Topo

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REGIONAL BOYACA
SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA
CENTRO NACIONAL MINERO
2003
TOPOGRAFIA
TECNICO PROFESIONAL EN TOPOGRAFIA DE MINAS Y
OBRAS CIVILES

2
1. LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO DE UN LOTE POR RADIACION CON
TEODOLITO Y CINTA METRICA
Generalidades: Este tipo de levantamiento
topográfico consiste en ubicar un punto estratégico
dentro o fuera del lote a medir, en donde se
estaciona el teodolito, para luego medir el acimut y
distancia horizontal hasta cada una de las
esquinas o vértices del lote.
Aplicación. Se utiliza en el levantamiento
topográfico de toda clase de lotes.
Condiciones de uso. Para la aplicación de este
método de levantamiento se debe tener en cuenta:
• Que todos los puntos de lindero se vean desde el
punto estratégico elegido.
•Que las distancias horizontales hasta los puntos de lindero se puedan medir con
cinta.
•Que no se presenten obstáculos que impidan la utilización de la cinta métrica para
medir las distancias horizontales correctamente.
Procedimiento para la toma de datos de
campo.
1. Materialización de los puntos de lindero
(Estacado).
2. Localización y materialización del punto estratégico
para la radiación que cumpla las condiciones de uso
del método de levantamiento topográfico.(Estaca con
punto centro).
3. Centrada y nivelada del teodolito en el
punto de radiación.
4. Orientación del teodolito: Consiste en colocar en
ceros el teodolito con un meridiano, ya sea magnético
(brújula) ó arbitrario, con cualquier dirección.
5. Se coloca un jalón o plomada en el primer
punto de lindero, generalmente a la derecha del meridiano tomado como
referencia.
Lineas de
radiacion sin
obstaculos
visuales
Lindero

3
6. Se gira el teodolito, midiendo ángulos, hasta enfocar el centro del jalón o el
hilo de la plomada, colocada en el primer punto de lindero. Se registra el valor
del ángulo horizontal, acimut, en la cartera topográfica de campo.
7. Se alinean jalones, con el teodolito, a distancias que permitan que la cinta
quede horizontal, para medir la distancia total desde el teodolito hasta el primer
punto de lindero. Se registra la distancia horizontal total en la cartera
topográfica de campo.
8. Se repiten los pasos 6 y 7 para tomar los datos de los demás puntos de
lindero.
9. Para verificar la precisión del levantamiento se lee nuevamente el acimut al
primer punto de lindero. Si la diferencia con respecto al primer acimut tomado,
por defecto o por exceso, es mayor que la aproximación del teodolito se toman
nuevamente todos los acimut.
Cartera topográfica de campo. Son tablas con columnas y filas que permiten
registrar los datos de campo y datos resultados del procesamiento matemático.
En la primera columna se registra la estación, que corresponde al punto en donde
se ubicó el teodolito. En la segunda columna se registra la subestación que
corresponde al punto hacia donde se lanzó la visual. En las siguientes tres
columnas se registra el valor del acimut expresado en grados, minutos y
segundos. En la siguiente columna se registra el valor de la distancia horizontal.
En las siguientes cuatro columnas se registra el valor de las proyecciones. En las
siguientes dos columnas se registra el valor de las coordenadas y en la última
columna se registra las observaciones necesarias para identificar a qué clase de
punto se refiere.
Distancia
Gds Min Seg Horizontal Norte Sur Este Oeste
Observaciones
CARTERA TOPOGRAFICA PARA UN LEVANTAMIENTO POR RADIACION
Acimut
Est
Sub
Est
Proyecciones

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Procesamiento matemático de datos. Para la localización de un punto a partir
de otro se utilizan las coordenadas polares o las coordenadas rectangulares.
Coordenada polar: Una coordenada polar es cuando para localizar un punto se
utiliza el ángulo horizontal entre la referencia y el punto a localizar (acimut) y la
distancia horizontal.
Coordenada rectangular: Una coordenada rectangulares cuando para localizar
un punto se utilizan dos distancias horizontales.
Haciendo pasar un sistema de coordenadas cartesianas en donde el punto de
origen corresponde al punto en donde se paró el teodolito y las abscisas coinciden
con la orientación del equipo (dirección norte), en las coordenadas polares el
ángulo se puede tomar como el rumbo o el acimut de la línea. En las coordenadas
rectangulares una de las distancias es en dirección norte o sur y la otra es en
dirección este u oeste dependiendo del cuadrante en que se encuentre la línea.
La toma de datos en un levantamiento topográfico planimétrico se basa en la
recolección de acimuts y distancias horizontales, es decir, coordenadas polares.
Para el cálculo de área y elaboración de planos se utilizan las coordenadas
rectangulares, por lo tanto, se hace necesario transformar las coordenadas
polares en coordenadas rectangulares.
Si el punto está en el primer cuadrante las componentes rectangulares serán
hacia el norte y hacia el este.

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Ejemplo: Rumbo 1-2 = N 51º 25’ 30” E
Distancia horizontal 99.22 m.
El valor de la componente hacia el norte es igual a:
Distancia al N = Coseno (rumbo) * Distancia Horizontal
Distancia al N = Coseno ( 51º 25’ 30”) * 99.22 m = 61.642 m
La componente rectangular hacia el este es igual a:
Distancia hacia el E = Seno (rumbo) * Distancia Horizontal
Distancia hacia el E = Seno ( 51º 25’ 30”) * 99.22 m = 77.749 m
Si el punto está en el segundo cuadrante el rumbo será S - E y las componentes
rectangulares serán hacia el sur y hacia el este.
Ejemplo Rumbo S 67º 13’ 63” E y distancia horizontal 79.48 m.
El valor de la componente horizontal hacia el sur es igual a: 30.76 m
Distancia S = Coseno ( rumbo) * distancia horizontal
Distancia S = Coseno ( 67º 13’ 53” ) * 79.48 m =30.76 m
El valor de la componente horizontal hacia el este es igual a:
Distancia E = Seno ( rumbo ) * Distancia horizontal
Distancia E = Seno ( 67º 13’ 53” ) * 79.48 m = 73.287 m
Generalizando, si se toma el rumbo para el cálculo de las componentes
horizontales el valor de la componente N - S y E - W se calcula con la misma
formula s

6
Distancia N - S = Coseno ( rumbo ) * Distancia Horizontal
Distancia E - W = Seno ( rumbo ) * Distancia horizontal..
Las componentes horizontales para los cuatro cuadrantes corresponde, en la
cartera topográfica a las proyecciones. El valor de la distancia N - S se registra, en
la cartera topográfica, en la casilla correspondiente a la primera letra del rumbo y
el valor de la distancia E - W Se registra, en la cartera topográfica, en la casilla
correspondiente a la segunda letra del rumbo .
Ejemplos: Punto localizado con un rumbo de N 50º 30’ 30” W y a una distancia
de 100 m horizontales; Punto localizado con un rumbo de S 60º 45’ 25” W y a una
distancia de 100 m horizontales.
En el primer caso, la proyección es norte, porque la primera letra del rumbo es al
norte y la otra proyección es al oeste, porque la segunda letra del rumbo es al
oeste .
Las coordenadas rectangulares permiten calcular las coordenadas absolutas o
cartesianas que es la forma más fácil de representar la localización de puntos.
Las coordenadas cartesianas se identifican como las distancias ortogonales que
hay a un punto desde otro tomado como referencia u origen. En la figura el punto
1 (100,100) significa que el punto 1 está 100 metros horizontales al norte y 100

7
metros horizontales al este del punto de referencia. El punto 2 (156.84,153.7)
significa que el punto 2 está 156.84 m horizontales hacia el norte y 153.7
horizontales hacia el este del punto de origen.
Las coordenadas de un punto se calculan basándose en el punto desde donde se
tomaron los datos de campo, es decir, desde donde se estacionó el teodolito.
En la figura el teodolito se estacionó en el punto 1, por lo tanto las coordenadas
del punto 2 se calculan a partir de las coordenadas del punto 1.
La coordenada norte del punto 2 se calcula sumando, a la coordenada norte del
punto 1, la proyección norte que hay hacia el punto 2 y la coordenada este del
punto 2 se calcula sumando, a la coordenada este del punto 1, la proyección este
hacia 2.
Coordenada norte 2 = coordenada norte de 1 + proyección norte hacia 2
Coordenada norte 2 = 100 m + 56.84 m = 156.84 m
Coordenada este 2 = Coordenada este de 1 + proyección este hacia 2
Coordenada este 2 = 100 m + 53.7 m = 153.7 m
El calculo de la coordenada norte del punto 3 se determina restando de la
coordenada norte del punto 1, la proyección sur hacia el punto 3. Para el calculo
de coordenada este del punto 1, la proyección este hacia 3.

