cartas rojas:
El total de formas será:
Donde:
26 26
3 2
52
5
C C 1625
P
4998
C

 
P 
1625
4998 Rpta.
19. Se escogen al azar 3 relojes de 15,
de los cuales 6 son defectuosos, señale
la probabilidad de que se haya
escogido 2 relojes defectuosos.
a) 17/19 b) 27/91 c) 37/43
d) 17/43 e) 30/17
Resolución
De los 15 relojes se deben escoger 3,
el número de formas de escoger
será:
15
3
15 14 13
C 455 formas
1 2 3
 
 
 
Pero de estas formas encontremos
aquellos en que haya 2 defectuosos.
El total de formas será:
6 9
2 1
6 5 9
C C 135
1 2 1

   
   
   

   
Finalmente:
135 27
P
455 91
  
P 
27
91 Rpta.
20.Una caja contiene, 5 bolas
blancas, 3 bolas celestes, 2
amarillas; se extrae aleatoriamente
una bola. Determine la probabilidad
de que sea blanca o amarilla.
a) 1,2 b) 0,9 c)
1,1
d) 0,7 e) 1,0
Resolución
Señalamos como B, C y A los eventos
de extraer una bola blanca, celeste y
amarilla respectivamente se tendrá.
 
B
Formasde extraer una bola blanca
P
Formasde extraer una bola

   
B
5 Pr obabilidad de que
P 0,5
sea blanca
10
 
Además:
E: extraer una bola blanca o una
amarilla (no ambas)
E B A
 
2 DEFECTUOSOS
SE EJIGE DE 6
UNO NO ES
DEFECTUOSO DE 9
3 relojes
13
40
1625
4998
14
40
25
60
111
117
26
3
C
26 26
3 2
C C

26
2
C

21
Pero solo se puede extraer una bola
blanca o una amarilla (no ambas)
Son mutuamente excluyentes, luego:
       
E B A B A
P P P P

  
Hallando:
 
A
2
P 0,2
10
 
Reemplazando:
 
P C
P 0,5 0, 2 0,7

  
 
Pr obabilidad de que sea blanca o amarilla
Finalmente:
0,5 0,7
  1, 2
Rpta.

21
Tema: Percepción Visual
Consiste en calcular e interpretar las distintas
relaciones que pueden presentarse entre figuras
tridimensionales. Tales como volúmenes,
sólidos, cubos y poliedros.
Dentro de este grupo de ejercicios se consideran
principalmente los conteos de superficies y los
conteos de cubos.
CUBOS QUE SE TOCAN
A continuación presentamos una serie de
figuras, donde cada una tiene una sucesión de
cubos exactamente del mismo tamaño, estando
cada cubo en contacto con otros, dicho contacto
es entre Áreas, ósea caras de los cubos veamos
algunos ejemplos:
Ejemplo 1
En la figura se tiene un sucesión de cubos.
¿Cuántas áreas del cubo 4 están en contacto
con los demás cubos?
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6
Resolución:
Como se observará el cubo 4 está debajo del
cubo 2, además tiene dos caras que no están en
contacto con los cubos 6 y 1; como todo cubo
tiene 6 caras, entonces el cubo 4 tiene cuatro
caras que están en contacto con cubos 2, 3, 5 y
7.

4 áreas son las que estan
en contacto con el cubo 4 Rpta. : B
Ejemplo 2
¿Cuántas área del cubo 5, están en contacto
con los demás cubos?
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6
Resolución:
Como se observará el cubo 5 está debajo del cubo 1,
además tiene tres caras que están en contacto con los
cubos 4, 1 y 6

3 áreas son las que están
Ejemplo 3
¿Cuántas áreas del cubo 7, están en contacto con los
demás cubos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
Resolución:
Como se observará el cubo 7 tiene dos de las caras
que están en contacto con los cubos6 y 4.

2 áreas son las que están
CONTEO DE CARAS
Y SUPERFICIES
Instrucciones.- Indique usted el número de
superficies que posee el objeto dibujado a
continuación:
Ejemplo: El objeto que aparece a la derecha tiene 1
superficie superior, 2 inferiores, 4 exteriores y 3
interiores, o sea 10 en total.
2 Superficies Exteriores
1 Superficie Inferior
3 Superficies Inferiores
1 Superficie Inferior
1 Superficie Superior
2 Superficies
Exteriores

22
1. En el sólido mostrado, las cuatro
caras laterales son idénticas.
¿Cuántas superficies planas es
posible contar?
a) 53
b) 54
c) 55
d) 56
e) 57
Resolución
¡Observe!
9(4) 3(4) 4 2
    54 Rpta.
2. En el gráfico se muestra un cubo
hueco por sus seis caras, hallar la
relación:
Nº caras no visibles
Nº caras visibles
a)
2
3
b)
1
3
c)
1
2
d)
4
5
e) 1
Resolución
¡Observe! la figura es simétrica, por lo
tanto:
Total superficies 6(5) 30
 
No visibles 3(3) 2(3)
 
No visibles 15

Visibles Total No visibles
Visibles 30 15
 
 
Visibles 15

Luego:
Nº caras no visibles 15
Nº caras visibles 15
  1 Rpta.
3. ¿Cuántos cubos se pueden contar en el
sólido?
a) 44
b) 45
c) 42
d) 41
e) 47
9
3
4
Bases 2

5 superficies
(x cara)
2 no visibles
(Atrás)
3 no visibles

23
Resolución
6to piso 1 cubo
5to piso 1+2=3 cubos
4to piso 3+3=6 cubos
3er piso 6+ 5= 11 cubos
2do piso 11+1 =12 cubos
1er piso 12+0=12 cubos
Por simple inspección: 45 Rpta.
4. Hallar el número total de
superficies planas que se pueden
contar en el sólido:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Resolución
5.La arista de cada cubito es 2 cm.
¿Cuántos cubos le debemos adherir al
sólido para obtener otro sólido de
400
3
cm de volumen?
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
Resolución
Total cubitos en la figura: 29
Volumen de cada cubito: 3
V 8 cm

Sea “n” el número de cubitos faltantes:
(n 29)8 400
 
n 29 50
   n 21
 Rpta.
6.Determinar el número de superficies
planas que pueden contarse en el sólido
siguiente:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
Resolución
7. Determinar el número de cubos que hay
en la siguiente figura:
a) 35
b) 36
c) 37
d) 38
e) 39
Resolución

24
8. En la figura, la arista de cada cubito
es 3
2 cm, hallar el volumen del sólido.
a)
3
40 cm
b)
3
36 cm
c)
3
30 cm
d)
3
24 cm
e)
3
20 cm
Resolución
El número total de cubos es: 12
El volumen de cada cubo es:
3
(arista)
Luego:
3
3
V 12( 2)

3
V 24 cm
 Rpta.
9. ¿Cuántos cubitos tienen 3 caras en
contacto con los demás?
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
Resolución
10. En la figura, determinar el
número de cubos que conforman el
sólido.
a) 52
b) 53
c) 54
d) 55
e) 56
Resolución
Por simple inspección:
2 2 2 2 2
Nº 1 4 9 16 25
Nº 1 2 3 4 5
5(5 1)(11)
Nº
6
    
    


Nº 55
 Rpta.
11. En el sólido, determinar la cantidad de
superficies planas
a) 26
b) 28
c) 30
d) 32
e) 34
Resolución
30 Rpta.
12. Hallar la cantidad de superficies en el
sólido siguiente:

25
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
Resolución
13. En la figura determinar el número
de superficies planas que es posible
contar, en el sólido:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Resolución
22 superficies planas Rpta.
14. Las caras del siguiente sólido son
simétricas. ¿Cuántas superficies
planas se pueden contar?
a) 40
b) 42
c) 44
d) 46
e) 48
Resolución
46 Rpta.
15. La arista de cada cubito es 2 cm.
Hallar el volumen que hace falta para
completar un cubo macizo de 1000
3
cm .
a)
3
120 cm
b)
3
160 cm
c)
3
100 cm
d)
3
180 cm
e)
3
80 cm
Resolución
Por conteo directo: 20 cubos
Volumen faltante:
20x8  3
160 cm Rpta.
16. ¿Cuántas superficies se pueden contar
en el siguiente sólido?
a)17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
Laterales:
4x9 36

Horizontales:
2 4(2) 10
 

26
Resolución
Nº figuras planas: 19 Rpta.
17. Determinar el número cubitos que
no son visibles a simple vista en el
siguiente sólido:
a) 9
b) 12
c) 10
d) 11
e) 8
Resolución
Nº de cubitos no visibles = 12
Rpta.
18. En el sólido de la figura
determinar la cantidad total de cubos
que es posible contar (Debe
considerar también las agrupaciones
de cubitos pequeños).
a) 81
b) 100
c) 121
d) 125
e) 144
Resolución
Observe!!
De 1 cubito: 64
De 8 cubitos: 27
De 27 cubitos: 8
De 64 cubitos: 1
Total: 100 Rpta.
19. La arista de cada cubito es 2 cm.
Hallar la cantidad de cubitos que hacen
falta para completar un cubo macizo de
1000 3
cm .
a) 25
b) 20
c) 23
d) 24
e) 22
Resolución
Por conteo directo: 20 cubos Rpta.
20. Las caras laterales del sólido
mostrado son idénticas. ¿Cuántos cubos
es posible contar?
a) 65
b) 64
c) 63
d) 62
e) 61
Resolución
63 cubos. Rpta.

