2017 ii formulario

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe
E_MAIL. contacto@miguelangeltarazona.com Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ 999685938
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TEMA: FORMULARIO MATEMÁTICO MATERIAL ADICIONAL
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503B SEMESTETRE: 2017 - II
FORMULARIO MATEMÁTICO
Geometría
Volumen  4
3
3
r
Área de la Superficie  4 2
 r
r
Volumen  r h2
Área de la superficie lateral  2rh
r
h
Volumen  1
3
2
r h
Área de la superficie lateral    r r h r l2 2
h
r
l
Volumen    1
3
2 2
 h a ab b
Área de la superficie lateral
   
 
   
 


a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l

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Trigonometría
sen cos2 2
1A A  sen cos2 1
2
1
2 2A A 
sec tan2 2
1A A  cos cos2 1
2
1
2 2A A 
csc cot2 2
1A A  sen sen cos2 2A A A
tan
sen
cos
A
A
A
 cos cos sen2 2 2
A A A 
cot
cos
sen
A
A
A
  sen sen cos cos senA B A B A B  
sen cscA A  1  cos cos cos sen senA B A B A B  
cos secA A  1  tan A B
tanA tanB
tanAtanB
 

1
tan cotA A  1 sen
cosA A
2
1
2
 

 sen sen  A A cos
cosA A
2
1
2
 

 cos cos A A     sen sen cos cosA B A B A B   1
2
  AA tantan      sen cos sen senA B A B A B   1
2
    cos cos cos cosA B A B A B   1
2
Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos
a
A
b
B
c
Csen sen sen
 
Ley de los cosenos
c a b ab C2 2 2
2   cos Los otros lados y ángulos están
relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
 
 
a b
a b
tan A B
tan A B





1
2
1
2
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b

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Números Complejos
Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
    r i r p i p
p p
cos sen cos sen     
Sea n cualquier entero positivo y p n 1 , entonces
    r i r in n k
n
k
ncos sen cos sen     
   1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo 1,,2,1,0  nk 
Geometría Analítica del Espacio
Considerando  P x y z1 1 1 1 , , y  P x y z2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2:        PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1    , , , ,
Distancia entre dos puntos:      d x x y y z z l m n        2 1
2
2 1
2
2 1
2 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica:
x x l t 1 y y mt 1 z z nt 1
-Forma Simétrica:
t
x x
l

 1
t
y y
m

 1
t
z z
n

 1
Cosenos Directores:
cos 


x x
d
l
d
2 1
cos 


y y
d
m
d
2 1
cos 


z z
d
n
d
2 1
donde   , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva de
los ejes x, y, z respectivamente.

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Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a

 1 2 3, , :
     a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0     
-Forma General:
Ax By Cz D    0
cos cos cos2 2 2
1     o l m n2 2 2
1  
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
d
Ax By Cz D
A B C


  
 
0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z








cos
sen

 o  
r x y
tan
z z
y
x
 









2 2
1


r
z
y
x
y
z
P
(x,y,z)
(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r








sen cos
sen sen
cos
 
 

o  
r x y z
tan
y
x
z
x y z
  















 
2 2 2
1
1
2 2 2

 cos
z
y
x
y
P (r,{


(x,y,z)
O

z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan 


m m
m m
2 1
1 21

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Limites notables
1) 1
0

 x
senx
Lim
x
2) 1
0

 senx
x
Lim
x
3) 0
0


senxLim
x
4) 1
0

 Kx
senKx
Lim
x
5) 1cos
0


xLim
x
6) 0
cos1
0


 x
x
Lim
x
7)
2
1cos1
20


 x
x
Lim
x
8) 1
tan
0

 x
x
Lim
x
9) 1
tan0

 x
x
Lim
x
10) 1
tan
0

 Kx
Kx
Lim
x
11)
1
lim 1
x
x
e
x
 
  
 
12)  
1
0
lim 1 x
x
x e

 
Reglas Generales de Derivación
d
dx
c( )  0  
d
dx
cx c
 
d
dx
cx ncxn n
 1
 
d
dx
u v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
      
 
d
dx
cu c
du
dx
  
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
 
 
d
dx
uvw uv
dw
dx
uw
dv
dx
v w
du
dx
  
   d
dx
u
v
v du
dx u dv
dx
v





 

