1. III.-MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
3.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL.
OBJETIVO:
Identificar el movimiento en dos dimensiones, y la independencia de sus vectores.
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre
de proyectil.
Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre
el proyectil es su peso, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.
En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección
vertical por lo cual la Vx =V0 y la Vy = 0.
Estas son las fórmulas que vamos a utilizar:

2. EJEMPLO
Tomando en cuenta la figura anterior. Explicaremos el siguiente problema:
Desde lo alto de un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente
una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de
la base del acantilado choca la piedra?
Paso No. 1: Calcular las componentes rectangulares de la velocidad inicial
En el lanzamiento horizontal la velocidad inicial vertical (Voy) es igual a cero, por
lo que:
Vx = 20 m/s Voy = 0
Paso No.2: Anotar los datos para X y para Y. Recuerde que las velocidades
y los desplazamientos
Para “X” Para “Y”
Vx = 20 m/s Voy = 0
t= g= -9.81 m/s2
X= Y = -5 m
Paso No. 3: Selección de las ecuaciones a utilizar
Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para
calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y” tiene
datos suficientes para calcular “t”.
Paso 4: Resolver la ecuación considerando que Voy = 0, por lo que el
primer término se anula.
Resolviendo para “t“:t = 1.009637 s
Calculo de “t“:

3. Paso5: Calcular “X“utilizando la ecuación:
Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para
calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y” tiene
datos suficientes para calcular “t”.
Resolviendo para “X“: X=V*(t),
Entonces X = (20 m/s) (1.09637s)
X = 20 m
ACTIVIDAD No. 6
INSTRUCCIONES:
I. Realizar en una hoja de cálculo Excel una tabla dinámica que reproduzca la
trayectoria semiparabolica de un objeto.
Realizar los siguientes ejercicios en una hoja de cálculo Excel.
1.- Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de
altura. Choca contra el piso a 80 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué
velocidad fue lanzada?
2.- Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 2 m de altura, con una
rapidez de 5.5 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo?
3.- Un clavadista corre a 1.8 m/s y se arroja horizontalmente desde la orilla de un
barranco y llega al agua 3 s después.
a) ¿Qué altura tenía el barranco?
b) ¿A qué distancia de su base llega el clavadista al agua?

4. 3.2 TIRO PARABÓLICO
OBJETIVO:
Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el
tiro con ángulo.
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el
alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.
LANZAMIENTO CON ÁNGULO
La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se
calculan con Vx = Vo*Cos(q) y Voy = Vo*Sen(q).
Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos
componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)
COMPONENTE VERTICAL
Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que
actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.
Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse
como si fuera lanzamiento vertical
COMPONENTE HORIZONTAL
Horizontalmente la velocidad es constante Vx = Vo*Cos(q) y debe calcularse
como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el
alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de
salida.
Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo
aumentan.

5. El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°,
Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.
Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el
tiempo siguen aumentando.
Incrementado más el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y
el tiempo continúan incrementándose.
En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial
en “x” y en “y.
EJEMPLO
Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s.
Calcule:
a) La altura máxima.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La distancia a la que llega al suelo.
d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado
Datos
Ángulo = 37° a) Ymax = ? d) Vx =?
Vo = 20m/s b) t total = ? Vy = ?
g= -9.8 m/s^2 c) X = ?
Paso 1
Vox = Vo*Cos a = 20 m/s*Cos 37° = 15.97 m/s
Voy = Vo*Se n a = 20 m/s*Sen 37° = 12.03 m/s

6. Paso 2
Calcular el tiempo de altura máxima, donde Voy = 0
Por lo tanto:
Paso 3
Calcular a) la altura máxima:
Paso 4
Calcular b) el tiempo total. En este caso solo se multiplica el tiempo de altura
máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y
tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura
máxima.
T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.
Paso 5
Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta fórmula:
X = V*t total = 15.97 m/s *(2.44s) = 38.96 m.
Paso 6
Vfy = g*t + Voy = (- 9.8) (1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s
Vfx = 15.97 m/s, ya que esta es constante durante todo el movimiento.

7. ACTIVIDAD No. 7
INSTRUCCIONES:
II. Realizar en una hoja de cálculo Excel una tabla dinámica que reproduzca la
trayectoria parabólica de un objeto.
Realizar los siguientes ejercicios en una hoja de cálculo Excel.
1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 m/s, a un ángulo de
34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule
a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.
b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire
c) La distancia horizontal total
d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado
2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con
una velocidad de 35 m/s.
a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?
b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.
c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?
TAREA No. 3
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por Email a su profesor:
1.- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un
risco de 44 m de altura.
a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?
b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?
c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?
2.- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la
velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?

