Matemáticas financieras esenciales

PATRIA
SERIE
UNIVERSITARIA
www.editorialpatria.com.mx
E M P R E S A D E L G R U P O
interactivo en
esta edición
Esta obra presenta a las matemáticas financieras con un lenguaje ameno. Contiene ejercicios
resueltos paso a paso cuya complejidad va aumentando, con la idea de que el alumno adquiera
seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada
unidad o cualquiera relacionado que se les llegue a presentar en su vida académica o profesional. En
la actualidad la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la
administración, la economía y en las políticas públicas; así como en diversas ramas en donde es
empleada, por ejemplo, como auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de
inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y en general, cualquier
transacción que traiga consigo un proceso de evaluación del proyecto. No solo en estas áreas de
inversión es útil la matemática financiera, un pequeño inversionista puede aplicarla para analizar
opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores
condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la
necesidad de utilizar el sistema financiero.
De entre las características que convierten a esta obra en una lectura indispensable para el alumno
que curse cualquier carrera del área de ciencias sociales, económico-administrativo, destacan las
siguientes:
Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos teóricos matemáticos.
Explica a detalle los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos que se
plantean a lo largo de todas las unidades temáticas.
Es flexible, el lector puede utilizarlo según sus propias necesidades.
Los ejemplos y problemas expuestos están acompañados de breves textos, destacados con
la etiqueta de Alerta, cuyo objetivo es preparar al lector para que esté pendiente de detalles
importantes del contenido, que le serán útiles para la resolución de problemas.
Contiene más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según
sus características, para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la
experiencia cotidiana del lector.
Se incluye al final de cada unidad una sección de problemas reto.
Como una herramienta adicional, el texto se acompaña de un CD-ROM de apoyo, donde el estudian-
te puede encontrar, entre otras cosas: simuladores y respuestas a problemas seleccionados.
Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K

Jesús Rodríguez Franco
Elva Cristina Rodríguez Jiménez
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Verónica Estrada Flores
Producción: Gerardo Briones González
Revisión Técnica: M.C. Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M.)
Diseño de interiores: Jorge Martínez J. y Gustavo Vargas M.
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx
Matemáticas Financieras. Serie Patria
© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez
© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Derechos reservados:
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-033-8
ISBN Material Impreso: 978-607-438-722-3
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx

Grupo Editorial Patria©

Semblanza autoral
Jesús Rodríguez Franco
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X). Profesor en la Facultad de Contaduría y Administración de
la Universidad Nacional Autónoma de México (FCA-UNAM) de asignatura “B” en Matemáticas Finan-
cieras y Estadística.
Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional
(IPN), tiene la maestría en Ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Diplomados en: “Formación
Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” (FCA-UNAM), “Formación Docente” y “La
Estadística IX” (UAM-X).
Tiene 34 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática. Cuenta con
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP).
Es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM),
e integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas (FCA-UNAM). También es miembro del
área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” (UAM-X) y del Cuerpo
Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP), cuenta con el reconoci-
miento de Profesor Distinguido otorgado por la Facultad de Contaduría y Administración UNAM en
mayo de 2013.
A la fecha ha publicado 12 libros de matemáticas como coautor, más de 15 artículos, en revistas espe-
cializadas de difusión, enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, informática y educación.
También ha coordinado un libro temático de matemáticas.
Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, congresos, encuentros, foros y simposios
a nivel nacional e internacional. Ha participado en la organización en congresos, foros, ciclos de confe-
rencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También
ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias.
Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Admi-
nistración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio 2004. Fue representante ante el Consejo Académico
del Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales y
Humanidades ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana periodo 2007-
2009. Fue Jefe del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en
el periodo 2003 a 2005 (UAM-X).
Trabajó como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de
Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989). Ha sido profesor en la Escuela Superior de
Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico
de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus
Sur.

