Ppt3

5
Análisis de los datos
Vamos a ampliar en qué consiste la fase de analizar los datos
empleando medidas descriptivas
www.auladeeconomia.com

¿Cómo se puede analizar la información?

Haga una lista de diferentes formas en las cuales se podría analizar la
información estadística con el fin de describir el conjunto de datos.
Indique tipos de datos que podrían calcularse.
Anote aquí los pasos que usted cree que se deben hacer.


Estatura de
jugadores de futbol

Kaká Tévez Villa Messi Zlatan Cristiano Ronaldinho Crouch
1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Estatura de
jugadores de basketbol

Bryant Gasol James Ming Paul O´Neal
2,01 2,15 1,90 2,28 1,83 2,15

1,83 1,73
1,75 1,69
1,94 1,83
Conjuntos de datos 1,81 2,01
2,01 2,15
1,90 2,28
1,83 2,15

¿Cómo describimos estos conjuntos de datos?
Medidas de posición
Medidas de variabilidad

Medidas de posición central

1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Moda: Dato más frecuente: 1,83


2,01 2,15 1,90 2,28 1,83 2,15

Moda: Dato más frecuente: 2,15


1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Mediana: La mitad de los datos son menores y
la mitad de los datos son mayores: 1,82


2,01 2,15 1,90 2,28 1,83 2,15

Mediana: La mitad de los datos son menores y
la mitad de los datos son mayores: 2,08


1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Media: Promedio: Suma de datos dividido entre
número de datos:
1,83 + 1,73 + 1,75 + 1,69 + 1,94 + 1,83 + 1,81 + 2,01 = 14,59 / 8 = 1,82


2,01 2,15 1,90 2,28 1,83 2,15

Media: Promedio: Suma de datos dividido entre
número de datos:
2,01 + 2,15 + 1,90 + 2,28 + 1,83 + 2,15 = 12,32 / 6 = 2,05

Medidas de posición no central

1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Cuartiles: Dividen el conjunto de datos en cuatro partes.


1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Cuartil 1: La cuarta parte de los datos son menores y
tres cuartas partes de los datos son mayores: 1,74


1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Cuartil 3: Tres cuartas partes de los datos son menores y
una cuarta parte de los datos son mayores: 1,89

1,83 1,73
1,75 1,69
1,94 1,83
Conjuntos de datos 1,81 2,01
2,01 2,15
1,90 2,28
1,83 2,15

¿Cómo describimos estos conjuntos de datos?


Moda 1,83 2,15
Mediana 1,82 2,08
Media 1,82 2,05
Primer cuartil 1,74 1,93
Tercer cuartil 1,89 2,15


1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Rango: Dato mayor menos dato menor:
2,01 - 1,69 = 0,32


2,01 2,15 1,90 2,28 1,83 2,15

Rango: Dato mayor menos dato menor:
2,28 - 1,83 = 0,55

Desviación media, Varianza y Desviación estándar

1,83 1,73 1,75 1,69 1,94 1,83 1,81 2,01

Promedio: 1,82

Desviación: Diferencia entre un valor de una serie y su media
1,83 - 1,82 = 0,01 1,73 - 1,82 = -0,09

Desviación
media: Desviación absoluta promedio
= Suma de los valores absolutos de las desviaciones
dividido entre el número de datos

1,83 - 1,82 = 0,01 => 0,01
1,73 - 1,82 = -0,09 => 0,09
1,75 - 1,82 = -0,07 => 0,07
1,69 - 1,82 = -0,13 => 0,13
1,94 - 1,82 = 0,12 => 0,12
Suma = 0,63
1,83 - 1,82 = 0,01 => 0,01 8
1,81 - 1,82 = -0,01 => 0,01 = 0,0788
2,01 - 1,82 = 0,19 => 0,19

Varianza = Suma de los cuadrados de las desviaciones
dividido entre el número de datos

1,83 - 1,82 = 0,01 => 0,0001
1,73 - 1,82 = -0,09 => 0,0081
1,75 - 1,82 = -0,07 => 0,0049
1,69 - 1,82 = -0,13 => 0,0169
1,94 - 1,82 = 0,12 => 0,0144
Suma = 0,0807
1,83 - 1,82 = 0,01 => 0,0001 8
1,81 - 1,82 = -0,01 => 0,0001 = 0,0101
2,01 - 1,82 = 0,19 => 0,0361

Desviación
estándar = Raíz cuadrada de la varianza

Varianza = 0,0101

Raíz cuadrada de 0,0101
= 0,1004


Hay medidas que se ubican Otras medidas de posición no
alrededor del centro del conjunto tienden a ubicarse en el centro
de datos. del conjunto ordenado de datos.

A estas medidas se les llama Estas medidas se conocen como
medidas de posición central cuantilos

Estas medidas son: Los cuantilos son:
Cuartiles
Media o promedio Percentiles
Mediana Deciles
Moda Quintiles.


Media aritmética

Es la suma de los datos entre el La fórmula para calcular la media es:
número de datos.
Población: N

Se denota por , si corresponde a X i

una población.  i 1

N

Se denota por cuando se refiere a Muestra: n

una muestra. x i
x i 1

n


En calculadora

Casio fx-570 ES
Pasos para calcular la media:
1. Presionar: Mode 3
2. Presionar AC
3. Presionar: Shift 1 2
4. Introducir datos en la columna:
• Usar tecla = para introducir cada dato
5. Presionar AC
6. Presionar: Shift 1 5 2 =


En calculadora

Casio fx-95 MS o fx-82 MS:
Pasos para calcular la media:
2. Introducir datos:
• dato M+
• Etc.
3. Presionar: Shift 2 1 =


Ejercicio:

Suponga que se tienen los siguientes datos correspondientes a las ventas
mensuales que ha realizado un vendedor durante los últimos siete meses
(en millones de dólares):

20, 33, 42, 40, 19, 23, 28

Calcule la media aritmética.

Respuesta:
El cálculo de la media sería:

20  33  42  40  19  23  28
x  29.29
7
Según ese resultado, sus ventas mensuales promedio son de 29.29 millones de dólares.


Ejercicio:

Suponga que se tienen los siguientes datos correspondientes a las ventas
mensuales que ha realizado un vendedor durante los últimos siete meses (en
millones de dólares):
20, 33, 42, 40, 19, 23, 2800

Calcule la media aritmética. ¿Representa adecuadamente la media al
conjunto de datos?
Respuesta:
El cálculo de la media sería:

20  33  42  40  19  23  2800
x  425,29
7
Según ese resultado, sus ventas mensuales promedio son de 425,29 millones de
dólares.
El valor extremo de 2800 “distorsiona” el valor de la media, ocasionando que no
represente bien al conjunto de datos.


Media aritmética

Las principales características de la Otras características son:
media aritmética son:
Es única para cada caso.
Depende de cada una de las medidas
que forman la serie de datos Permite representar mediante un
solo valor de la serie de valores.
Se halla afectada excesivamente por
los valores extremos del conjunto de Se calcula con todos los datos de la
datos (principal desventaja). serie de valores.

Se calcula con facilidad. Es susceptible de operaciones
algebraicas.


Media aritmética ponderada

Se emplea cuando hay datos que se La fórmula para calcular la media es:
repiten varias veces.
Caso de valores repetidos:
k

También cuando hay datos con x i fi
diferente importancia o diferente x i 1

n
peso.
Caso de valores con diferente peso:
k

x w i i
x i 1
k

w
i 1
i


Ejercicio:

Suponga que una empresa posee quince vendedores de un determinado
producto.

Cuatro de los vendedores lograron vender 50 unidades, 6 vendieron 40
unidades, tres vendieron 35 unidades y 2 vendieron 20 unidades.

¿Cuál es el número de unidades promedio de cada vendedor?