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Coordenada norte de 3 = 100 m - 45.21 m = 54.79 m
Coordenada este de 3 = 100 m + 64.02 m = 164.029 m
El calculo de la coordenada norte del
punto 4, se determina restando, de la
coordenada norte del punto 1 la
proyección sur hacia el punto 4. El
calculo de la coordenada este del
punto 4, se determina restando, de la
coordenada este del punto 1 la
proyección oeste hacia 4.
Resumiendo: La coordenada norte de
un punto se calcula a partir de la
coordenada norte del punto donde se
colocó el teodolito, sumando o
restando, la proyección hacia el punto,
dependiendo si ésta proyección esta al
norte o al sur del teodolito. La
coordenada este de un punto se
calcula a partir de la coordenada este
del punto donde se colocó el teodolito, sumando o restando, la proyección hacia el
punto dependiendo si ésta proyección está hacia el este u oeste del punto del
teodolito.
TALLER. Resolver la siguiente cartera topográfica

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NOTA: Para una mejor comprensión del tema, de doble CLIC sobre la anterior
cartera (objeto de hoja de cálculo) y podrá visualizar el diseño de fórmulas en la
respectivabarra de fórmulas.
Para el cálculo de las proyecciones norte - sur se emplea la formula:
Proyección N-S = Coseno (Rumbo) * La distancia horizontal, para todos los puntos.
Para el cálculo de las proyecciones E-W se emplea la formula:
Proyección E-W = Seno (Rumbo) * Distancia Horizontal, para todos los puntos.
Punto 1. Proyección N-S = Coseno ( 60º 45’ 30”) * 120.5 m = 58.864 m
Como el rumbo es al N este valor se registra en la columna de la proyección norte.
Proyección E-W = Seno ( 60º 45’ 30” ) * 120.5 = 105.144 m
Como el rumbo es al E este valor se registra en la columna de la
proyección este.
Punto 2. Proyección N-S = Coseno ( 85º 15’ 40”) * 98.6 m =8.146 m
Como el rumbo es al S este valor se registra en la columna de la
proyección sur.
Proyección E-W = Seno ( 85º 15’ 40” ) * 98.6 = 98.263 m Como el
rumbo es al E este valor se registra en la columna de la proyección este
Como el rumbo es al S este valor se registra en la columna de la
proyección sur
EQUIPO:TeodolitooptomecánicoWildt1Aproximación20"
GdsMin Seg Norte Sur Este Oeste Norte Este
1 Est
2 N 60 45 30 E 120.5 Esquinalindero
3 S 85 15 40 E 98.6 Esquinalindero
4 S 10 12 20 E 125.42 Esquinalindero
5 S 25 14 12 W 100.98 Esquinalindero
8 N 87 46 45 W 135.64 Esquinalindero
2 N 60 45 25 E
Rumbo
Est
Sub
Est
CARTERATOPOGRAFICADEUNLEVANTAMIENTOPORRADIACION
Distancia
Horizontal
Proyecciones Coordenadas
Observaciones

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Como el rumbo es al E este valor se registra en la columna de la
proyección este
Punto 4. Proyección N-S = Coseno ( 25º 14’ 12”) * 100.98 m = 91.342m
Proyección E-W = Seno ( 25º 14’ 12” ) * 100.98 m = 43.054 m
Punto 5. Proyección N-S = Coseno ( 56º 1 8’ 45”) * 95.89 m = 53.187
Para el cálculo de las coordenadas, si no se disponen de las coordenadas reales
(IGAC) se parte de unas coordenadas arbitrarias, dándole un valor a las
coordenadas del punto uno, teniendo en cuenta que no resulten valores negativos
al calcular los demás puntos.
Para calcular las coordenadas N de un punto, se toma la coordenada N del punto
desde donde se tomó la información del punto objeto del calculo (estación),
sumándole o restándole el valor de la proyección según esté al norte o al sur.
Para calcular la coordenadas E de un punto, se toma la coordenada E del punto
desde donde se tomó la información del punto objeto del calculo (estación),
sumándole o restándole el valor de la proyección según esté al este o al oeste.
Como en una radiación todos los puntos se toman desde una sola estación,las
coordenadas de los demás puntos se calcularánn con las coordenadas de la
estación ( punto 1 ).
Para el ejemplo se toman coordenadas arbitrarias para el punto 1 de N = 500 y E
= 500. Las coordenadas de los demás puntos se calculan a partir de este punto.
Coordenada N punto 2 = 500 + 58.864 = 558.864
Coordenada E punto 2 = 500 + 105.144 = 605.144
Coordenada N Punto 3 = 500 - 8.146 = 491.854

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Coordenada E Punto 3 = 500 + 98.283 = 598.263
Calcule las demás coordenadas. Todos los valores calculados se registran en la
cartera topográfica.
NOTA: Para una mejor comprensión del tema, de doble CLIC sobre la anterior
cartera (objeto de hoja de cálculo) y podrá analizar e interpretar el uso de cada
una de las fórmulas diseñadas.
Generalmente las topografías se hacen para
conocer el área de los terrenos Levantados y
la representación a escala de su forma (
Plano).
Para el cálculo del área en base a las
coordenadas, existen dos métodos:
Primer método: Ordenar las coordenadas de
los puntos que intervienen en el cálculo, en
forma de matriz . En el primer método se
colocan las coordenadas del primer punto de
calculo, de ultimo (ver gráfica). Dos veces el
área es igual a la sumatoria de los productos
de los valores indicados por la flecha a la derecha ( ), menos la
sumatoria de los productos de los valores indicados
por la flecha a la izquierda
( ).
Segundo Método: En el segundo método se
coloca la primera coordenada este de última y la
última de primera. En este caso :
EQUIPO : Teodolito optomecánico Wild t1 Aproximación 20"
GdsMin Seg Norte Sur Este Oeste Norte Este
1 500 500 Est
2 N 60 45 30 E 120.5 58.864 0.000 105.144 0.000 558.864 605.144 Esquina lindero
3 S 85 15 40 E 98.6 0.000 8.146 98.263 0.000 491.854 598.263 Esquina lindero
4 S 10 12 20 E 125.42 0.000 123.436 22.222 0.000 376.564 522.222 Esquina lindero
5 S 25 14 12 W 100.98 0.000 91.342 0.000 43.054 408.658 456.946 Esquina lindero
8 N 87 46 45 W 135.64 5.256 0.000 0.000 135.538 505.256 364.462 Esquina lindero
2 N 60 45 25 E
Rumbo
Est
Sub
Est
CARTERA TOPOGRAFICA DE UN LEVANTAMIENTO POR RADIACION
Distancia
Horizontal
Observaciones
558.864 605144
491.854 598.263
376.564 522.222
408.658 456.946
446.813 420.212
495.058 412.740
505.256 364.462
573.733 424.278
598.881 485.835
558.864 605144
485.835
558.864 605.144
491.854 598.263
376.564 522.222
408.658 456.946
446.813 420.212
495.058 412.740
505.256 364.462
573.733 424.278
598.881 485.835
605.144

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2A = 558.864 * ( 598.263 - 485.835 ) + 491.854 * ( 522.222 - 605.144) + 376.564 *
( 456.946 - 598.263)+........+ 598.881 * (605.144 - 424.278)
Area = 31787.687 m2
.
En la elaboración del plano topográfico se tiene en cuenta el siguiente
procedimiento:
1. Elección del formato a utilizar, A0 , A1, A2, A3, A4 u otro.
2. Orientación del formato. Consiste en elegir hacia qué lado se deja la norte, a
lo largo o a lo ancho del formato. Se calcula delta norte restando de la
coordenada norte mayor la menor; se calcula delta este restando de la
coordenada este mayor la menor.
N mayor = 598.881
N menor = 376.564
Delta N = 598.881 - 376.564 = 182.299
E mayor = 605.144
E menor = 364.462
Delta E = 605.144 - 364.462 = 240.682
Como delta norte es menor que el delta
este el formato debe orientarse con la
parte más larga hacia el este.
3. Cuadricular el formato. Una vez
conocida la orientación del formato se
traza la margen y a partir del vértice
inferior izquierdo se cuadricula el formato
a distancias exactas de 10 centímetros.
4. Elección de la escala. Teniendo en
cuenta que la escala adecuada es aquella en la que el plano abarca la mayor
cantidad posible del formato sin quedar sobre el rótulo. Se toma la delta más
corta, en este caso la norte (182.299), y se divide en el número de cuadrículas
que salieron hacia el norte (8).
Ao
Norte
Este
Orientación del formato

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Escala = 182.299/8 = 22.88 = 1 : 228.8 se toma la escala comercial más próxima
por exceso, por lo tanto, la escala sería 1: 250. Se procede a graficar cada uno de
los puntos del polígono.
Actualmente el uso de las calculadoras de bolsillo o la hoja electrónica facilitan el
calculo de las proyecciones, porque se puede realizar fácilmente la
transformación de coordenadas polares a rectangulares, teniendo en cuenta que
el coseno de los ángulos en el segundo y tercer cuadrante son negativos y el seno
de los ángulos en el tercer y cuarto cuadrante son negativos.
Si se utiliza una calculadora de bolsillo es conveniente identificar el tipo de
calculadora de que se dispone y la forma de entrada de datos.
1. Calculadoras poco científicas. Se digita la distancia horizontal, se activa la
función polar radial pulsando las teclas Shif (invertido), menos, se digita el valor
del acimut e igual, si el valor que aparece en pantalla es positivo se registra en la
columna de proyección norte y si es negativo se registra en la columna de
proyección este; luego se pulsa la tecla X Y. Si el valor que aparece en
pantalla es positivo se registra en la columna de proyecciones este y si es
negativo se registra en la columna de proyecciones oeste.
2. Calculadoras científicas. Primero se activa la función polar rectangular
pulsando las teclas, shif menos
aparece en pantalla P(R,A) se
digita la distancia, coma y el valor
del acimut, finalmente la tecla
igual. si el valor que aparece en
pantalla es positivo se registra en
la columna de proyección norte y
si es negativo se registra en la
columna de proyección este; Se
activa la segunda función para
coordenadas polares, si el valor
que aparece en pantalla es
positivo se registra en la columna
de proyecciones este y si es
negativo se registra en la columna
de proyecciones oeste.
Proyección N-S = 435.17 INV menos (29º59’48”)= 58. 864 como este valor es
positivo se registra en la columna de proyección norte. x y Aparece en pantalla
58.864 como éste valor es positivo se registra en la columna de las proyecciones
este. Este procedimiento se aplica para cada uno de los puntos de la cartera
topográfica.

