Teoria de Limites

1. INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
LÍMITES Y SUS FUNCIONES
Docente: Carlos Andres Vélez
Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un único número L cuando x se aproxima a c por ambos
lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a c es L, y se denota:
lim f x=L
x c
Significa que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que
∣f x−L∣ siempre que 0∣x−c∣
Importante:
Los tres problemas mas comunes que conducen a la inexistencia del límite de f(x) cuando x
tiende a c son:
➢ f(x) se aproxima por la derecha de c a un cierto valor y por la izquierda de c a otro
distinto
➢ f(x) crece o decrece indefinidamente cuando x tiende a c
➢ f(x) oscila entre dos valores fijos cuando x tiende a c
Límites básicos
➢
lim b=b
x c
➢
lim x=c
x c
➢ lim xn
=cn
x c
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2. INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
Propiedades de los límites
Si b y c son números reales , n un entero positivo y f, g funciones que tienen límite cuanto x
tiende a c, entonces son ciertas las siguientes propiedades:
➢ Múltiplo escalar
lim [b f x]=b[lim f  x]
x c x c
➢ Suma o diferencia
lim [ f  x±g x]=lim f x±lim g x
x c x c x c
➢ Producto
lim [ f  x g x]=[lim f x][lim g x]
x c x c x c
➢ Cociente
lim [
f x
gx
]
x c
= si
lim gx
x c ≠ 0
➢ Potencia
lim [ f  x]n
=[lim f x]n
x c x c
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lim g x
x c
lim f x
x c

3. INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
Límite de un polinomio
Si p es un polinomio y c es un número real, entonces
lim [ p x]= pc
x c
Límite de una función racional
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c es un número real tal que q(c) ≠ 0,
entonces
lim rx=rc
pc
qc
x c
Límites que contienen radicales
Si c es un número real, n y m enteros positivos, y f una función cuyo límite en c existe,
entonces son ciertas las siguientes propiedades:
➢ lim
n
x=
n
c
x c
➢ lim
n
 f x=
n
lim f  x
x c x c
➢ lim xm/n
=cm/n
x  c
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4. INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
➢ lim [ f  x]m/n
=[lim f x]m/n
x c x c
Límites de funciones trigonométricas
➢ lim sen x=senc
x c
➢ lim cos x=cosc
x c
➢ lim tan x=tan c
x c
➢ lim cot x=cot c
x c
➢ lim sec x=secc
x c
➢ lim csc x=csc c
x c
El teorema del encaje
Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene a c, excepto posiblemente en el
propio c, y si
lim hx=L=lim g x
x c x  c
entonces
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5. INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
Cálculo I
lim f x=L
x c
Dos límites trigonométricos especiales
➢ lim
sen x
x
=1
x 0
➢ lim
1−cos x
x
=0
x 0
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