Respuesta: Dado que existen valores repetidos, entonces se aplica la fórmula:
Unidades (X) Frecuencia k
50 4 x i fi
4  50  6  40  3  35  2  20
40 6 x i 1
  39
n 15
35 3
Es decir, el número de unidades promedio
20 2 vendidas por cada vendedor es de 39
Total 15 unidades.


Ejercicio:
Una empresa obtiene distintos márgenes de utilidad según los diferentes
productos que vende. Suponiendo que vende 3 productos diferentes A, B y C,
con rentabilidades de 20%, 30% y 40% respectivamente, de acuerdo con los
siguientes datos: las ventas de A son de $200 millones, las de B de $100
millones y las de C de $60 millones.
¿Cuál es el margen de utilidad promedio?

Respuesta:
Para responder a esta pregunta es necesario calcular la media ponderada, ya que el
volumen de ventas de cada producto es distinto, y eso afecta al promedio. El cálculo
debe ser el siguiente:
Utilidad Ventas k

20% 200 x w i i
20%  200  30%  100  40%  60
x i 1
  26.11%
30% 100 k

w
360
i
40% 60 i 1

Total 360 El margen de utilidad promedio es de 26.11%.


Mediana

Es una medida de posición que divide Si el número N es el número de
a la serie de valores en dos partes datos de la serie, entonces la
iguales: posición de la mediana será:

un cincuenta por ciento que es mayor N 1
PMed 
o igual a la mediana 2

y otro cincuenta por ciento que es Cuando el número N de datos es una
menor o igual que ella. cantidad par, se requerirá obtener el
punto medio para poder obtener la
Se denota Med. mediana.


Ejercicio:
Sean los siguientes datos:
5, 12, 7, 8, 10, 6, y 9
los años de servicios de un grupo de trabajadores.
¿Cuál es la mediana?
Respuesta:
Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o decreciente:

5, 6, 7, 8, 9, 10, 12

Dado que se tienen 7 datos, una cantidad impar de datos, se aplica la formula:

N 1 7 1
PMed   4
2 2
Ese resultado indica que la mediana será el cuarto dato de la serie, es decir, la mediana
será 8, Med = 8.


Ejercicio:
5, 12, 7, 8, 11, 10, 6, y 9
los años de servicios de un grupo de trabajadores.
¿Cuál es la mediana?
Respuesta:
Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o decreciente:

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Dado que se tienen 8 datos, una cantidad par de datos, se aplica la formula:

N 1 8 1
PMed    4,5
2 2
Ese resultado indica que la mediana estará entre el cuarto y el quinto dato de la serie, y
por tanto será necesario calcular el punto medio entre 8 y 9, es decir, la mediana será
(8+9)/2, Med = 8,5.

Moda

Es el valor de la variable que más se Sus principales características son:
repite en el conjunto de datos.
No se afecta por valores extremos
Se designa como Mo o Mod.
Se puede obtener en una forma
Es posible que un conjunto de datos aproximada con facilidad.
posea dos o más modas.
Tiene poca utilidad si hay pocos
En estos casa se habla de serie de datos y si no hay tendencia central.
datos bimodales o multimodales.
Se utiliza principalmente con escalas
nominales .


Ejercicio:
Con base en los siguientes conjuntos de datos, obtenga la moda:

Conjunto 1:
12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25
Conjunto 2:
12, 14, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25

Conjunto 3:
12, 14, 15, 18, 22, 25

Conjunto 4:
12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 2500
Respuesta:
1. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.
2. El dato que más veces aparece es el 14 y el 18, por tanto la moda es 14 y 18.
3. No tiene moda.
4. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.


Ejercicios


Ejercicio:

La media aritmética del siguiente conjunto de datos
7, 20, 13, 14, 6, 9, 1
es:

( a ) 70
( b ) 20
( c ) 14
( d ) 10

Respuesta:
La respuesta correcta es:
( d ) 10


Ejercicio:

En el conjunto de valores 3, 4, 5, 5, 4, 7, 8, 4, 6, 9, 10, la
mediana es:

(a)4
(b)7
( c ) 5,5
(d)5
(e)6

Respuesta:
Se ordena: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10
N = 11, PMed = (N + 1) / 2 = (11 + 1) / 2 = 6 => Med = 5
(d)5


Ejercicio:

La moda del siguiente conjunto de datos
7, 7, 20, 20, 13, 14, 13, 6, 9, 13, 6 es:

(a)7
( b ) 20
( c ) 13
(d)6

Respuesta:
( c ) 13


Ejercicio:

A continuación se presentan tres conjuntos de datos. En cada caso, calcule la
media aritmética, la mediana y la moda del siguiente conjunto de datos:

Conjunto 1:
12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20
Conjunto 2:
12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20
Conjunto 3:
12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20

Además en cada caso:
Construya una gráfica (histograma) para representar a este conjunto de datos.
Observe la gráfica. Si dividiera la gráfica por la “mitad”, ¿es igual la parte derecha
a la parte izquierda?
Observe la relación entre la media, la mediana y la moda.
¿Cuál de las tres es mayor?


Ejercicio:

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda del siguiente conjunto de datos:

12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20

Observe la gráfica. Si dividiera la gráfica por la “mitad”, ¿es igual la parte derecha a
la parte izquierda?

Respuesta: F
Media = 16 5
Mediana = 16 4
Moda = 16 3
Esta es una distribución simétrica. 2
La media, la mediana y la moda son 1
iguales.
12 13 14 15 16 17 18 19 20 X


Ejercicio:


12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20

la parte izquierda?

Respuesta: F
Media = 17,19 5
Mediana = 18 4
Moda = 19 3
Esta es una distribución asimétrica 2
negativa: 1
media < mediana < moda
12 13 14 15 16 17 18 19 20 X


Ejercicio:


12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20

la parte izquierda?

Respuesta: F
Media = 14,8 5
Mediana = 14 4
Moda = 13 3
Esta es una distribución asimétrica 2
positiva: 1
media > mediana > moda
12 13 14 15 16 17 18 19 20 X


Simetría y asimetría

Hay medidas para determinar el
grado y tipo de la asimetría de un
conjunto de datos.

En este curso no se estudian esas
medidas, por lo que la simetría o
asimetría se determinará por la
relación entre moda, mediana y media

Entonces:
Si Media = Med = Mo, simetría
Si Media > Med > Mo, asimetría positiva
Si Media < Med < Mo, asimetría negativa


Ejercicio:
Los siguientes son los ingresos de siete personas (en $/mes):

300, 450, 500, 250, 600, 550, 3000

Calcule e interprete la media, moda y mediana.
¿Cuál de las tres medidas describe mejor al conjunto de datos?

Respuesta:
Media = 807.14 ->El ingreso promedio mensual es de $807,14.
Mediana = 500 ->La mitad de estas personas tiene un ingreso mensual inferior a $500.
Moda = No hay..
Dada la presencia de un valor extremo, entonces la mediana describe al conjunto mejor
que la media.


Ejercicio:
Los siguientes son los pesos, en gramos, de una muestra de frascos de
mermelada que se envasan en una empresa:
252, 260, 266, 248, 240, 246, 255, 260,
270, 258, 259, 260, 264, 254, 256, 262
Calcule e interprete la media, moda y mediana.
¿Qué se puede concluir sobre la simetría o asimetría de los pesos?
Si cada frasco debe contener 250 gramos, ¿qué indican los datos calculados y
el tipo de simetría o asimetría que se presenta?
Respuesta:
Media = 256,9 -> El peso promedio de los frascos es de 256,9 grs.
Mediana = 258,5 -> El 50% de los frascos contiene más de 258,5 grs., y el resto menos.
Moda = 260 -> El peso más frecuente es 260 grs.
Esta es una distribución asimétrica negativa (media < mediana < moda).
La empresa está “regalando” producto, pues la mayoría de los frascos contienen más de
lo especificado. La asimetría negativa indica que son pocos los pesos bajos y muchos los
pesos altos.