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3. Hoja electrónica. Primero se debe representar el valor del acimut en forma
decimal, para todos los puntos, de la siguiente manera:
Acimut DEC = Grados + Minutos/60 + Segundos / 3600. Cada valor del acimut en
la cartera electrónica corresponde a una celda: Gds esta en la celda C7, Min. en
D7 y Seg. en E7. En la celda donde se va a calcular el valor en decimales del
acimut se diseña la formula: = C7 + D7/60 + E7/3600. Enter. Aparece en la
celda el valor del acimut en forma decimal. Para el cálculo de los demás puntos,
copie la misma fórmula.
Para el calculo de las proyecciones se digitan las siguientes formulas: En la primera celda de la
columna de la proyección N digite:
=Si(cos(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal>0;cos(radianes(acimut DEC))*
distancia horizontal;0).
Significa que si la condición lógica es verdadera, el coseno del acimut es positivo
luego está en el primer o cuarto cuadrante y la proyección es norte, si la
condición lógica es falsa la proyección está al sur, por lo tanto digite cero en la
columna de la norte.
En la primera celda de la columna de proyección S digite:
=si(cos(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal<0;abs(cos(radianes(acimut
DEC))* distancia horizontal);0)
Si la condición lógica es verdadera, el coseno del acimut es negativo y está en el
segundo o tercer cuadrante y la proyección es sur. Para que en la cartera
topográfica no aparezcan valores negativos se antepone el valor absoluto.
En la primera celda de la columna de proyección E digite:
=si(seno(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal>0;seno(radianes(acimut
DEC))* distancia horizontal;0)
En la primera celda de la columna de proyección W digite:
=si(seno(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal<0;seno(radianes(acimut
En la primera celda de la columna de proyección E digite:
=si(seno(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal>0;seno(radianes(acimut
DEC))* distancia horizontal;0)
En la primera celda de la columna de proyección W digite:
=si(seno(radianes(acimut DEC))*distancia horizontal<0;seno(radianes(acimut

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NOTA: Para una mejor comprensión del tema, de doble CLIC sobre la anterior cartera (objeto de
hoja de cálculo) y podrá analizar e interpretar el uso de cada una de las fórmulas diseñadas.
EQUIPO : Teodolito optomecánico Wild t1 Aproximación 20"
Gds Min Seg DEC Norte Sur Este Oeste Norte Este
1 500 500 Est
2 15 18 35 15.3097 132.832 128.118 0.000 35.073 0.000 628.118 535.073 Lindero 374481.577 270533.157
3 86 39 40 86.6678 96.359 5.601 0.000 96.196 0.000 505.601 596.196 Lindero 292565.328 259031.096
4 129 47 59 129.8 102.369 0.000 65.527 78.649 0.000 434.473 578.649 Lindero 199704.652 203933.496
5 195 17 36 195.293 152.987 0.000 147.569 0.000 40.352 352.431 459.648 Lindero 132343.934 208898.088
6 249 54 41 249.911 132.546 0.000 45.526 0.000 124.482 454.474 375.518 Lindero 181617.5 184965.268
7 265 45 41 265.761 100.654 0.000 7.439 0.000 100.379 492.561 399.621 Lindero 204108.564 210437.454
8 287 15 16 287.254 89.652 26.592 0.000 0.000 85.617 526.592 414.383 Lindero 213440.61 234748.652
9 305 5 6 305.085 115.698 66.502 0.000 0.000 94.676 566.502 405.324 Lindero 262155.964 262966.205
10 345 56 54 345.948 153.369 148.780 0.000 0.000 37.237 648.780 462.763 Lindero 0 0.000
1860418.13 1835513.415
Area = 12452.3568 m2
Productos
ala derecha
Productos ala
Izquierda
Sumatoria de los productos
Acimut
Est
Sub
Est
CARTERA TOPOGRAFICA DE UN LEVANTAMIENTO POR RADIACION
Distancia
Horizontal
Proyecciones Coordenadas Observacion
es

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En el ejemplo las formulas son:
Proyección N =si(cos(radianes(f6))*g6>0;cos(radianes(f6))*g6;0) el valor es
128.118
Proyección S =si(cos(radianes(f6))*g6<0;abs(cos(radianes(F6))*G6);0) El valor
es 0.000 El valor absoluto se utiliza para que no aparezcan valores negativos.
Proyección E =si(seno(radianes(f6))*g6>0;seno(radianes(f6))*g6;0 El valor es
35.073
Proyección W =si(seno(radianes(g6))*g6<0;abs(seno(radianes(g6))*g6);0) El valor
es 0.000.
Se marcan las cuatro formulas y se copian.
Para el cálculo de las coordenadas se asignan las coordenadas del punto 1
arbitrarias o reales, para las demás se aplica la formula:
=Coordenada norte punto 1 + proyección norte - proyección sur.
En una radiación todas las coordenadas se calculan a partir de las coordenadas
del punto 1 (estación). En este caso se fija la celda de la coordenada norte del
punto1 (en la hoja electrónica se antepone el signo $ en la columna y en la fila).
La formula para el cálculo de las coordenadas E es:
= Coordenada este punto 1 + proyección este - proyección oeste
También se fija la coordenada este del punto 1.
Estas formulas se copian en todos los puntos de calculo.
En el ejemplo: Coordenadas N = $L$5 +H6 - I6 y El valor es 628.118;
Coordenada E =$M$5 + J6 - K6. El valor es 535.073.
Se copian estas formulas en los demás puntos de cálculo.
Para el calculo del área se adicionan dos columnas: una para el producto a la
derecha y otra para los productos a la izquierda. Estas columnas pueden
aparecer o no en la cartera topográfica.
En la primera columna se digita la formula:
= coordenada norte primer punto lindero * coordenada este segundo punto
lindero.

17
En la segunda columna:
= coordenada este primer punto lindero * coordenada norte segundo punto lindero
Estas formulas se copian en los demás puntos de cálculo.
Se hace la sumatoria de las dos columnas de los productos y se aplica la formula
para el cálculo del área.
En el ejemplo: En la primera columna =O6 * P7 El valor es 374481.577;
=p6 * O7 . El valor es 270533.157
Se hace la copia en los demás puntos de cálculo.
Es importante identificar si el Excel está configurado para utilizar la coma (,) o
punto y coma (;) en la separación de las fórmulas lógicas.

18
LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO DE UN TERRENO POR BASE MEDIDA O
INTERSECCION DE VISUALES
Generalidades: Este tipo de
levantamiento topográfico consiste
en ubicar dos puntos estratégicos
dentro o fuera del lote a medir, a
una distancia definida, entre 30 y
100 metros. Desde el primer
punto se miden los acimuts de
todos los puntos de lindero
tomando como referencia la norte
magnética o la norte arbitraria.
Desde el segundo punto se miden
los ángulos observados de todos
los puntos de lindero tomando
como referencia la línea medida.
Aplicación. Se utiliza en el
levantamiento topográfico de toda
clase de lotes.
Condiciones de uso. Para la aplicación de este método de levantamiento se
debe tener en cuenta :
•Que todos los puntos de lindero se vean desde el punto A.
•Que todos los puntos de lindero se vean desde el punto B.
•Que los puntos A y B no queden alineados con uno de los puntos lindero y
además que no se formen ángulos demasiado agudos.
Procedimiento para la toma de
datos de campo.
1. Materialización de los puntos de
lindero (Estacado).
2. Localización y materialización de
los dos puntos estratégicos que
cumplan las condiciones de uso
del método de levantamiento
topográfico.(Estaca con punto
centro)
3. Centrada y nivelada del teodolito
en el punto A.