2
 
d
dx
u nu
du
dx
n n
 1 dF
dx
dF
du
du
dx
 (Regla de la cadena)
du
dx dx
du

1 dF
dx
dF
du
dx
du

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dx
u
e
u
du
dx
a aa
a
log
log
,  0 1
d
dx
u
d
dx
u
u
du
dx
eln log 
1
d
dx
a a a
du
dx
u u
 ln
d
dx
e e
du
dx
u u


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d
dx
u
d
dx
e e
d
dx
v u vu
du
dx
u u
dv
dx
v v u v u v v
   ln ln
ln ln1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dx
u u
du
dx
sen cos
d
dx
u u
du
dx
cot csc  2
d
dx
u u
du
dx
cos sen 
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tan
d
dx
u u
du
dx
tan sec 2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cot 
d
dx
u
u
du
dx
usen sen 


  1
2 2
1
2
1
1
 
d
dx
u
u
du
dx
ucos cos 



 1
2
11
1
0 
d
dx
u
u
du
dx
utan tan 


  1
2 2
1
2
1
1
 
d
dx
u
u
du
dx
ucot cot 



 1
2
11
1
0 
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
sec
sec
sec








  
  








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0 


d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si u
csc
csc
csc








  
   








1
2 2
1
2
2
1
1
1
1
1
0
0



Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dx
u u
du
dx
senh cosh
d
dx
u u
du
dx
coth csc  h2
d
dx
u u
du
dx
cosh senh
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tanhh h 
d
dx
u u
du
dx
tanh sec h2 d
dx
u u u
du
dx
csc csc cothh h 

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d
dx
u
u
du
dx
senh-1


1
12
d
dx
u
u
du
dx
si u u
si u u
cos
cosh ,
cosh ,
h-1



  
  










1
1
0 1
0 12
1
1
d
dx
u
u
du
dx
utanh


  1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u
du
dx
u o ucoth


  




1
2
1
1
1 1
d
dx
u
u u
du
dx
si u u
si u u
sec
sec ,
sec ,
h
h
h
-1



   
   










1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dx
u
u u
du
dx u u
du
dx
si u si ucsc ,h-1





   




1
1
1
1
0 02 2

Tablas de Integrales
udv uv vdu   csc cot cscu udu u C  
u du
n
u C nn n


  

1
1
11
  Cuduu seclntan
du
u
u C  ln cot ln senudu u C 
e du e Cu u
  Cuuduu  tanseclnsec
a du
a
a
Cu
u
  ln
csc ln csc cotudu u u C  
sen cosudu u C   du
a u
u
a
C2 2
1

 
 sen
  Cuduu sencos
 


C
a
u
aua
du 1
22
tan
1

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  Cuduu tansec2 du
u u a a
u
a
C2 2
11

 
 sec
csc cot2
udu u C   du
a u a
u a
u a
C2 2
1
2



 ln
  Cuduuu sectansec du
u a a
u a
u a
C2 2
1
2



 ln
a u du
u
a u
a
u a u C2 2 2 2
2
2 2
2 2
       ln du
u a u a
a u a
u
C2 2
2 2
1

 
 
 ln
 u a u du
u
a u a u
a
u a u C2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
8
2
8
        ln du
u a u
a u
a u
C2 2 2
2 2
2

 


a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2

  
 
 ln  
du
a u
u
a a u
C2 2 3 2 2 2 2



 /
a u
u
du
a u
u
u a u C
2 2
2
2 2
2 2
 

    ln
a u du2 2
 
a u du
u
a u
a u
a
C2 2 2 2
2
1
2 2
    
 sen
du
a u
u a u C2 2
2 2

    ln  u a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2 2 2 2 2 2
4
1
8
2
8
     
 sen
u du
a u
u
a u
a
u a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
      ln a u
u
du a u a
a a u
u
C
2 2
2 2
2 2