Cuantiles

Son medidas de posición tales que Cuartiles: tres valores que dividen al
superan a no más de cierta conjunto ordenado de datos en
proporción de las observaciones y a 4 partes iguales.
la vez quedan superados por no más Percentiles: 99 valores que dividen
de la proporción complementaria, al conjunto ordenado de datos en
cuando las observaciones han sido 100 partes iguales.
ordenadas.
Deciles: nueve valores que dividen al
Las principales de estas medidas son: conjunto ordenado de datos en
Cuartiles 10 partes iguales.
Percentiles
Quintiles: cuatro valores que dividen
Deciles
al conjunto ordenado de datos en
Quintiles
5 partes iguales.


Cuantiles

Conjunto ordenado de datos

P5 P10 P16 P25 P40 P50 P63 P75 P90 P95
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Q1 Med Q3
Q2


Relaciones entre cuantilos

Cuartil Percentil Decil Percentil Quintil Percentil
Q1 P25 D1 P10 K1 P20
Q3 P75 D2 P20 K2 P40
D3 P30 K3 P60
Cuartil x 25 = Percentil D4 P40 K4 P80
D5 P50
Quintil x 20 = Percentil
D6 P60
D7 P70
D8 P80
D9 P90
Decil x 10 = Percentil

Recuerde que para calcular mediana, cuartiles, percentiles, quintiles y deciles,
los datos deben ordenarse ascendentemente.

Ejercicio:
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Determine el percentil 80.
Respuesta:
Lo primero que se hace es verificar que los datos estén ordenados en forma creciente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Se aplica la formula con n = 12 y m = 80:

Pm  100 n  1
m

P  100 12  1  0,8(13)  10,4
80
80 Posición del percentil

décimo dato
120 + 0,4 * 20 = 128

Ejercicio:
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Determine el cuartil 1.
Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Se sabe que Q1 = P25 y se aplica la formula con n = 12 y m = 25:

Pm  100 n  1
m

P25  100 12  1  0,25(13)  3,25
25

tercer dato
70 + 0,25 *10 = 72,5

Ejercicio:
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Determine el cuartil 3.
Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150


Pm  100 n  1
m

P75  100 12  1  0,75(13)  9,75
75

noveno dato
120 + 0,75 * 0 = 120

Ejercicio:
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Determine el decil 4.
Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20, 40, 70, 80, 90, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Se sabe que D4 = P40 y se aplica la formula con n = 12 y m = 40:

Pm  100 n  1
m

P40  100 12  1  0,40(13)  5,2
40

quinto dato
90 + 0,2 * 10 = 92

Ejercicio:


45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90,
49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete:
• Cuartil 1
• Cuartil 3
• Decil 7
• Percentil 42
• Percentil 93
• Quintil 3

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el cuartil 1.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90


Pm  100 n  1
m

P25  100 17  1  0,25(18)  4,5
25

cuarto dato
50 + 0,5 * 2 = 51

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el cuartil 3.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90


Pm  100 n  1
m

P75  100 17  1  0,75(18)  13,5
75

13er dato
72 + 0,5 * 3 = 73,5

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el decil 7.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90

Se sabe que D7 = P70 y se aplica la formula con n = 17 y m = 70:

Pm  100 n  1
m

P70  100 17  1  0,70(18)  12,6
70

12º. dato
72 + 0,6 * 0 = 72

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el percentil 42.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90

Se sabe que P42 y se aplica la formula con n = 17 y m = 42:

Pm  100 n  1
m

P42  100 17  1  0,42(18)  7,56
42

sétimo dato
56 + 0,56 * 2 = 57,12

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el percentil 93.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90

Se sabe que P93 y se aplica la formula con n = 17 y m = 93:

Pm  100 n  1
m

P  100 17  1 0,93(18)  16,74
93
93

16º. dato
88 + 0,74 * 2 = 89,48

Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49, 52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88

Calcule e interprete el quintil 3.

Respuesta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
43, 45, 49, 50, 52, 55, 56, 58, 60, 62, 66, 72, 72, 75, 81, 88, 90

Se sabe que K3 = P60 y se aplica la formula con n = 17 y m = 60:

Pm  100 n  1
m

P60  100 17  1  0,60(18)  10,8
60

décimo dato
62 + 0,8 * 4 = 65,2

Ejercicio:

Un instituto de idiomas ha contratado un estudio de
salarios de profesores (salarios mensuales). En dicho
estudio se obtuvieron los siguientes resultados:

Percentil 12 = $600 Cuartil 1 = $650
Mediana = $725 Cuartil 3 = $800
Quintil 4 = $1000 Decil 9 = $1200

¿Qué significan estos resultados?


Ejercicio – Respuesta:

• Percentil 12 = $600 => Un 12% de los profesores tiene un salario mensual
inferior a $600, y un 88% de los profesores gana más de $600 al mes.
• Cuartil 1 = $650 => Un 25% (una cuarta parte) de los profesores tiene un
salario mensual inferior a $650, y el 75% de los profesores gana más de
$650 al mes.
• Mediana = $725 => Un 50% (la mitad) de los profesores tiene un salario
menor que $725 al mes, y la otra mitad tiene un salario mayor que $725
al mes.
• Cuartil 3 = $800 => Un 75% (tres cuartas partes) de los profesores tiene
un salario menor que $800 al mes, y el 25% gana más de $800 al mes.
• Quintil 4 = $1000 => Un 80% (cuatro quintas partes) de los profesores
tiene un salario menor de $1000 al mes, y el 20% gana más de $1000 al
mes.
• Decil 9 = $1200 => Un 90% (nueve décimas) de los profesores tiene un
salario mensual inferior a $1200, y un 10% de los profesores gana más de
$1200 al mes.

Medidas de variabilidad o dispersión



“Donde yo vivo el clima es muy “Yo vivo cerca de una playa en un
agradable, las temperaturas se país del norte de Europa.
¿Sería indiferente paraLa temperaturaen
ubican entre los 18º y 22º, con un usted vivir también tiene un
promedio de 20º. estos dos lugares, promedio de 20º.
cualquiera de dado que la
A veces llega hasta 35º.
temperatura promedioPero la misma? -5º o menos.
es otras veces es
Observe que no solo el promedio es importante,
sino también la variabilidad.


La variabilidad, o dispersión de los Las medidas de dispersión pueden
datos, es el grado en que los valores ser clasificadas en:
de una distribución o serie numérica
tienden a acercarse o alejarse - Medidas de dispersión absolutas
alrededor de un promedio. - Medidas de dispersión relativas

Cuando la dispersión es baja indica Las medidas absolutas se expresan
que la serie de valores es en las mismas unidades de los datos.
relativamente homogénea.
Como el recorrido, la desviación
Una variabilidad alta indica una serie cuartil, la desviación estándar y la
de valores heterogénea. varianza.



La varianza consiste en el promedio La desviación estándar es una
del cuadrado de las desviaciones de medida de variabilidad que consiste
un conjunto de datos con respecto a en la raíz cuadrada de la varianza.
su media.