19
4. Orientación del teodolito. Consiste en colocar en ceros el teodolito con un
meridiano ya sea magnético(brújula) o arbitrario con cualquier dirección.
5. Se coloca un jalón o plomada en el primer punto de lindero, generalmente a la
derecha del meridiano tomado como referencia.
6. Se gira el teodolito, midiendo ángulos, hasta enfocar el centro del jalón o el
hilo de la plomada colocada en el primer punto de lindero, se registra el valor
del ángulo horizontal, acimut, en la cartera topográfica de campo.
7. Se miden los acimuts a todos los puntos de lindero
8. Se mide el acimut y la distancia horizontal al punto B.
9. Para verificar la precisión del levantamiento se toma el valor del ángulo,
nuevamente, al primer punto de lindero. Si la diferencia con respecto al primer
acimut tomado, por defecto o por exceso, es mayor que la aproximación del
10.teodolito se toman nuevamente todos los acimuts.
11.Centrada y nivelada de el teodolito en el punto B.
12.Orientación del teodolito con el punto A. (Enfoque hacia A con un valor angular
de 0º 00’00”).
13.Medir ángulos de los puntos de lindero comenzando por el punto al que se
tomó el primer acimut.
14.Para verificar la precisión del levantamiento se toma el valor del ángulo,
nuevamente, al primer punto de lindero. Si la diferencia con respecto al primer
ángulo tomado, por defecto o por exceso, es mayor que la aproximación del
teodolito se toman nuevamente todos los ángulos.
Cartera topográfica. Es la misma
utilizada para un levantamiento por
radiación, únicamente se cambia el
encabezado. Para el resumen de los
ángulos internos de los triángulos
utilizados para el calculo de la distancia
horizontal, se utiliza una segunda cartera
de cálculo.

20
Procesamiento matemático
de datos. Se toman cada
uno de los triángulos y se
calculan los ángulos internos
en base a los datos de
campo. Aplicando la ley de
Seno se calcula la distancia
horizontal desde A hasta
cada uno de los puntos de
lindero. Teniendo el acimut y
la distancia horizontal desde
A hasta cada uno de los
puntos de lindero representa
una radiación y el desarrollo
de la cartera es como tal
como se hace en la cartera
por radiación.
Todos los datos calculados se registran en las carteras topográficas.
Teorema del Seno:
Seno EAB / BE = Seno ABE / AE = Seno AEB / AB
Seno ABE / AE = Seno AEB / AB
AE = AB * Seno ABE / Seno AEB
1AB = Acimut AB -Acimut A1
1AB = 199º38’31”- 60º20’542 = 139º17’37”
AB1 = Angulo medido B1 = 20º12’48”
A1B = 180 - (139º17’37” + 20º12’48”) = 20,4931ª
A1 = 112.36 * seno (20º12’48”)/seno

21
2AB = 199º38’31” - 117º1’54”
= 82º36’47”
A2B = 180 - (82º36’47” +
64º42’09”) =32,6872º
3AB = 199º38’31”- 169º21’20” = 30º17’11”
A3B = 180º- (30º17’ 11” + 120º 00’ 56”) =29,6981º
Utilizando el mismo procedimiento se calculan todas las distancias desde A a los
demás puntos de lindero. Luego se procede a desarrollar la cartera topográfica
como se hizo con la radiación.

22
NOTA: Para una mejor comprensión del tema, dé doble CLIC sobre la anterior
Para el calculo de los ángulos se puede utilizar la hoja electrónica empleando las
siguientes formulas:
Angulo EAB =si(acimut AB >acimut A1; Acimut AB -acimut A1;si(abs(acimut AB-
AcimutA1)<180;AcimutA1-Acimut AB;360 - (Acimut A1 - acimut AB)))
Angulo EAB =si($F$13>F7;$F$13-F7;si(ABS($F$13-F7)<180;F7-$F$13;360-(F7-
$F$13). El resultado es 139.294º
Angulo ABC =si(ángulo B1>180;ángulo B1;360-ángulo B1)
Angulo ABE =si(F14<180;F14;360-F14) el resultado es 20.2133º
Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo debe ser igual a 180º,
el ángulo AEB =180º-(ángulo EAB+ángulo ABE)
Angulo AEB =180º-(O6+P6) el resultado es 20.4331º.
Para el cálculo del Seno ABE =Seno(Radianes(ángulo ABE):
Seno ABE =Seno(Radianes (O6). El resultado es 0.34552.
Seno AEB =Seno( Radianes(Q6). El resultado es 0.350094.
Para el cálculo de la distancia se digita la fórmula:
=Distancia AB * Seno(ABE) / Seno(AEB); distancia A1 =$G$6*S6/R6.
El resultado es 110.891.
Distancia
Gds Min Seg DEC Horizontal Norte Sur Este Oeste
A Est 1 139.294 20.2133 20.4931 0.350094 0.34552 110.891
1 60 20 54 60.3 110.89096 54.861 0 96.37 0Lindero 2 82.6103 64.7025 32.6872 0.540053 0.9041 188.1017
2 117 1 54 117 188.10168 0 85.489 167.55 0Lindero 3 30.2864 120.016 29.6981 0.495429 0.86589 196.3779
3 169 21 20 169 196.37793 0 193 36.274 0Lindero 4 35.6617 105.692 38.6464 0.624512 0.96273 173.2109
4 235 18 13 235 173.21091 0 98.596 0 142.41Lindero 5 80.7575 63.2311 36.0114 0.587946 0.89283 170.6252
5 280 23 58 280 170.62524 30.799 0 0 167.82Lindero 6 118.19 29.2619 32.5478 0.538003 0.4888 102.0848
6 317 49 56 318 102.08484 75.663 0 0 68.53Lindero
B 199 38 31 200 112.36 0 105.82 0 37.769Lindero
B 1 20 12 48 20.2
2 64 42 9 64.7
3 120 0 56 120
4 254 18 29 254
5 296 46 8 297
6 330 44 17 331
RESUMENDEANGULOSCARTERATOPOGRAFICAPARAUNLEVANTAMIENTOPORBASEMEDIDA
Est
Sub
Est
Proyecciones Observa
ciones
SENOAEB SENOABE DISTANCIA
Acimut
Punto ANGEAB ANGABE ANGAEB

23
En la cartera de radiación la distancia A1 se toma directamente de la cartera
resumen de ángulos. Colocándose en la celda G7, se digita =T6. Se copia este
valor en las demás distancias.
En la cartera de resumen de ángulos se copian las fórmulas, arriba descritas, en
todos los demás puntos de cálculo.
Esta cartera queda automatizada, es decir, si cambiamos los datos de campo, automáticamente
ella calcula los demás datos.

24
LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO POR POLIGONAL ABIERTA.
Generalidades: Este tipo de levantamiento topográfico consiste en hacer
estaciones sucesivas a lo largo de una línea quebrada.
Aplicación. Se utiliza en el levantamiento topográfico de: Carreteras, redes
eléctricas, acueductos, alcantarillados y oleoductos.
Condiciones de uso. No tiene restricciones de uso.
Existen dos métodos para la toma de datos de campo: Contra-acimutando y
encerando.
Procedimiento Contra-acimutando.
1.Centrar y nivelar el teodolito en el punto inicial.
2. Orientar el equipo: Ceros, con la norte magnética o arbitraria o con un acimut
preestablecido.
3. Lectura del ángulo horizontal ( acimut ) hacia el punto dos y medición de la
distancia horizontal con la cinta.
4. Centrar y nivelar el teodolito en el punto dos.

25
5. Se coloca en el teodolito el valor del contra - acimut ( 47º 57’41” + 180 = 227º
57’ 41” ) y se enfoca hacia el punto 1.
6. Lectura del ángulo horizontal hacia el punto 3 y medición de la distancia
horizontal.
7. Repetir el procedimiento hasta medir todos los puntos de la poligonal.
Procesamiento matemático de datos. Con los datos de campo (acimut y
distancia horizontal) se calculan las proyecciones usando las mismas formulas que
en la radiación. Para el cálculo de las coordenadas se tiene en cuenta que: La
coordenadas del punto 1 se toman arbitrarias o reales(para el ejemplo
coordenadas arbitrarias N = 5000 y E = 5000). Las demás coordenadas se
calculan teniendo en cuenta el punto donde se tomaron los datos, es decir, las
coordenadas del punto dos se calculan a partir de las coordenadas del punto 1; las
del punto tres a partir de las del punto 2, las del punto cuatro a partir de las del
punto tres etc. Coordenadas del punto 2 N = 5000 + 88.948, E = 5000 + 98.653;
del punto 3 N = 5088.948 - 59.673, E = 5098.653 + 219.36 etc.
El procesamiento matemático de datos de este tipo de levantamiento topográfico,
en la hoja electrónica, cambia con respecto a la de radiación en la distribución de
las estaciones y sub-estaciones de las dos primeras columnas y en la formula para
el calculo de las coordenadas. Para el calculo de las coordenadas en la primera
celda de la coordenada N se digita la formula =L5 + H6 - I6 y en la primera celda
de la coordenada E se digita: =M5+J6-K6. Estas formulas se copian en los demás
puntos de calculo.
Poligonal abierta encerando: Consiste en medir el ángulo horizontal entre el
alineamiento anterior y el siguiente.
Gds Min Seg DEC Norte Sur Este Oeste Norte Este
1 5000 5000 Estación
2 47 57 41 47.9614 132.832 88.948 0.000 98.653 0.000 5088.948 5098.653 Estación
2 3 105 13 5 105.218 227.332 0.000 59.673 219.360 0.000 5029.275 5318.014 Estación
3 4 159 51 44 159.862 63.555 0.000 59.670 21.881 0.000 4969.606 5339.894 Estación
4 5 37 6 28 37.1078 84.333 67.256 0.000 50.879 0.000 5036.861 5390.774 Estación
5 6 73 31 20 73.5222 321.062 91.067 0.000 307.876 0.000 5127.928 5698.650 Estación
6 7 23 45 42 23.7617 91.182 83.452 0.000 36.740 0.000 5211.381 5735.390 Estación
Acimut
Est
Sub
Est
CARTERATOPOGRAFICADEUNLEVANTAMIENTOPORPOLIGONALABIERTA
Distancia
Horizontal
Observaciones