VI
Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metro-
politana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura
“A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma
de México (UNAM).
Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química
de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la
Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero
Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional
Autónoma de México.
Tiene 19 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de
la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora de
los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-
UNAM, México, 2005; Estadística para Administración, Grupo Editorial Patria, segunda reimpresión,
México, 2013 y Estadística aplicada II, Estadística en administración para la toma de decisiones, Grupo
Editorial Patria, México, 2010. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferen-
cias, encuentros y foros a nivel nacional.
Participó en la investigación para el desarrollo de un método fotocolorimétrico para la determinación de
metionina, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado
de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Ga-
ses, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería
18 de Marzo (1985-1991).
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.
Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la Maestría en
Ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de
Ingeniería de la UNAM. Es candidato a Doctor en Ciencias Sociales con especialidad en Sociedad y
Educación en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco. Ha participado en diferen-
tes cursos de actualización, entre los que destacan:“Evaluación Económica de Proyectos de Explora-
ción de Hidrocarburos I”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá,
Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos II”, en la Universi-
dad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The
Institutte of Energy Economics, Japan, septiembre-noviembre 1989, Tokio, Japón.
Tiene 35 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP).
Es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la
UAM-X y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP). Ha
publicado cuatro libros como autor y 10 de matemáticas como coautor, también ha publicado más de
30 artículos científicos y de difusión enfocada a la educación, informática, a las políticas públicas y para
la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferen-
cias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional.
Fue fundador y en la actualidad director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979).
Dentro de consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, ISSSTE,
la Comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.

VII
Presentación
En la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi
nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se emplea
como la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria,
equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique un
proceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisti-
cadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla
para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan
tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona
que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.
El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura.
Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado en
el enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencia-
lizar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizaje
significativo.
El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejercicios
resueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su com-
plejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los
problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida aca-
démica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sa-
bes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar sus
conocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeños
cuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados con
la matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente;
de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, para
indicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el libro
se da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemas
resueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemas
a resolver y la sección de problemas reto.
El contenido del texto está estructurado en ocho unidades.
Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, so-
bre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la
sociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras.
El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistas
de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo un
máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón nos
hemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticas
básicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizando
estas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras.
Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicar
la forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. Después

VIII
Contenido
UNIDAD
1
se estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término,
número de términos y la suma total de términos en una serie.
Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa de
interés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial,
el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simple
y se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor de
vencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Por
último, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinario
y exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial.
Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la com-
paración del interés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Después
se estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y no-
minales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempo
equivalente.
Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo
y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye el
estudio de la anualidad general y anualidades perpetuas.
Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentan
casos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un
crédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activos
se aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como la
línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo
de amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizar
Excel para elaborar cuadros de amortización y depreciación.
Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología em-
pleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisis
de flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridos
en las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodología
denominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente de
un proyecto de inversión.
Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como princi-
pales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También a
conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas a
bonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.
Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debido
a los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto a
la fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice.
Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los pro-
blemas financieros que se les presenten.
Los autores

IX
UNIDAD 1
Exponentes, logaritmos
y porcentajes 1
1.1 Exponentes 2
1.2 Exponentes enteros 3
1.3 Exponente negativo 4
1.4 Radicales 5
1.5 Suma de radicales semejantes
1.6
Suma y resta de radicales del mismo índice
con subradical diferente
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice 7
1.8 División de radicales del mismo índice 8
1.9 Redondeo
1.10
Notación científica 9
1.11
Propiedades de los logaritmos base 10 10
1.12
Únicos números cuyos logaritmos son enteros 11
1.13
Propiedades de los logaritmos 13
1.14
Antilogaritmo 14
1.15
Logaritmos naturales 15
1.16 Tanto por ciento 16
Problemas para resolver 23
Problemas reto 26
UNIDAD 2
Series y sucesiones 27
2.1 Introducción
2.2 Sucesiones o progresión aritmética 28
2.3 Progresiones aritméticas 30
Contenido

