Este documento presenta tres métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción. Explica cada método a través de ejemplos numéricos. Finalmente, plantea el problema de si Luisa tenía suficiente dinero para comprar el material que necesitaba basándose en el sistema de ecuaciones que representa las compras de Ana y Víctor.

1.  Ya sabemos:
 - lo que son ecuaciones (igualdad entre dos expresiones
algebraicas; en estas hay algún/as cantidades desconocidas, que se
representan con letras),
RECUERDA
- que existen distintas clases según el número de
incógnitas a descubrir y el grado (así tenemos ecuaciones de una
incógnita y de primer grado, de una incógnita y de 2º grado, de dos
incógnitas y de primer grado… ), y
- resolver las que son de una incógnita de primer grado.

2.  Ana y Víctor necesitan un material para hacer un
trabajo que les han mandado en el instituto. Han
quedado en ir juntos a comprar a la misma tienda.
IMAGÍNATE
Ana compró 5 cartulinas y 2 barras de pegamento por 2´90
€. Víctor se llevó 8 cartulinas y una barra de pegamento por
un total de 3´10 €. Pero no preguntaron por el precio
unitario de cada artículo.
Al verlos por la calle, Luisa recordó que también tenía que
comprar material. Necesitaba 6 cartulinas y 2 barras de
pegamento, pero sólo tenía 3 € en ese momento.
¿Tenía Luisa suficiente dinero para hacer la
compra o bien tendría que ir a su casa a por más o
pedirle prestado a sus amigos?

3.  Para saber si Luisa tiene suficiente necesitamos saber el
precio de una cartulina y de una barra de pegamento.
IMAGÍNATE
O sea, tenemos que buscar el valor de…
¡¡dos incógnitas!!
¿Qué hacer para no tener que ir probando diferentes
precios para cada artículo?
Pues lo que tienes que hacer es leer con
atención las diapositivas que vienen a
continuación.

4.  Lo que vamos aprender en esta presentación es:
LO QUE APRENDEREMOS
 Lo que es un Sistema de Ecuaciones
 Métodos de resolver un Sistema de dos
ecuaciones de primer grado con una sola incógnita:
 Sustitución
 Igualación
 Reducción

5. SISTEMAS DE ECUACIONES
En el caso de Ana y Víctor, ambos han comprado las cosas
en la misma tienda y el mismo día.
Lo más normal es que el precio de cada cartulina sea el
mismo para las tres personas (X). Del mismo modo, la barra
de pegamento vale igual (Y) para cada una de ellas.
La situación de Ana la podemos escribir: 5x + 2y = 2´90
La situación de Víctor sería: 8x + y = 3´10
Nos encontramos ante dos ecuaciones con las mismas dos
incógnitas. Esto es un Sistema de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas.

6. SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es un conjunto
de varias ecuaciones con varias incógnitas
comunes entre sí
Resumiendo:
Resolver un sistema de ecuaciones es
buscar el valor de cada una de las
incógnitas.

7. Sistemas de Ecuaciones





cybxa
cbyax ECUACIÓN 1
ECUACIÓN 2
INCÓGNITA X
INCÓGNITA Y
DOS ECUACIONES
DOS INCÓGNITAS

8. Sistemas de Ecuaciones:
RESOLUCIÓN
• SUSTITUCIÓN
• IGUALACIÓN
• REDUCCIÓN

9. SUSTITUCIÓN





534
52
yx
yx
1º Se despeja una incógnita ¿CUÁL?
PISTA: Busca la que esté
sola Y
xy 25

10. SUSTITUCIÓN





534
52
yx
yx xy 25
534  yx
2º.- Sustituímos el valor de Y en la otra ecuación
1º.- Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones

11. SUSTITUCIÓN





534
52
yx
yx xy 25
5)25(34  xx
15564  xx
2x
10
20
x2010 x
56154  xx
Ya tenemos el valor de X, ahora calcularemos Y
3º.- Obtendremos una ecuación con UNA incógnita, que resolveremos

12. SUSTITUCIÓN





534
52
yx
yx
2x
52 yx 522  y
54  y 45y 1y
4º.- Sustituímos el valor obtenido en la otra ecuación
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita

13. SUSTITUCIÓN





534
52
yx
yx
1ySOLUCIÓN: ;2x
5º.- Ahora debemos comprobar los resultados, sustituyendo ambos
valores en las dos ecuaciones.
52 yx 5122  514 
534  yx 51324  538 
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

14. IGUALACIÓN





5
82
yx
yx
1º Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones
¿CUÁL?
X
yx 28
yx 5
PISTA: Busca la que esté sola

15. IGUALACIÓN





5
82
yx
yx yx 28
yx 5
Se igualan los segundos miembros
y28 y 5 852  yy
3 y
1
3


y 3y
Una vez encontrado un valor, buscaremos el otro

16. IGUALACIÓN





5
82
yx
yx yx 28
yx 5
3y
Cojemos cualquiera de las ecuaciones
yx 28
Sustituimos en ella el valor que obtuvimos
328 x 2x
Hemos obtenido el valor de la otra incógnita

17. IGUALACIÓN





5
82
yx
yx
3ySOLUCIÓN: 2x
Ahora debemos comprobar los resultados, igual que en el método anterior
82  yx 8322  862 
5 yx 532 
Como las igualdades son ciertas, la solución es correcta

18. REDUCCIÓN





1053
642
yx
yx
Se intenta que sumando ambas ecuaciones eliminemos
una de las incógnitas.
1053
642


yx
yx

¿Eliminamos alguna incógnita? NO
16x5 y9
Pues tendremos que hacer algunos cambios

19. REDUCCIÓN





1053
642
yx
yx
1E





20106
18126
yx
yx
Y ahora cambiamos de signo una ecuación, por ejemplo la primera





20106
18126
yx
yx
Multiplicaremos cada ecuación por el coeficiente de una
de las incógnitas de la otra ecuación.
3
2E 2

20. REDUCCIÓN





1053
642
yx
yx
Ahora sumamos





20106
18126
yx
yx
y2 2
2
2

y 1y
Eliminamos así
una incógnita
X
Y ahora calculamos x
Resolvemos la ecuación obtenida

21. REDUCCIÓN





1053
642
yx
yx
1y
Tomamos una de las ecuaciones
1053  yx
Sustituimos en ella el valor
encontrado
  10153 x
1053 x 153 x
3
15
x 5x

22. Comprobamos los resultados
Para ello sustituimos los valores encontrados en las dos ecuaciones





1053
642
yx
yx
1y
5x
  61452 
10)1(553 
6410 
10515 
REDUCCIÓN

23. Esto, esto, esto...
¡esto es todo, amigos!
Ahora… ¡¡a practicar!!
Por cierto... ¿habrá podido comprar
Lucía su material con lo que tenía?