26
Procedimiento encerando.
1. Centrar y nivelar el teodolito en el punto inicial.
2. Orientación del equipo: Ceros, con la norte magnética o arbitraria o con un acimut
preestablecido.
3. Lectura del ángulo horizontal ( acimut ) hacia el punto dos y medición de la distancia horizontal
con la cinta.
4. Centrar y nivelar el teodolito en el punto dos.
5. Colocar el teodolito en ceros y enfocar hacia el punto 1.
6. Lectura del ángulo horizontal ( ángulo observado ) hacia el punto 3 y medición de la distancia
horizontal.
7. Centrar y nivelar el teodolito en el punto tres.
8. Colocar el teodolito en ceros y enfocar al punto 2.
9. Se mide el ángulo horizontal hacia 4 y la distancia horizontal. Se repite el
procedimiento hasta medir el ultimo punto.
Procesamiento matemático de datos: A partir del acimut de la línea 1-2 y con
los ángulos observados se calculan los demás acimuts, teniendo en cuenta que el
Acimut de una línea es igual al Acimut de la línea anterior ± 180º más el ángulo
observado. Más 180º si el acimut de la línea anterior es menor de 180º y menos si
es mayor. Si esta suma se pasa de 360º se restan 360º por que un acimut nunca
puede ser mayor de 360º.
Acimut línea 2-3 = Acimut de la línea anterior (47º57’41”) ± 180º (en éste caso +
180º puesto que 47º57’41” < 180º) + ángulo observado en el punto 2 (237º15’24”)
= 465º13’5”-360º = 105º13’5”.
Acimut línea 3-4 = 105º13’5” +180º + 234º32’39” = 519º 51’ 44”-360º = 159º 51’
44”.
Para el calculo en la hoja electrónica se inserta las columnas correspondientes al
ángulo observado incluyendo una para la expresión en forma decimal. En el
acimut se inserta una columna AZ1 para controlar que el acimut se tome siempre

27
con valores inferiores a 360º. En la columna AZ1 se digita la formula
=si(F6>360;F6-360º;F6), significa que si se cumple la parte lógica le reste al
acimut 360º y si no que deje el mismo acimut.
Como la formula para el calculo del acimut considera ± 180º dependiendo si el acimutanterior es
mayor o menor de 180º en la formula de la hoja electrónica se toma una consideración lógica en la
cual si es verdadera se resta 180º y si es falsa se suma 180º. En la celda del acimut
correspondiente al valor decimal se digita =si(G6>180;G6-180+K7;G6+180+K7). Se copia esta
formula en todas las celdas donde sea necesario calcular el acimut. Si es necesario se expresa el
valor del acimut calculado en grados/minutos/segundos teniendo en cuenta: Los grados
corresponden al valor entero del acimut expresado en decimales, si del valor decimal de los
grados multiplicado por 60 tomamos la parte entera da como resultado los minutos, el valor decimal
de los minutos multiplicado por 60 da los segundos.
Para un valor de acimut de 105.21806 en la columna de los grados se digita =entero(g7) da como
resultado en esa celda 105, En la celda de los minutos se digita =entero((G7-C7)*60) el valor
resultante son los minutos y por último en la celda de los segundos se digita =(((G7-C7)*60)-D7)*60
el valor corresponde a los segundos.
NOTA: Para una mejor comprensión del tema, dé doble CLIC sobre la anterior cartera (objeto de
hoja de cálculo) y podrá analizar e interpretar el uso de cada una de las fórmulas diseñadas.
Gds Min Seg DEC Az1 Gds Min Seg DEC Norte Sur Este Oeste Norte Este
2 47 57 41 47.961447.9614 132.832 88.948 0.000 98.653 0.000 5088.948 5098.653 Estación
2 3 105 13 5 465.218105.218 237 15 24 237.257 227.332 0.000 59.673 219.360 0.000 5029.275 5318.014 Estación
3 4 159 51 44 519.862159.862 234 38 39 234.644 63.555 0.000 59.670 21.881 0.000 4969.606 5339.894 Estación
4 5 37 6 28 397.10837.1078 57 14 44 57.2456 84.333 67.256 0.000 50.879 0.000 5036.861 5390.774 Estación
5 6 73 31 20 433.52273.5222 216 24 52 216.414 321.062 91.067 0.000 307.876 0.000 5127.928 5698.650 Estación
6 7 23 45 43 383.76223.7619 130 14 23 130.24 91.182 83.452 0.000 36.741 0.000 5211.381 5735.391 Estación
CARTERATOPOGRAFICADEUNLEVANTAMIENTOPORPOLIGONALABIERTA
Est
Sub
Est
Distancia
Horizontal
Observaciones
AnguloObservadoAcimut

28
POLIGONAL ABIERTA CON DETALLES POR RADIACION
Generalmente en los puntos de interés topográfico, el eje de una vía, de una red
eléctrica etc., no es posible colocar el teodolito porque la existencia de algún
obstáculo físico, por lo que se hace necesario trazar una poligonal topográfica y
desde los puntos de ésta, tomar los puntos de interés por radiaciones.
Procedimiento de la toma de datos.
1. Centrar y nivelar el teodolito en el punto inicial (punto 1 de la figura).
Orientación con la norte magnética o arbitraria.
2. Medición del ángulo horizontal (acimut) y la distancia hacia los puntos de
radiación programados (el punto 2 en el ejemplo) y al punto de cambio
siguiente (3 de la poligonal topográfica).Los puntos de radiación se deben
medir en orden, es decir, como aparezcan en el terreno. El cambio se debe
medir de último.
3. Centrar y nivelar el teodolito en el punto de cambio (punto 3 de la figura). Con
la estación anterior, referenciar el teodolito con lectura en ceros (punto 1).
4. Medir el ángulo horizontal (ángulo observado) y la distancia hacia los puntos de
radiación programadas para esta estación (puntos 4,5 y 6). Medir el siguiente
punto de cambio (punto 7).
5. Repetir los pasos 3 y 4 hasta finalizar la toma de datos.

29
Procesamiento matemático de datos. La formula para él calculo del acimut de
una línea dice: Acimut de una línea es igual al acimut de la línea anterior ± 180º +
el ángulo observado, en este caso la línea anterior hace referencia a la línea de la
poligonal topográfica, es decir, que para calcular el acimut de las líneas 3 - 4, 3 -
5, 3 -6 y 3 - 7, el acimut de la línea anterior a que hace referencia la formula
corresponde a la línea de poligonal 1 - 3.
Acimut 3 - 4 = Acimut línea anterior (1-3) ± 180º + ángulo observado 3- 4. Acimut
3 - 4 = 61º17’14” + 180º + 30º 17’ 42” = 271º 34’ 56”
Acimut 3 - 5 = Acimut línea anterior (1 - 3) ± 180º + ángulo observado 3- 5. Acimut
3 - 5 = 61º17’14” + 180º + 10º 21’ 03” = 251º38’ 17”
Acimut 3 - 6 = Acimut línea anterior (1 - 3) ± 180º + ángulo observado 3- 6. Acimut
3 - 6 = 61º 17’ 14” + 180º + 275º 21’ 24” = 156º 38`38”
Acimut 3 - 7 = Acimut línea anterior (1 - 3) ± 180ª + ángulo observado 3 - 7. Acimut
3 - 7 = 61º 17’ 14” +180 + 200º 01`09” = 81º 18’ 23”.
De esta forma se calcula el acimut para todas las líneas de radiación y poligonal
topográfica.
Con los acimuts calculados y la distancia horizontal se calculan las proyecciones.
Las coordenadas de los puntos de radiación se calculan a partir de las
coordenadas del punto desde donde se tomaron los datos. Las coordenadas de
los puntos 2 y 3 se calculan a partir de las coordenadas del punto 1, las
coordenadas de los puntos 4, 5, 6 y 7 se calculan a partir de las coordenadas del
punto 3.
Para el calculo del acimut (en la hoja electrónica) se digita la formula
=si(G7>180;G7-180+K8;G7+180+K8). Como el valor del acimut ( G7 ) es
constante para el calculo de todas las radiaciones, esta celda se fija colocándole el
signo $ tanto a la fila como a la columna y se copia la formula hasta el siguiente
punto de cambio. Queda =si($G$7>180º;$G$7-180+K8;$G$7+180+K8).
Para el calculo de la siguiente radiación queda =si($G$11>180;$G$11-
180+K12;$G$11+180+K8). Se copia hasta el siguiente cambio y así
sucesivamente hasta completar toda la cartera.
Para el calculo de las coordenadas en la formula =Q5+M6-N6 y R5+O6-P6 como
las coordenadas de las radiaciones se calculan a partir de las coordenadas del
punto desde donde se tomaron las radiaciones en el ejemplo punto 1 (Q5 y R5)
estas celdas se fijan y se copia la formula hasta la siguiente radiación. La formula
queda =$Q$5 + M6 + N6 y =$R$5+O6+P6 En el siguiente cambio queda
=$Q$5+M12+N12 y $R$11+O12+P12. Se continua modificando los valores
constantes hasta el final del calculo.