27
21. ¿Cuántas superficies planas se
pueden contar en el siguiente sólido?
a) 18
b) 17
c) 16
d) 15
e) 14
Resolución
16 caras.Rpta.
22. En el sólido mostrado hallar:
a) 2
b) 1
c) 2
3
d) 4
3
e) 4
5
Resolución
Por conteo directo:
Total de caras: T 32

No visibles: N 16

Caras Visibles:
V Total de caras No visibles
 
V 32 16
 
V 16

Finalmente:
16
E
16
  E 1
 Rpta.
23. La estructura mostrada ha sido
construida con bloques cúbicos de yeso.
¿Cuántos bloques cúbicos se han
utilizado en la construcción de la
escultura?
a) 37 b) 36 c) 35
d) 38 e) 39
Resolución
Por simple
inspección,
el número de
bloques utilizados
en la construcción de la estructura es:
37 Rpta.
24. ¿Cuántos cubitos faltan como
mínimo para formar un cubo sólido y
compacto?
a) 19
b) 15
c) 18
d) 16
e) 20
Resolución
visibles
caras no visibles
caras
E 

28
Por simple inspección se
pueden contar 7 cubitos
presentes pero necesitamos
formar un cubo de
3 3 3 27
   cubitos (el
mínimo cubo y el más
cercano en tamaño a la
figura dada), por lo que
faltarán:
27 7
  20 cubitos Rpta.
25. Determinar el total de superficies
que pueden contarse en el sólido.
a) 25
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
Resolución
Por simple
inspección:
el número de
superficies
es 27 Rpta.
26. ¿Cuántos cubitos hay en la figura?
a) 50
b) 51
c) 52
d) 53
e) 54
Resolución
Por simple inspección: 52 cubitos Rpta.
27. Si la arista de cada cubito es 2 cm.
¿Cuál es el volumen del sólido?
a) 154 3
cm
b) 164 3
cm
c) 178 3
cm
d) 184 3
cm
e) 186 3
cm
Resolución
El número de cubos
por simple inspección
es: 23
Luego:
3
V 23(2)
 
3
V 184 cm
 Rpta.
28. En el sólido mostrado, determinar
el número total de superficies planas.
a)23
b)24
c)25
d)26
e)27
Resolución
25 Rpta.
29. ¿Cuántas caras están en contacto
con el cubo 5?

29
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 7
Resolución
Si observamos el sólido, podemos notar
que todas las caras del cubo “5” están
en contacto excepto la que lleva el
número.
Por lo tanto: 5 Rpta.
30. En la figura determinar el número
total de cubos que es posible contar.
a) 31
b) 30
c) 29
d) 28
e) 27
Resolución
29 cubos.Rpta.
31. Hallar el número de superficies que
es posible contar en el siguiente sólido.
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
Resolución
24 superficies.
32.¿Cuántos cubos hay en la siguiente
figura?
a) 27
b) 36
c) 40
d) 42
e) 29
Resolución
Por simple
inspección:
40 Rpta.
33. Determinar el número total de
cubitos en la siguiente figura
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
Resolución
El total de cubitos es:
28 Rpta.
5

30
34. En la siguiente figura, el número
de cubos es:
a) 19
b) 18
c) 20
d) 21
e) 22
Resolución
Por simple inspección: 20 cubitos
Rpta.
35. Determinar el número total de
superficies en el siguiente sólido:
a) 20
b) 21
c) 18
d) 17
e) 19
Resolución
Por simple inspección.
Nº de superficies:
A simple vista=10
No se ven = 9
 19 Rpta.

30
Tema: Cuatro Operaciones
Métodos Prácticos
Son algunos procedimientos matemáticos que
nos permiten llegar a obtener resultados de
manera directa y muchas veces por simple
inspección.
Entre los métodos prácticos más usuales
tenemos:
 Método del Retroalgoritmo o del Cangrejo
 Método del Rombo.
 Método de la diferencia total y unitaria o
del Rectángulo
 Método de las equivalencias o de la Regla
Conjunta
Método del Cangrejo
1. Con un número se realizan las
siguientes operaciones consecutivas:
se le suma 3; el resultado se eleva al
cuadrado, luego se le resta 4 y
después se le divide entre 15 y se le
multiplica por 9 para finalmente
extraerle la raíz cuadrada,
obteniendo como resultado final 6.
Hallar el número original
a) 12 b) 4 c) 8
d) 9 e) 5
Resolución
Sea “N” el número buscado,
utilizando
el método del Cangrejo o
Retro–algoritmo se tiene que:
2
N : 3 ; ( ) ; -4 ; 15 ; 9 ; ; = 6
  
Realizando las operaciones
inversas
2
N : 3 ; ; + 4 ; 15 ; 9 ; (6)
  
 
2
N (6 ) 9 15 + 4 3
 
   
 
N 5
 Rpta
2.En un grifo se vende combustible de
92 octanos, cada día se vende las dos
terceras partes más 150 galones. Si al
cabo de 3 días se vendió todo el
combustible. ¿Cuántos galones se tenía
inicialmente en stock?
a) 6850 b) 5850 c) 4850
d) 7850 e) 5580
Resolución
1º 2º 3º
Vende: 2
150
3

2
150
3

2
150
3

Queda:
1
150
3

1
150
3

1
150 0
3
 
x3 150
 x3 150
 x3 150 0
 
Inicial
tenía 5850 1800 450
3.Una señora fue al mercado de
compras, de la siguiente manera, en
verduras gastó la mitad de su dinero;
en frutas la tercera parte del resto y S/.
50 en otras compras. Si aún le quedó
S/. 10. ¿Con cuánto fue al mercado?
a) 170 b) 150 c)
160
d) 180 e) 120
Resolución

31
Luego, tenía: 180 Rpta.
4. Anita fue de compras al mercado
para luego gastar de la siguiente
manera: con la mitad de su dinero
compró víveres; con la tercera parte
del resto compró frutas y finalmente
compró sus cosméticos, gastando S/.
60. Si aún le quedó S/. 20, ¿Cuánto
gastó en total?
a) S/. 240 b) S/. 260 c) S/. 180
d) S/. 220 e) S/. 200
Resolución
Por el método del cangrejo:
Viveres Fruta Cosmet.
1 1
Gastó: S/. 60
2 3
1 2
Quedó: 60 20
2 3
   
3
x2 x 60 20
2
240 120 80
 
Gastó: = 240 – 20
Gastó 220
 Rpta.
5. Una persona tiene bastante fe en
San Judas Tadeo; pues cada vez que
reza le triplica su dinero con la
condición de que deje S/. 40 de
limosna. Si después de rezarle a San
Judas Tadeo tres veces consecutivas
dicha persona tiene S/. 560. ¿Cuánto
tenía inicialmente?
a) S/. 35b) S/. 45 c) S/. 40
d) S/. 50 e) S/. 60
Resolución
1er. rezo
x3 40
 
2d o. re zo
x 3 4 0
 
3 e r. re zo
x 3 4 0 5 6 0
 
3 40
   3 4 0
   3 4 0 5 6 0
  
80 200
S/. 40 Rpta.
6.Un alumno gasta su propina sema nal
de la siguiente manera: el lunes la
mitad de su dinero más S/. 4; el martes
la tercera parte del resto más S/. 6 y el
miércoles los 2/3 del nuevo resto más
S/. 2. Si aún le queda S/. 4 para el día
jueves. ¿Cuánto gastó en total?
a) S/. 80 b) S/. 70 c) S/. 66
d) S/. 76 e) S/. 74
Resolución
Gasta:
Lunes
1
4
2






Martes
1
6
3

Miércoles
2
2
3

Queda:
1
4
2
  2
6
3
 
1
2 4
3
 
x2 4

3
x 6
2
 x3 2 4
 
80 36 18
Gastó: 80 4
  76 Rpta.
180 90 60
Inicialmente:
Verduras Frutas Otros
1 1
50
Gasta:
2 3
1 2
Queda: 50 10
2 3
3
x2 x 50 10
2
   
 
Inic.
tenía

32
7. Habiendo perdido un jugador la
mitad de su dinero; volvió al juego y
perdió la mitad de lo que le quedaba,
repitió lo mismo por tercera y cuarta
vez, hasta que sólo le quedó S/. 8.
¿Cuánto dinero perdió?
a) 80 b) 150 c) 64
d) 120 e) 128
Resolución
Pierde:
1º
1
2
2º
1
2
3º
1
2
4º Juego
1
2
Quedó:
1
2

1
2

1
2

1
8
2

x2 x2 x2
x 2 8

128 64 32 16
Perdió: 128 8
  S/. 120 Rpta.
8.Karina fue al mercado a hacer
compras; gastó en víveres S/. 80; con
la mitad del resto compró menestras;
con el nuevo resto compró verduras
gastando S/. 60; quedándose
únicamente con S/. 15. ¿Cuánto gastó
en total?
a) S/. 230 b) S/. 210 c) S/. 200
d) S/. 215 e) S/. 220
Resolución
Por cangrejo:
Viveres Menestras Verduras
1
Gastó: S/. 80 S/. 60
2
1
Quedó: 80 60 15
2
     
+80 x2 +60 = 15
230
Luego, gastó: 230 15
  215 Rpta.
9. Pepe Lucho escribe cada día las
3/4 partes de las hojas en blanco de
un cuaderno, más 5 hojas. Si al cabo
de 3 días escribió todas las hojas.
¿Cuántas hojas tenía el cuaderno al
principio?
a) 256 b) 400 c) 420
d) 320 e) 360
Resolución
Escribe: Queda: Op. Inversas
3/4
1er.
+ 5