Contenido
2.4 Progresiones geométricas 33
2.5 Aplicaciones 38
Problemas reto 43
UNIDAD 3
Interés simple 45
3.1 Introducción 46
3.2 Cálculo del monto 53
3.3 Valor presente o actual 55
3.4 Cálculo del tiempo o plazo 57
3.5 Descuento simple 59
3.6 Valor descontado o ganancia 60
3.7
Tasa de rendimiento 62
3.8 Valor de vencimiento 63
3.9 Tasa de descuento 64
3.10
Relación entre la tasa de descuento
y la tasa de rendimiento 65
3.11 Plazo 67
3.12 Pagaré 68
3.13 Aplicaciones 71
3.14 Inversión en cetes 72
3.15 Inversión en udis 73
3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor 75
Problemas reto 84
UNIDAD 4
Interés compuesto 85
4.1 Introducción
4.2 Monto 86
4.3
Comparación del interés simple
con el interés compuesto 93
4.4 Valor actual o presente 95
4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales 100
4.6 Ecuación de valor 105
4.7 Tiempo equivalente 110

XI
4.8 Inflación 113
Problemas reto 122
UNIDAD 5
Anualidades 123
5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua
5.3 Anualidades vencidas 125
5.4 Anualidades anticipadas 138
5.5 Anualidades diferidas 147
5.6 Anualidades generales 166
5.7 Anualidades generales anticipadas 176
5.8 Anualidad general diferida 177
5.9 Anualidad general variable 178
5.10 Anualidades perpetuas 183
Problemas reto 194
UNIDAD 6
Amortización y depreciación 195
6.2 Inflación 209
6.3 Unidades de inversión (udi) 212
6.4 Fondos de amortización 213
6.5 Depreciación 216
6.6 Depreciación e inflación 226
6.7 Método de la suma de dígitos o enteros 229
6.8 Método de unidades de producción o servicio 231
6.9 Método del fondo de amortización 234
Problemas reto 244

XII
Contenido
UNIDAD 7
Análisis de proyectos de inversión 245
7.2 Metodologías de evaluación de inversiones 247
7.3 Método del valor actual neto (van) 248
7.4
Método de la tasa interna de rendimiento (tir)
o costo de capital
252
7.5 Análisis de inversiones con van y tir 255
Problemas reto 263
UNIDAD 8
Bonos y obligaciones 265
8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero 267
8.3
Bonos con cupón, rendimiento actual
y rendimiento al vencimiento
268
Problemas reto
Referencias bibliográficas 276
Bibliografía final 277

UNIDAD
1
Exponentes, logaritmos
y porcentajes
OBJETIVOS
Identificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos
y fraccionarios.
Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales.
Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios.
Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades.
Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e.
Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10.
Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes.
Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales y
logaritmos.
Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicación
en matemáticas financieras.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
Encontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 + 6 × 4 - 5 + 48/8 =
El producto de las potencias (x3
)(x6
) es igual a: ______________.
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3
=

2
Exponentes, logaritmos y porcentajes
UNIDAD
1
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora:
1
3
3





 =
−
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 89
3
=
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 8 7
− =
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 11 3 48
3 3
( ) =
Completar el cuadro
Logaritmo Característica Mantisa
Log3
= 0.4771
Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 999
3
=
Andrea compró un refrigerador en $5 400.00; ella dio 20% de enganche del
precio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?
1.1 Exponentes
La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al
resultado de la operación se le llama potencia.
Si x ∈ R y n ∈ N entonces:
xn
= (x)(x) … (n) = n-ésima potencia de x
Ï
Ô
Ì
Ô
Ó
n factores
n entero positivo es el exponente
x es la base
■
■ La primera potencia de una expresión es: x1
= x
■
■ La segunda potencia de una expresión es: x2
= (x)(x)
■
■ La tercera potencia de una expresión es: x3
= (x)(x)(x)
Problema resuelto
1. a) 25
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 c) (x + 1)2
= (x + 1)(x + 1)
b) 123
= 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1
728 d ) (x + a)n
= (x + a)(x + a) …, n = 1, 2, 3…
Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones,
con números y símbolos, ejemplo: 4x2
, 7x + 4a, 6 8 5
x x
+
En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente:
yx
o ∧ Encontrar la elevación a potencia.
Problema resuelto
2.

Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) (23
) = 8 2 yx
3 = 8
b) (43
) = 64 4 ∧ 3 = 64

3
1.2 Exponentes enteros
❚
❚ 1.2.1 Producto de potencias de igual base
(an
)(am
) = an + m
Problema resuelto
4. a) (32
)(34
) = 36
= 729 c) (a2
)(a6
) = a4 + 6
= a10
b) (123
)(122
) = 125
= 248
832 d ) (x + a)2
(x + a)3
= (x + a)5
Problema resuelto
3. Con la hoja de cálculo Excel
a) Con la función = POTENCIA(número, potencia)
b) Con el acento circunflejo = número[alt gr] + [^] potencia
Problema resuelto
5.

a) (22
)(24
) = 22 + 4
= 26
= 64 2 y x
2 × 2 y x
4 = 64
b) (43
)(42
) = 64 × 16 = 1 024 3 ∧ 4 × (2 ∧ 4) = 1 024
❚
❚ 1.2.2 Elevar una potencia a otra potencia
(an
)m
= a(n)(m)
Problema resuelto
6. a) (42
)3
= 42 · 3
= 46
= 4
096 d ) (22
)6
= 22 · 6
= 212
= 4
096
b) (82
)4
= 82 · 4
= 88
= 16
777
216 e) ((x + m)3
)5
= (x + m)3 · 5
= (x + m)15
c) (42
)3
= 4(2)(3)
= 46
= 4
096 f ) (25
)4
= 2(5)(4)
= 220
= 1
048
576

4
UNIDAD
1
❚
❚ 1.2.3 Producto elevado a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
[(a)(b)]n
= (a)n
(b)n
Problema resuelto
7. a) [(2)(3)]2
= (22
)(32
) = 4 × 9 = 36
b) [(4)(3)]3
= (43
)(33
) = 64 × 27 = 1
728
c) [(8)(5)]4
= (84
)(54
) = 4 096 × 625 = 2
560
000
d
) [(x + 1)(x + a)]2
= (x + 1)2
(x + a)2
e) [(2)(5)]2
= (22
)(52
) = (4)(25) = 100
f ) [(3)(2)]3
= (33
)(23
) = (27)(8) = 216
❚
❚ 1.2.4 Elevar un cociente a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
a
b
a
b
b
n n
n





 = ≠
; si 0
Problema resuelto
8. a)
2
3
2
3
4
9
2 2
2





 = = d )
8
7
8
7
4 096
2401
4 4
4





 = =
b)
4
7
4
7
64
343
3 3
3





 = = e)
5
6
5
6
25
36
2 2
2





 = =
c)
6
7
6
7
36
49
0 73469388
2 2
2





 =





 = = . f )
3
7
3
7
27
343
0 078717
3 3
3





 =





 = = .
1.3 Exponente negativo
Se encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayor
en el denominador.
a
a
a a
2
3
2 3 1
= =
− −
Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a ≠ 0.
a
a
−
=
1 1
Problema resuelto
9. a) ax
a
x
−
=
1
b) m xy
m
xy
2 1
2
( )−
=

5
1.4 Radicales
❚
❚ 1.4.1 Exponentes fraccionarios
El exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia.
a a
n n
1
= ; con a ∈ R+
y n ≠ 0
n es el índice de la raíz
a cantidad subradical o radicando
símbolo del radical
c) 4-3
= 0.015625 e) a
a a
2 3
2
3
2
4
4 64
−
= =
d ) 3
1
3
1
9
0.111
2
2
= = =
−
f )
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
512
1
0.001953
512
9
9 9
9





 =






= =
= = =
−
Problema resuelto
10. a) x x
3 4 3
4
= c) ( ) ( )
x a x a
+ = +
2 5 2
5
b) am a m
1 3 3
= d ) 8 8
1 2 2
=
y
x o x1/y
o ∧ teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.
Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer:
a c c a
n n
= ⇔ =
Si c n
= a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.
Problema resuelto
11. a) (-3)2
= 9, entonces: la raíz cuadrada de 9 es +3 y -3, 9 3
2
= ±
b) (-2)3
= -8, entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2, − = −
8 2
3
a
n a la raíz es positiva y negativa
n a la raíz es solamente negativa
n
Si es par y positiva entonces:
Si es impar y negativa entonces:





Si m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresar
como radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical.
a a
m n m
n
=

6
UNIDAD
1
Con la hoja de cálculo Excel
Problema resuelto
12. a) 8 8 32
5
3 5 3
= = c) 3 6 3 36 3 36 (3.30 )(3) 9.9
2
3 3 1 3
( )
= = = =
b)
1
2
109
1
2
10 44 5 22
=





 =
( . ) . d ) − = − = −
27 27 3
3 1 3
( )
Problema resuelto
13.

Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) 16 2
4
= 4 x
n
16 = 2
b) 161/4
= 2 1 ÷ 4 = Min C 16 yx
RM = 2
Para otro tipo de calculadora
c) 64 2 828
4
= . 4 SHIFT x
64 = 2.828
d ) 271/3
= 3 ( 1 ÷ 3 ) = Min C 27 ∧ RM ) = 3
Problema resuelto
a)
Con la función = RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo,
la expresión 9 3
2
= , en Excel con la función = RAIZ(9)
b)
Con el acento circunflejo = número[alt gr ] + [
ˆ ] potencia. Por ejemplo, la expresión 27 3
3
= , en
Excel = 27 ˆ (1/3)
Problema resuelto
Problemas en Excel

7
1.5 Suma de radicales semejantes
En los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es el
coeficiente del radical común.
Problema resuelto
14. a) 2 5 4 5 2 4 5
2 5
4 472
− = −
= −
= −
( )
.
c) 3 9 4 9 (3 4 ) 9
7(3)
21.0
+ = +
=
=
b) 2 7 3 7 2 3 7
5 7
5 2 645
13 228
+ = +
=
= ×
=
( )
.
.
d ) 5 6 3 6 2 6 (5 3 2) 6
4 6
4 2.4494
9.80
− + = − +
=
= ×
=
1.6
Suma y resta de radicales del mismo índice
con subradical diferente
Problema resuelto
15. a) 2 5 3 9 2 2 236 3 3
4 472 9
4 528
− = −
= −
= −
( . ) ( )
.
.
d ) 5 64 2 10 5 8 2 3 162
40 6 324
46 324
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
b) 4 16 3 7 4 4 3 2 64
16 7 937
23 937
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
e) 3 21 7 6 4 6 3 4 58 7 4 6
13 748 3 6
6 399
− + = + − +
= −
=
( . ) ( )
.
.
c) 5 25 4 11 5 5 4 3 3166
25 13 26
38 266
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
f ) 6 26 3 6 2 6 6 5 099 3 2 6
30 59 6
28 145
− + = + − +
= −
=
( . ) ( )
.
.
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice
En la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado de
esta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical.
a b a b
n n n
( ) = ( )( )
Problema resuelto
16. a) 5 9 5 9 45 6 7
( ) = × = = . c) 3 5 4 12 3 2 236 4 3 464
6 708 13 8564
92
( ) = [ ]
=
=
( . ) ( . )
( . )( . )
.9
952
b) 3 27 3 27 81 9
( ) = × = = d ) 64 10 4 2 15 8 617
3 3
( ) = =
( . ) .

8
UNIDAD
1
1.8 División de radicales del mismo índice
En la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente de
ambos radicales.
a
b
a
b
n
n
n
=

e) 2 81 27 2 4 32 3
2 12 96
25 96
3 3
( ) = ×
=
=
( . )
( . )
.
f ) 5 25 3 18 2 5 5 3 4 24264 2
25 12 72792 2
( )+ = [ ] +
= +
=
( ) ( . )
( )( . )
3
318 198 2
320 198
.
.
+
=
Problema resuelto
17. a)
12
5
12
5
2 4
1 549
=
=
=
.
.
d )
84
11
84
11
7 636
1 969
3
3
3
3
=
=
=
.
.
b)
9
25
9
25
0.36
0.6
=
=
=
e)
93
4
93
4
23 25
1 876
5
5
5
5
=
=
=
.
.
c)
81
27
81
27
3
1 44
3
3
3
3
=
=
= .
f )
48
11
48
11
4 36364
1 445
4
4
4
4
=
=
=
.
.
Problema resuelto
Resuelve las ecuaciones exponenciales
18. a) 1
12
1
0 125
6
1
12
1
12 6
12
12
+





 = +






+





 =
i
i
.
( +
+
+ =
= −
0 020833
1
12
1 13169
12
1 13169 1
6
12
12
1 12
. )
.
( . )
i
i
i
i
i
i
= −

 

=
=
12 1 13169 1
12 0 01036
0 1243
0 0833
( . )
( . )
.
.
6
6
b) e
e
e
e
= +





 −
= −
= −
=
1
0 22
6
1
1 03667 1
1 2412 1
0 2
6
6
.
( . )
.
. 4
412

9
1.9 Redondeo
Redondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.
Problema resuelto
19.