Se calcula como: Se calcula como:
Varianza poblacional: Desviación estándar poblacional:
N

(X i   )2
  2
 
2 i 1
N
Varianza muestral: Desviación estándar muestral:
n

 (x i  x )2
s s2
s 
2 i 1
n 1


Ejercicio:
Suponga que se tiene el siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea
calcular la varianza y la desviación estándar de dicha población.
n
Respuesta:
Primero calcular la media aritmética:
X 1  1  3  10  10 25
i
 i 1
  5
N 5 5
Se calcula la diferencia entre cada dato y la media, y luego se elevan al cuadrado:
Dato Dato menos media Se eleva al cuadrado
1 1 – 5 = -4 (-4)² = 16
1 1 – 5 = -4 (-4)² = 16
3 3 – 5 = -2 (-2)² = 4
10 10 – 5 = 5 (5)² = 25
10 10 – 5 = 5 (5)² = 25
Suma: = 86
La suma se divide entre n : Varianza = 86 / 5 = 17,2
Desviación estándar = raíz(17,2) = 4,15


Ejercicio:
Suponga que se tiene el siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea
calcular la varianza y la desviación estándar de dicha muestra.
n
Respuesta:
Primero calcular la media aritmética: x 1  1  3  10  10 25
i
x i 1
  5
n 5 5
Se calcula la diferencia entre cada dato y la media, y luego se elevan al cuadrado:
Dato Dato menos media Se eleva al cuadrado
1 1 – 5 = -4 (-4)² = 16
1 1 – 5 = -4 (-4)² = 16
3 3 – 5 = -2 (-2)² = 4
10 10 – 5 = 5 (5)² = 25
10 10 – 5 = 5 (5)² = 25

Suma: = 86
La suma se divide entre n -1: Varianza = 86 / 4 = 21,5
Desviación estándar = raíz(21,5) = 4,64


En calculadora
Casio fx-570 ES
Pasos para calcular la desviación estándar:
2. Presionar AC
3. Presionar: Shift 1 2
4. Introducir datos en la columna:
• Usar tecla = para introducir cada dato
5. Presionar AC
6. Presionar:
Shift 1 5 3 = desviación estándar poblacional
Shift 1 5 4 = desviación estándar muestral
Para obtener la variancia, eleve al cuadrado el resultado anterior.


En calculadora

Casio fx-95 MS o fx-82 MS
Pasos para calcular la desviación
estándar:
2. Introducir datos:
• dato M+
• Etc.
3. Presionar:
Shift 2 2 = desviación estándar poblacional
Shift 2 3 = desviación estándar muestral
Para obtener la variancia, eleve al cuadrado el resultado
anterior.

Ejercicio:

Sea la siguiente muestra de datos:
45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Calcule la varianza y la desviación estándar.
Respuesta:
Promedio = (45 + 56 + … + 88)/17 = 63,17

Varianza = ((45 – 63,17)2 + (56 – 63,17)2 + … + (88 – 63,17)2) / (17 – 1) = 209,40

Desviación estándar = raiz(209,40) = 14,47


Variabilidad relativa
Considere los dos siguientes conjuntos:

¿En cuál de los dos conjuntos se presenta mayor variabilidad?
Observe que una hormiga puede ser hasta más de 4 veces más
larga que otra, pero una persona no es 4 veces
¿Por qué en el conjunto de menor variabilidad
se obtuvo un que otra.
más alta valor mayor?
Para milímetros devalores mayores, poren centímetros de presidentes:
Es7porque son 5
hormigas: Estatura
Longitud ensaberlo, calcule la desviación estándar en cada caso.
tanto la desviación 165
9 2 6 185 180 163 165
estándar de un valor más alto.
Para compararmm necesita una medida de variacióncm
Media = 5,8 se Media = 171,6 relativa,
Desviación estándar = 2,59 mm Desviación estándar = 10,14 cm
como el coeficiente de variación.


Permiten comparar grupos de series La medida de variabilidad relativa
distintas en cuanto a su variación. más usada es el
coeficiente de variación.
Son independientes de las unidades
en que se midan las variables. Se designa con las letras CV.

Generalmente se expresan en Consiste en el cociente de la
porcentajes, facilitando así el estudio desviación estándar entre la media:
con medidas procedentes de otras
series de valores. CV = Desviación estándar / Media


Considere los dos siguientes conjuntos:

Longitud en milímetros de hormigas: Estatura en centímetros de presidentes:
9 7 2 5 6 185 180 163 165 165
Media = 5,8 mm Media = 171,6 cm
Desviación estándar = 2,59 mm Desviación estándar = 10,14 cm
CV = 44,7% CV = 5,9%

Ejercicio:

Sean las siguientes muestras de datos:
Muestra 1: 45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49
Muestra 2: 67, 52, 60, 70, 66, 72, 58, 50, 58
¿Cuál posee mayor variabilidad relativa?
Respuesta:
Promedio muestra 1 = 61,44
Promedio muestra 2 = 61,44

Desviación estándar muestra 1 = 16,38
Desviación estándar muestra 2= 7,76

Coeficiente de variación muestra 1 = 26,7%
Coeficiente de variación muestra 2 = 12,6%

La muestra 1 tiene mayor variabilidad relativa.


Otras medidas de variabilidad

Se puede calcular medidas de El rango intercuartílico es la
variabilidad relacionadas con la diferencia entre el tercer cuartil
mediana. menos el primer cuartil:

RIC = Q3 – Q1
Estas pueden ser:
La desviación cuartil consiste en
Rango intercuartílico dividir el rango intercuartil entre dos:
Desviación cuartil
Q = RIC / 2


Ejercicio:

45, 56, 72, 81, 43, 62, 55, 90, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Calcule el rango intercuartil y la desviación cuartil.
Respuesta:
Cuartil 1 = 51

Cuartil 3 = 73,5

Rango intercuartil = 73,5 – 51 = 22,5
El 50% de los datos se encuentran en un rango de 22,5 unidades alrededor de su
mediana.

Desviación cuartil = 22,5 / 2 = 11,25
La mediana tiene un rango de variación de 11,25 unidades.



Medidas de variabilidad absoluta: Medidas de variabilidad relativa:
se expresan en unidades de medida, no se expresan en unidades de
como metros, gramos, etc. medida, sino que por lo general se
expresan como porcentajes.
Pueden ser con respecto a la media:
Rango o recorrido La principal es el coeficiente de
Desviación estándar variación (CV).
Varianza
El CV se emplea para comparar
También con respecto a la mediana: conjuntos de datos expresados en
Rango intercuartil unidades distintas o de magnitud
Desviación cuartil muy distinta.


Resumen medidas de variabilidad

Rango o recorrido
Con respecto
Varianza
a la media
Desviación estándar
Absolutas
Se expresan
en unidades
(metros, Con respecto
Rango intercuartílico
gramos, etc.) a la mediana
Desviación cuartil
Medidas de
variabilidad

Relativas
No se expresan Coeficiente de variación
en unidades


Ejercicio:

Dado el siguiente conjunto de datos sobre el tiempo (en minutos) que una
muestra de personas seleccionadas al azar dura en completar una prueba:

55, 81, 92, 74, 58, 62, 84, 60, 90, 57, 82, 66,
90, 57, 74, 73, 67, 74, 88, 65, 68, 70, 98, 82
1. Calcule e interprete cada una de las siguientes medidas descriptivas:
moda mediana
media aritmética 1er cuartil
3er cuartil percentil 45
decil 3 quintil 3
desviación estándar varianza
coeficiente de variación rango intercuartil
desviación cuartil
2. ¿Qué se puede concluir sobre la simetría o asimetría de los
datos?

Ejercicio - respuesta:


55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81 , 82 , 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Moda = 74

El tiempo más frecuente en que estas personas completaron
la prueba es de 74 minutos.