  
 
 ln
a u
u
du
u
a u
u
a
C
2 2
2
2 2 11
    
 sen u a du
u
u a
a
u u a C2 2 2 2
2
2 2
2 2
       ln
u du
a u
u
a u
a u
a
C
2
2 2
2 2
2
1
2 2
    
 sen  u u a du
u
u a u a
a
u u a2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
8
2
8
        ln C
du
u a u a
a a u
u
C2 2
2 2
1

 
 
 ln
u a
u
du u a a
a
u
C
2 2
2 2 1
   
 cos

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du
u a u a u
a u C2 2 2 2
2 21

    u a
u
du
u a
u
u u a C
2 2
2
2 2
2 2
 

    ln
   a u du
u
u a a u
a u
a
C2 2
3
2 2 2 2 2
4
1
8
2 5
3
8
      
 sen
du
u a
u u a C2 2
2 2

    ln
 
du
a u
u
a a u
C
2 2
3
2 2 2 2



  

Cauu
a
au
u
au
duu 22
2
22
22
2
ln
22
 
udu
a bu b
a bu a a bu C

    
1
2 ln du
u u a
u a
a u
C2 2 2
2 2
2




    
u du
a bu b
a bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
2
4 2

       ln
 
du
u a
u
a u a
C
2 2
3
2 2 2 2

 


 
du
u a bu a
u
a bu
C




1
ln  
u du
a bu b
a b u abu a bu
2
3
2 2 22
15
8 3 4

   
 
du
u a bu au
b
a
a bu
u
C2 2
1

  

 ln
du
u a bu a
a bu a
a bu a
C a


 
 
 
1
0ln , si




 2
01
a
a bu
a
C atan , si
a bu
u
du a bu a
du
u a bu

  

 2
a bu
u
du
a bu
u
b du
u a bu

 



 2
2
   
udu
a bu
a
b a bu b
a bu C



   2 2
1
ln
 
  u a bu du
b n
u a bu na u a bu dun n n
 

  

2
2 3
3
2 1
   
du
u a bu a a bu a
a bu
u
C





 2 2
1 1
ln
   
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n





 
 

2
2 1
2
2 1
1
  









Cbuaa
bua
a
bua
bbua
duu
ln2
1 2
32
2
 
 
 
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n

 




   1
2 3
2 11 1

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  u a budu
b
bu a a bu C    
2
15
3 22
3
2 csc csc cot ln csc cot3 1
2
1
2udu u u u u C    
 
udu
a bu b
bu a a bu

  
2
3
22 sen sen cos senn
n
n n
udu u u
n
n
udu  
 
 1 1 21
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C   cos cos sen cosn
n
n n
udu u u
n
n
udu 
 
 1 1 21
cos sen2 1
2
1
4 2udu u u C    



 duuu
n
duu nnn 21
tantan
1
1
tan
  Cuuduu tantan 2
cot cot cotn n n
udu
n
u udu


 

1
1
1 2
  Cuuduu cotcot2
sec sec secn n n
udu
n
tanu u
n
n
udu




 

1
1
2
1
2 2
 sen sen cos3 1
3
2
2udu u u C   
 cos cos sen3 1
3
2
2udu u u C   csc cot csc cscn n n
udu
n
u u
n
n
udu




 

1
1
2
1
2 2
  Cuuduu coslntantan 2
2
13
cot cot lnsen3 1
2
2
udu u u C     
 
 
 
sen sen
sen sen
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C





 2 2
sec sec lnsec3 1
2
1
2u du u tanu u tanu C     
 
 
 
cos cos
sen sen
au budu
a b u
a b
a b u
a b
C





 2 2
 
 
 
 
sen cos
cos cos
au bu du
a b u
a b
a b u
a b
C 





 2 2
u udu u u n u udun n n
cos sen sen  
 1
u udu u u u Csen sen cos  
u u du u u u Ccos cos sen  
sen cosn m
u udu
 




 


sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
n
n m
u udu
1 1
21
 




 


sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n m
u udu
1 1
21
u udu u u n u udun n n
sen cos cos  
 1
u u du
u
u
u u
Ccos cos 




 1
2
1
2
2 1
4
1
4

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 

 
C
u
u
u
duuu
2
tan
2
1
tan 1
2
1
sen sen 
    1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
sen sen ,  