1/4
5




4 420
5 105
 



 



3/4
2do.
+ 5



1/4
5




4 100
5 25
 



 



3/4
3er.
+ 5



1/4
5




4 20
5 5
 



 



Quedó: 0
420 Rpta.
10. Cada día Henry gasta la mitad de su
dinero y S/. 10 más. Si luego de 3 días
ya no le queda dinero, ¿cuánto dinero
tenía al inicio?
a) 80 soles b) 120 soles c) 300 soles
d) 150 soles e) 140 soles
Resolución
Inicialmente
tiene
75
150
Al inicio
tenía:

33
Aplicando el método del cangrejo:
1er día 2do día 3er día
1 1 1
Gasta 10 10 10
2 2 2
1 1 1
Queda 10 10 10 0
2 2 2
  
   
Op. Inv 2 10 2 10 2 10 0
      
140 70 60 30 20 10
140 soles Rpta
11.Tres personas “A”, “B” y “C”,
acuerdan que en cada partida de naipes
el perdedor duplicara el dinero de los
otros dos. Cada uno pierde una partida
en el orden de sus nombres, si después
de perder “C”, cada uno se quedó con
S/. 16. ¿Con cuánto dinero empezó “A”?
a) 26 soles b) 18 soles c) 20 soles
d) 32 soles e) 14
Resolución
A B C
Suma
total
Pierde
A
26
14 8
48
Pierde
B
4
28 16 48
Pierde
C
8
8
32 48
Al Final 16 16 16 48
“A” al inicio tienen: 26 soles Rpta.
12. Liliana, cada día gasta la mitad de
lo que tiene más S/. 20; si gastó todo
en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo
día?
a) S/. 100 b) S/. 110 c)
S/. 160
d) S/. 130 e) S/. 140
Resolución
Gasto
1 1 1 1
20 20 20 20
2 2 2 2
       
Queda:
1 1 1 1
20 20 20 20 0
2 2 2 2
    
Invertir: 2 20 2 20 2 20 2 20
       
El segundo día gastó.
1
(180) 20
2
  S/. 160 Rpta.
Método del Rombo
1. Por cada día que el alumno supo
sus lecciones, el profesor le dio 5
vales, y cada día que no las supo tuvo
el alumno que regresarle 3 vales. Al
cabo de 18 días, el alumno recibió 34
vales. ¿Cuántos días el alumno no
supo la lección?
a) 11 días b) 18 días c) 6 días
d) 7 días e) 9 días
Resolución
3 vales

34 vales
18 d



NO SUPO
2

2
 2

2

2

2

600 280 120 40
5vales
SUPO

34
No supo: =
7 días Rpta.
2. Martín trabaja en una compañía, en
la cual por día de trabajo le pagan S/.
300 y por cada inasistencia a sus
labores le descuentan S/. 100 de su
sueldo. ¿Cuántos días habrá trabajado,
si al final de 40 días, él adeuda a la
empresa la suma de 2 000 soles?
a) 5 b) 25 c) 35
d) 30 e) 15
Resolución
Método del Rombo:
40 300 ( 2000)
300 ( 100)
  

 
140 00

4 00
35 Falta

 Trabajó: 40 35
  5 Rpta.
3. Se han comprado 24 muebles entre
sillas y mesas. Cada mesa costó 40
soles y cada silla 10 soles, pagando en
total 690 soles. ¿Cuántas sillas se
compraron?
a) 12 b) 13 c) 9
d) 15 e) 20
Resolución
Utilizando el método del rombo
_
24(40) 690
Nº de sillas =
40 10

Nº de sillas = 9 Rpta.
4. Un empleado fue contratado por 2
meses de 30 días; con la condición de
que por cada día que trabaje se le
abone S/. 40 y por cada día que no
trabaje debe devolver S/. 10. Si al
final recibió S/. 500. ¿Cuántos días
no trabajó?
a) 38 b) 36 c) 32
d) 24 e) 26
Resolución
Nº días no trab =
60(40) 500
40 ( 10)

 
Nº días no trab =
1900
50
Nº días no trab = 38 Rpta.
18 5 34 56
5 ( 3) 8
 

 
 
40 d S/. 2000

S/. 100

Días de trabajo

S/. 300
Días de falta
Nº total de días
24
Sillas :10
Mesas : 40

690



Trab: 40
No trab: 10

S/. 500
60 dias


x

35
5. Un hojalatero desea dividir en 50
trozos un rollo de alambre de 3 m;
unas de 10 cm y los otros de 5 cm;
¿cuántos trozos de 10 cm obtendrá?
a) 20 b) 30 c) 40
d) 35 e) 10
Resolución
300 50(5)
Nº trozos de 10 cm
10 5



50
5

Luego:
Nº trozos de 10 cm 10
 Rpta.
6. Un cazador al llegar de la selva
comentó; “entre monos y papagayos
que he cazado hay 144 ojos y 228
patas”. ¿Cuál es la diferencia entre
ambas clases de animales?
a) 10 b) 14 c) 12
d) 16 e) 8
Resolución
72(4) 228
Nº papagayos
4 2



Nº papagayos 30

Nº monos 72 30 42
  
La diferencia es 12 Rpta.
7. En un campeonato de tiro, un aspirante
gana 2 puntos por cada disparo
acertado y pierde medio punto por cada
desacierto. Si al hacer 120 disparos
obtuvo 130 puntos, el número de tiros
acertados fue:
a) 76 b) 78 c) 72
d) 128 e) 123
Resolución
1
120( ) 130
190
2
Nº de aciertos
1 5
2
2 2
 

 
  
Nº de aciertos  76 Rpta.
8. En una granja se tiene una cierta
cantidad de gallinas y conejos. En
total suman 48 cabezas y 120 patas.
¿Cuántos son los conejos?
a) 20 b) 15 c) 12
d) 18 e) 6
Resolución
1
t : 10 cm
2
t : 5 cm
3 m 300 cm

Nº pedazos: 50

x

Papagayos : 2
Monos : 4
228
144 ojos 72
animales
 
x 
x 

acierto (2)
130 puntos
120
preguntas
1
desacierto ( )
2


36
12 Rpta.
9. En un teatro las entradas de los
adultos costaban S/. 3 y de los niños
S/. 1 concurrieron 752 espectadores y
se recaudaron S/.1824 ¿Cuántos eran
adultos?
a) 526 b) 536 c)
636
d) 626 e) 436
Resolución
752(3) 1824
Nº niños
3 1



Nº niños 216

Luego:
Nº adultos 752 216
 
Nº adultos 536
 Rpta.
10. Se contrató una secretaria por 63
días, con la condición de que le
abonarían S/. 8 por cada día que
trabajase y ella entregaría S/. 10 por
cada día que no trabajase. Se desea
saber los días que trabajó, si ella tuvo
que entregar S/. 18.
a) 32 b) 36 c) 28
d) 34 e) 30
Resolución
Nº días que trabajó
63( 10) 18
10 8
 

 
612
18



 34 días Rpta.
11. Un coleccionista de insectos tenía 8
animales entre arañas y escarabajos y
observando contó 54 patitas. ¿Cuántas
arañas y escarabajos respectivamente
tenía?
a) 7 y 1 b) 6 y 2 c) 8 y 0
d) 4 y 4 e) 3 y 5
Resolución
Nº de conejos:
48(2) 120 24
2 4 2
 

 
Nº de conejos
CONEJOS
(4 patas)
(2 patas)
GALLINAS


48
cabezas
120

752 S/. 1824
S/. 1
Niños



Adultos
S/. 3
Espectadores Recaudación

 
Si trabaja
8 soles
10 soles
Si no trabaja

18 soles

63 días
8
animales
 
arañas 8
 
escarabajos 6
54
patitas
 


37
 
8 8 54
Nº de escarabajos=
8 6
 

10
Nº de escarabajos= 5
2

Nº de arañas= 8 5 3
 
 Respectivamente arañas y
escarabajos:
3 y 5 Rpta.
12. En una granja de 30 animales,
entre gallinas y conejos. Si se contó
74 patas en total. ¿Cuántas más son
las gallinas respecto al número de
conejos?
a) 7 b) 13 c) 16
d) 17 e) 12
Resolución
Por el método del Rombo:
N° de conejos:
30 2 74 14
7
2 4 2
  
 
 
N° de gallinas: 30 7 23
 
Nos piden la diferencia:
23 7
  16 Rpta.
13. Trinidad juega el “Tiro al Blanco”,
con la condición de que por cada tiro
que acierte recibirá S/. 5 y pagará S/
2. por cada uno de los que falle.
Después de 18 tiros ha recibido S/.55.
¿Cuántos tiros acertó?
a) 5 b) 13 c) 16
d) 17 e) 12
Resolución
Por el método del Rombo:
N° de tiros que acertó:
18 ( 2) 55
2 5
  
 
13 Rpta.
14. En un teatro las entradas de los
adultos costaban S/. 3 y de los niños S/.
1 concurrieron 752 espectadores y se
recaudaron S/.1824. ¿Cuántos eran
adultos?
a) 526 b) 536 c)
636
d) 626 e) 436
Resolución
30
animales
 
gallinas 2
 
conejos 4
74
patas
 

18
Tiros
Desaciertos
2 soles

5 soles
Acertó
55
soles
 

Adultos
S/. 3
S/. 1
Niños
1824
752
 


38
752 3 1824
Nº niños
3 1
 


432
216
2
 
Adultos: 752 216
  536 Rpta.
Método del Rectángulo
1. Jesús decía: “Si a los discípulos que
tengo les doy tantos pescados como
discípulos tengo me sobraría 11
pescados; pero si les doy 3 pescados
más a cada uno entonces me faltarían
7 pescados”. ¿Cuántos pescados y
discípulos tiene Jesús?. Dar como
respuesta la suma.
a) 12 b) 53 c) 51
d) 13 e) 49
Resolución
2
x
2
3x x
  18
 ;
x 6

