ingeniería de sistemas

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA

3. PROBLEMA DE APLICACIÓN 1
Dos resistencias variables conectadas en paralelo aumentan a razón de 𝑑𝑅1/dt = 0.02 Ω/s y
𝑑𝑅2/dt=0.03 Ω/s, determine la razón de cambio de la resistencia del circuito cuando las resistencias
miden 𝑅1= 20 Ω y 𝑅2=50 Ω respectivamente.
Solución
Tenemos que 𝑅 =
𝑅1 𝑅2
𝑅1+ 𝑅2
Donde R, R1 Y R2 varían en función del tiempo,
La derivada de esta expresión respecto al tiempo es
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
𝑑𝑅1
𝑑𝑡
. 𝑅2 + 𝑅1
𝑑𝑅2
𝑑𝑡
𝑅1 + 𝑅2 − 𝑅1 𝑅2.(
𝑑𝑅1
𝑑𝑡
+
𝑑𝑅2
𝑑𝑡
)
(𝑅1 + 𝑅2)2
Se realizan las operaciones indicadas y se simplifica para obtener la ecuación
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
𝑅1
2
.
𝑑𝑅2
𝑑𝑡
+ 𝑅2
2
.
𝑑𝑅1
𝑑𝑡
(𝑅1 + 𝑅2)2

4. Se reemplazan los valores de las variables conocidas para obtener
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
202
. . 0,03 + 502
. 0.02
(20 + 50)2
𝑑𝑅
𝑑𝑡
=
202
. 0,03 + 502
. 0.02
(20 + 50)2
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0.01265 Ω/s

5. DIMENSIONES DE UN ENVASE – GASTO DE MATERIAL
Ejemplo 2
Se deben fabricar envases cilíndricos de hojalata de 5 lt de capacidad, con laminas rectangulares,
hallar la relación entre la altura y el radio de la base para que el gasto de material sea mínimo.

6. En el problema el material total utilizado es igual a la suma de la superficie lateral mas las dos tapas
del envase
Cuya superficie total de material a usa es equivalente al área del rectángulo mas dos cuadrados
donde se inscribe los círculos, lo que es equivalente a:
𝑆 = 𝐿. ℎ + 2𝐷2
Como L = 𝜋. 𝐷 se tiene que
𝑆 = 𝜋. 𝐷. ℎ + 2𝐷2

7. Ahora, el volumen del recipiente se halla con la ecuación
𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ
De acuerdo a al superficie nos queda
𝑉 =
𝜋𝐷2
4
. ℎ
Al despejar h de la ecuación y al sustituirla en S tenemos
ℎ =
4𝑉
𝜋𝐷2
𝑆 = 𝜋. D.
4𝑉
𝜋𝐷2
+ 2𝐷2
𝑆 =
4𝑉
𝐷
+ 2𝐷2

8. Buscamos los puntos críticos de S, entonces derivamos la expresión
𝑑𝑆
𝑑𝐷
=
−4𝑉
𝐷2
+ 4𝐷
Igualamos a cero
−4𝑉
𝐷2
+ 4𝐷 = 0
−4𝑉 + 4𝐷3
= 0
−4𝑉 + 4𝐷3
= 0
4(−𝑉 + 𝐷3
) = 0
−𝑉 + 𝐷3
= 0
−𝑉 + 𝐷3
= 0
𝐷3
= 𝑉
𝐷 =
3
𝑉
Esta expresión nos permite hallar el diámetro de la tapa en función del volumen.
Como el volumen son 1000 𝑐𝑚3
entonces 𝐷 =
3
1000𝑐𝑚3 entonces 𝐷 = 10 𝑐𝑚

9. Ahora como
ℎ =
4𝑉
𝜋𝐷2
ℎ
𝐷
=
4𝑉
𝜋𝐷3
ℎ
𝐷
=
4𝑉
𝜋
3
𝑉
3
ℎ
𝐷
=
4𝑉
𝜋𝑉
ℎ
𝐷
=
4
𝜋
ℎ =
4
𝜋
. 𝐷
ℎ =
4
𝜋
. 10 𝑐𝑚
ℎ = 12.7 𝑐𝑚

10. BIBLIOGRAFIA
• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650,
• Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495
• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN
9781449227180
• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433
• Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971