30
Gds Min Seg DEC Az1 Gds Min Seg DEC Norte Sur Este Oeste Norte Este
2 349 21 30 349.358 349.35833 25.87 25.425 0.000 0.000 4.777 5025.425 4995.223 Ejeacueducto
3 61 17 14 61.2872 61.287222 145.1 69.709 0.000 127.258 0.000 5069.709 5127.258 Estación
3 4 271 34 56 271.582 271.58222 30 17 42 30.295 51.265 1.416 0.000 0.000 51.245 5071.124 5076.013 Ejeacueducto
5 251 38 17 251.638 251.63806 10 21 3 10.3508 30.18 0.000 9.507 0.000 28.643 5060.202 5098.615 Ejeacueducto
6 156 38 38 516.644 156.64389 275 21 24 275.357 33.8 0.000 31.030 13.400 0.000 5038.678 5140.658 Ejeacueducto
7 81 18 23 441.306 81.306389 200 1 9 200.019 150.456 22.742 0.000 148.727 0.000 5092.450 5275.986 Estación
7 8 319 50 53 319.848 319.84806 58 32 30 58.5417 28.4 21.707 0.000 0.000 18.313 5114.157 5257.673 Ejeacueducto
9 51 34 18 411.572 51.571667 150 15 55 150.265 31.4 19.516 0.000 24.598 0.000 5111.967 5300.584 Ejeacueducto
10 86 46 55 446.782 86.781944 185 28 32 185.476 40.4 2.268 0.000 40.336 0.000 5094.718 5316.322 Ejeacueducto
11 73 12 44 433.212 73.212222 171 54 21 171.906 85.2 24.608 0.000 81.569 0.000 5117.058 5357.555 Estación
11 12 153 58 4 513.968 153.96778 260 45 20 260.756 20.985 0.000 18.856 9.210 0.000 5098.202 5366.764 Ejeacueducto
13 68 12 42 428.212 68.211667 174 59 58 174.999 115.456 42.855 0.000 107.208 0.000 5159.913 5464.763 Estación
13 14 133 29 51 493.498 133.4975 245 17 9 245.286 35.654 0.000 24.541 25.864 0.000 5135.372 5490.626 Ejeacueducto
CARTERATOPOGRAFICADEUNLEVANTAMIENTOPORPOLIGONALABIERTACONDETALLESPORRADIACION
Est
Sub
Est
Acimut AnguloObservado Distancia
Horizontal
Observaciones

31
LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO POR POLIGONAL CERRADA
Este método permite controlar la precisión del levantamiento topográfico y
consiste, como su nombre lo indica, en iniciar la poligonal en un punto y terminar
en el mismo punto. Generalmente se hace midiendo ángulos observados, si el giro
se hace en sentido horario los ángulos que se miden corresponden a los ángulos
externos de la poligonal y si es en sentido contrario a las manecillas del reloj son
ángulos internos.
La sumatoria de los ángulos externos de un polígono está dada por la formula:
(n +2 ) * 180 y la sumatoria de los ángulos internos ( n - 2 ) * 180 n = número de
lados del polígono. Comparando la sumatoria de los ángulos observados medidos
en el terreno con la formula según el número de lados y según el sentido del giro
se conoce el error de cierre angular. Para un levantamiento de poca precisión el
error de cierre angular permitido es de a* n de donde a = Aproximación angular
del teodolito y n = número de lados. Para un levantamiento topográfico de
precisión es:
Procedimiento para la toma de datos de campo.
1. Centrar y nivelar el teodolito en el punto inicial. Orientación con la norte magnética o norte
arbitraria o con un contra - acimut.
2. Medir ángulo horizontal (acimut ) y distancia hacia el punto 2.
3. Centrar y nivelar el teodolito en el punto 2. Encerar el teodolito con el punto 1.
4. Medir ángulo horizontal (ángulo observado ) y distancia hacia el punto 3.
6. Medir ángulo horizontal (ángulo observado ) y distancia hacia el punto 4.
Repetir hasta medir el ultimo punto.
7. Centrar y nivelar el teodolito en el punto 1. Encerar el teodolito con el último
punto.
8. Medir el ángulo horizontal (ángulo observado ) hacia el punto 2. ( cierre de la
poligonal).
na

32
Procesamiento matemático de datos.
1. Sumatoria de los ángulos observados 1619.997º
2. Sumatoria teórica de ángulos externos para una poligonal de 7 lados (n+2)*180
= 1620º.
3. Error de cierre angular: Sumatoria de ángulos observados menos suma teórica
= 1620º- 1619.997º = 0.002778º.
4. Factor de corrección angular = Error de cierre angular / número de lados =
0.002778º / 7 = 0.000397º
5. Corrección de los ángulos observados. El factor de corrección angular se suma
o resta a cada uno de los ángulos observados dependiendo si el error es por
defecto o por exceso. La sumatoria de los ángulos observados corregidos debe
ser exactamente igual a la suma teórica = 1620º.
6. Calculo de los acimuts. El acimut de la línea 1 - 2 inicial debe ser exactamente
igual al acimut de la línea 1 - 2 final = 48º 20’ 44”.
7. Calculo de las proyecciones empleando las formulas anteriormente
enunciadas.

33
8. Sumatoria de las proyecciones N, S, E y W. Como es una poligonal cerrada la
sumatoria de las N debe ser igual a la sumatoria de las S y la sumatoria de las
E debe ser igual a la de las W.
9. Calculo del delta N-S = Sumatoria de las proyecciones N - Sumatoria de las
proyecciones S = 0.004073.
10.Calculo del delta E-W = Sumatoria de las proyecciones E menos la sumatoria
de las proyecciones W = 0.000261.
11.Calculo del error total de cierre = Raíz cuadrada delta N-S al cuadrado mas
Delta E-W al cuadrado = 0.004081.
12.Calculo de la precisión = Perímetro de la poligonal / Error total de cierre. =
236190 se nota 1 : 236190 significa que se cometió un metro de error por cada
236190 m de poligonal. Si la precisión no está dentro de los parámetros
establecidos (por el contratante) se debe repetir el levantamiento.
13.Ajuste de la poligonal. Existen dos métodos para hacer el ajuste de la
poligonal, cuando se asume que el error total de cierre se cometió en la
medición de las distancias y cuando se asume que el error se cometió tanto en
la medición de las distancias como de los ángulos. En el primer caso el factor
de corrección de las proyecciones N-S se calcula con la formula F.c. N-s =
(Delta N-S / Perímetro) * c/u de las distancias. Si la sumatoria de las N es
mayor que la sumatoria de las S este factor se resta a las proyecciones N y se
suma a las proyecciones S. Si es al contrario, el factor se resta a las
proyecciones S y se suma a las proyecciones N. Haciendo la sumatoria de las
proyecciones N-S corregidas se debe cumplir que la sumatoria de las
proyecciones N corregidas debe ser exactamente igual a la sumatoria de las
proyecciones S corregidas. F.c. E-w = (Delta E-W/perímetro) * c/u de las
distancias. Se aplica lo mismos criterios que con el F.c. N-S. En el segundo
caso, generalmente el que se aplica, el factor de corrección de las
proyecciones N-S se calcula con la formula F.c. N - S = (Delta N-S / Sumatoria
de las proyecciones N + Sumatoria de las proyecciones S) * c/u de las
proyecciones N-S. Para la corrección de las proyecciones N-S se aplican los
mismos criterios del caso anterior. F.c. E-W = Delta N-S / Sumatoria de las
proyecciones E + Sumatoria de las proyecciones W ) * c/u de las proyecciones
E-W.
14.Cálculo de las coordenadas. Como es una poligonal cerrada las coordenadas
del punto 1 inicial deben ser exactamente iguales a las coordenadas del punto
1 final.

