Funciones cuadráticas. parámetros de la parábolajuanreyesolvera3
El análisis del comportamiento de una función cuadrática a partir de los parámetros de su ecuación: desplazamientos verticales, horizontales y mixtos; abertura de la par
Funciones cuadráticas. parámetros de la parábolajuanreyesolvera3
El análisis del comportamiento de una función cuadrática a partir de los parámetros de su ecuación: desplazamientos verticales, horizontales y mixtos; abertura de la par
Forma vértice de la ecuación estándar cuadrática juanreyesolvera3
Transformación de la ecuación estándar cuadrática a la forma Vértice, para identificar las coordenadas del vértice de la parábola que grafica a la ecuación.
Presentación de ecuación cuadrática, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones reducibles a cuadráticas, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.
Conceptos básicos de Función Cuadrática o Función de Segundo Grado, Puntos de corte de una parábola con el eje X, Puntos de corte de una parábola con el eje Y, Vértice de una parábola, Gráfica de una parábola con dos puntos de corte con el eje X, Gráfica de una parábola con un punto de corte con el eje X, Gráfica de una parábola sin puntos de corte con el eje X,
Forma vértice de la ecuación estándar cuadrática juanreyesolvera3
Transformación de la ecuación estándar cuadrática a la forma Vértice, para identificar las coordenadas del vértice de la parábola que grafica a la ecuación.
Presentación de ecuación cuadrática, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media de Nicaragua. Esta presentación es un pequeño esbozo de la solución de ecuaciones cuadráticas y ecuaciones reducibles a cuadráticas, la cual debe estar acompañada de una buena práctica de resolución de ejercicios. Se recomienda consultar la bibliografía expuesta al final de la presentación.
Conceptos básicos de Función Cuadrática o Función de Segundo Grado, Puntos de corte de una parábola con el eje X, Puntos de corte de una parábola con el eje Y, Vértice de una parábola, Gráfica de una parábola con dos puntos de corte con el eje X, Gráfica de una parábola con un punto de corte con el eje X, Gráfica de una parábola sin puntos de corte con el eje X,
Todo el proceso de elaboración de una gráfica, determinación de las raíces, los interceptos tanto con el eje "x" y con el eje "y", el discriminante, hallar el vértice, proceso de elaboración de una grafica
A Continuación comparto con toda la comunidad educativa una micro idea de aplicar redes sociales en el aula, especicicamente Facebook para dar una clase invertida de trigonometria.
Espero les agrade y exploten esta idea.
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como LinkedIn o Google+. Y es que Pinterest ya cuenta con una base de más de 3,3 millones de usuarios, ¡y sigue creciendo!
2. OBJETIVOS:
• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados
al estudio de la función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática, determinando vértice,
eje de simetría y concavidad.
• Indicar las características gráficas de una parábola a
través del análisis del discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola con los
ejes cartesianos.
• Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.
3. Contenidos
1. Función cuadrática
1.1 Intersección con el eje Y
1.2 Concavidad
1.3 Eje de simetría y vértice
1.4 Discriminante
2. Ecuación de 2º grado
2.1 Raíces de una ecuación cuadrática
2.2 Propiedades de las raíces
2.3 Discriminante
4. 1. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
con a =0; a,b,c ∈ IR
y su gráfica es una parábola.
Ejemplos:
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
⇒ a = 2, b = 3
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
⇒ a = 4, b = -5 y c = -2
y c=1
5. 1.1. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente c indica la ordenada del punto donde
la parábola intersecta al eje Y.
y
(0,C)
c
x
6. 1.2. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente a indica si la parábola es cóncava
hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo
7. Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4.
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4)
y es cóncava hacia arriba.
y
x
(0,-4)
8. 1.3 La importancia del valor de “a” y de “b”
El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento
horizontal de la parábola y “a” su concavidad.
Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c
Entonces:
Si a>0 y b<0
la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la derecha.
Ej. f(x)=2x² - 3x +2
Si a>0 y b>0
la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la izquierda.
Ej. f(x)=x² + 3x - 2
Si a<0 y b>0
la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la derecha.
Ej. f(x)=-3x + 4x – 1
Si a<0 y b<0
la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la izquierda.
Ej. f(x)=-x² - 4x + 1
9. 1.4. Eje de simetría y vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
y
Eje de simetría
x
Vértice
10. Si
f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
a) Su eje de simetría es:
b) Su vértice es:
x=
-b
2a
V=
-b , f
2a
V=
-b ,
2a
-b
2a
4ac – b2
4a
11. Ejemplo:
En la función
entonces:
f(x) = x2 + 2x - 8,
a = 1,
b=2
y
a) Su eje de simetría es:
x=
-b
2a
⇒
-2
x=
2·1
⇒
x = -1
b) Su vértice es:
V=
-b , f
2a
-b
2a
⇒
V = ( -1, f(-1) )
⇒
V = ( -1, -9 )
c = - 8,
13. 1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”
Si y=ax²
i) y =a(x-h)²
una función cuadrática cualquiera, entonces:
Significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=2(x-3)² (↑→)
y
2) y=-3(x-4)²
(↓→)
y
x
ii) y =a(x+h)² xsignifica que la función se movió a la
izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.
Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑←)
2) y=-(x+1)²
y
(↓←)
x
14. iii) y=a(x-h)² ± k
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=5(x-1)² - 4
iv) y=a(x + h)² ± k
abajo.
Ej. 1) y=(x+6)² - 5
(↑→↑)
2) y=-3(x-7)² + 6
(↓→↓)
significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia
(↑←↑)
2) y=-5(x+3)² + 3
y
x
Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.
(↓←↓)
15. Si la parábola es abierta hacia arriba, el
vértice es un mínimo y si la parábola es
abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.
16. 1.6. Discriminante
El discriminante se define como:
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola
intersecta en dos puntos al eje X.
Δ>0
17. b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X.
Δ<0
18. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
parábola intersecta en un solo punto al eje X, es
tangente a él.
Δ=0
19. 2. Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es
de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o
raíces. Si éstas son reales, corresponden a los puntos
de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c
con el eje X.
x1
x2
20. Ejemplo:
En la función
f(x) = x2 - 3x - 4 ,
la ecuación asociada:
x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
y
x1
x2
x
21. 2.1. Raíces de una ecuación de 2° grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado:
x=
-b±
b2 – 4ac
2a
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0
x=
-(-3) ±
(-3)2 – 4·1(- 4)
2
x= 3 ±
9 + 16
2
22. x= 3 ±
25
2
x= 3 ± 5
2
8
2
x = -2
2
x1 = 4
x2 = -1
x=
También se puede obtener las raíces de la ecuación
factorizando como producto de binomios:
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
⇒ (x - 4)= 0
x1 = 4
ó
(x + 1)= 0
x2 = -1
23. 2.2. Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo
grado de la forma
ax2 + bx + c = 0,
1)
x1 + x 2 =
-b
a
2)
x1 · x2 =
c
a
3)
entonces:
x1 - x2 = ± Δ
a
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo
grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas.
a(x – x1)(x – x2) = 0
24. 2.3. Discriminante
En una ecuación de segundo grado, el discriminante
Δ = b2 - 4ac
permite conocer la naturaleza de las raíces.
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
x1, x2 son reales y
x1
x1 ≠ x2
x2
Δ>0
25. b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
La parábola NO intersecta
al eje X.
x1, x2 son complejos y
conjugados
x1 = x2
Δ<0
26. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.
La parábola intersecta en
un solo punto al eje X.
x1, x2 son reales y
x1 = x 2
x1= x2
Δ=0