El documento presenta información sobre sólidos de revolución. Explica que al girar figuras planas sobre un eje fijo se obtienen sólidos de revolución. Ejemplifica esto girando un trapecio rectángulo para obtener un tronco de cono y girando un triángulo rectángulo para obtener un cono. También incluye una tabla de frecuencias sobre los puntos anotados por un equipo de baloncesto en 20 partidos.
1. El perímetro de un triángulo equilátero ,y, en función de la longitud de su lado ,x,
viene determinado por la expresión algebraica y = 3x a) construye una tabla de
valores y representa gráficamente dicha función b)indica que tipo de función has
representado c) determina la pendiente d)calcula el perímetro del triángulo
equilátero , cuyo lado mide 8 cm
El perímetro del triangulo equilatero nos deja un comportamiento
lineal, con pendiente igual a 3, y un perímetro de 24 cm para cuando los lados
valen 8 cm.
Explicación paso a paso:
a) Tenemos que una tabla con valores puede ser la siguiente:
f(x) = 3x
x l f(x)
0 l 0
1 l 3
2 l 6
3 l 9
4 l 12
5 l 15
b) Es una función lineal con pendiente positiva.
c) La pendiente es el coeficiente de la variable, m = 3.
d) Evaluamos la función en x = 8 cm, entonces:
y = 3·(8 cm)
y = 24 cm
El perímetro nos deja un valor de 24 cm.
2. El alquiler de un carro viene dado por un precio fijo de $25 y se cobra $5 por
cada 10km de recorrido.
a) construye una tabla de valores y representa la gráfica
b)indica que tipo de función has representado
c)determina la pendiente y la ordenada en el origen
d)si se recorre 60km cuanto costara el alquiler del carro?
Debemos plantear una ecuación, con los datos dados; se cobra fijo por el alquiler
$25, y se cobra 5$ por cada 10 km (por lo tanto cada kilómetro tiene un costo de
5/10$ = 1/2$ = 0.5$).
Entonces tenemos que por cada kilómetro recorrido se cobra:
Total = 25 + 0.5k, donde k es la cantidad de kilómetros que se recorren
a) Se adjunta como imagen la tabla de valores y su gráfica
3. b) Se representa una función lineal, para la función:
f (x) = y = 25 + 0.5x
c) La pendiente de la recta es m = 1/2 = 0.5. La ordenada en el origen es 25.
d) Si se recorren 60, el alquiler costará:
y = 25 + 0.5 * 60
y = 25 + 30
y = 55$
4. 3. Representa gráficamente la siguiente función definida a trozos y determina su
dominio y recorrido: Actividades f(x) = -1 si x < - 1 2x 1 si -1 ≤ x < 1 2 si x ≥ 3 g(x) =
x - 1 si x ≤ 0 x 2 1 si x > 0 !
f(x) = -1 si x < - 1
f (x = 2x 1 si -1 ≤ x < 1
f (x) = 2 si x ≥ 3
g(x) = x - 1 si x ≤ 0
x² + 1 si x > 0
Graficamos parte por parte, damos valores a cada ecuacion en trozo para generar
la funcion correspondiente (ver grafico adjunto).
En los puntos donde los trozos de funcion culminan colocamos un circulo vacio o
lleno segun corresponda;
Vacio = cuando "x" es menor o mayor estricto, y Lleno cuando "x" es menor o
igual.
Para el dominio y rango debemos tener en cuenta esto.
5. Determina la constante de proporcionalidad inversa y escribe la expresión
algebraicas de cada una de ellas de las funciones definidas por la siguiente
tablaa) x 1 2 3 4 5 6
y 60 30 20 15 12 10
b) x 2 3 -5 -6 -10 -15
y -15 -10 -6 5 3 2
a) notemos que
1 x 60 = 60
6. 2 x 30 = 60
y así, entonces 60 es la constante de proporcionalidad inversa, es decir
xy = 60 ó bien y = 60/x
b) igual aquí
2 x (-15) = -30
etc
por ello la constante de proporcionalidad inversa es -30:
y = -30 / x
Di las propiedades y representa graficamente la funcion
a) f(x)= 1/x^2+1
b) y=2/x^2
7.
8.
9.
10. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica las propiedades
de cada una de ellas
A) y= x+3
B) f(x)=x-4
C) y= -x-3
D) f(x)= x-2
A) y= x+3
Dominio: Todos los reales D = {x / x∈R}
Rango: Todos los reales Rg = {y / y∈R}
Tipo de función: Lineal creciente
Puntos de corte con el eje x: x = -3
Puntos de corte con el eje y: y = 3
B) f(x)= x-4
Dominio: Todos los reales D = {x / x∈R}
Rango: Todos los reales Rg = {y / y∈R}
Tipo de función: Lineal creciente
Puntos de corte con el eje x: x = 4
Puntos de corte con el eje y: y = -4
C) y= -x-3
Dominio: Todos los reales D = {x / x∈R}
Rango: Todos los reales Rg = {y / y∈R}
Tipo de función: Lineal Decreciente
Puntos de corte con el eje x: x = -3
Puntos de corte con el eje y: y = -3
D) f(x)= x-2
Dominio: Todos los reales D = {x / x∈R}
Rango: Todos los reales Rg = {y / y∈R}
Tipo de función: Lineal creciente
11. Puntos de corte con el eje x: x = 2
Puntos de corte con el eje y: y = -2
Si f(x)=x^2-1, g(x)=2x+3 y h(x) 2/(x+1) hallaA. f(x)+g(x)
B. f(x)+h(x)
C. h(x)-g(x)
D. g(x)-h(x)
E. f(x).g(x)
F. g(x).h(x)
G. f(x)/g(x)
H. f(x)/h(x)
Tenemos tres funciones:
f(x) = x² - 1
13. (2x+3) *
G) f(x)/g(x)
Determina :
( fog)(x) =?