Nº disc 6
Nº pesc 6(6) 11 47



  

Discípulos + pescados = 53 Rpta.
2. Tengo que determinar la cantidad
de caramelos que voy a repartir entre
mis hermanos. Si les doy 7 a cada
uno me sobra 6 caramelos; pero si les
doy a 9 a cada uno al último solo
podría darle 5 caramelos. ¿Cuántos
caramelos tengo?
a) 40 b) 39 c) 5
d) 6 e) 41
Resolución
H 5

o
N caramelos 7(5) 6
  
Nº caramelos  41 Rpta.
3. Unos alumnos hacen una colecta para
adquirir una pelota para su equipo de
básquet. Si cada uno colaborase con 3
soles, les faltaría 20 soles, entonces
ellos deciden aumentar la colaboración
a 3,50 soles y ahora les alcanza y sobra
5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?
a) S/. 150 b) S/. 180 c) S/. 125
d) S/. 170 e) S/. 120
Resolución
20 5 25
Nº de alumnos 50
3,5 3 0,5

  

costo (50x3) 20
   S/. 170 Rpta.
4. Un matrimonio dispone de una suma
de dinero para ir al teatro con sus hijos.
Si compra entradas de S/. 7 le faltaría
S/. 17 y si adquiere entradas de S/. 4 le
sobraría S/. 10. ¿Cuántos hijos tiene el
matrimonio?
Nº
pesc.
x
11 sobra
7 falta
(x 3)x

 
Nº
disc.
x
7H 6 sobra
9H 4 falta
2H 10

 
S/. 3
S/. 3,5
Falta: S/. 20
Sobra: S/. 5
 
Nº de alumnos

39
a) 3 b) 4 c) 8
d) 9 e) 7
Resolución
Sea: “I” el número de integrantes
de la familia.
3I 27
  I 9

Nº de hijos 9 2 Padres
  
Nº de hijos  7 Rpta.
5. Pepe Lucho quiere repartir cierto
número de caramelos entre sus
hermanos. Si les da 9 caramelos a
cada uno, le sobran 20 y si les da 12
caramelos a cada uno, entonces al
más pequeño sólo le tocaría 8.
¿Cuántos hermanos son?
a) 8 b) 7 c) 9
d) 10 e) 6
Resolución
Sea “h” el número de hermanos:
3h 24

h 8

Pepe tiene: 8 hermanos
 son: 9 hermanos Rpta.
6. Un señor quiso dar limosna a un
grupo de ancianos, si les daba 5 soles
a cada uno, le faltaría 30 soles, si les
daba 3 soles a cada uno, le sobraría
70 soles, ¿Con cuánto de dinero
contaba esa persona?
a) S/. 200 b) S/. 220 c)
S/. 250
d) S/. 280 e) S/. 310
Resolución
Sea: “A” número de ancianos
2A 100

A 50

Dinero: 5A 30 5(50) 30
  
S/. 220 Rpta.
7. El profesor de R.M. quiere rifar un
reloj de cierto precio, emitiendo por
esto un cierto número de boletos, si
vende en 2 soles cada boleto perderá 30
soles y vendiendo el boleto en 3 soles
ganará 70 soles. ¿Cuántos son los
boletos y cuál es el precio del reloj
(respectivamente)?
a) 230 – 100 b) 100 – 230
c) 90 – 210 d) 210 – 90
e) 100 – 240
Resolución
Sea: “B” número de boletos:
B 100

S/. 7
S/. 4

S/. 17
S/. 10

Falta
Sobra
9 h
12 h
20 sobra
4 falta


30 Falta
( )
70 Sobra

5 A
( )
3A

30 Pierde
(+ )
70 Gana
2B
( )
3B


40
48 12 60
24 20 4

 

Como: 2B R 30
 
2(100) R 30
   R 230

100 y 230 Rpta.
8. Un maestro y su ayudante trabajan
juntos. El primero gana 25 soles por día
más que el segundo. Si después de
trabajar cada uno el mismo número de
días, el primero recibe 1050 soles y el
segundo, 875 soles. ¿Cuál es el jornal
del ayudante?
a) S/. 150 b) S/. 115 c) S/. 152
d) S/. 125 e) S/. 130
Resolución
La diferencia total es de:
1050 875 175
 
Nº de días que trabajan:
175 25 7
 
El jornal del ayudante es:
875 7
  125 Rpta.
9. Si comprase 12 relojes me faltaría
360 soles y si comprase 8 relojes me
sobraría 40 soles. ¿Cuánto dinero
tengo?
a) 880 soles b) 900 soles
c) 820 soles d) 860 soles
e) 840 soles
Resolución
Precio de cada reloj
360 40
12 8



=
400
S /.100
4

Nos piden la cantidad de dinero que
tengo:
 12(100) 360
  840 soles Rpta.
10. Al comprar 20 naranjas me
sobran 48 soles, pero al adquirir 24
naranjas me faltarían 12 soles.
¿Cuánto cuesta cada naranja?
a) S/. 15 b) S/. 30 c) S/. 12
d) S/. 3 e) S/. 1, 50
Resolución
Por el método del rectángulo
Precio de cada naranja
Precio de cada naranja S/. 15 Rpta.
11. Con el dinero que tengo puedo
comprar 6 periódicos y me sobran S/.
5 pero si quisiera comprar 13
periódicos me faltaría S/. 30.
¿Cuánto vale cada periódico?
a) S/. 15 b) S/. 10 c) S/. 5
d) S/. 35 e) S/. 25
Resolución
7P 35

P S/. 5
 Rpta.
12. Se tiene cierta cantidad de jabones.
Si se venden a 2 soles cada uno se
8
12

S/. 40 (sobra)
S/. 360 (falta)

Precio de
cada reloj
20
24
sobra : S/. 48
falta : S/. 12
 
precio de cada
naranja
6P
13P

5 (sobra)
30 (falta)


41
obtiene 50 soles de ganancia, y si se
venden a 4 soles cada uno se obtiene
150 soles de ganancia. ¿Cuál es la
cantidad de jabones?
a) 120 b) 50 c) 100
d) 60 e) 70
Resolución
Sea “J” el número de jabones:

2J 100

J 50 Rpta.
Método de Equivalencias
1. En un mercado por 3 kg de arroz dan 5
kg de azúcar, de la misma manera por 8
kg de azúcar dan 4 kg de frijoles, por 10
kg de frijoles dan 2 kg de carne de res.
¿Cuántos kg de carne nos dará por 30
kg de arroz?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12
Resolución
x kg de carne  
30 kg de
arroz
3 kg de arroz  
5 kg de
azúcar
8 kg de azúcar  
4 kg de frijoles
10 kg de frijoles  
2 kg de
carne
x ( 3 ) (8 ) (1 0 ) 3 0 (5 ) ( 4 ) ( 2 )

x 5
 Rpta.
2. En una feria agropecuaria por 3
patos dan 2 pollos, por 4 pollos dan 3
gallinas, por 12 gallinas dan 8 monos
y 5 monos cuestan S/. 150. ¿Cuánto
tengo que gastar para adquirir 5
patos?
a) 60 b) 50 c) 20
d) 72 e) 10
Resolución
Analicemos:
3 patos <> 2 pollos
4 pollos <> 3 gallinas
12 gallinas <> 8 monos
5 monos <> 150 soles
“x” soles <> 5 patos
3(4)(12)(5)x 2(3)(8)(150)(5)

x 50
 Rpta.
3. Que suma necesitaría un gobierno
para pagar a 4 coroneles, si el sueldo
de 4 coroneles equivale al de 10
comandantes, y el de 5 comandantes
al de 12 tenientes; el de 6 tenientes
al de 9 sargentos, conociendo que 4
sargentos ganan S/. 2 400 al mes.
a) S/. 21 600 b) S/. 6 400
c) S/. 8 200 d) S/. 5 400
e) S/. 4 800
Resolución
S /. x 4 coroneles
4 coroneles 10 comandantes
5 comandantes 12 tenientes
6 tenientes 9 sargentos
4 sargentos S/. 2 400
 
 
 
 
 
4

x 5
 6
 4
 4
 10
 12
 9 2400
 

x S/. 21 600 Rpta.

