Operaciones con números enteros

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SISTEMAS NUMÉRICOS
En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas si sabían distinguir entre uno y
muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie...) y con
ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores. Martin
A. Cagliani dice “….La noción de número y de contar, así como los nombres de los
números mas pequeños y más comúnmente empleados, se remonta a épocas
prehistóricas.
Con la invención de la escritura, se proporcionó el paso siguiente, que fue el de escribir
los números los cuales eran simplemente signos iguales que se limitaban a contar
hasta llegar al número deseado. Por ejemplo uno era ('), dos (''), cinco (''''), ocho (''''''''),
y así sucesivamente hasta llegar al numero deseado. Como se hace difícil leer muchos
signos de este estilo, por ejemplo 27 seria muy molesto tener que leer ('''''''''''''''''''''''''''),
así que se los empezó a separar en grupos, preferentemente de a diez (es el que se
utilizo mas en la antigüedad). Luego se invento un símbolo para el diez, cien, y así
sucesivamente. Este sistema lo utilizaban los babilonios, pero con un sistema
cuneiforme, que eran formas de cuya marcadas en arcilla.
En las primeras etapas de su desarrollo, los griegos usaron un sistema semejante al de
los babilonios, pero en épocas posteriores se generalizó un método alternativo.
Recurrieron al empleo de otro sistema ordenado: el de las letras del alfabeto. Los
griegos serian los que inventarían los números irracionales, más precisamente
Pitágoras.
El cero lo inventaron los hindúes por el año 500, los hindúes denominaron a este
símbolo sunya, que quiere decir "vacío". Este fue un gran avance porque ya no se
confundirían los números como el 507 con el 57, esta era la forma utilizada
anteriormente, dejando un espacio. Este símbolo de la nada fue recogido por los
árabes hacia el s. VIII, quienes lo denominaron céfer, que en su idioma quería decir
"vacío". Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra. Con mucha
lentitud llegaron los números arábigos a occidente y reemplazaron a los números
romanos, que estos habían esparcido por todo su imperio.
Fue un matemático italiano, Leonardo Fibonacci (1170-1240), el primero en escribir
sobre los números arábigos en occidente. Tuvo la ocasión de viajar ampliamente por el
norte de África. Allí aprendió la numeración árabe y la notación posicional (el cero).
Fibonacci escribió un libro sobre el tema en 1202, Liber Abaci (o libro del ábaco), que
sirvió para introducir los números arábigos en Europa, pero los romanos aún se
mantuvieron en vigor durante tres siglos más.
El matemático italiano Geronimo Cardano (1501-1575), fue el que demostró, en 1545,
que las deudas y los fenómenos similares se podían tratar con números negativos.

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Hasta ese momento, los matemáticos habían creído que todos los números tenían que
ser mayores que cero.
En la antigüedad no se contaba mas de varios miles, si así era se limitaban a exagerar
diciendo cientos de miles o mas que las estrellas. El numero millón y la palabra, (que
viene del latín que significa "gran millar"), que son mil millares, data de la alta Edad
Media, época en que el comercio había revivido, hasta alcanzar un punto de necesitar
una palabra especial. Los billones y los trillones vinieron mas tarde.
En 1614 John Napie, llamado Neper o Neperius, invento los logaritmos, del griego
logos, razón, y arithmos, número. Un logaritmo es un número que indica la potencia a
la que hay que elevar otro dado para que resulte un tercero también conocido.
El matemático ingles John Wallis (1616-1703) fue el que consiguió dar sentido a los
números imaginarios (numero que se inventa y se le asigna un símbolo como i) en
1685, así como los números complejos. En 1744 el matemático suizo Leonhard Euler
(1707-1783) descubrió los números trascendentales, que son los que jamás
constituirán una solución a cualquier ecuación algebraica que pueda escribirse. En
1845 el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1815-1865) comenzó a trabajar
con números hipercomplejos, o como el los llamo cuaternios...”
Al iniciar la vida escolar una de las primeras cosas que aprendimos fue a construir
círculos y líneas y con el pasar de los días estas se convirtieron en palabras y números;
con lo que más tarde expresamos ideas y cantidades, asociando esto a gran cantidad
de situaciones propias de nuestra cotidianidad.
Al trascender los primeros años de la etapa escolar, se comienza a establecer
relaciones entre los números, realizando las operaciones que se podían realizar a partir
ellos y años más tarde vimos como muchas de los problemas se podían expresar a
partir de relaciones entre ellos.
En las matemáticas para expresar las relaciones que existen entre los números se
utilizan símbolos, los más utilizados son:
OPERACION SÍMBOLO
NOMBRE DEL
SÍMBOLO
NOMBRE DEL
RESULTADO
PARTES
ADICIÓN + MAS TOTAL SUMANDOS Y TOTAL
SUSTRACCIÓN - MENOS DIFERENCIA
MINUENDO,
SUSTRAENDO Y
DIFERENCIA
MULTIPLIACIÓN ( ),
 ,, POR PRODUCTO
FACTORES Y
PRODUCTO
DIVISIÓN , /, -
VÍNCULO COCIENTE
DIVIDENDO, DIVISOR,
COCIENTE Y RESIDUO