Ejercicio - solución:


55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Mediana =
n = 24
Pmed = (n + 1) / 2 = (24 + 1) / 2 = 12,5 =>
Med = (73 + 74) / 2 = 73,5

La mitad de las personas terminaron la prueba en 73,5 minutos o
menos, y la otra mitad la terminaron en más de 73,5 minutos.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Media aritmética o promedio =
Media = (55 + 57 + 57 + … + 98) / 24 = 73,63

El tiempo promedio de terminación de esta prueba es de 73,63
minutos.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

1er cuartil =
n = 24
Q1 = P25 => m = 25
P25 = m(n + 1) / 100 = 25(24 + 1) / 100 = 6,25 =>
P25 = 62 + 0,25 * 3 = 62,75

El 25% de las personas terminaron la prueba en 62,75 minutos o
menos, y el 75% la terminaron en más de 62,75 minutos.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

3er cuartil =
n = 24
Q3 = P75 => m = 75
P75 = m(n + 1) / 100 = 75(24 + 1) / 100 = 18,75 =>
P75 = 82 + 0,75 * 2 = 83,5





55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Percentil 45 =
n = 24
P45 => m = 45
P45 = m(n + 1) / 100 = 45(24 + 1) / 100 = 11,25 =>
P45 = 70 + 0,25 * 3 = 70,75





55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Decil 3 =
n = 24
D3 = P30 => m = 30
P30 = m(n + 1) / 100 = 30(24 + 1) / 100 = 7,5 =>
P30 = 65 + 0,5 * 1 = 65,5





55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Quintil 3 =
n = 24
K3 = P60 => m = 60
P60 = m(n + 1) / 100 = 60(24 + 1) / 100 = 15 =>
P60 = 74

El 60% de las personas terminaron la prueba en 74 minutos o
menos, y el 40% la terminaron en más de 74 minutos.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Desviación estándar =
s = raiz((55 – 73,63)2 + (57 – 73,63)2 + … + (98 – 73,63)2) / (24 – 1))=
s = 12,62

Los tiempos en que las personas terminaron la prueba tienen una
variabilidad de 12,62 minutos con respecto a su media.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Varianza =
s2 = (desviación estándar) 2 =
s2 = (12,62) 2 = 159,26

variabilidad de 159,26 minutos2 con respecto a su media.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Coeficiente de variación =
CV = desviación estándar / promedio * 100 =
CV = 12,62 / 73,63 * 100 = 17,14%

variabilidad relativa del 17,14% con respecto a su media.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Rango intercuartil =
RIC = Q3 – Q1 =
RIC = 83,5 – 62,75 = 20,75

El 50% de los tiempos de terminación de la prueba se ubican en
un rango de 20,75 minutos con respecto a su mediana.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

Desviación cuartil =
Q = RIC / 2 =
Q = 20,75 / 2 = 10,38

Los tiempos de terminación de la prueba se ubican en
un rango de 10,38 minutos con respecto a su mediana.
O bien, la mediana tiene una variabilidad de 10,38 minutos.




55, 57, 57, 58, 60, 62, 65, 66, 67, 68 , 70, 73,
74, 74, 74, 81, 82, 82, 84, 88, 90, 90, 92, 98

2. ¿Qué se puede concluir sobre la simetría o asimetría de los
datos?
Moda = 74
Mediana = 73,5
Media = 73,63

La distribución de los tiempos de terminación de la prueba es
casi simétrica (porque la media, la mediana y la moda son casi
iguales).


Gráfica de caja

Un diagrama de caja Suministra información sobre los
es un gráfico, basado en cuartiles, valores mínimo y máximo, los
mediante el cual se visualiza un cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, la
conjunto de datos. existencia de valores atípicos
y la simetría de la distribución.
Está compuesto por:
Se puede construir horizontal
un rectángulo o "caja“ o vertical.
y dos brazos o "bigotes"


Gráfica de caja

Suponga que sobre un conjunto
de datos se conoce lo siguiente:
Mín Q1 Med Q3 Máx
8 20 30 36 42
Primer cuartil: 20
Tercer cuartil: 36
Mediana: 30
Mínimo: 8
Máximo: 42
0 10 20 30 40 50
El diagrama de caja es el siguiente.


Ejercicio:

45, 56, 60, 60, 43, 62, 55, 69, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Construya el diagrama de caja.

Respuesta:
Mínimo = 43
Cuartil 1 = 51
Mediana = 60
Cuartil 3 = 67,5
Máximo = 88

40 50 60 70 80 90


Ejercicio:

50, 70, 75, 68, 43, 62, 55, 69, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 85
Construya el diagrama de caja.

Respuesta:
Mínimo = 43
Cuartil 1 = 51
Mediana = 62
Cuartil 3 = 71
Máximo = 85

40 50 60 70 80 90


Ejercicio:

Analice y compare las siguientes dos diagramas de dispersión.

40 50 60 70 80 90
Respuesta:
En la caja superior se observa que los bigotes son iguales o casi iguales y la mediana
está en la mitad de la caja, lo cual indica que la distribución de los datos es simétrica.
En la segunda caja, el bigote derecho es más largo que el izquierdo y la mediana está
hacia la izquierda de la caja, lo cual indica que la distribución de los datos es asimétrica
positiva.
La caja superior muestra un RIC menor que la segunda caja, lo cual es indicador de que
en el primer conjunto de datos hay una menor dispersión que en el segundo.
Lo mismo indica el rango de cada una (diferencia entre el máximo y el mínimo).


Aplicaciones de la desviación estándar


Suponga un proceso de llenado de botellas de agua de 250 ml.
Se espera que todas las botellas queden a un mismo nivel.
Pero, unas quedan muy vacías.
Y otras quedan muy llenas.
Sin embargo, la mayoría contienen cantidades cercanas a 250 ml.

Suponga que se reúnen datos sobre las cantidades de agua por envase.
Se ha logrado determinar que el promedio por botella es de 249 ml
con una desviación estándar de 3 ml y se traza un histograma.


Frecuncia Histograma
porcentual
35%
30%
25%
20% Media: 249 ml
15% Desv. Est.: 3 ml
10%
5%
0
242 244 246 248 250 252 254 256 X
Observe que en este caso la distribución de los datos es simétrica.
La mayoría de los datos se encuentran en un rango cercano al promedio.
Ese rango se puede definir empleando la desviación estándar:
Promedio – desviación estándar = 249 – 3 = 246
Promedio + desviación estándar = 249 + 3 = 252
En una distribución simétrica el porcentaje de datos en ese rango se puede
aproximar porcentajela regla datos se encuentran entre 246 y 252 ml?
¿Qué mediante de los empírica y es de 68,3%.
O sea, que se espera que un 68,3% de las botellas tenga entre 246 y 252 ml.


porcentual
35%
30%
25%
20% Media: 249 ml
10%
5%
0
242 244 246 248 250 252 254 256 X
Si se define un rango más amplio, va a contener más observaciones.
Si el rango se define empleando dos veces la desviación estándar:
Promedio – 2 x desviación estándar = 249 – 2 x 3 = 243
Promedio + 2 x desviación estándar = 249 + 2 x 3 = 255


porcentual
35%
30%
25%
20% Media: 249 ml
10%
5%
0
242 244 246 248 250 252 254 256 X
Si se define un rango aún más amplio, va a contener más observaciones.
Si el rango se define empleando tres veces la desviación estándar:


porcentual
35%
30%
25%
20% Media: 249 ml
10%
¿Qué 5%
pasaría si la distribución no fuera simétrica?
0
242 244 246 248 250 252 254 256 X
Si la distribución no es simétrica, los porcentajes anteriores disminuyen
un poco y ya no aplicaríamos la regla empírica, sino el teorema de Chebychev.
El rango se puede definir empleando dos veces la desviación estándar:
En una distribución asimétrica el porcentaje de datos en ese rango se puede
aproximar mediante el teorema de Chebychev y es de aproximadamente 75%.
O sea, que se espera que un 75% de las botellas tenga entre 243 y 255 ml.



