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Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Tema 1: Nociones básicas

     Propósito:
     Ofrecer a los participantes nociones básica del uso de la estadística
     y su importancia en la Educación
     Audiencia:
     Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS
     Estrategia:
     Discusión guiada

     Tiempo estimado:
     30 minutos

     Contenidos:
     1.¿Qué es matemática y qué es estadística?
     2.Abusos de la estadística
     3.¿Para qué estudiar estadística en Educación?
     4.¿Que estadísticas se ven en Educación?
     5.¿Cómo debo abordar la asignatura?
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                                                                   Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                            ¿Qué es matemática y qué es estadística?

      Cuando pensamos en matemática                 Cuando pensamos en estadística
      ¿Qué recordamos?                                            ¿Qué recordamos?




      Se llama matemática al estudio                  La estadística es una ciencia
      de las propiedades y las                        con base matemática referente
      relaciones de entes abstractos                  a la recolección, análisis e
      (números, figuras geométricas) a                interpretación de datos, que
      partir de notaciones básicas                    busca explicar condiciones
      exactas    y   a     través  del                regulares en fenómenos de
      razonamiento lógico.                            tipo aleatorio.




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Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                            ¿Qué es matemática y qué es estadística?

      Cuando pensamos en matemática                 Cuando pensamos en estadística
      ¿Cuándo la usamos?                                         ¿Cuándo la usamos?

    La teoría matemática sí se                   Es transversal a una amplia variedad
    desarrolla en abstracto: no                  de disciplinas, desde la física hasta las
    depende de otra cosa fuera de sí             ciencias sociales, y es usada para la
    misma. La verdad de la teoría se             toma de decisiones. Dos ramas de la
    mide por la lógica y no por el               estadística permiten: utilizar métodos
    experimento. Sin embargo, una de             de        recolección,       descripción,
    sus utilizaciones más valiosas es el         visualización y resumen de datos
    describir o modelar los procesos en          originados a partir de los fenómenos
    el mundo real, de manera que hay             en estudio (descriptiva), y la
    una interacción constante entre las          generación de los modelos, para
    matemáticas       puras     y    las         modelar patrones en los datos y
    matemáticas aplicadas.                       extraer inferencias acerca de la
                                                 población bajo estudio (inferencia).




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Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                            ¿Qué es matemática y qué es estadística?

      Cuando pensamos en matemática                 Cuando pensamos en estadística
      ¿Dudamos de ella?                                             ¿Dudamos de ella?



      Puesto que el estudio no está                  El uso de cualquier método
      relacionado con el mundo físico,               estadístico es válido solo cuando
      se buscan pruebas formales                     el sistema o población bajo
      rigurosas,     en     lugar    de              consideración      satisface   los
      verificaciones experimentales. La              supuestos matemáticos del
      teoría se presenta en términos de              método. El mal uso de la
      un pequeño número de verdades                  estadística puede producir serios
      dadas (conocidas como axiomas),                errores en la descripción e
      desde las que puede inferir toda               interpretación
      una teoría.




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Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                                               Abusos de la estadística

               La estadística es una ciencia exacta porque dice siempre
                       exactamente lo que uno quiere que diga

       • No basta con la simple lectura de un dato
       • Pertenece a la muestra de la cual se extrajo la información
       • Su interpretación depende del contexto en el cual ha sido recolectado
       • Su validez depende del instrumento de recolección de información
       • Sus cambios son explicados por la historia
       • No implica causalidad inmediata
       • No tiene resultados exactos
       • La representatividad depende de cómo se recogieron los datos y
       cuántos son
       • Considera niveles de incertidumbre en la toma de decisiones




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                                                                Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                           ¿Para qué estudiar estadística en Educación?

     La investigación en educación, en ocasiones, se apoya de métodos estadísticos
     que le facilitan el procesamiento y análisis de los datos, es por eso que el curso
     Estadística aplicada a la educación tiene como propósito fundamental proveer a
     los educadores de un conjunto de métodos, técnicas, y procedimientos
     estadísticos que le permitan recolectar, organizar, presentar e interpretar datos
     provenientes de un conjunto de elementos o colectivo en estudio, a fin de
     obtener conclusiones válidas y confiables

      Variables comunes en Educación
      • Rendimiento
      • Deserción
      • Repitencia
      • Nutrición

      En términos generales se usa para:
      • Planificar
      • Diagnosticar



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                                                                  Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                               ¿Que estadísticas se ven en Educación?