   1 1 1
1
2
1
1 1
1
cos cos 
    1 1 2
1udu u u u C
u udu
n
u u
u du
u
nn n
n
cos cos ,  










   1 1 1
1
2
1
1 1
1
   
Cuuuduu 2
2
111
1lntantan
  











1,
1
tan
1
1
tan
2
1
111
n
u
duu
uu
n
duuu
n
nn
u u du
u
u
u u
Csen sen 




 1
2
1
2
2 1
4
1
4
 ue du
a
au e Cau au
  
1
12
ln lnudu u u u C  
u e du
a
u e
n
a
u e dun au n au n au
  

1 1
 
  u u du
u
n
n u Cn
n
ln ln

  


1
2
1
1 1
 e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
sen sen cos

  2 2
1
u u
du u C
ln
lnln 
 e bu du
e
a b
a bu b bu Cau
au
cos cos sen

  2 2
senh coshudu u C    Cuduu 2
1
tanlnsech
cosh senhudu u C    Cuduu tanhsech 2
  Cuduu coshlntanh   Cuduu cothcsch 2
coth lnsenhudu u C    Cuduuu sechtanhsech
  
Cutanduu senhsech 1
  Cuduuu cschcothcsch
2
2
2
2
2 2
2
1
au u du
u a
au u
a a u
a
C 

 






 cos
du
au u
a u
a
C
2 2
1








 cos

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u au u du
u au a
au u
a a u
a
C2
2 3
6
2
2
2
2
2
3
1
 
 
 






 cos
udu
au u
au u a
a u
a
C
2
22
2 1

   






 cos
2
2
2
2
2 1
au u
u
du a u u a
a u
a
C

  






 cos
du
u au u
au u
au
C
2
2
2
2

 


2 2 22
2
2
1
a u u
u
du
a u u
u
a u
a
C

 








 cos
 
 




 





C
a
uaa
uau
au
uau
duu 1
2
2
2
2
cos
2
3
2
2
3
2
Vectores
A B   A B cos  0
donde  es el ángulo formado por A y B
A B   A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k  A A A1 2 3
   , B i j k  
  
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
Producto cruz: AxB
i j k

  
A A A
B B B
1 2 3
1 2 3
     kji ˆˆˆ 122131132332 BABABABABABA 
Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen
El operador nabla se define así:

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zyx 




 
 kji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen derivadas
parciales.
Gradiente de U = grad U







 kjikji
z
U
y
U
x
U
U
zyx
U












Divergencia de A = div A 













kjikjiA 321 AAA
zyx 





  






A
x
A
y
A
z
1 2 3
Rotacional de A = rot A 













kjixkjixA 321 AAA
zyx 





321
kji
AAA
zyx 







 





  





  






  











A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
3 2 1 3 2 1
i j k
Laplaciano de U =   2
2
2
2
2
2
2
z
U
y
U
x
U
UU







Integrales Múltiples
  
F x y dydxy f x
f x
x a
b
,
( )

 1
2
    
 F x y dy dxy f x
f x
x a
b
,
( )
1
2
donde  y f x 1 e  y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y
b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
  
F x y dxdyx g y
g y
y c
d
,
( )

 1
2
  







 F x y dx dyx g y
g y
y c
d
,
( )
1
2

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donde x g y 1( ), x g y 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y
d son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar
para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
s s t r t dta
t
  ( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t, .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario


t t
r t
r t
( )
( )
( )


  
t s r s( ) ( )
Vector normal principal )()()( tttbtn

x


n s
r s
r s
( )
( )
( )

Vector binormal )(
)(
)(
trr
trr
tb


 

x
x   
b s
r s r s
r s
( )
( ) ( )
( )

x
Los vectores unitarios
  
t n b, , forman un triedo positivo  
        
b t n n b t t n b  x x x, ,
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
       
r r t r t   0 0
x x
x
y y
y
z z
x








0
0
0
0
0
0
Plano osculador  
 
t n, en t0
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
          
r r t r t xr t    0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
  
  
  

0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y Torsión

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 
   
 
 
      
   
 t
r t r t
r t
t
r t r t r t
r t r t

 


   
 
 

  
 
x x
x
3 2
    s r s

2
3
]))('(1[
)(''
2
xf
xf


Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
      
r r t r t   0 0 0              x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante  
 
t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
      
r r t n t  0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0  
              

Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a T
a
  
 
 



.
aN a N
x a
 
 
 

.