2J
( )
4 J
50 (gana)
( )
150 (gana)


42
4. Con tres desarmadores se obtiene
un alicate, con tres alicates un
martillo. ¿Cuántos martillos se
obtendrán con 117 desarmadores?
a) 13 b) 12 c) 7
d) 8 e) 10
Resolución:
Aplicando la conjunta, se tendrá:
“x” martillos < > 117 desarmadores
3 desarmadores < > 1 alicate
3 alicates < > 1 martillo
(x) (3) (3) = 117(1) (1)
9x = 117
x = 13 Rpta.
Con 117 desarmadores se obtendrán 13
martillos.
5. Que 4 libros de RV cuestan lo mismo
que 9 libros de RM; 6 libros de
Trigonometría equivalen a 7 de RM,
además 3 libros de Trigonometría
cuestan 21 nuevos soles. ¿Con cuántos
nuevos soles se podrá comprar 2 libros
de RV?
a) 19 b) 18 c) 27
d) 20 e) 30
Resolución
Del enunciado, agrupándolas en
equivalencias
Despejando la variable “x”:
9 6 21 2
4 7 3
  

 
x
 27

x
Dos libros de RV se podrán comprar
con: 27 nuevos soles Rpta.
6. En una feria local, 4 caballos
cuestan lo mismo que 8 ovinos, 3
toros cuestan lo mismo que 6
chanchos y un toro cuesta lo mismo
que 3 ovinos. ¿Cuántos chanchos
cuestan lo mismo que 3 caballos?
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
Resolución:
equivalencias
4 Caballos 8 Ovinos

3 Toros 6 Chanchos

3 Ovinos 1 Toro

Chanchos
x 3 Cababallos

4 3 3 8 6 1 3
      
x
Despejando la variable “x”
8 6 1 3
4 3 3
  

 
x
 4

x
3 caballos cuestan lo mismo que:
4 Chanchos Rpta.
7. En una feria se puede canjear 5
teclados por 11 mouses, 2 monitores
4 libros de RV 9 libros de RM

7 libros de RM 6 libros de Trigon.

3 libros de Trigon. 21 nuevos soles

nuevos soles
x 2 libros de RV

4 7 3 9 6 21 2
      
x

43
por 45 teclados, 3 monitores por una
impresora, entonces ¿cuántos mouses
se pueden canjear por 2 impresoras?
a) 315 b) 297 c) 300
d) 270 e) 225
Resolución:
equivalencias
Despejando la variable “x”:
11 45 3 2
5 2 1
  

 
x
 297

x
Por 2 impresoras se pueden canjear:
297 mouses Rpta.
8. En la feria agropecuaria de
Vilcabamba hacen el trueque de la
siguiente manera: por 3 kg de maíz dan
5 kg de papa, por 4 kg de oca dan 6 kg
de papa. ¿Cuántos kg de maíz darán por
10 kg de oca?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
Resolución:
Agrupándolas en equivalencias
6 kg de papa 4 kg de oca
3 kg de maíz 5 kg de papa
10 kg de oca kg de maíz
3 6 10 5 4



    
x
x
Despejando la variable “x”
3 6 10
5 4
 


x
 9

x
Por 10 kg de oca nos dan:
9 kg Rpta.
5 teclados 11 mouses

2 monitores 45 teclados

1 impresora 3 monitores

mouses
x 2 impresoras

5 2 1 11 45 3 2
      
x

43
Tema: Planteo de Ecuaciones
Alguien mencionó alguna vez que las
ecuaciones son el lenguaje escrito de los
problemas numéricos, esto aplicado a
nuestra matemática se puede elegir como.
Si no todos al menos la mayoría de
problemas matemáticos se relacionan
siempre a una ecuación.
Procedimiento para plantear una
ecuación:
1. Leer bien el enunciado del problema.
2. Separar los datos.
3. Fijar la incógnita mediante una variable.
4. Fijar un plan de solución.
5. Resolver la ecuación.
Traducción y Representación
El doble de un número 2x
El cuádruplo de tu edad  4y
La mitad de un número 
n
2
Los
3
5
de tu dinero 
3
a
5
El cuadrado de un número 
2
n
Dos veces tu edad  2x
La inversa de un número 
1
a
El triple del reciproco de b 
1
3
b
Mi edad disminuida en 12 años  x 12

Un número disminuido en 5  n 5

La suma de dos números  a b

El producto de dos números  a.b
n es dos veces x  n 2x

Un número es a 6 
n
6
5 es a n como a es b 
5 a
n b

Los 4
5
de un número es 10 
4
x 10
5

n es tres veces más que x  n x 3x
 
El triple de un número disminuido en 10
 3n 10

Se resta un número a 20  20 n

Se resta de un número 20  n 20

El doble de un número más otro  2n x

El doble de un número restado de otro
 x 2n

El número de peras excede al de
manzanas en 10  P M 10
 
El producto de dos números pares
consecutivos   
x x 2

La suma de tres números
consecutivos    
x x 1 x 2
   
El exceso de n sobre x  n x

Un número excede en 7 a otro numero
 n 7 x
 
Un número es menor en 15 con respecto
al otro  x y 15
 
El cuadrado de la diferencia de dos
números   2
a b

Un número excede a 20  n 20

Mi edad dentro de 10 años  x 10

Mi edad hace 10 años  x 10


44
Ecuaciones
1. La suma de dos números es 74 y su
diferencia dividida entre el menor da
3 de cociente y 4 de residuo. Hallar el
producto de los números:
a)840 b)810 c)920
d)960 e)980
Resolución
Sean los números: A y B
Del dato: A B 74
  … (1)
Además: A B 3B 4
   … (2)
Resolviendo (1) y (2):
A 60
 y B 14

Se pide: A B 60(14)
   840 Rpta.
2. Juan: ¿Qué hora es, Jorge?
Jorge: En este momento las horas
transcurridas son los 3/5 de las que
faltan transcurrir. Es decir que son
las:
a)9 a.m. b)9 p.m. c)4 a.m.
d)4 p.m. e)23:00 h
Resolución
3
x x 24
5
 
8x 120
  x 15

Hora:
3 3
x (15)
5 5
  9 a.m. Rpta.
3. Magaly le dice a Coquito: “Estoy
leyendo un libro de 350 hojas”. Si lo
que ha leído es la tercera parte de lo
que le falta leer. ¿Cuál es la próxima
página que le toca leer?
a) 172 b) 174 c)
175
d) 176 e) 177
Resolución
Como: 350 hojas 700 páginas

Sean:
Nº páginas leídas: x
Nº páginas que falta leer: 3x



Del dato:
 x 3x 700
  x 175

 Le toca leer la página: 176 Rpta.
4. Violeta le dice a su comadre Edith:
“Mi hermanito nació en el año 1997, un
día en el cual la mitad de los días
transcurridos del año equivalían a la
cuarta parte de los que faltaban por
transcurrir”. ¿A qué hora nació el
hermanito de Violeta?
a)4:00 a.m b)4:00p.m.
c)6:00a.m.
d)6:00 p.m. e)2:00 p.m.
Resolución
1 1
x (365 x)
2 4
 
2x 365 x
  
365
x
3

24 h
3
x
5
x
Transcurridas Faltan x 365 x

Transcurridos Faltan transcurrir
Año 1997

45
En Feb Mar Ab
2
x 121 1
3
2
x 31 28 31 30 1
3
 
    
Hora:
2
(24) 16 horas
3
  4:00 p.m. Rpta.
5. Se mezclan dos calidades de maíz:
uno de 6 kg que cuesta 1,50 soles el kilo
y otro de 8 kg que cuesta 2 soles cada
kilo. ¿Cuánto cuestan 7 kg de la mezcla?
a)160 soles b)155 soles c) 125 soles
d)145 soles e)140 soles
Resolución
Peso Precio
Maíz
A
6 15
MaízB 8 20
mezcla
6(15) 8(20)
P
6 8



mezcla
90 160 250 125
P
14 14 7

  
mezcla
125
P
7

7 kilos de la mezcla cuestan:
125
(7)
7
 125 soles Rpta.
6. Al preguntar Delia a Gabriel
cuánto había gastado de los 90
nuevos soles que le dio para comprar
un regalo para ella por el DÍA DE LA
MADRE, él respondió: “Si no me
hubiera comprado una camisa que
costó 35 nuevos soles, tan sólo
hubiera gastado los
2
7
de lo que no
hubiera gastado”. ¿Cuánto gastó
Gabriel?
a) 90 b) 35 c) 20
d) 60 e) 55
Resolución
Lo que habría gastado si no hubiese
comprado la camisa:
G G
 90

2k 7k 90 k=10
  
Habría gastado: G 2k 20
 
Pero como compro la camisa
Ha gastado: 20 35
  55 Rpta.
7. Una persona puede comprar 24
manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas
y 15 naranjas. Si comprara sólo
naranjas, ¿cuál es el máximo número
que podría comprar?
a) 30 b) 35 c) 40
d) 42 e) 50
Resolución
Como el dinero gastado es el mismo
I) 24M 20N 36M 15N
  
5
M N
12

II)Si sólo compra naranjas: 24M 20N

24
2
5
(
12
1
N) 20N

Luego:
10N 20N 30 naranjas
  .
 30 Rpta.
8. Se reparte una cantidad en 3 partes,
tales que cada parte es el doble de del
1º Mayo

46
anterior Si la parte mayor excede a la
menor en tantas unidades como excede
100 a la parte intermedia. ¿Cuál es la
cantidad repartida?
a) 160 b) 140 c)
120
d) 80 e) 60
Resolución
Partes: x, 2x, 4x
Cantidad: C x 2x 4x 7x
   
4x x 100 2x
  
5x 100
  x 20

Finalmente:
C 7(20)
  C 140
 Rpta.
9. Se compra cierto número de sacos de
arroz por 240 soles, si cada saco le
hubiera costado 4 soles menos, habría
podido comprar 3 sacos más con la
misma suma de dinero. ¿Cuántos sacos
se compró?
a) 20 b) 15 c) 12
d) 16 e) 24
Resolución
Sea: “n” el número de sacos de arroz
El precio de cada saco será:
240
n
Entienda que: “En ambos casos se
gasta la misma suma de dinero”
240
240 4 (n 3)
n
 
  
 
 
Linealizando:
240n 4(60 n)(n 3)
  
240 n 4
 (60 n)(n 3)
 