    Matemática y Estadística I                                           Estadística II




     Estadística III                                         Métodos Cuantitativos




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                                                               Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

                                                   ¿Cómo debo abordar la asignatura?

     • Disponer de un correo electrónico para comunicarse con su profesor
     • Preparar el contenido con anticipación a la asesoría
     • Llevar nota de los comentarios y dudas que surgen en la lectura
     • Revisar el tipo de ejercicio que se realiza para la unidad
     • Asistir puntualmente a las asesorías
     • Realizar preguntas y comentarios al profesor durante la asesoría
     • Llevar nota de las observaciones, técnicas y formulas que se proponen
     en clase
     • Llevar registro de los contenidos discutidos en clase y los que quedan
     pendientes
     • Dedicar a la asignatura al menos 15 horas semanales para leer o
     ejercitarse
     • Redactar conclusiones de todos los resultados que se obtengan
     producto del calculo y corroborarlo con compañeros y profesores


      www.ucv.ve/eus
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                                                                Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Tema 2: Operaciones básicas en estadística

     Propósito:
     Presentar a los participantes las operaciones matemáticas básicas
     utilizadas en la estadística
     Audiencia:
     Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS
     Estrategia:
     Discusión guiada

     Tiempo estimado:
     1 hora

     Contenidos:
     1.Operador sumatoria
     2.Operaciones básicas en el conjunto de los números reales: suma,
     resta, multiplicación, división
     3.Operaciones con fracciones
     4.Propiedades de la potenciación
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                                                                Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Operador Sumatoria

      Sea la sucesión de 100 términos cualesquiera de un campo numérico
                               an = a1 , a2 , a3 ,..., a100
      La suma de los términos de la sucesión viene dada por:
                            an = a1 + a2 + a3 + ... + a100
      Esta suma se puede expresar de forma más sencilla mediante el uso
      del símbolo ∑ (mayúscula de la letra sigma griega, correspondiente a
      la letra “s” de nuestro alfabeto).

      Tenemos entonces que la sumatoria
              n

             ∑ a ( m ≤ n)
             k =m
                    k

      es una forma de expresar la suma de los términos de una sucesión,
      términos que se obtienen dando a la variable k, valores enteros
      comprendidos entre dos límites escritos en la parte inferior y
      superior del símbolo.


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                                                                 Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Operador Sumatoria

      Si consideramos el operador sumatoria definido con anterioridad
                       n

                   ∑ a ( m ≤ n)
                   k =m
                           k


      La expresión dada se leerá así: sumatoria desde k=1 hasta 100 de la
      sucesión ak

      Los límites m y n (inferior y superior) reciben el nombre de índices de
      la sumatoria y este operador será una representación simbólica muy
      utilizada en fórmulas estadísticas
      Ejemplos:
            20
      a)
           ∑2
            k =1
                   k
                       = 21 + 2 2 + 23 + ... + 2 20

            n
      b)
           ∑ ( 2t + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)
           t =0



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                                                                   Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Algunas propiedades de las sumatorias:

       Si c es una constante y ak es una sucesión, entonces;
            n             n

          ∑ ca
           k =1
                  k   = c ∑ ak
                         k =1

       Si c es una constante, entonces
            n

           ∑ c = ( n − m + 1) c
           k =1

       Si ak y bk son sucesiones se cumple que:
            n                    n      n

           ∑(a
           k =1
                  k   + bk ) = ∑ ak + ∑ bk
                                k =1   k =1

      NOTA: Como mencionamos con anterioridad, el operados sumatoria
      se usa mucho en la estadística, como por ejemplo, para expresar el
      calculo del promedio de observaciones numéricas:
                 n

                  ∑ xi    En este caso, el operador sumatoria representa
                          la suma de las observaciones de la serie dada.
         X=    i =1

                  n
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                                                                Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Algunas propiedades de las sumatorias:

      Algunos errores que se cometen al usar el operador sumatoria:
                                                2
                         n
                                 n    
       Es falso tomar a ∑ ak =  ∑ ak  ya que son valores completa_
                              2

                         k =1    k =1 
      mente diferentes. Se puede verificar fácilmente con un ejemplo.

                                n                   n    n
       Es falso afirmar que   ∑a
                               k =1
                                      k   × bk = ∑ ak × ∑ bk ya que si hacemos
                                                k =1    k =1

      por separado dicho calculo podemos observar que son completa_
      mente diferentes.




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                                                                     Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Potencia de un Número

      Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede
      indicar el producto factor a factor; si son pocos factores esto se puede
      hacer sin mucha dificultad. Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por si
      mismo 2 tres veces.

      Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco
      práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el
      producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en
      forma de potencia.

      Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el
      número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que
      nos indica el número de veces que se multiplica el número.




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                                                             Cátedra de Métodos Cuantitativos
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     Propiedades de la potenciación

       Producto de bases distintas elevadas a un mismo exponente:
         ( a ⋅ b) n = a n ⋅ bn
       Potencia de una potencia:
          (a )
             n m
                   = a n⋅ m
       Producto de potencias de bases iguales es una potencia donde se
      suman los exponentes:
          a n ⋅ a m = a n+m
      División de potencias de igual base es una potencia donde se
      restan los exponentes:
          a m ÷ a n = a n−m
       Todo número elevado a la cero es igual a 1:
          a0 = 1


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                                                               Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

     Propiedades de la potenciación
      Base fraccionaria con exponente negativo es una potencia en la que se
     “voltea” la fracción y se le cambia el signo al exponente:
              −n          n
        a         b
                 = 
        b         a
      Potencia de bases con exponentes fraccionarios:

        a n = n am
          m




     NOTA: El concepto y las propiedades de la potenciación pueden ser
     conveniente usadas en ciertas fórmulas estadísticas, como es el caso de la
     desviación típica o estándar:
                n
                                   En este caso, debemos elevar al cuadrado
               ∑   ( xi − x ) 2           las desviaciones entre las observaciones
     con                               respecto a su media aritmética.
       σ=     i =1
                     n


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                                                                 Cátedra de Métodos Cuantitativos
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                                   Ejemplos
             2 3 + 32 + 4 2 = 2.2.2 + 3.3 + 4.4 = 8 + 9 + 16 = 33

             (5 + 4) 2 + 32 =   (9)2 + 3.3 = 9.9 + 3.3 = 81 + 9 = 90


                3 +1 =           4=2
               25 − 16    9 3
                       =   = =1
                 3       3  3

             33 + 4 − 2 3 =

             10 2.10 5
               10 3
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                                                               Cátedra de Métodos Cuantitativos
Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación

      Ejemplo:           n

      Sean:             ∑x
                        i =1
                                i   = x1 + x2 + x3 + ... + xn

                          n

                         ∑ ax = ax + ax
                         i =1
                                    i    1     2   + ax3 + ... + axn Donde a es una constante


      Resolver el siguiente planteamiento:
      Las siguientes notas corresponden a un grupo de estudiantes:
       Xi = 10, 15, 8, 17, 20, 5      yi = 12, 14, 10, 15, 4, 6

      Calcular:
      a) ∑ Xi

      b) ∑ Xi
           n

      c) ∑ Xj Yj

      d)    ∑ Xi ² - ∑ Yi - ∑ xi. Yi
                      n
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Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación


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                    xi            Yi            xi²          xi .Yi