34
PROCESAMIENTO MATEMÁTICO DE DATOS EN LA HOJA ELECTRÓNICA.
1. Sumatoria de los ángulos observados. En una celda en la parte inferior de la
columna en donde aparece el acimut en forma decimal, K17 en la cartera ejemplo,
se realiza la Sumatoria empleando una de los métodos que tiene EXCEL, el
resultado debe ser 1619.997º
2. Sumatoria teórica de ángulos externos para una poligonal de 7 lados
(n+2)*180. En la celda inmediatamente inferior a la Sumatoria de los ángulos
observados se digita la formula =(7+2)*180, aparece en esa celda el valor de
1620. (K18).
3. Error de cierre angular: Sumatoria de ángulos observados menos suma
teórica = 1620º - 1619.997º = 0.002778º. En la siguiente celda (K19) se digita la
formula =abs.(K17-K18). El valor absoluto se utiliza para que no aparezcan valores
negativos en la cartera. = 0.002778
0.002778º / 7 = 0.000397º. En la siguiente celda, K20; se digita =K19/7 el
resultados es 0.000397.
6. Corrección de los ángulos observados. El factor de corrección angular se
suma o resta a cada uno de los ángulos observados dependiendo si el error es
por defecto o por exceso. La Sumatoria de los ángulos observados corregidos
debe ser exactamente igual a la suma teórica = 1620º. En la cartera
topográfica debe aparecer una columna subdividida para el ángulo observado
corregido. En la primera celda en donde sea necesario calcular el ángulo
corregido se digita =si($k$17>$k$18;K7-$K$20;k7+$k$20). Si la condición
lógica es verdadera, quiere decir que la suma de los ángulos observados es
mayor que la suma teórica y por lo tanto el factor de corrección se debe restar
de cada uno de los ángulos observados. Si es falsa el factor de corrección se
suma. La celda K17 se copia en la celda M17 y debe dar 1620 exactos.
7. Calculo de los acimut. El acimut de la línea 1 - 2 inicial debe ser exactamente
igual al acimut de la línea 1 - 2 final = 48º 20’ 44”. En la celda correspondiente
al acimut en formato decimal se digita la formula:
=si(G6>180;G6-180+O7;G6+180+O7).
Se copia en todas las celdas de calculo de acimut.

35
enunciadas.
9. Sumatoria de las proyecciones N, S, E y W. Como es una poligonal cerrada la
sumatoria de las N debe ser igual a la sumatoria de las S y la sumatoria de las
E debe ser igual a la de las W. Se realiza la sumatoria de las columnas de las
proyecciones.
10.Calculo de delta N-S = Sumatoria de las proyecciones N - Sumatoria de las
proyecciones S = 0.004073. En una celda
de las proyecciones W = 0.000261.
Delta E-W al cuadrado = 0.004081. digite la formula:
=raíz(potencia(R17,2)+potencia(T17,2)).
13.Calculo de la precisión = Perímetro de la poligonal / Error total de cierre. =
236190 se nota 1 : 236190 significa que se cometió un metro de error por cada
236190 m de poligonal. Si la precisión no está dentro de los parámetros
establecidos (por el contratante) se debe repetir el levantamiento.
14.Ajuste de la poligonal. Existen dos métodos para hacer el ajuste de la
poligonal, cuando se asume que el error total de cierre se cometió en la
medición de las distancias y cuando se asume que el error se cometió tanto en
la medición de las distancias como de los ángulos.
En el primer caso el factor de corrección de las proyecciones N-S se calcula
con la formula Fc. N-s = (Delta N-S / Perímetro) * c/u de las distancias. Si la
sumatoria de las N es mayor que la sumatoria de las S este factor se resta a
las proyecciones N y se suma a las proyecciones S. Si es al contrario el factor
se resta a las proyecciones S y se suma a las proyecciones N. Haciendo la
sumatoria de las proyecciones N-S corregidas se debe cumplir que la
sumatoria de las proyecciones N corregidas debe ser exactamente igual a la
sumatoria de las proyecciones S corregidas. Fc. E-w = (Delta E-W/perímetro) *
c/u de las distancias. Se aplica lo mismos criterios que con el Fc. N-S.
En el segundo caso(generalmente el que más se aplica), el factor de
corrección de las proyecciones N-S se calcula con la formula Fc. N - S = (Delta
N-S / Sumatoria de las proyecciones N + Sumatoria de las proyecciones S) *
c/u de las proyecciones N-S. Para la corrección de las proyecciones N-S se
aplican los mismos criterios del caso anterior. Fc. E-W = Delta N-S / Sumatoria
de las proyecciones E + Sumatoria de las proyecciones W ) * c/u de las

36
proyecciones E-W. En la celda correspondiente a la proyecciones norte digite
la formula:
=SI($Q$16>$R$16,Q6-(Q6*$R$20),Q6+(Q6*$R$20); en la sur
=SI($Q$16>$R$16,R6+(R6*$R$20),R6-(R6*$R$20)); en el este
=SI($S$16>$T$16,S6-(S6*$R$21),S6+(S6*$R$21)), y en el oeste
=SI($S$16>$T$16,T6+(T6*$R$21),T6-(T6*$R$21)).
Se verifica que la sumatoria de las proyecciones norte y sur, este y oeste sean
exactamente iguales.
15. Calculo de las coordenadas. Como es una poligonal cerrada las coordenadas
del punto 1 inicial deben ser exactamente iguales a las coordenadas del punto 1
final. Digite las formulas =Y5+U6-V6 ; =Z5+W6-X6 para el calculo de las
coordenadas norte y este respectivamente.

37
LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO DE UNA POLIGONAL CERRADA CON
DETALLES POR RADIACIÓN
Es el método de levantamiento topográfico más usado en la medición de precisión.
Combina el levantamiento por radiación y la poligonal cerrada.
Procedimiento de la toma de datos de campo.
1. Centrar y nivelar el teodolito en el punto inicial. Orientación con la norte
magnética o norte arbitraria o con un contra - acimut.
2. Medir ángulo horizontal (acimut) y distancia hacia los puntos de radiación
programados. (2,3 y 4). En último lugar se mide el cambio (5).

38
4. Medir ángulo horizontal (ángulo observado) y distancia hacia los puntos de
radiación programados para el punto 5 , en último lugar se mide el cambio (11).
5. Centrada y nivelada del teodolito en el punto 11. Encerar el teodolito con el
punto 5.
6. Medir ángulo horizontal (ángulo observado) y distancia hacia los puntos de
radiación.. Repetir hasta medir el ultimo punto.
7. Centrada y nivelada del teodolito en el punto 1. Encerar el teodolito con el
último punto.
8. Medir el ángulo horizontal (ángulo observado) hacia el punto 5. (cierre de la
poligonal).
Procesamiento matemático de datos. Se sugiere desarrollar la poligonal cerrada
y luego las radiaciones. Generalmente se desarrolla una sola cartera topográfica
con todos los datos.
1. Sumatoria de los ángulos observados. Se hace únicamente de los ángulos
que forman parte de la poligonal.
2. Sumatoria teórica de ángulos externos para una poligonal de 8 lados
(n+2)*180 =
3. Error de cierre angular: Sumatoria de ángulos observados menos suma
teórica.
por defecto o por exceso. La sumatoria de los ángulos observados corregidos
debe ser exactamente igual a la suma teórica.
6. Calculo de los acimut. Los acimut de las radiaciones de cada punto,
incluyendo el cambio, se calculan a partir del acimut de la línea anterior de
polígono. En el ejemplo para calcular el acimut de las líneas 5-6, 5-7, 5-8 y 5-9
se hace a partir del acimut de la línea 1-5, teniendo en cuenta que para la línea
siguiente de polígono se suma el ángulo observado corregido. Si el calculo es
perfecto el acimut 1-5 inicial debe ser exactamente igual al acimut 1-5 final.
enunciadas.

39
8. Sumatoria de las proyecciones N, S, E y W. Como es una poligonal cerrada
la sumatoria de las N debe ser igual a la sumatoria de las S y la sumatoria de
las E debe ser igual a la de las W.
9. Calculo del delta N-S = Sumatoria de las proyecciones N - Sumatoria de las
proyecciones S.
de las proyecciones W.
Delta E-W al cuadrado.
12.Calculo de la precisión = Perímetro de la poligonal / Error total de cierre.
13.Ajuste de la poligonal.
14. Calculo de las coordenadas. Como es una poligonal cerrada las coordenadas
del punto 1 inicial deben ser exactamente iguales a las coordenadas del punto 1
final.
Cartera topográfica.