60n 60n

2
180 n 3n
  
2
n 3n 180 0
  
n 15

n 12
  n 12
 Rpta.
10. En una reunión hay 5 varones
más que mujeres, luego llega un
grupo de personas cuyo número es
igual al de los hombres inicialmente
presentes, de tal modo que ahora en
la reunión todos están en parejas
pudiéndose contar 50 varones en
total. Halle el número de mujeres
inicialmente.
a) 20 b) 25 c) 30
d) 32 e) 35
Resolución
Inicialmente:
Mujeres: x
Varones: x 5

Total inicial: 2x 5

Del enunciado, llegan tantas
personas como el número hombres
que hay:
Llegan: x 5

Total final: 2x 5 (x 5) 100
    …
(*)
(Hay 50 varones y 50 mujeres)
Resolviendo (*):
3x 10 100
   x 30
 Rpta.
11. Un estudiante de la academia se
dirige al tercer piso; subiendo de 3 en 3
escalones; para luego bajar de 4 en 4
escalones. Si en total dio 84 pasos
¿Cuántos pasos dio al subir?
a) 36 b) 120 c) 48
d) 112 e) 72
Resolución
Sea
Nº de escalones: “12x”

47
(Utilizamos 12x por comodidad, por ser
divisible por 3 y 4)
Nº pasos subida:
12x
4x
3

Nº pasos bajada:
12x
3x
4

Del dato:
4x 3x
Nº pasos subi+ Nº pasos baja= 84
7x 84 x= 12
 
Nº de pasos subida 4(12)
  48 Rpta.
12. En una feria Jaimito observó que
por cada 2 monos habían 7 gansos. Si
en total observó 72 ojos; ¿Cuántas alas
observó?
a) 24 b) 48 c) 25
d) 50 e) 56
Resolución
Por 2 monos hay 7 gansos
Nº monos 2k

Nº gansos 7k

Del dato tenemos que si tenemos 72
ojos entonces existirán 36 animales.
2k 7k
Nº Monos Nº Gansos 36 animales
 
2k + 7k = 36 k= 4

Nº Gansos : 7(4)= 28

Luego: Nº alas 2(28)
  56 Rpta.
13. Descomponer 420 en dos partes
de tal manera que la parte menor
sea los 3/4 de la parte mayor. Dar
como respuesta la diferencia de
ambas partes
a) 40 b) 70 c) 60
d) 80 e) 75
Resolución
Parte Mayor: 4k
Parte Menor: 3k
Luego: 4k 3k 420
   k 60

Diferencia: 4k 3k k 60
  
60 Rpta.
14. A un circo por cada 2 niños
ingresaron 3 niñas. Si al final se
contabilizó 400 boletos vendidos.
¿Cuántos niños ingresaron?
a) 160 b) 140 c) 120
d) 100 e) 150
Resolución
Nº Niños 2K

Nº Niñas 3K

2K 3K
Nº Niños Nº Niñas 400
 
Luego: K = 80
Finalmente: Nº Niños 160
 Rpta.
15. En un caja hay “x” billetes de 10
soles, “3x” billetes de 20 soles y “2x”
billetes de 50 soles, haciendo todos
un total de 680 soles. Calcular
cuántos billetes hay en la caja.
a) 4 b) 8 c) 12
d) 20 e) 24
Resolución
Se tiene
10(x) 20(3x) 50(2x) 680
  
170x 680

x 4

Total de billetes:
x 3x 2x 6(4)
    24 Rpta.

48
16. Se reparte 74 dulces entre 4 niñas,
la segunda recibió el doble de la
primera, la tercera recibió el triple de
la primera y la cuarta recibió 2 dulces
más que la tercera. ¿Cuántos dulces
recibió la cuarta niña?
a) 26 b) 24 c) 16
d) 48 e) 30
Resolución
A cada una le corresponderá:
Primera: “x” dulces
Segunda: “2x” dulces
Tercera: “3x” dulces
Cuarta:“2+3x” dulces
x+ 2x+ 3x+ 2+ 3x= 74

9x 72

3x 24

Luego, la cuarta recibió:
2 3x 2 24
    26 Rpta.
17. Dado tres números enteros
consecutivos, si la octava parte del
menor, más la tercera parte del
mediano y más la mitad del mayor, es
igual al menor de dichos números.
Halla la suma de los tres números.
a) 99 b) 101 c) 122
d) 87 e) 100
Resolución
Sean los números: x ; x+1 ; x+2
Planteando:
x x 1 x 2
x
8 3 2
 
  
3x 8(x 1) 12(x 2) 24x
    
 x 32

La suma será: 3x 3

Luego: 3(32) 3
  99 Rpta.
18. Una computadora con una
impresora cuestan 1240 dólares; una
impresora con un scanner cuestan
388 dólares y una computadora con
un scanner cuestan 1194 dólares.
Marcos tiene 5000 dólares y compra
4 computadoras, ¿qué cantidad de
dinero le quedará a Marcos?
a) 980 b) 740 c) 1120
d) 908 e) 890
Resolución
Sea: C: computadora
I: impresora
S: scaner
De los datos tenemos:
C I 1240
  … (I)
I S 388
  … (II)
C S 1194
  … (III)
2(C I S) 2822
  
C I S 1411
388
  
C 1023

Luego. 4C = 4092
Le quedara:
5000 4092
  908 soles Rpta.
19.Al preguntarle Mario a su esposa
sobre cuanto había gastado ella
respondió: “gasté la mitad de los 2/5
de lo que no gasté”. Si Mario le dio
S/. 720 en total. ¿Cuánto no gastó?
a) S/. 500 b) S/. 220 c) S/. 600
d) S/. 120 e) S/. 340
Resolución
Total: 720

49
No gasté: x Gasté:
1 2 x
( x)
2 5 5

Gastado+ No gastado 720

x
x 720
5
 
5x x 3600
 
6x 3600
  x 600
 Rpta.
20. Al comprar 4 pantalones y 6
camisas gasté S/. 180; pero si hubiera
comprado 4 camisas y 6 pantalones
hubiera gastado S/. 220. Entonces
¿cuánto hubiera gastado al comprar 1
pantalón y 1 camisa?
a) S/. 38 b) S/. 40 c) S/.
30
d) S/. 46 e) S/. 50
Resolución
Sean:
Precio de 1 pantalón: P
Precio de 1 camisa: C
Del dato, sumando miembro a
miembro:
4P 6C 180
 
6P 4C 220
 
10P 10C 400
 
10(P C) 400
 
P C 40
  Rpta.
21.En dos bolsas hay 24 y 30 kilos de
harina respectivamente. De la primera
se saca cierta cantidad y de la segunda
el doble de lo que se sacó de la primera,
de manera que ahora queda igual
cantidad de harina en ambas bolsas.
Cuántos kilos se sacaron de la segunda
bolsa?
a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 10
Resolución
Elaboramos una tabla:
1ra 2da
Tiene 24 30
se saca x 2x
Queda 24 x
 30 2x

Dato: 24 x 30 2x
    x 6

De la segunda se sacaron: 2(x)
12 Rpta.
22. En una canasta pueden entrar 8
peras juntas con 10 fresas o 12 peras
y 8 fresas. ¿Cuántas peras solamente
pueden entrar en dicha canasta como
máximo?
a) 20 b) 26 c) 24
d) 22 e) 28
Resolución
Sean: Nº de peras: P
Nº total de frutas: x
Nº de fresas: F
De los datos:
8P 10F x
  … (1)
12P 8F x
  … (2)
Igualando (1) y (2):
8P 10F 12P 8F
  
2F 4P

F 2P

En (2): x 12P 8F
 
x 12P 8(2P)
 
x 28P

x 28 peras
 Rpta.
el doble

50
23. Tengo S/. 50 entre monedas de
S/. 5 y S/. 2; si el número de
monedas de S/. 5 excede en 3 al
número de monedas de S/. 2. Hallar
la cantidad de monedas que tengo.
a) 15 b) 13 c) 9
d) 8 e) 5
Resolución
Nº de monedas de S/. 5: x 3

Nº de monedas de S/. 2: x
Del dato:
5(x 3) 2x 50
  
5x 15 2x 50
  
7x 35
  x 5

Nos piden; el Nº total de monedas
que tengo:
8 5
  13 Rpta.
24. Rodrigo tiene un terreno de forma
rectangular en el cual el largo es el
doble del ancho. Si cada una de las
dimensiones de dicho terreno se
incrementan en 5 metros, el área del
terreno aumentaría en 2
160m . Hallar el
área del terreno de Rodrigo
a)
2
98 m b)
2
128 m c)
2
200 m
d) 2
162 m e)
2
72 m
Resolución
Medidas Largo: 2a
ancho: a
originales



Por la condición supuesta tenemos que:
Área se incrementaría =
2
160 m
(2a 5)(a 5) 2a(a) 160
   
2 2
2a 15a 25 2a 160
   
15a 135
  a 9

Luego:
Área original:
2 2
2a 2(9)
 
2
162 m Rpta.
25. Si por S/. 200 dieran 6 pelotas más
de las que dan, la docena costaría S/.
90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota?
a) S/. 10 b) S/. 20 c) S/. 30
d) S/. 50 e) S/. 60
Resolución
Sea “n” el número de pelotas que dan
por
S/. 200
Dan Dieran
Nº de
pelotas n n 6

Precio de
una pelota S/.
200
n
S/.
200
n 6

Según el problema en el caso supuesto,
la docena costaría 90 soles menos,
entonces:
200 200
12 12 90
n n 6
   
 
   

