Funciones a trozos

1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN
VALOR ABSOLUTO
JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ

2. FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS
Una función definida a trozos es, como su
propio nombre indica, una función que se
forma a partir de “trozos” o partes de otras
funciones.
Para definirla tendremos que determinar qué
funciones intervienen y qué trozos de ellas
nos interesan.

3. Veamos un ejemplo
⎧ 3 si x ≤−2
⎪2
f (x) = ⎨x −1 si −2 < x < 3
⎪4− x si x ≥3
⎩

4. Vamos a trabajar con trozos de tres
funciones:
y1 = 3
y2 = x −1
2
y3 = 4 − x

5. Partición del eje OX
Dividimos el eje OX en los trozos indicados:
x ≤ −2 ⇒ ( −∞, −2]
−2 < x < 3 ⇒ ( −2,3)
x ≥ 3 ⇒ [3, +∞ )

6. A partir de los ejes de coordenadas
obtenemos tres regiones:
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1

7. El trozo correspondiente a la
primera función se construye así:
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1

8. El trozo correspondiente a la
segunda función se construye así:
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
y
9 y
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−1

9. El trozo correspondiente a la
tercera función se construye así:
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1
y y
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1 −1

10. Finalmente obtenemos la gráfica
completa de la función a trozos:
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1

11. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función valor absoluto mantiene el signo
de las imágenes positivas y cambia el de las
negativas.
Analíticamente este tipo de funciones son en
realidad funciones definidas a trozos.

12. Ejemplo 1
⎧ x −3 si x ≥ 3
f (x) = x −3 ⇒ f (x) = ⎨
⎩−(x −3) si x < 3

13. f ( x) = x − 3
y
5
4
3
2
1
x
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3

14. Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte
positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el
simétrico respecto del eje OX de la parte negativa.
y y
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1 −1
−2 −2
−3 −3

15. f ( x) = x − 3
y
5
4
3
2
1
x
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3

16. Ejemplo 2
x ∈ ( −∞, −1]
⎧ x2 − x − 2 si
⎪
⎪
f ( x) = x − x − 2 ⇒ ⎨− ( x 2 − x − 2 ) si x ∈ ( −1, 2 )
2
⎪2
x ∈ [ 2, +∞ )
⎪ x −x−2 si
⎩

17. f ( x) = x − x − 2 2
y
6
5
4
3
2
1
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2

18. y y
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 −1
−2 −2

19. f ( x) = x − x − 2 2
y
6
5
4
3
2
1
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2

20. Ejemplo 3
f ( x) = cos x

21. f ( x ) = cos x ⇒ f ( x ) = cos x
y y
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 −1
−2 −2
−3 −3
−4 −4