calculo integral 3

1. Calculo Integral
Reporte Unidad III
Por: Brandon Fedynich

2. La integral definida
La integradefinidase identificaconel siguiente símbolo: ∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 .Que se lee “laintegral definidadesde
a hasta b de y dx.Donde a esel limite inferioryb esel limite superior.Laintegral definidanossirve para
calcularel área bajouna curva, y suslímitesnosdicende donde a donde enel eje x.Cuandotenemos
una integral definida,se vaa terminarreemplazandolavariableconloslimitesparaluegorestarunodel
otro,por lo que la constante de integraciónse vaa eliminar,porloque lasintegralesdefinidasse
puedencalcularsinlaconstante.Podemosvercomose eliminalaconstante aquí: ∫ 1𝑑𝑥
𝑏
𝑎 , al calcularnos
dará: [f(b)+c] – [f(a)+c],ahípodemosvercomose va a terminareliminandolaconstante de integración.
Cálculo de una integral definida
Para calcularuna integral definida,bastaconrealizarlaintegraciónde laexpresióndiferencialdada,
luegoreemplazarlavariable porel límite superior,luegoreemplazarlavariable conel limite inferiory
luegorestarel resultadodel segundoal primero.Comoejemplo, ∫ 𝑥2 𝑑𝑥
4
2 aquívemosque 4 esel límite
superiory2 el inferior,entonces integramosresultandoen:
𝑥3
3
.Reemplazamoslavariable porel limite
superior:
43
3
=
64
3
y reemplazamoslavariable porel limite inferior:
23
3
=
8
3
, y restamosel segundoal
primero:
64
3
−
8
3
=
56
3
.
Cambio de límites correspondientes a un cambio en la variable
Al integrarpodemosusarsustitucióncomovimosenlaunidadanterior,ya vecespuede llegaraseralgo
tediosoregresarel valororiginal despuésde realizarlasoperaciones,peroconlaintegral definida
podemosdejarlasustituciónahíysimplemente cambiarloslimitesanuevosvaloresque correspondan
a la nuevavariable. Porejemplo:Si tenemoslaecuación ∫ 2𝑥( 𝑥2 + 1)3 𝑑𝑥
2
1 ,podríamossustituir 𝑥2 + 1
con u, así la derivadade useria2xdu,y así la ecuaciónquedaría ∫ 𝑢3 𝑑𝑢
2
1 ,la cual esmás fácil de integrar,
perosi graficamosestaecuación,el áreaentre loslimitesnoesigual a laecuaciónoriginal,porloque se
tiene que cambiarloslimitesparaque correspondanalaecuaciónoriginal.Entoncesrevisamosu,que
equivale a 𝑥2 + 1,sustituimosx porel limite superiorynosda 5, y sustituimosporel limiteinferiory
nos da 2, por lotanto, estasseránnuestrosnuevoslímites,quedando: ∫ 𝑢3 𝑑𝑢
5
2 ,yahora lasáreas de
ambas ecuacionessoniguales,podemosproseguirconcalcularlaintegral definida.
Cálculo de áreas
Para calcularel área podemos hacerusodel calculode una integral definidapreviamente explicada.En
este caso lafórmulapara cálculo de área es:Área= ∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 , sustituyendoyentérminosde x obtenidode
la ecuaciónde lacurva dada. Por ejemplo,podemoscalcularel árealimitadaporlafunción2x2
yel eje x,
entre lospuntos1 y 3 de la siguiente forma: ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥
3
1 .= x3
,y ahora sustituimosx porloslimitesy
restamos:33
- 13
= 26. Podemosobservarel áreaenlasiguiente imagen:

3. Cálculo del área cuando las ecuaciones de la curva se dan en forma paramétrica
Cuandolasecuacionesde lacurva se danen formaparamétrica,de formaque x=f(t),y=g(t),podemos
sacar la derivadade x,para obtenerf´(t),yahora podemossustituirennuestraformulade integral
definida:∫ 𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎 ,sustituyendo“y”y “dx”.Quedaríade lasiguiente forma: ∫ 𝑔( 𝑡) 𝑓´(𝑡)
𝑡2
𝑡1 donde t=t1
cuandox=a, y t=t2 cuandox=b. Por ejemplo,si nosdanla ecuaciónparamétrica:x=t2
y=4t2
-t4
0<=t<=2.
Sacamos laderivadade x:dx=2t, ahora podemossustituir: ∫ 4𝑡2 − 𝑡42
0 ∗ 2t.Realizarlamultiplicación:
∫ 8𝑡3 − 2𝑡52
0 , sacar la antiderivada:
8𝑡4
4
-
2𝑡6
6
= 2t4
-
1𝑡6
3
, y sustituimosloslímites:2(2)4
-
1(2)6
3
= 32 - 2t4
-
64
3
=
32
3
Representación geométrica de una integral
La representacióngeométricade unaintegral depende de lanaturalezade lamisma.Enlos ejemplosde
arriba se puede verque esun área,perono siempre vaa serlo.Si laordenadallegaraa representarla
velocidadde unobjetoylaabscisacorresponde al tiempo,tendríamosunagraficade la curva de la
velocidadatravésdel tiempo,yeneste caso,nuestraintegral definidavaa representarnounárea, sino
la distanciarecorridatotal.Comopodemosverlarepresentaciónpuede variarsegúnloque represente
la gráfica.
Integración aproximada Fórmula del Trapecio
La integraciónporformulade trapecionossirve paraunvalor aproximado,porsi esmuydifícil de
integraro no tenemosunafunciónque integrarcomoenel casode tenervaloresentabla,porejemplo,
la velocidadde uncoche,medidocada5 minutos.Coneste métodopodemostenerunaproximadode la
integración,usandotrapezoides. Parahacerlo,seránecesariodividirel espaciob-adel eje x enpartes
iguales. Entre maspartes,mascertero,peromas larga la operación.Unavezseleccionadacuantas