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POTENCIACIÓN Y
X POTENCIA POTENCIA
BASE, EXPONENTE Y
POTENCIA
RADICACIÓN RADICAL RAÍZ
INDICE, CANTIDAD
SUBRADICAL Y RAÍZ
LOGARITMACIÓN Log LOGARITMO LOGARITMO
BASE, POTENCIA Y
LOGARITMO
Clasificación de los Sistemas Numéricos
 Números naturales
El conjunto de los números naturales, surge de la necesidad de contar se representa
con  .
 ,...6,5,4,3,2,1,
 Números enteros
Si partimos del conjunto de los números naturales y formamos un nuevo conjunto
incluyendo el cero, se obtendrá el conjunto de los enteros no negativos o positivos, el
cual se denotara como  ,...6,5,4,3,2,1,0
. Ahora a cada numero entero no
negativo n corresponde un único numero llamado el negativo de n que se denota como
–n. el conjunto que consta de todos los números enteros no negativos y sus negativos
se llama conjunto de los enteros.
 ,...6,5,4,3,2,1,0...,..., n
 Números racionales
Un numero racional es un numero de la forma a/b, donde a y b son enteros y b no es
cero.En el conjunto de los números enteros, las ecuaciones de la forma bax  solo
tienen solución cuando ”b es múltiplo de a”. Con el fin de que estas ecuaciones tengan
REALES
RACIONALES (Q)IRRACIONALES (Q’)
ENTEROS (Z)
ENTEROS
POSITIVOS
(Z+)
ENTEROS
NEGATIVOS
(Z-)
NATURALES (N)

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solución siempre se hace necesario introducir el conjunto Q de los números
racionales.






 0,,,/ bba
b
a
Q
 Números irracionales
El conjunto I, de los números irracionales esta formado por aquellos números que no
se pueden expresar como cociente de enteros.
Operaciones y propiedades de los Números Naturales y Enteros.
Ley de los signos
Las operaciones entre números reales   , se basan en las combinaciones de los
signos que se encuentran entre ellas, los cuales se definen mediante las siguientes
leyes, y en cada una se definen cuatro situaciones a saber:
 Ley de los signos para la adición
a) Un número positivo sumado con otro número positivo produce como resultado
otro número positivo
     
Ejemplo:      1248 
b) Un número negativo sumado con otro número negativo produce como resultado
otro número negativo
     
Ejemplo:      1248 
c) Un número positivo sumado con un número negativo produce como resultado
otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor
     
Ejemplos:      448       484 
d) Un número negativo sumado con un número positivo produce como resultado
otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor
     
Ejemplos:      484       448 
 Propiedades de la adición

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En el conjunto de los reales, la adición satisfacen las siguientes propiedades:
OPERACIÓN PROPIEDAD SÍMBOLO EJEMPLO
ADICIÓN
CLAUSURATIVA cba  835 
CONMUTATIVA abba  104664 
ASOCIATIVA    cbacba      12543543 
MODULATIVA
El cero es el neutro de la suma.
Para todo a  , aa  00 99009 
ANULATIVA Para todo a , existe  a , tal que
    0 aaaa
    013131313 
 Ley de los signos para la sustracción (resta)
a) Un número positivo restado con otro número positivo genera como resultado otro
número, cuyo signo, depende del signo del número mayor
     
Ejemplos:      448       484 
b) Un número negativo restado con otro número negativo genera como resultado
otro número, cuyo signo, depende del signo del número mayor
     
Ejemplos:     44848      48484 
c) Un número positivo restado con un número negativo genera como resultado otro
número positivo
     
Ejemplos:     124848      128484 
d) Un número negativo restado con un número positivo genera como resultado otro
número negativo
     
Ejemplos:     124848      128484 
 Ley de los signos para la multiplicación
a) Un número positivo multiplicado con otro número positivo da como resultado otro
número positivo
     
Ejemplo:      3248 

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b) Un número negativo multiplicado con otro número negativo presenta como
resultado otro número positivo
     
Ejemplo:      3248 
c) Un número positivo multiplicado con un número negativo presenta como
resultado otro número negativo
     
Ejemplos:     3248      3284 
d) Un número negativo multiplicado con un número positivo presenta como
resultado otro número negativo
     
Ejemplos:     3248      3284 
 Propiedades de la multiplicación
En el conjunto de los reales, la multiplicación satisfacen las siguientes propiedades:
OPERACIÓN PROPIEDAD MULTIPLICACIÓN EJEMPLO
MULTIPLICACIÓN
CLAUSURATIVA cba  1535 
CONMUTATIVA abba  244664 
ASOCIATIVA    cbacba      60543543 
MODULATIVA
El uno es el neutro del producto.
Para todo a  ,
aaa  11
99119 
ANULATIVA 000  aa 09009 
Existe una propiedad que involucra la operación de adición junto a la operación de
multiplicación y se denomina la “propiedad distributiva”. Esta propiedad se utiliza
constantemente en los procesos de multiplicación entre expresiones algebraicas.
PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN EJEMPLO
DISTRIBUTIVA   cabacba  5x(4+3)=5x4 + 5x3
 Ley de los signos para la división
a) Un número positivo dividido con otro número positivo genera como resultado
otro número positivo

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     
Ejemplo:      248 
b) Un número negativo dividido con otro número negativo genera como resultado
otro número positivo
     
Ejemplo:      248 
c) Un número positivo dividido con un número negativo genera como resultado otro
número negativo
     
Ejemplos:     248      5,084 
d) Un número negativo dividido con un número positivo genera como resultado otro
número negativo
     
Ejemplos:     248      5,084 
 Resumen de las leyes de los signos:
ADICIÓN DIVISIÓN SUSTRACCÍÓN MULTIPLICACIÓN
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
Nota: Las operaciones de Sustracción (Resta) y División no cumplen la mayoría de
propiedades enunciadas para la Adición y la Multiplicación.