( gof)(x) =?
para cada par de funciones .
a ) f(x) = √x -5 g(x) = x/5
b) f(x) = x+1/3 g(x) = x²-1
SOLUCIÓN :
Para resolver el ejercicio se procede a aplicar la definición de
función compuesta, la cual establece que la función compuesta
resulta de sustituir una función en la variable de otra función, de
la siguiente manera :
a ) f(x) = √x-5 g(x) =x /5
(fog)(x) = f(g(x)) = √( x/5 - 5 ) = √( ( x - 25)/5)
(gof)(x) = g(f(x)) = √(x- 5) /5
16. Al hacer girar las figuras planas, sobre un eje fijo se obtienen los llamados
sólidos en revolución.
a) La primera figura es un trapecio rectángulo. Hallamos su generatriz:
g = √[(h² + (R +r)²]
Donde:
h: altura = 6 cm
R: radio mayor = 9 cm
r: radio menor = 4 cm
g = √[(6² + (9 +4)²]
g = √(36 + 169)cm
g = √205 cm
g = 14.32 cm
Figura que se forma: El tronco de cono, obtenido al girar en torno al lado
perpendicular a las bases (ver imagen 1).
b) La segunda figura es un triángulo rectángulo. La generatriz es la hipotenusa de
12 cm.
Figura que se forma: El cono, obtenido al girar en torno a uno de sus catetos (ver
imagen 2)
17. El cartón de un rollo de papel tiene un diámetro de 4,6 cm y una altura de 9,7 cm.
¿Qué dimensiones tiene el desarrollo plano del cartón?
DATOS :
El cartón de un rollo de papel tiene un diámetro →d = 4.6 cm
altura = h = 9.7 cm
¿ Que dimensiones tiene el desarrollo plano del cartón =?
SOLUCIÓN :
Para resolver el ejercicio de encontrar las dimensiones que tiene el desarrollo
plano del cartón, primero se debe entender la figura plana que se origina, siendo
este desarrollo rectangular, porque al enrollar por uno de sus lados el rectángulo,
se origina un cilindro, que es el rollo de papel, ese rectángulo del desarrollo mide
de alto igual al rollo de papel, 9.7 cm y de ancho el diámetro dado de 4.6 cm . Las
dimensiones del desarrollo plano del cartón (forma rectangular) son ancho
4.6 cm y alto 9.7 cm .
¿qué figura del espacio se genera al girar un rectángulo sobre el lado que
determina su altura?
SE GENERA UN CILINDRO
18. Experimenta la forma de obtener los sólidos en revolución. Para ello: a. Elabora un
rectángulo, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un trapecio rectángulo
usando cartulina o cartón. b. Ubica un palo de pincho o un sorbete sobre uno de
los lados rectos. c. Gira rápidamente la figura y escribe lo que observas.
Los sólidos en revolución es cuando se toma una figura plana y se
hace girar sobre un eje para obtener otra figura
- Al hacer girar un rectángulo como indica el experimento sobre uno de
sus lados se obtiene un sólido en revolución que forma un cilindro
- Al hacer girar un triangulo rectángulo sobre un eje formado por uno
de sus catetos teniendo la hipotenusa hacia la parte exterior del eje
donde se girara la figura, obtendremos un sólido en revolución que
formará un cono.
- Tomando un semicírculo y haciéndolo girar tomando como eje su
diámetro se obtiene un solido en revolución denominado esfera.
- Siendo un trapecio rectángulo aquel que posee dos ángulos
consecutivos rectos es decir dos ángulos de 90º por lo tanto se puede
decir que un lado es perpendicular a las bases, entonces haciendo
girar sobre un eje el trapecio rectángulo sobre el lado que es
19. perpendicular a las bases se obtendrá de esta manera el sólido en
revolución denominado tronco de cono.
Se puede concluir que al hacer girar las figuras planas sobre un eje se
obtienen otras figuras tridimensionales.
Escribe verdadero (V) o falso (F) según el caso. a. Un cono tiene base triangular b.
Un cono tiene dos vértices. c. Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se
obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. d. El desarrollo de la
cara lateral del cilindro es un rectángulo. e. La generatriz del cono es mayor que
su altura. f. Un cilindro tiene dos bases g. Un cilindro no es un poliedro h. Al
aumentar el radio de un cono aumenta el sector circular de su desarrollo lateral.
a. Un cono tiene base triangular.
FALSO.
b. Un cono tiene dos vértices.
FALSO.
c. Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
VERDADERO .
d. El desarrollo de la cara lateral del cilindro es un rectángulo.
VERDADERO .
20. e. La generatriz del cono es mayor que su altura.
VERDADERO .
f. Un cilindro tiene dos bases.
VERDADERO .
g. Un cilindro no es un poliedro.
VERDADERO .
h. Al aumentar el radio de un cono aumenta el sector circular de su desarrollo
lateral.
VERDADERO .
Un equipo de baloncesto en 20 partidos ha anotado los siguientes puntos 80
101 92 80 110 83 101 75 80 107 75 85 80 110 92 85 110 85 80
Equipo de Baloncesto Tabla de frecuencias:
Puntos anotados frecuencias
75 2
80 5
83 1
85 3
90 1
92 2
21. 101 2
107 1
110 3
Total 20 partidos
La frecuencia es el numero de veces que sucede un evento, en este caso el
numero de partidos en los que anotaron una cantidad determinada