La probabilidad de que cualquier Cuando la distribución es simétrica,
variable aleatoria tome un valor dentro se puede aplicar la distribución
de la k desviaciones estándar (k > 1) normal, y las probabilidades que se
con respecto a la media es al menos obtienen son:
1 – 1 / k2
Si k = 2, la probabilidad es 75%. Si k = 1, la probabilidad es 68,3%
Si k = 3, la probabilidad es 89%. Si k = 2, la probabilidad es 95,4%
Si k = 3, la probabilidad es 99,7%
A este planteamiento se le llama
Teorema de Chebychev
Esto lo aplicaremos principalmente Esta regla se conoce como
en distribuciones asimétricas. Regla empírica


Ejercicio:

45, 56, 60, 60, 43, 62, 55, 69, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Calcule el rango de variación de estos datos.

Respuesta:
Media = 60, Mediana = 60, Moda = 60
El conjunto de datos es simétrico.

Desviación estándar = 11,51

Rango de variación del 68% = 60 – 11,51 = 48,49
= 60 + 11,51 = 71,51

El 68,3% de los datos se encuentra en un rango entre 48,49 y 71,51.


Ejercicio:

45, 56, 60, 60, 43, 62, 55, 69, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Calcule el rango en el que se encuentra el 95,4% de los datos.

Respuesta:


Rango de variación del 95% = 60 – 2 * 11,51 = 36,98
= 60 + 2 * 11,51 = 83,02



Ejercicio:

45, 56, 60, 60, 43, 62, 55, 69, 49,
52, 60, 75, 66, 72, 58, 50, 88
Calcule el rango en el que se encuentra el 99,7% de los datos.

Respuesta:


Rango de variación del 99,7% = 60 – 3 * 11,51 = 25,47
= 60 + 3 * 11,51 = 94,53



Ejercicio:

La distribución de las notas de un examen tuvieron
promedio de 7,85 y desviación estándar 0,83.
a. Si la distribución de las notas es aproximadamente
normal, ¿qué proporción de los estudiantes tuvo
notas entre 7,02 y 8,68? ¿qué proporción de los
estudiantes tuvo notas mayores a 9,51?
b. Si la distribución hubiera sido asimétrica, ¿qué
proporción de los estudiantes tendría nota entre
6,19 y 9,51?


Ejercicio:

La distribución de las notas de un examen tuvieron promedio
de 7,85 y desviación estándar 0,83.
a. Si la distribución de las notas es aproximadamente normal,
¿qué proporción de los estudiantes tuvo notas entre 7,02 y
8,68?
Respuesta:
Media = 7,85

Intervalo: Media – Desviación estándar = 7,85 – 0,83 = 7,02
Media + Desviación estándar = 7,85 + 0,83 = 8,68

En el intervalo de 7,02 a 8,68 se encuentra el 68,3% de las notas de los
estudiantes.


Ejercicio:

a. Si la distribución de las notas es aproximadamente
normal, ¿qué proporción de los estudiantes tuvo notas
mayores a 9,51?
Respuesta:
Media = 7,85

Intervalo: Media – 2 * Desviación estándar = 7,85 – 2 * 0,83 = 6,19
Media + 2 * Desviación estándar = 7,85 + 2 * 0,83 = 9,51

En el intervalo de 6,19 a 9,51 se encuentra el 95,4% de las notas de los
estudiantes.
Lo quiere decir que un 4,6% está fuera de ese intervalo, dado que la
distribución es simétrica, un 2,3% tendrá nota mayor que 9,51.

Ejercicio:

b. Si la distribución hubiera sido asimétrica, ¿qué proporción
de los estudiantes tendría nota entre 6,19 y 9,51?

Respuesta:
Media = 7,85

Intervalo: Media – 2 * Desviación estándar = 7,85 – 2 * 0,83 = 6,19
Media + 2 * Desviación estándar = 7,85 + 2 * 0,83 = 9,51

En el intervalo de 6,19 a 9,51 se encuentra el 75% de las notas de los
estudiantes (según el teorema de Chebychev).


Raquel tiene 15 años y tiene una
estatura de 1,59 metros.
Las adolescentes de su edad tiene una
talla media de 1,61 metros, con
desviación estándar de 0,08 metros.

Marco tiene 15 años y tiene una
estatura de 1,61 metros.
Los adolescentes de su edad tiene una
talla media de 1,64 metros, con
desviación estándar de 0,11 metros.

¿Cuál de los dos es relativamente más alto?
Para comparar se necesita un parámetro estándar, ya que cada uno proviene
de un conjunto con distinta media y diferente desviación estándar.

En estos casos se emplean los puntajes estandarizados.



A veces puede ser conveniente Estos puntajes estandarizados se
transformar los datos para poder representan con la letra z
efectuar comparaciones. y se pueden obtener con la fórmula:

Si a un valor se le resta el promedio x
del conjunto de datos al que z
pertenece y luego se divide 
entre la desviación estándar,
se obtiene lo que llamaremos Los puntajes estandarizados no
puntajes estandarizados tienen unidades de medida.


Raquel:
X = 1,59 metros
Media = 1,61 metros
Desviación estándar = 0,08 metros
Z = (1,59 – 1,61) / 0,08 = -0,25

Marco:
X =1,61 metros
Media = 1,64 metros
Desviación estándar = 0,11 metros
Z = (1,61 – 1,64) / 0,11 = -0,27

¿Cuál de los dos es relativamente más alto?
Dado que -0,25 es mayor que -0,27, entonces
Raquel es relativamente más alta que Marco.


Ejercicio:

La distribución de las notas del primer examen parcial
de economía tuvo promedio de 7,33 y desviación
estándar 1,37. El segundo examen parcial tuvo
promedio de 7,00 con desviación estándar de 1,91.
a. Compare la variabilidad absoluta y relativa de las
notas de los dos exámenes.
b. Si un estudiante obtuvo en el primer examen un
7,5 y en el segundo un 8,1, ¿en cuál de los dos
exámenes su rendimiento relativo fue mayor?


Ejercicio:

La distribución de las notas del primer examen parcial de
economía tuvo promedio de 7,33 y desviación estándar 1,37.
El segundo examen parcial tuvo promedio de 7,00 con
desviación estándar de 1,91.
a. Compare la variabilidad absoluta y relativa de las notas de
los dos exámenes

Respuesta:
El segundo examen tiene mayor variabilidad absoluta, porque su desviación
estándar es mayor.

CV1 = 1,37 / 7,33 * 100 = 18,69%
CV2 = 1,91 / 7,00 * 100 = 27,28%

El segundo examen también presenta mayor variabilidad relativa, dado que el
coeficiente de variación da más alto.

Ejercicio:

La distribución de las notas del primer examen parcial de
economía tuvo promedio de 7,33 y desviación estándar 1,37.
El segundo examen parcial tuvo promedio de 7,00 con
desviación estándar de 1,91.
b. Si un estudiante obtuvo en el primer examen un 7,5 y en el
segundo un 8,1, ¿en cuál de los dos exámenes su rendimiento
relativo fue mayor?
Respuesta:
Hay que calcular los puntajes estandarizados:

Examen 1: z1 = (7,5 – 7,33) / 1,37 = 0,12
Examen 2: z2 = (8,1 – 7,00) / 1,91 = 0,57

En términos relativos, la nota del segundo es mejor que la del primero.


Ejercicio:

La media aritmética del siguiente conjunto de datos

7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36

Respuesta:
( d ) 11,36


Ejercicio:

La mediana del siguiente conjunto de datos

7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36

Respuesta:
( b ) 10


Ejercicio:

La moda del siguiente conjunto de datos

7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 20
( b ) 10
( c ) 13
( d ) 11,36

Respuesta:
( a ) 20


Ejercicio:
Dado el siguiente conjunto de datos sobre el número de turistas que se hospedan en
un hotel por semana en una muestra de 22 semanas seleccionadas al azar:

25, 81, 92, 44, 58, 62, 34, 40, 90, 57, 42,
40, 57, 57, 57, 57, 62, 40, 65, 58, 50, 18
moda mediana
media aritmética 1er cuartil
3er cuartil percentil 45
decil 3 quintil 3
desviación estándar varianza
coeficiente de variación rango intercuartil
desviación cuartil

2. ¿Qué se puede concluir sobre la simetría o asimetría de los datos?
3. ¿Qué % de los datos se encuentra en un rango de 2 veces la desviación estándar?
4. Construya el diagrama de caja e interprételo.