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  • 1. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Tema 1: Nociones básicas Propósito: Ofrecer a los participantes nociones básica del uso de la estadística y su importancia en la Educación Audiencia: Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS Estrategia: Discusión guiada Tiempo estimado: 30 minutos Contenidos: 1.¿Qué es matemática y qué es estadística? 2.Abusos de la estadística 3.¿Para qué estudiar estadística en Educación? 4.¿Que estadísticas se ven en Educación? 5.¿Cómo debo abordar la asignatura? 1 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 2. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Qué es matemática y qué es estadística? Cuando pensamos en matemática Cuando pensamos en estadística ¿Qué recordamos? ¿Qué recordamos? Se llama matemática al estudio La estadística es una ciencia de las propiedades y las con base matemática referente relaciones de entes abstractos a la recolección, análisis e (números, figuras geométricas) a interpretación de datos, que partir de notaciones básicas busca explicar condiciones exactas y a través del regulares en fenómenos de razonamiento lógico. tipo aleatorio. 2 http://es.wikipedia.org/ Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 3. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Qué es matemática y qué es estadística? Cuando pensamos en matemática Cuando pensamos en estadística ¿Cuándo la usamos? ¿Cuándo la usamos? La teoría matemática sí se Es transversal a una amplia variedad desarrolla en abstracto: no de disciplinas, desde la física hasta las depende de otra cosa fuera de sí ciencias sociales, y es usada para la misma. La verdad de la teoría se toma de decisiones. Dos ramas de la mide por la lógica y no por el estadística permiten: utilizar métodos experimento. Sin embargo, una de de recolección, descripción, sus utilizaciones más valiosas es el visualización y resumen de datos describir o modelar los procesos en originados a partir de los fenómenos el mundo real, de manera que hay en estudio (descriptiva), y la una interacción constante entre las generación de los modelos, para matemáticas puras y las modelar patrones en los datos y matemáticas aplicadas. extraer inferencias acerca de la población bajo estudio (inferencia). 3 http://es.wikipedia.org/ Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 4. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Qué es matemática y qué es estadística? Cuando pensamos en matemática Cuando pensamos en estadística ¿Dudamos de ella? ¿Dudamos de ella? Puesto que el estudio no está El uso de cualquier método relacionado con el mundo físico, estadístico es válido solo cuando se buscan pruebas formales el sistema o población bajo rigurosas, en lugar de consideración satisface los verificaciones experimentales. La supuestos matemáticos del teoría se presenta en términos de método. El mal uso de la un pequeño número de verdades estadística puede producir serios dadas (conocidas como axiomas), errores en la descripción e desde las que puede inferir toda interpretación una teoría. 4 http://es.wikipedia.org/ Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 5. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Abusos de la estadística La estadística es una ciencia exacta porque dice siempre exactamente lo que uno quiere que diga • No basta con la simple lectura de un dato • Pertenece a la muestra de la cual se extrajo la información • Su interpretación depende del contexto en el cual ha sido recolectado • Su validez depende del instrumento de recolección de información • Sus cambios son explicados por la historia • No implica causalidad inmediata • No tiene resultados exactos • La representatividad depende de cómo se recogieron los datos y cuántos son • Considera niveles de incertidumbre en la toma de decisiones 5 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 6. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Para qué estudiar estadística en Educación? La investigación en educación, en ocasiones, se apoya de métodos estadísticos que le facilitan el procesamiento y análisis de los datos, es por eso que el curso Estadística aplicada a la educación tiene como propósito fundamental proveer a los educadores de un conjunto de métodos, técnicas, y procedimientos estadísticos que le permitan recolectar, organizar, presentar e interpretar datos provenientes de un conjunto de elementos o colectivo en estudio, a fin de obtener conclusiones válidas y confiables Variables comunes en Educación • Rendimiento • Deserción • Repitencia • Nutrición En términos generales se usa para: • Planificar • Diagnosticar 6 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 7. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Que estadísticas se ven en Educación? Matemática y Estadística I Estadística II Estadística III Métodos Cuantitativos 7 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 8. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación ¿Cómo debo abordar la asignatura? • Disponer de un correo electrónico para comunicarse con su profesor • Preparar el contenido con anticipación a la asesoría • Llevar nota de los comentarios y dudas que surgen en la lectura • Revisar el tipo de ejercicio que se realiza para la unidad • Asistir puntualmente a las asesorías • Realizar preguntas y comentarios al profesor durante la asesoría • Llevar nota de las observaciones, técnicas y formulas que se proponen en clase • Llevar registro de los contenidos discutidos en clase y los que quedan pendientes • Dedicar a la asignatura al menos 15 horas semanales para leer o ejercitarse • Redactar conclusiones de todos los resultados que se obtengan producto del calculo y corroborarlo con compañeros y profesores www.ucv.ve/eus 8 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 9. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Tema 2: Operaciones básicas en estadística Propósito: Presentar a los participantes las operaciones matemáticas básicas utilizadas en la estadística Audiencia: Estudiantes de nuevo ingreso de los EUS Estrategia: Discusión guiada Tiempo estimado: 1 hora Contenidos: 1.Operador sumatoria 2.Operaciones básicas en el conjunto de los números reales: suma, resta, multiplicación, división 3.Operaciones con fracciones 4.Propiedades de la potenciación 9 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 10. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Operador Sumatoria Sea la sucesión de 100 términos cualesquiera de un campo numérico an = a1 , a2 , a3 ,..., a100 La suma de los términos de la sucesión viene dada por: an = a1 + a2 + a3 + ... + a100 Esta suma se puede expresar de forma más sencilla mediante el uso del símbolo ∑ (mayúscula de la letra sigma griega, correspondiente a la letra “s” de nuestro alfabeto). Tenemos entonces que la sumatoria n ∑ a ( m ≤ n) k =m k es una forma de expresar la suma de los términos de una sucesión, términos que se obtienen dando a la variable k, valores enteros comprendidos entre dos límites escritos en la parte inferior y superior del símbolo. 10 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 11. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Operador Sumatoria Si consideramos el operador sumatoria definido con anterioridad n ∑ a ( m ≤ n) k =m k La expresión dada se leerá así: sumatoria desde k=1 hasta 100 de la sucesión ak Los límites m y n (inferior y superior) reciben el nombre de índices de la sumatoria y este operador será una representación simbólica muy utilizada en fórmulas estadísticas Ejemplos: 20 a) ∑2 k =1 k = 21 + 2 2 + 23 + ... + 2 20 n b) ∑ ( 2t + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1) t =0 11 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 12. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Algunas propiedades de las sumatorias:  Si c es una constante y ak es una sucesión, entonces; n n ∑ ca k =1 k = c ∑ ak k =1  Si c es una constante, entonces n ∑ c = ( n − m + 1) c k =1  Si ak y bk son sucesiones se cumple que: n n n ∑(a k =1 k + bk ) = ∑ ak + ∑ bk k =1 k =1 NOTA: Como mencionamos con anterioridad, el operados sumatoria se usa mucho en la estadística, como por ejemplo, para expresar el calculo del promedio de observaciones numéricas: n ∑ xi En este caso, el operador sumatoria representa la suma de las observaciones de la serie dada. X= i =1 n 12 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 13. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Algunas propiedades de las sumatorias: Algunos errores que se cometen al usar el operador sumatoria: 2 n  n   Es falso tomar a ∑ ak =  ∑ ak  ya que son valores completa_ 2 k =1  k =1  mente diferentes. Se puede verificar fácilmente con un ejemplo. n n n  Es falso afirmar que ∑a k =1 k × bk = ∑ ak × ∑ bk ya que si hacemos k =1 k =1 por separado dicho calculo podemos observar que son completa_ mente diferentes. 13 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 14. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Potencia de un Número Si se desea multiplicar un número por sí mismo varias veces se puede indicar el producto factor a factor; si son pocos factores esto se puede hacer sin mucha dificultad. Por ejemplo 2·2·2, si se multiplica por si mismo 2 tres veces. Esta forma de expresar este tipo de operaciones es tediosa y poco práctica. Una notación más simple y práctica para expresar el producto de un número por sí mismo varias veces es la notación en forma de potencia. Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos indica el número de veces que se multiplica el número. 14 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 15. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Propiedades de la potenciación  Producto de bases distintas elevadas a un mismo exponente: ( a ⋅ b) n = a n ⋅ bn  Potencia de una potencia: (a ) n m = a n⋅ m  Producto de potencias de bases iguales es una potencia donde se suman los exponentes: a n ⋅ a m = a n+m División de potencias de igual base es una potencia donde se restan los exponentes: a m ÷ a n = a n−m  Todo número elevado a la cero es igual a 1: a0 = 1 15 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 16. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Propiedades de la potenciación  Base fraccionaria con exponente negativo es una potencia en la que se “voltea” la fracción y se le cambia el signo al exponente: −n n a b   =  b a  Potencia de bases con exponentes fraccionarios: a n = n am m NOTA: El concepto y las propiedades de la potenciación pueden ser conveniente usadas en ciertas fórmulas estadísticas, como es el caso de la desviación típica o estándar: n En este caso, debemos elevar al cuadrado ∑ ( xi − x ) 2 las desviaciones entre las observaciones con respecto a su media aritmética. σ= i =1 n 16 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 17. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Ejemplos 2 3 + 32 + 4 2 = 2.2.2 + 3.3 + 4.4 = 8 + 9 + 16 = 33 (5 + 4) 2 + 32 = (9)2 + 3.3 = 9.9 + 3.3 = 81 + 9 = 90 3 +1 = 4=2 25 − 16 9 3 = = =1 3 3 3 33 + 4 − 2 3 = 10 2.10 5 10 3 17 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 18. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Ejemplo: n Sean: ∑x i =1 i = x1 + x2 + x3 + ... + xn n ∑ ax = ax + ax i =1 i 1 2 + ax3 + ... + axn Donde a es una constante Resolver el siguiente planteamiento: Las siguientes notas corresponden a un grupo de estudiantes: Xi = 10, 15, 8, 17, 20, 5 yi = 12, 14, 10, 15, 4, 6 Calcular: a) ∑ Xi b) ∑ Xi n c) ∑ Xj Yj d) ∑ Xi ² - ∑ Yi - ∑ xi. Yi n 18 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 19. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación Solución: xi Yi xi² xi .Yi 10 12 100 120 15 14 225 210 8 10 64 80 17 15 289 255 20 4 400 80 5 6 25 30 75 61 1103 775 19 Cátedra de Métodos Cuantitativos
  • 20. Módulo II: Aproximación a la estadística en Educación 20 Cátedra de Métodos Cuantitativos