4. partes,eshora de calcular el deltade x,locual se calcula así:
𝑏−𝑎
𝑛
, donde n esel numerode partesque
elegiste.Ahoraesde calcularcon lasiguiente formula:Tn=
𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑋
2
[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)…+2f(xn-1)+f(xn)].
Por ejemplo,si tenemosuna tablade datosde muestrasde caudal de agua tomadas cada 10 minutos,
podemosusarestafórmulapara una aproximacióndel total de aguaacumulada. Lossiguientesserian
lasmuestrastomadasen litrosporminutos,tomadascada10 minutos,comenzandoenel minuto0:3.8,
4.5, 6.2, 7.0, 7.5, 6.9, 6.2. Entoncestenemosuntotal de 7 muestras,en6 intervalos.Calculamosdeltax
asi:60-0 /6 = 10. Entoncesya podemosllenarlafórmula:
T6=
10
2
[f(0)+2f(10)+2f(20)+2f(30)+2f(40)+2f(50)+f(60)] =
T6=5[(3.8)+2(4.5)+2(6.2)+2(7.0)+2(7.5)+2(6.9)+(6.2)] Y ahora solotenemosque realizaroperacionesy
nos da unresultadode 371 litros.
Fórmula de Simpson
La formulade Simpsonesotra formade obtenerunaaproximaciónde unaintegración.Envezde usar
trapezoidespararealizarunaestimación,usaparábolas.Al igual que laformulade trapecio,nospermite
encontraruna aproximacióndividiendoel áreaentre loslimitesendiferentespiezasycalculandocada
pieza,entre maspiezasusamosmascerteroserá.Para realizarlo,necesitamosdividirenpartesnuestro
eje x,entre loslímitesdefinidosenunnumeroparde partes(n).LuegocalculamosDeltax con la
siguiente formula:
𝑏−𝑎
𝑛
.Ahorapodemosusarlasiguiente formula:
Sn=
𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎𝑋
3
[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)4f(x3)+…+2f(xn-1)+f(xn)]
(Se repitenlasmultiplicacionespor4 y por 2 sucesivamentehastael penúltimo).
Por ejemplo,nosdanunatabla de datos de la velocidadde unapartículatomadascada 5 minutos.Los
siguientesdatossonlavelocidadde lapartículaen m/s,empezandoenel minuto0:25, 28, 32, 30, 29,
26, 23. Y queremossaberel desplazamientototal de lapartícula. Empezamoscalculandodeltax:
tenemos7muestras,6 intervalos.Entoncesn=6.Deltax = 30-0 / 6 = 5. Deltax seria5 minutos,perola
velocidadque tenemosesensegundos,entoncescambiamosasegundosmultiplicandopor60. Lo que
nos da 300 segundos.Ahorapodemosllenarlafórmula:
S6=
300
3
[f(0)+4f(5)+2f(10)4f(15)+2f(20)+4f(25)+f(30)] =
S6=100[(25)+4(28)+2(32)4(30)+2(29)+4(26)+(23)]. Ahora solotenemosque realizaroperacionesynosda
un resultadode 50,600 metros.O 50.6km.
Intercambio de límites
Si intercambiamoslos límitesaunaintegral, nosvaa dar como resultadolamismaintegral,perocon
signocambiada.Es decir, ∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑎 = -∫ 𝑥𝑑𝑥
𝑎
𝑏 . Para comprobarlo,podemosverque ∫ 1𝑑𝑥
𝑏
𝑎 = f(b)-f(a),y
∫ 1𝑑𝑥
𝑎
𝑏 = f(a)-f(b) =-|f(b)-f(a)|.Unejemplorápidoconnúmerosseria: ∫ 1𝑑𝑥
5
1 =5-1=4 y ∫ 1𝑑𝑥
1
5 = 1-5=-4.

5. Descomposición del intervalo de integración en una integral definida
Una integral definidase puede descomponerenmúltiplespartes,esdecir,fraccionarloslímites,yla
suma de todaslas partesseráigual a la integral entera.Se puede ver cómofuncionade lasiguiente
forma:∫ ∅( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑥1) − 𝑓( 𝑎).
𝑥1
𝑎 Y ∫ ∅( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑏) − 𝑓( 𝑥1).
𝑏
𝑥1 Si sumamosambosnosda: 𝑓( 𝑏) −
𝑓( 𝑎), locual esel resultadode laintegral definidaentera: ∫ ∅( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑏) − 𝑓( 𝑎).
𝑏
𝑎 Entoncestenemos
que la integral definidase puede descomponerenunnumerocualquierade integralesdefinidas
separadas.

6. Bibliografía:
“Cálculodiferencial e integral”Granville