Media = 53,91
Moda = 57
Mediana = 57,00

Desv. Est. = 18,49
Varianza = 341,90
CoefVar = 34,30

Mínimo = 18,00
Máximo = 92,00
Rango = 74,00

Q1 = 40,00
Q3 = 62,00
IQR = 22,00
Percentil 45 = 57
Decil 3 = 41,8
Quintil 3 = 57


Ejercicio:
Según un estudio de una agencia de publicidad sobre el número de horas de televisión
por semana que ven los jóvenes entre 12 y 18 años de una zona del país, poseen los
siguientes datos (todos en horas por semana):

Moda: 13 Mediana: 14,34 Media: 16,67
Cuartil 1: 11,04 Cuartil 3: 18,92 Decil 2: 10,87
Percentil 95: 25,88 Desviación estándar: 4,5 Mínimo: 6

Con base en los datos anteriores:
1. Interprete cada una de las medidas anteriores.
2. Calcule e interprete el coeficiente de variación.
3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y cuáles verdaderas?
• “Yo veo muy poca TV, pues por semana estoy frente al televisor solo 20 horas”
• “Yo creo que la mayoría de los muchachos ven menos TV que mi hijo. Es increíble
que gaste 11 horas semanales frente al televisor”
• “El 95% de los jóvenes miran entre 7,67 y 23,67 horas de TV por mes”
• “La distribución del número de horas de televisión por semana que ven los
jóvenes entre 12 y 18 años de una zona del país es asimétrica negativa”


Moda = 13 Mediana = 14,34 Media = 16,67
La cantidad de horas por La mitad de los jóvenes En promedio los jóvenes
semana más frecuente de esa zona ven 14,34 de esa zona del país ven
que los jóvenes de esa horas semanales de TV o 16,67 horas semanales
zona ven TV es de 13 menos, y otra mitad ve de TV.
horas. 14,34 horas de TV
semanales o más. Decil 2 = 10,87
Cuartil 1 = 11,04 Un 20% de los jóvenes de
Una cuarta parte (25%) Cuartil 3 = 18,92 la zona ven menos de
de los jóvenes de esa Tres cuartas partes (o el 10,87 horas semanales
zona ven menos de 11,04 75%) de los jóvenes de de TV, y el restante 80%
horas semanales de TV. Y esa zona ven menos de ve más de 10,87 horas
el restante 75% ve más 18,92 horas semanales semanales de TV.
de 11,04 horas de TV. Y el restante 25%
semanales de TV. ve más de 18,92 horas Mínimo = 6
semanales de TV. La cantidad más baja de
Percentil 95 = 25,88 horas semanales de TV
Un 95% de los jóvenes de Desv. estándar = 4,5 que ven los jóvenes de la
la zona ven menos de La cantidad de horas zona es de 6 horas
25,88 horas semanales semanales de TV que ven semanales. Ninguno ve
de TV, y el restante 5% ve los jóvenes de la zona menos de 6 horas
más de 25,88 horas varía en promedio 4,5 semanales.
semanales de TV. horas con respecto a su
media.www.auladeeconomia.com

Ejercicio:

2. Calcule e interprete el coeficiente de variación.

CV = 4,5 / 16,67 * 100 = 26,99%

La cantidad de horas de TV que ven los jóvenes de la zona tiene
una variabilidad relativa de 26,99%.


Ejercicio:

3. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas y cuáles verdaderas?
• “Yo veo muy poca TV, pues por semana estoy frente al televisor solo 20
horas”.
• FALSO. La cantidad de 20 horas está por arriba del promedio e incluso por
arriba del tercer cuartil, lo cual quiere decir que ve más TV que el 75% de los
jóvenes.
• “Yo creo que la mayoría de los muchachos ven menos TV que mi hijo. Es
increíble que gaste 11 horas semanales frente al televisor”
• FALSO. La cantidad de 11 horas está por debajo del primer cuartil, lo cual
quiere decir que este joven está en el 25% que ve menos TV.
• “El 95% de los jóvenes miran entre 7,67 y 23,67 horas de TV por mes”
• FALSO. Se calculan los intervalos del 95,4% (media – 2 * desviación estándar
= 16,67 – 2 * 4,5 = 7,67 y media + 2 * desviación estándar = 16,67 + 2 * 4,5 =
25,67) y los intervalos no coinciden, además la distribución no es simétrica.
• “La distribución del número de horas de televisión por semana que ven los
jóvenes entre 12 y 18 de una zona del país es asimétrica negativa”
• FALSO. La relación entre media > mediana > moda, indica que la asimetría es
positiva.

Ejercicio:
Suponga que se realizó un estudio en el que se comparó la efectividad de dos métodos
de enseñanza A y B en una escuela rural. Luego de aplicar exámenes a los estudiantes
se obtuvieron los siguientes resultados:

Método de enseñanza
A B
Media aritmética 74.5 74.9
Desviación estándar 11.3 24.6
Mediana 72 68
Moda 71 65

Determine la validez de las siguientes afirmaciones (justifique su respuesta):

• Los resultados de ambos métodos son prácticamente iguales.
• Con el método B casi todos los estudiantes obtuvieron la misma nota.
• La distribución de las notas del método B presenta una asimetría hacia la izquierda.
• El método A presenta una dispersión de las notas mayor que el método B.


Ejercicio:

El Hospital “La Cruz” dedicado a la atención exclusiva de problemas
mentales, realizó un estudio en enero pasado, y para ello
elaboraron un cuestionario que incluía las siguientes preguntas (que
fueron respondidas por los familiares encargados de los pacientes
al momento de la entrevista del egreso:
1. Sexo: [1] Masculino [2] Femenino
2. Tiempo semanal que dedica a ver televisión:_____________
3. Rendimiento en el examen de aptitud mental:
[1]Muy malo [2]Malo [3]Regular [4]Bueno [5]Muy bueno
4. ¿Al menos uno de los padres de familia o encargado supervisa
la cantidad de tiempo dedicada a ver televisión? [0] No [1] Sí
5. Con cuántos familiares convive él /la paciente en el hogar? ___
La siguiente base de datos se obtiene luego de la información
recogida y corresponde a la totalidad de los pacientes que
permanecen en el hospital.

Sexo Tiempo que Rendimiento en la Peso del paciente en Número de familiares
ve T.V. prueba de aptitud kilos.
1 5.5 1 55 2
2 0.6 2 63 0
2 1.2 1 49 1
2 1.5 5 58 4
2 8.0 2 65 0
1 6.4 1 70 2
1 2.3 4 71 1
1 3.5 2 48 0
2 4.8 5 47 2
2 5.2 1 70 1
2 6.7 2 71 0
1 4.5 3 69 2
1 7.3 2 68 5
2 4.2 3 55 0
1 3.2 2 55 2
2 5.2 1 47 0
1 6.3 4 47 3
2 8.5 2 69 0
1 8.8 3 www.auladeeconomia.com 69 3

Ejercicio:
• Calcule la media, la mediana y la moda para la variable peso. Interprete las
medidas.
• Determine e interprete las medidas de tendencia o posición central para la
variable tiempo que ven televisión los pacientes. ¿Qué forma tiene la
distribución de las edades?
• Considera usted que la distribución de los datos presenta algún tipo de
valores extremos? Si es así, de qué tipo son?
• ¿Cuál es el peso que deja por encima de el al 45 % de los vecinos?
• Determine la variabilidad asociada a la mediana en cuanto al tiempo que
ven televisión los pacientes. Interprete el promedio y la variabilidad.
• ¿Cuál de las dos variables, peso o número de familiares es menos variable?
¿Por qué?
• Determine e interprete el valor del quintil tres de los pesos.
• Calcule el tiempo que ven televisión los pacientes y que deja por debajo de
él, al 40 % de los pacientes.
• Explique qué significa la variabilidad absoluta de un conjunto de
observaciones.