40
NOTA: Para una mejor comprensión del tema, dé doble CLIC sobre la anterior cartera (objeto de hoja de cálculo) y
podrá analizar e interpretar el uso de cada una de las fórmulas diseñadas.
G d s M in S eg DE C Az1 G d s M in S eg DE C G d s M in S eg DE C No rte S u r E ste O este No rte S u r E ste O este No rte
1 5000
2 350 20 38 350.3439 350.344 42.09 41.494 0.000 0.000 7.060 41.494 0.000 0.000 7.060
3 30 42 30 30.70833 30.7083 41.329 35.534 0.000 21.105 0.000 35.534 0.000 21.105 0.000
4 62 40 21 62.6725 62.6725 41.768 19.175 0.000 37.107 0.000 19.175 0.000 37.107 0.000
5 82 14 0 82.23333 82.2333 288.87 39.038 0.000 286.220 0.000 39.017 0.000 286.342 0.000
5 6 282 24 15 282.4042 282.404 20 10 15 20.17083 20 10 15 20.17083 77.913 16.736 0.000 0.000 76.094 16.736 0.000 0.000 76.094
7 247 32 14 607.5372 247.537 345 18 14 345.3039 345 18 14 345.3039 84.194 0.000 32.169 0.000 77.806 0.000 32.169 0.000 77.806
8 192 35 8 552.5856 192.586 290 21 8 290.3522 290 21 8 290.3522 56.093 0.000 54.745 0.000 12.223 0.000 54.745 0.000 12.223
9 95 8 40.6 455.1446 95.1446 192 54 40 192.9111 192 54 40.63 192.9113 308.903 0.000 27.699 307.659 0.000 0.000 27.714 307.790 0.000
9 10 293 39 10.6 293.653 293.653 18 30 30 18.50833 18 30 30 18.50833 137.053 54.985 0.000 0.000 125.539 54.985 0.000 0.000 125.539
11 308 30 20.6 308.5057 308.506 33 21 40 33.36111 33 21 40 33.36111 83.858 52.209 0.000 0.000 65.623 52.209 0.000 0.000 65.623
12 265 18 43.6 625.3121 265.312 350 10 3 350.1675 350 10 3 350.1675 59.292 0.000 4.846 0.000 59.094 0.000 4.846 0.000 59.094
13 248 25 48.6 608.4302 248.43 333 17 8 333.2856 333 17 8 333.2856 103.304 0.000 37.978 0.000 96.070 0.000 37.978 0.000 96.070
14 170 12 4.63 530.2013 170.201 255 3 24 255.0567 255 3 24 255.0567 69.683 0.000 68.666 11.859 0.000 0.000 68.666 11.859 0.000
15 176 48 2.25 536.8006 176.801 261 39 21 261.6558 261 39 21.62 261.656 271.174 0.000 270.751 15.134 0.000 0.000 270.897 15.141 0.000
15 16 281 9 32.3 641.159 281.159 284 21 30 284.3583 284 21 30 284.3583 51.403 9.948 0.000 0.000 50.431 9.948 0.000 0.000 50.431
17 348 9 47.3 708.1631 348.163 351 21 45 351.3625 351 21 45 351.3625 61.23 59.928 0.000 0.000 12.560 59.928 0.000 0.000 12.560
18 27 3 6.25 387.0517 27.0517 30 15 4 30.25111 30 15 4 30.25111 69.817 62.179 0.000 31.752 0.000 62.179 0.000 31.752 0.000
19 97 5 43.3 457.0953 97.0953 100 17 41 100.2947 100 17 41 100.2947 64.152 0.000 7.924 63.661 0.000 0.000 7.924 63.661 0.000
20 238 19 48.9 598.3302 238.33 241 31 46 241.5294 241 31 46.63 241.5296 151.113 0.000 79.338 0.000 128.611 0.000 79.380 0.000 128.556
20 21 158 35 8.88 158.5858 158.586 100 15 20 100.2556 100 15 20 100.2556 64.944 0.000 60.461 23.712 0.000 0.000 60.461 23.712 0.000
22 234 38 28.9 234.6414 234.641 176 18 40 176.3111 176 18 40 176.3111 102.465 0.000 59.296 0.000 83.565 0.000 59.296 0.000 83.565
23 269 14 18.9 269.2386 269.239 210 54 30 210.9083 210 54 30 210.9083 64.69 0.000 0.860 0.000 64.684 0.000 0.860 0.000 64.684
24 278 50 16.9 278.838 278.838 220 30 28 220.5078 220 30 28 220.5078 130.066 19.984 0.000 0.000 128.522 19.984 0.000 0.000 128.522
25 306 34 54.5 306.5818 306.582 248 15 5 248.2514 248 15 5.625 248.2516 171.84 102.411 0.000 0.000 137.989 102.357 0.000 0.000 137.930
25 26 6 42 3.5 366.701 6.70097 240 7 9 240.1192 240 7 9 240.1192 167.699 166.553 0.000 19.568 0.000 166.553 0.000 19.568 0.000
27 1 25 42.5 361.4285 1.42847 234 50 48 234.8467 234 50 48 234.8467 104.863 104.830 0.000 2.614 0.000 104.830 0.000 2.614 0.000
28 23 11 15.5 383.1876 23.1876 256 36 21 256.6058 256 36 21 256.6058 55.348 50.877 0.000 21.793 0.000 50.877 0.000 21.793 0.000
29 305 56 10.5 305.9363 305.936 179 21 16 179.3544 179 21 16 179.3544 68.775 40.363 0.000 0.000 55.685 40.363 0.000 0.000 55.685
30 228 51 8.5 228.8524 228.852 102 16 14 102.2706 102 16 14 102.2706 99.964 0.000 65.776 0.000 75.275 0.000 65.776 0.000 75.275
31 269 20 58.1 269.3495 269.349 142 46 3 142.7675 142 46 3.625 142.7677 332.898 0.000 3.780 0.000 332.877 0.000 3.782 0.000 332.735
31 32 115 0 46.1 115.0128 115.013 25 39 48 25.66333 25 39 48 25.66333 146.013 0.000 61.737 132.319 0.000 0.000 61.737 132.319 0.000
33 138 11 53.1 138.1981 138.198 48 50 55 48.84861 48 50 55 48.84861 83.099 0.000 61.946 55.390 0.000 0.000 61.946 55.390 0.000
34 160 50 30.1 160.8417 160.842 71 29 32 71.49222 71 29 32 71.49222 157.083 0.000 148.383 51.551 0.000 0.000 148.383 51.551 0.000
35 169 33 13.1 169.5536 169.554 80 12 15 80.20417 80 12 15 80.20417 105.96 0.000 104.204 19.212 0.000 0.000 104.204 19.212 0.000
36 188 10 12.1 188.17 188.17 98 49 14 98.82056 98 49 14 98.82056 59.156 0.000 58.556 0.000 8.407 0.000 58.556 0.000 8.407
37 241 43 15.1 241.7209 241.721 152 22 17 152.3714 152 22 17 152.3714 84.129 0.000 39.858 0.000 74.088 0.000 39.858 0.000 74.088
38 342 0 34.8 342.0097 342.01 252 39 36 252.66 252 39 36.62 252.6602 146.969 139.783 0.000 0.000 45.392 139.708 0.000 0.000 45.373
38 39 257 23 51.8 257.3977 257.398 95 23 17 95.38806 95 23 17 95.38806 66.881 0.000 14.592 0.000 65.270 0.000 14.592 0.000 65.270
40 270 22 49.8 270.3805 270.38 108 22 15 108.3708 108 22 15 108.3708 104.86 0.696 0.000 0.000 104.858 0.696 0.000 0.000 104.858
41 296 19 6.75 296.3185 296.319 134 18 32 134.3089 134 18 32 134.3089 111.346 49.367 0.000 0.000 99.804 49.367 0.000 0.000 99.804
42 318 41 14.8 318.6874 318.687 156 40 40 156.6778 156 40 40 156.6778 77.268 58.037 0.000 0.000 51.010 58.037 0.000 0.000 51.010
1 19 18 45.4 379.3126 19.3126 217 18 10 217.3028 217 18 10.62 217.303 106.752 100.745 0.000 35.305 0.000 100.691 0.000 35.320 0.000
1 5 82 14 0 442.2333 82.2333 242 55 14 242.9206 242 55 14.62 242.9207 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
381.977 381.568 644.318 644.868 381.773 381.773 644.593 644.593
1799.999 1800 1800 Delta N -S 0.4095429 Delta E -W 0.5498037
1800 1778.519 1778.519 0.6855723
0.001389 2594.2105
0.000174 0.00054
CA RTE RA TO P O G R A FICA D E UN LE V A N TA M IE N TO P O R P O LIG O NA L C E RR A DA
E st
S u b
E st
Acim ut An gu lo O b servado An gu lo o bservado corregido Distancia
Ho rizo ntal
P royeccion es P royeccion es corregidas Co ordenadas
S um atoria ang obs S um a corregida
S um atoria teorica P erím etro poligonal E rror total de cierre
E rror cierre ang. P recisión 1 :
Factor de correc Factor de corrección N -S

41
Procesamiento matemático de datos en la hoja electrónica.
1. Definir dos celdas para identificar el número de lados de la poligonal y el tipo
de ángulo observado, interno 1 y externo 2. En el ejemplo G3 y L3.
Insertar una columna en la parte inicial de la cartera para colocar un código a los
puntos de estación (1).
Insertar una columna en la parte final de la cartera para definir la formula que
identifica los ángulos observados de los puntos de polígono =si($A8=1,L8,0) . En
la parte final de la columna hacer la sumatoria de la columna. El valor de la
sumatoria debe trasladarse a la celda correspondiente de sumatoria de ángulos
observados. En el ejemplo la sumatoria está en la celda AD53, digite en la celda
de la sumatoria, L54, =AD53 y aparecerá el valor 1799.9999º.
2. Sumatoria teórica de ángulos observados para un polígono En la celda
correspondiente (L55), inserte la formula
=si($L$3=1,($G$3-2)*180,($G$3+2)*180)
3. Error de cierre angular: En la celda L56 Digite =abs.(L54-L55) el valor
absoluto es para controlar valores negativos (si la suma real es menor que la
teórica).
4. Factor de corrección angular = Error de cierre angular / número de lados.
Digite =L55/G3.
por defecto o por exceso. La sumatoria de los ángulos observados corregidos
debe ser exactamente igual a la suma teórica . En la primera celda de los
ángulos observados corregidos digite la formula:
=si($A12=0,L12,si($L$54>$L$55,L12-$L$57,L12+$L$57).
Finalice la cartera topográfica ejemplo para los demás ítems del procesamiento
matemático.

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