   
Simplificando:
80 80
3
n n 6
 

Resolviendo:
80n 480 80n
  3n(n 6)
 
n(n 6) 160
   n 10

Cada pelota vale:
200
10
 S/. 20 Rpta.
26. ¿Qué hora es si, en ese instante,
el tiempo que falta para acabar el día

51
excede en 6 horas al tiempo
transcurrido?
a) 8 a.m. b) 7 a.m. c) 9 a.m.
d) 11 a.m. e) 10 a.m.
Resolución
Horas Trascurridas: x
Horas que faltan transcurrir: 24 x

Del dato:
(24 x) 6 x
  
18 2x

x 9 a.m.
 Rpta.
27. Dayana compra 30 libros de
medicina a 70 soles cada uno; en un
descuido le robaron unos cuantos y al
vender cada uno de los restantes
aumentó tantas veces 2,8 soles como
libros le habían robado, resultando
que no hubo pérdida, ni ganancia.
¿Cuántos libros le robaron?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
Resolución
Sea: “x” el número de libros que le
robaron y luego planteando:
(30 x)(70 2,8x) 30(70)
  
2
2100 14x 2, 8x 2100
  
2
2, 8x 14 x

14
x 14
5
  x 5
 Rpta.
28. En la feria de Huancayo, Lula
observó que en la sección de animales,
entre ovinos y porcinos habían 20
animales; entre ovinos y vacunos
habían 30 animales, mientras que entre
porcinos y vacunos había 40 animales.
¿Cuántas patas observó en total?
a) 160 b) 140 c)
180
d) 150 e) 210
Resolución
Nº de ovinos: O
Nº de porcinos: P
Nº de vacunos: V
...(1)
O P 20
O V 30 ...(2)
P V 40 ...(3)
 


 

  

Sumando miembro a miembro:
2(O P V) 90
  
O P V 45
   Total de animales
Total de patas: (45)4  180 Rpta.
29.Julia tiene 3 años más que María, si
el duplo de la edad de Julia menos los
5/6 de la edad de María da 20 años.
¿Qué edad tiene María?
a) 12 años b) 14 años c) 8 años
d) 13 años e) 16 años
Resolución
Sean:
Edad de María: x
Edad de Julia: x + 3
Del enunciado del problema, obtenemos
la ecuación:
5
2(x 3) x 20
6
  
12(x 3) 5x 120
  
12x 36 5x 120
  
7x 84
  x 12
 Rpta.
30. Si subo una escalera de 4 en 4
escalones doy tres pasos más que
00h 24h
x 24 x


52
subiendo de 5 en 5 escalones.
¿Cuántos escalones tiene la escalera?
a) 40 b) 50 c) 60
d) 72 e) 64
Resolución
Sea “x” el número de escalones
1er caso:
x
Nº de pasos
4

2do caso:
x
Nº de pasos
5

Planteamos la ecuación:
x x
3
4 5
 
5x 4x
3
20

  x 60
 Rpta.
31. A una fiesta asistieron tantas
damas como los 2/3 del número de
caballeros. Al retirarse 8 parejas y 3
damas, resulta que 13 caballeros se
quedan sin pareja. ¿Cuántos personas
asistieron a la fiesta?
a) 45 b) 50 c) 48
d) 44 e) 60
Resolución
Sean: “C” el número de caballeros
“D” el número de damas
D 2k
C 3k


Al retirarse 8 parejas y 3 damas, lo
hacen 8 caballeros y 11 damas,
quedan entonces:
3k 8 varones
2k 11 damas


Luego: (3k 8) (2k 11) 13
   
k 10

Total de asistentes:
3k 2k 5k
   50 Rpta.
32. En dos bolsas hay 24 y 30 kilos de
harina respectivamente. De la primera
se saca cierta cantidad y de la segunda
el doble de lo que se sacó de la primera,
de manera, de manera que ahora queda
igual cantidad de harina en ambas
bolsas. ¿Cuántos kilos se sacaron de la
primera bolsa?
a) 6 b) 4 c) 12
d) 8 e) 10
Resolución
24 x 30 2x
  
x 6
 Rpta.
Edades
1.Cuando tú naciste yo tenía la tercera
parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál
será tu edad cuando yo tenga el doble
de la edad que tienes, si en ese
entonces nuestras edades sumarán 56
años?
a)16 b)32 c)24
d)36 e)48
Resolución
Elaborando el diagrama:
Pasado
naciste
Presente Futuro
Yo x 3x 4x
Tú 0 2x 3x
Del dato: 4x 3x 56
   x 8

2x
 x

Suma
56
24 kg 30 kg
"2x" kg
"x" kg

53
Tu edad será, cuando yo tenga el
doble de la edad que tú tienes:
3x 3(8)
  24 Rpta.
2. Hace 15 años mi edad era 16/3 de
la tuya, pero si contamos 45 años a
partir de hoy, sucederá que tú
tendrás 15/28 de la edad que yo
tenga. La edad del menor es
actualmente:
a)80 años b)15 años c)95
años
d)75 años e)30 años
Resolución
Pasado Presente Futuro
Yo 16x 16x 15
 16x 60

Tú 3x 3x 15
 3x 60

Por dato, en el futuro se cumple:
15
3x 60 (16x 60)
28
  
28(3x 60) 15(16x 60)
  
84x 1680 240x 900
    x 5

Menor:
Tú 3(5) 15
   30 años Rpta.
3. Juan es 6 años más joven que
Judith. Además hace 3 años Judith
tenía el triple de la edad que Juan
tenía, ¿qué edad tendrá Juan dentro
de 15 años?
a) 19 b) 25 c) 31
d) 28 e) 21
Resolución
Diagramando:
3
Pasado Presente
Judith x 3 x
Juan x 9 x 6

 
Del dato:
 
x 3 3 x 9
  
x 12

 Juan tiene: 12 6 6 años
 
 Dentro de 15 años tendrá: 21 Rpta.
4.Hace 5 años la edad de Sheyla era el
cuadrado perfecto de un número y
dentro de 4 años será el cuadrado
perfecto del número consecutivo. ¿Cuál
es su edad?
a)20 años b)21 años c)30 años
d)12 años e)32 años
Resolución
Sea: “x” la edad de Sheyla
Hace 5 años:
2
x 5 N
  … (1)
Dentro de 4 años:
2
x 4 (N 1)
   … (2)
Restando (2)–(1):
9 2N 1
 
2N 8 N 4
  
Sustituyendo en (1):
2 2
x N 5 4 5
   
x  21 años Rpta.
5. Yo tengo el doble de la edad que tú
tenías cuando yo tenía la edad que tú
tienes y cuando tú tengas la edad que
yo tengo, nuestras edades sumaran 45
años. ¿Cuál era la suma de nuestras
edades hace 3 años?
a) 27 b) 32 c) 29
d) 28 e) 30
Resolución

54
Por la propiedad:

3x 2y …(1)
4x 45 2x y
   …(2)
De (1) y (2) y 15 x 10
  
Yo tengo 2(10)  hace 3 años = 17
Tú tienes 15  hace 3 años = 12
 La suma = 29 Rpta.
6. Un padre le decía a su hijo: “hijo,
hace 3 años tu edad era la mitad de la
mía y dentro de 4 años nuestras
edades sumarán 47 años”. ¿Cuál es la
edad actual del padre?
a) 45 b) 30 c) 40
d) 25 e) 28
Resolución
Hace 3 Presente Dentro 4
Padre 2x 2x 3
 2x 7

Hijo x x 3
 x 7

Del dato: 3x 14 47
 
3x 33
  x 11

Edad del padre: 2(11) 3

Edad del padre = 25 Rpta.
7. Margoth tiene 30 años. Cuando
Juan tenía 5 años Margoth tenía la
cuarta parte de lo que tiene Juan.
Calcular la suma de las edades
actuales.
a) 62 b) 34 c) 58
d) 38 e) 48
Resolución
Elaboramos un cuadro:
Tenía Tiene
Juan 5 4x
Margoth x 30
Aplicando la propiedad (suma en
aspa):
x 4x 5 30
  
x 7

Juan tiene:  
4 7 28

Margoth tiene:30
28 30
  58 Rpta.
8. Hace 7 años la edad de un padre era
el triple de la de su hijo; pero dentro de
9 años será sólo el doble. ¿Cuál será la
edad del padre dentro de 7 años?
a) 62 b) 60 c) 65
d) 68 e) 75
Resolución
Sean:
p y h las edades hace 7 años.
p 3h

Luego de 16 años (7+9):
3h 16 2(h 16)
  
h 16

La edad del padre era: 3(16) 48

Luego de 14 años (dentro de 7 años)
48 14
  62 Rpta.
9. La edad de Carla será dentro de 4
años un cuadrado perfecto. Hace 8 años
su edad era la raíz cuadrada de éste
cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8
años?
a) 18 b) 20 c) 21
d) 24 e) 28
L 45

X X
Pasado Presente Futuro
Yo y 2x 45 2x
Tú x y 2x


55
Resolución
Sea:
“x” la edad actual:
Del enunciado:
2
x 4 k
  … (1)
2
x 8 k k
   … (2)
Reemplazando: (2) en (1):
 2
x 4 x 8
  
2
x 17x 60 0
  
(x 12)(x 5) 0
  
Resolviendo: x 12 ó x 5
 
Cumple: x 12

Nos piden la edad dentro de 8 años:
12 8
  20 Rpta.
10. Delia tiene 21 años y su edad es
igual a la edad que tendrá Katy,
cuando Delia tenga el doble de la
edad que ahora tiene Katy. ¿Cuántos
años tiene Katy?
a) 28 b) 42 c) 35
d) 14 e) 30
Resolución
Tiene Tendrá
Delia 21 2x
Katy x 21
Aplicando la propiedad: (suma en
aspa)
3x 42

Luego Katy tiene:
x 14
 Rpta.
11. Dentro de 14 años, la edad de
Marcos será el triple de la edad que
tuvo hace 2 años; por otro lado,
dentro de 10 años la edad de Rodrigo
será el cuádruplo de la edad que tuvo
hace 5 años. Halla la suma de las
edades actuales de Marcos y Rodrigo.
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 35
Resolución
Para Marcos:
M 14 3(M 2)
  
M 14 3M 6
    M 10

Para Rodrigo:
R 10 4(R 5)
  
R 10 4R 20
    R 10

Suma: 10 10
  20 Rpta.
12. Las edades de un padre y su hijo son
51 y 15 años respectivamente. Hace
cuántos años la edad del hijo era la
quinta parte de la edad del padre.
Resolución
Pasado Presente
Padre 51 x
 51
Hijo 15 x
 15
Del dato:
51 x
15 x
5

 
75 5x 51 x
  
4x 24

x 6
 Rpta.