Ejercicio 1
• Una gran empresa de equipos deportivos está probando el
efecto de uno de sus planes publicitarios sobre las ventas de
su producto principal en los últimos 6 meses.
Considerando las ventas que se resumen en la siguiente tabla:
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Ventas 400 500 600 600 750 850
1. ¿Cuál es el promedio mensual de ventas?
2. ¿Son simétricos los datos o presentan algún tipo de asimetría
(positiva o negativa)?
3. ¿Cuál es el nivel de ventas máximo que representa el 75% de las
ventas mensuales más bajas?
4. Prepare la caja de dispersión asociada con las ventas de esta
empresa.

Pregunta 1.
¿Cuál es el promedio mensual de ventas?

Solución:
Promedio = Suma de datos / número de datos

Ventas promedio =
(400 + 500 + 600 + 600 + 750 + 850) / 6 =
616.67

Pregunta 2.
¿Son simétricos los datos o presentan algún tipo de
asimetría (positiva o negativa)?

Solución:
Promedio = 616.67
Mediana = 600
Moda = 600

Dado que el promedio es un poco mayor que la
mediana y que la moda, indica una ligera asimetría
positiva.

Pregunta 3.
¿Cuál es el nivel de ventas máximo que representa el
75% de las ventas mensuales más bajas?

Solución:
Se debe calcular el percentil 75:
P75 = 75/100 * (6 + 1) = 5.25

El percentil es el dato en la posición 5.25:
P75 = 750 + 0.25 * (850 – 750) = 775

Pregunta 4.
Prepare la caja de dispersión asociada con las ventas
de esta empresa

Solución:
Se debe calcular Q1, Med y Q3:
Q1 = P25 = 25/100 * (6 + 1)
= 1.75  Q1 = 475

Q3 = P75 = 75/100 * (6 + 1)
= 5.25  Q3 = 775

Med = 600

Ejercicio 2
• Los estadísticos del programa Meals in Wheels (Comida sobre
ruedas), el cual lleva comidas calientes a enfermos confinados
en casa, desean evaluar sus servicios.
• El número de comidas diarias que entregaron en la última
semana fue:
30 45 60 50 50 75
Con base en la información suministrada, determine:
1. ¿Cuál es la cantidad promedio de comidas que se entregan por día?
2. Establezca el rango en que se espera que varíe el número promedio
de entregas diarias.
3. Calcule e interprete los cuartiles 1 y 3.
4. Establezca el rango en que se espera que varíe la mediana del
número de entregas promedio diarias.

Pregunta 1.
¿Cuál es la cantidad promedio de comidas que se
entregan por día?

Solución:
Promedio = Suma de datos / número de datos

Entregas promedio =
(30 + 45 + 60 + 50 + 50 + 75) / 6 =
51.67

Pregunta 2.
Establezca el rango en que se espera que varíe el
número promedio de entregas diarias
Solución:
Rango de variación para la media = Media ± Desviación estándar

Promedio = 51.67
Varianza = (30 – 51.67)2 + (45 – 51.67)2 + … + (75 – 51.67)2 = 226.67
Desv. est. = raiz(226.67) = 15.06

Rango de variación para la media =
51.67 – 15.06 = 36.61
51.67 + 15.06 = 66.73

Pregunta 3.
Calcule e interprete los cuartiles 1 y 3

Solución:
Ordenar datos: 30, 45, 50, 50, 60, 75

Q1 = P25 = 25/100 * (6 + 1) = 1.75 
Q1 = 30 + 0.75 * (45 – 30) = 41.25
El 25% de los días se reparten 41.25 comidas o menos.

Q3 = P75 = 75/100 * (6 + 1) = 5.25 
Q3 = 60 + 0.25 * (75 – 60) = 63.75
El 75% de los días se reparten 63.75 comidas o menos.

Pregunta 4.
Establezca el rango en que se espera que varíe la
mediana del número de entregas promedio diarias
Solución:
Se conoce que:
Med = 50
Q1 = 41.25
Q3 = 63.75

Entonces:
Rango intercuartil = 63.75 – 41.25 = 22.5
Desviación cuartil = (63.75 – 41.25) / 2 = 11.25
Se espera que la mediana varíe en el rango:
50 – 11.25 = 38.75
50 + 11.25 = 61.25

Pregunta 3
En una muestra seleccionada al azar de 8 estudiantes del curso de estadística,
el grupo 1 de la mañana y el grupo 2 de la noche, se obtuvieron las siguientes
edades:
Grupo 1 18 20 21 23 24 21 21 17
Grupo 2 20 25 25 30 30 30 40 35
1. Con la información suministrada determine e interprete para cada grupo:
– Edad promedio
– Edad que representa la mediana
– ¿En cuánto se espera que varíe la edad promedio de los estudiantes?
2. Si un estudiante del grupo 1 tiene 22 años y un estudiante del grupo 2
tiene 28 años, ¿cuál de los dos estudiantes tiene una edad relativa
mayor?
3. Para el grupo que presenta mayor variación determine cada uno de los
rangos en que se espera que varíen los pesos de los estudiantes según
Gauss.

Pregunta 1.
Con la información suministrada determine e interprete para cada
grupo edad promedio, edad mediana y rango en que varíe la edad
promedio
Solución:
Grupo 1 Grupo 2
Promedio 20.63 29.38
Mediana 21.00 30.00
Desviación estándar 2.33 6.23
Interpretación:
La edad promedio de los estudiantes del grupo 1 es de 20.63 años y
de 29.38 años en el grupo 2.
La mitad de los estudiantes del grupo 1 tiene 21 años o
menos, mientras que la mitad de los estudiantes del grupo 2 tiene 30
años o más.
Las edades del grupo 1 se espera que varíen en 2.33 años alrededor de
su promedio, mientras que en el grupo 2 se espera que varíen en 6.23
años alrededor de su promedio.

Pregunta 2.
Si un estudiante del grupo 1 tiene 22 años y un estudiante del
grupo 2 tiene 28 años, ¿cuál de los dos estudiantes tiene una edad
relativa mayor?
Solución:
Hay que calcular los puntajes estandarizados z:
Estudiante grupo 1:
z = (22 – 20.63) / 2.33 = 0.59

Estudiante grupo 2:
z = (28 – 29.38) / 6.23 = -0.22

El estudiante del grupo 1 es relativamente mayor.

Pregunta 3.
Para el grupo que presenta mayor variación determine cada uno
de los rangos en que se espera que varíen los pesos de los
estudiantes según Gauss
Solución:
Rango  – ,  +  (incluye el 68.3% de los datos):
20.63 – 2.33 = 18.30
20.63 + 2.33 = 22.95
Rango  – 2,  + 2 (incluye el 95.4% de los datos):
20.63 – 2 * 2.33 = 15.97
20.63 + 2 * 2.33 = 25.28
Rango  – 3,  + 3 (incluye el 99.7% de los datos):
20.63 – 3 * 2.33 = 13.65
20.63 + 3 * 2.33 = 27.60

Ppt3

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (8)

Similar a Ppt3

Similar a Ppt3 (20)

Último

Último (20)

Ppt3