Propiedades de la Divergencia
i) div (

F +

G ) = div (

F ) +div (

G )
ii) div (

F ) =  div(

F ) + ( grad  ) 

F
iii) div (

F +

G ) = G   rot (

F )  -

F  rot (

G ) 
Transformada de Laplace

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



0
)()}({ dttfetf ts
L
No f(t) F(s)
1 C (constante)
s
C
2 tn
1
!
n
s
n
, n = 0 y n  N
3 tn
1
)1(


n
s
n
, n > -1
4 eat
as 
1
5 senhat 22
as
a

6 coshat 22
as
s

7 senkt 22
ks
k

8 coskt 22
ks
s

9 )(tfeat
)( asF 
10 )()( atUatf  )(sFe as
11 )(tftn
)()1( )(
sF nn

12
t
tf )(


s
dppF )(
13 )()(
tf n
)0(...)0(')0()( )1(21 
 nnnn
ffsfssFs
14 
t
df
0
)( 
s
sF )(

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15  
t
dtgfgf
0
)()(  )()( sGsF
16
)(tf . Función periódica
de periodo T




T
st
sT
dtetf
e 0
)(
1
1
Fórmulas misceláneas
Área en coordenadas polares 


drr2
2
1
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt
 ttax sen  tay cos1
Trabajo W  
b
a
rdF

b
ba
aCompb


 

Longitud de arco de  y f x en  a b y dxa
b
, ( )   1 2
 
R
dAyxm ,  
R
x dAyxyM ,  
R
y dAyxxM ,
Centro de gravedad de una región plana

 b
a
b
a
dxxf
dxxxf
x
)(
)(
,
 


 b
a
b
a
dxxf
dxxf
y
)(
)(
2
1 2
Longitud de arco en forma paramétrica  














dt
dt
dy
dt
dx
L
22
Momento de inercia de R respecto al origen     
R
o dAyxyxI ,22

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x:   xdxfxFS
b
a
2
)(1)(2  
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

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
b
a
tdtFtV )(2 
Cálculo del volumen 
b
a
dxxAV )(   
b
a
dxxfV
2

Ecuación diferencial de primer orden
  y P x y Q x( ) ( ) Solución ye Q x e dx k
P x dx P x dx( ) ( )
( )  
Ecuación del resorte helicoidal r t t t
t
( ) cos ,sen ,
2
Derivada direccional    D f x y z f x y zu


, , , ,   u (

u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC  Lq Rq
C
q E t  
1
Fuerza ejercida por un fluído dyyLyF
b
a
)(  
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g  2 20
Series de Fourier
Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L]






















1
0
sincos
2
)(
n
nn
L
xn
b
L
xn
a
a
xf

Donde


L
L
dxxf
L
a )(
1
0 







L
L
n dx
L
xn
xf
L
a

cos)(
1








L
L
n dx
L
xn
xf
L
b

sin)(
1
Serie de Fourier para una función par en [-L, L] 









1
0
cos
2
)(
n
n
L
xn
a
a
xf


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Donde 
L
dxxf
L
a
0
0 )(
2
 






L
n dx
L
xn
xf
L
a
0
cos)(
2 
Serie de Fourier para una función impar en [-L, L] 









1
sin)(
n
n
L
xn
bxf

Donde  






L
n dx
L
xn
xf
L
b
0
sin)(
2 
Serie de Fourier para una función definida en [0, L]
a) Serie de Cosenos 









1
0
cos
2
)(
n
n
L
xn
a
a
xf

Donde 
L
dxxf
L
a
0
0 )(
2
 






L
n dx
L
xn
xf
L
a
0
cos)(
2 
b) Serie de Senos 









1
cos)(
n
n
L
xn
bxf

Donde  






L
n dx
L
xn
xf
L
b
0
sin)(
2 
Serie Compleja de Fourier en [-L, L] 


 L
xni
eCxf n

)(
Donde 






dxexfC L
xni
n )(
2
1

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