8. b) ¿Cuál su altura máxima?
c) ¿Cuál su alcance horizontal?
4.3 MOVIMIENTO CIRCULAR.
OBJETIVO:
Aplicar los conocimientos del movimiento lineal al movimiento circular
utilizando formulas muy similares
Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en
la dirección.
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.
Medidas del desplazamiento angular.
El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del
arco.
Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes.
La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con
respecto al tiempo.
La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el
tiempo.
Fórmulas que se utilizan:

9. Relación entre los movimientos rotacional y lineal.
Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que
q /t = w y s/t = v, como s = q*R entonces
La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras
que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio de dirección del
movimiento .Teniendo las siguientes formulas:
EJEMPLOS
1.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se
mueve a través de un ángulo de 37º .Calcule la longitud del arco descrito por el
punto.
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
R = 8m Θ=s/R
Ángulo = 37° s = RΘ = 8m ( 0.646 rad) = 5.17 m
Paso 1
Convertir los grados a radianes, ya que en todos los problemas es necesario que
los ángulos o las revoluciones estén en radianes para poderlos escribir en las
formulas y nos den las unidades correctas,
Θ = (37º) 1 rad / 360º= 0.646 rad
2.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66cm y da 40 revoluciones en 1
min. a)¿ Cuál es su velocidad angular? b)¿Qué distancia se desplazará la rueda?

10. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
R = 33cm ω = 4.19 rad/s
R = .33m s = Θ*R = 251rad ( .33 m) = 82.8 m
ω = 40 rmp
Convertir 40rmp en rad/s:
40 rmp = 40 rev / min (2p rad / rev) (1 min / 60s) = 4.19 rad/s
40 rev (2 p rad/ 1rev) = 251 rad.
En este tipo de conversiones se escriben dos paréntesis y se elimina lo que está
arriba con lo de abajoY lo que está abajo con lo de arriba
3.-Un volante aumenta su velocidad de rotación de 37.7 rad/s a 75.4 rad/s en 8 s
¿Cuál es su aceleración angular?
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
ωo = 37.7 rad/s
2
ωf= 75.4 rad/s α = (ωf - ωo) / t =75.4 rad/s - 37.7 rad/s =4.71 rad/s
t= 8 s
4.-Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6
rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s2
a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuál es su velocidad
angular final? c) ¿Cuál será su aceleración tangencial, si la rueda tiene un radio de
.05m?
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
ωo = 6rad/s

11. α= 2 rad/s2
a) Θ= ? Θ= ωo*t +(αt2) / 2 = 6rad/s(3s) + (2rad/s2) / 2 =27 rad
b) ωf=? ωf = ωo +at = 6rad/s + 2 rad/s2 ( 3s) = 12 rad/s
c) αt= ? at = α*R = 2 rad/s2 ( .05m) = 0.1 m/s2
ACTIVIDAD No. 8
INSTRUCCIONES:
III. Realizar en una hoja de cálculo Excel una tabla dinámica que reproduzca la
trayectoria circular de un objeto.
Realizar los siguientes ejercicios en una hoja de cálculo Excel.
1.-Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 m. Se mueve a través
de un ángulo de 40°. Encuentre la longitud del arco descrito por el punto.
2.- Un volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900
rpm en 4 seg. Determine la aceleración angular y el desplazamiento angular
después de 4 seg.
3.-Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno
a 800 rpm . ¿ Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?.
TAREA No. 4
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por mail a su profesor
1.- Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular? ¿Cuál es el
desplazamiento angular después de 6 seg?

12. 2.-Una mujer que está de pie en una plataforma giratoria a 4 m del centro de
rotación recorre una distancia de 100 m en 20 seg. Si partió del reposo ¿Cuál es la
aceleración angular de la plataforma? ¿Cuál es la velocidad angular después de 20
seg?
MOVIMIENTO
-BIBLIOGRAFÍA
Libro de texto: Física Concepto y aplicaciones.
Paul E. Tippens. Editorial McGraw-Hill, 6ta
edición, 2001.
Física 1 Paul W Zitzewitz,RobertF.Neff editorial
McGraw-Hill segundaediciòn
Fundamentos de físicaRaymodA.Serway-Jerry
S.FaughnEditorial Thomson
-LINKS

13. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm
http://www.fisicanet.com.ar/fisica/fi_1_cinematica.html
http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/Dinamica/Capitulo1/1MUV.HTM
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4070002/laboratorios/mov_r
ectilineo.htm