56
13. Gabriel nació en 19ab y en el año
19ba cumplió (a b)
 años. ¿En qué año
cumplió 53 años?
a) 1990 b) 1994 c) 1986
d) 1998 e) 1992
Resolución
Año de nac. edad año actual
 

 
19ab (a b) 19ba
  
1900 ab a b 1900 ba
    
10a b a b 10b a
    
5a 4b

De donde:
a 4
 ; b 5

Entonces, su año de nacimiento será:
1945
Luego, Gabriel cumplió 53 años en:
1945 53
  1998 Rpta.
14. Entre “A” y “B” tienen 70 años,
las edades que tendrán dentro de 10
años estarán en la razón de 4 a 5.
Hallar la edad del menor.
Resolución
Actual Dentro de
10 años
A 70 x
 80 x

B x x 10

Del dato:
x 10 4
80 x 5



 5x 50 320 4x
  
9x 270
 x 30
 Rpta.
15. Cuando Rodrigo le pregunto a
Sheyla sobre su edad ella respondió:
“La edad que tenía hace 9 años era
igual a la tercera parte de la edad
que tendré dentro de 5 años”;
entonces, ¿en qué año nació Sheyla?
(Año actual: 2004)
a) 1988 b) 1985 c)1987
d) 1986 e) 1989
Resolución
Sea “x” la edad actual de Sheyla:
1
x 9= (x 5)
3
  
3x 7 x 5
  
x 16
 (Es su edad actual)
Nació: 2004 16=
  1988 Rpta.
16. Una persona nació en 19XY y en
19YX cumplió (x+y) años . ¿En qué
año cumplió 5(x+y) años?
a) 2000 b) 1991 c) 1990
d) 1989 e) 1995
Resolución
Recuerda:
año nacim.+ edad= año actual
19
 XY + X+ Y= 19 YX
10x y x y 10y x
    
Nació: 19XY 1945

Cumplió: 5(x y) 5(4 5) 45
   
Finalmente: 1945 45
  1990 Rpta.
y
x 4
5 

57
17. Samantha tuvo su primer hijo a los
17 años, 2 años después a su segundo
hijo y 3 años después a su tercer hijo. Si
en el 2002 las edades de los 4 sumaban
42 años. ¿En qué año nació Samantha?
a) 1982 b) 1980 c) 1977
d) 1967 e) 1942
Resolución
2002
Samantha 17 19 22 22+x
1er Hijo 0 2 5 5+x
2do Hijo 0 3 3+x
3er Hijo 0 X
Del dato:
22 x 5 x 3 x x 42
      
4x 30 42
 
x 3

En el 2002; Samantha tiene 25 años,
eso quiere decir que ella nació en el
año:
2002 25
  1977 Rpta.
18. Los
5
7
de la edad de una persona
menos 4 años, es igual a la edad que
tenía hace 12 años. ¿Cuál era su edad
hace 12 años?
a) 18 años b) 14 años
c)20 años
Resolución
Sea “x” su edad, del dato:
5
x 4 x 12
7
  
5x
x 8 5x 7x 56
7
    
x 28

Entonces, hace 12 años será:
28 12
  16 años Rpta.
19.La edad de Pedro hace 10 años era
igual a la cuarta parte de la edad que
tendrá dentro de 5 años. ¿Cuál será la
edad de Pedro dentro de 10 años?
a)20 b)15 c)19
d)23 e)25
Resolución
Sea “x” edad actual de Pedro
Del dato:
1
x 10 (x 5)
4
  
4x 40 x 5
  
3x 45
  x 15

Dentro de 10 años:
15 10
  25 Rpta.
20. Para Fiestas Patrias, en el año
1981, la suma de las edades de Rocío,
Angélica y Carlos, más los años de
sus nacimientos fue 5941. Si Rocío
nació en setiembre y Carlos en mayo.
¿En qué mes podría haber nacido
Angélica?
a) Enero b) Febrero c) Marzo
d) Abril e) Noviembre
Resolución
Según el problema:
Año actual = 1981 (Julio)
Suma de edades Suma de año de nacimiento
5941

Si los tres ya hubieran cumplido años la
suma de edades más la suma del año de
nacimiento sería:
1981x3 5943


58
Vemos que el resultado obtenido es 2
menos que si todos ya hubieran
cumplido años entonces hay 2 personas
que hasta el mes de Julio todavía no
cumplen años; es decir nacieron
después de Julio.
Entonces Angélica debe ser la otra
persona que aún no cumple años, es
decir ella nació en agosto, setiembre,
octubre noviembre o diciembre; pero de
las alternativas la única posible es:
Noviembre Rpta.
21. Hace 2 años la edad de Laura era
tres veces la edad de Mario. Pero
dentro de 2 años ambas edades estarán
en relación de 5 es a 2. ¿Cuál fue la
edad de Laura hace 5 años?
a) 30 b) 31 c) 29
d) 32 e) 33
Resolución
Hace
2
Presente Dentro
2
Laura 3x 3x+2 3x+4
Mario x x+2 x+4
Del enunciado:
3x 4 5
x 4 2



6x 8 5x 20
  
x 12

Luego Laura tiene: 3(12) 2 38
 
 hace 5 años tenía:
38 5
  33 años Rpta.
22. Dayana le dice a Samantha: “La
suma de nuestras edades es 46 años
y tu edad es el triple de la edad que
tenías cuando yo tenía el triple de la
edad que tuviste al nacer yo. ¿Qué
edad tiene Samantha?
a) 21 años b) 18 años c) 24
años
Resolución
Del problema tenemos:
Tuviste Tenía Tiene
Dayana(Yo) 3y 2x

Samantha(Tú)
y 3x
46
Aplicando la suma en aspa:
0 x y 3y x 4y
     … (1)
Planteando:
(3y 2x) 3x 46
  
3y 5x 46
 
Sustituyendo con (1):
3y 5(4y) 46
 
23y 46
  y 2
  x 4(2) 8
 
Samantha tiene:
3x 3(8)
  24 Rpta.
23. En 1920 la edad de Ángel era 4
veces la de Betty, en 1928 la edad de
Ángel fue el doble que la de Betty.
¿Cuál fue la edad de Ángel en 1945?
a) 60 b) 41 c) 42
d) 43 e) 64
Resolución
1920 1928 1945
Angel 4x 4x+8 4x+25
Betty x x+8 x+25
Por dato en 1928
2
 2

0 3y
x

59
 
Angel doble Betty

 
4x 8 2 x 8
   x 4

La edad de Angel en 1945:
 
4x 25 4 4 25
    41 Rpta.
24. Mariela comentó sobre su edad:
“Hace 9 años tenía la tercera parte de
los años que tendré dentro de 11 años.
¿Hace cuántos años nació Mariela?
a) 20 b) 17 c) 19
d) 18 e) 21
Resolución
Sea “x” edad actual:
1
x 9 (x 11)
3
  
3x 27 x 11
  
2x 38
 x 19
 Rpta.
Mariela nació hace 19 años.
25. Yo tengo 20 años, mi edad es la
tercera parte de la edad que tú tendrás
cuando yo tenga la edad que tú tienes.
¿Qué edad tienes?
a) 20 b) 40 c) 60
d) 70 e) 30
Resolución
Elaboramos un diagrama:
Presente Futuro
Yo 20 x
Tú x 60
Por propiedad:
2x 80

x 40
 Rpta.
26. Hace 5 años, mi edad era la cuarta
parte de la edad que tendré dentro de
25 años. ¿Qué edad tendré dentro de 8
años?
a) 24 años b) 23 años
c) 20 años d) 18 años
e) 26 años
Resolución
Hace 5 años Actual Dentro de 25 años
x 5 x x 25
 
Por dato:
x 25
x 5
4

 
4x 20 x 25
  
3x 45

x 15

Dentro de 8 años:
15 8
  23 años Rpta.
27. La edad de Marcos que tendrá
dentro de 10 años es igual a la edad
que Roberto tuvo hace 13 años;
entonces es cierto que:
a) Roberto nació 3 años antes que
Marcos
b) Marcos nació 10 años después que
Roberto
c) Marcos tiene 13 años más que
Roberto
d) Roberto tiene 13 años más que
Marcos
e) Roberto tiene 23 años más que
Marcos
Resolución
Se tiene:
M 10 R 13
  
R M 23
 
Luego: Roberto tiene 23 años más
que Marcos. Rpta. e

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