Número Redondeo
a) 0.204688 0.2047
b) 9.711768 9.712
c) 0.7988745 0.7989
Problema resuelto
20.

Número Redondeo
a) 0.6184142 0.6184
b) 0.1246397 0.1246
c) 3.4161853 3.416
Problema resuelto
21.

a) 12 × 10-2
= 0.12 12 EXP - 2 = 0.12
b) 1.578E - 1 = 0.1578 1.578 EXP - 1 = 0.1578
c) 0. 9510E + 2 = 95.1 0.9510 EXP + 2 = 95.1
c) 1
12
1
0 116
4
1
12
1
12 4
12
12
+





 = +






+





 =
i
i
.
( +
+
+ =
= −
0 029
1
12
1 1211443
12
1 1211443
4
12
12
1 12
. )
.
( . )
i
i
1
1
12 1 1211443 1
12 0 009574
0
0 0833
i
i
i
= −

 

=
=
( . )
( . )
.
.
1
1149
Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:
1.10 Notación científica
Cuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El punto
decimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el ex-
ponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.
EXP o EE tecla para escribir la notación científica en la calculadora

10
UNIDAD
1
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.
Problema resuelto
22.

Número Notación científica Con calculadora EXP
a) 679.19 6.7919 × 102
6.7919 × 1002
b) 48.56 4.856 × 101
4.856 × 1001
c) 5.31 5.31 × 100
5.31
d ) 258 916 2.58916 × 105
2.58916 × 1005
Problema resuelto
23.

Número Notación científica Con calculadora EXP
a) 0.3471 3.471 × 10-1
3.471 × 10-01
b) 0.0126 1.26 × 10-2
1.26 × 10-02
c) 0.00879 8.79 × 10-3
8.79 × 10-03
d ) 0.0002978 2.978 × 10-4
2.978 × 10-04
e) 793.24 7.9324 × 102
7.9324 × 1002
Problema resuelto
Ejemplos:
24. a) 90
= 1 c) 92
= 81 e) 94
= 6 561
b) 91
= 9 d ) 93
= 729 etcétera
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.
El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base para
obtener un tercer número.
La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.
Sistema
de
x x
e
x x
e
* Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10 (log log )
* Logaritmos naturales o neperianos la base es: 2.71828182845
* log ln
10 =
= …
=





logaritmos
Se puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.
1.11 Propiedades de los logaritmos base 10
❚
❚ 1.11.1 Progresiones
Problema resuelto
25 a) 100
= 1 c) 102
= 100 e) 10
1
10
0 01
2
2
−
= = .
b) 101
= 10 d ) 10
1
10
0 1
1
1
−
= = . f ) 10
1
10
0 001
3
3
−
= = .

11
1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros
Problema resuelto
27. a) log 1 = 0 c) log 3 = 0.4771 e) log 9 = 0.9542
b) log 2 = 0.3010 d ) log 8 = 0.9031 f ) log 10 = 1
Problema resuelto
26. a) log 1 = 0 c) log 100 = 2 e) log 0.01 = -2
b) log 10 = 1 d ) log 0.1 = -1 f ) log 0.001 = -3
Problema resuelto
28. a) log 100 = 2 c) log 500 = 2.6990 e) log 700 = 2.8451
b) log 200 = 2.3010 d ) log 600 = 2.7781 f ) log 1
000 = 3
El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.
El logaritmo de los números entre 100 y 1
000, su logaritmo se encuentra entre 2 y 3.
Por analogía el logaritmo de los números entre 1
000 y 10
000, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4.
Problema resuelto
29. a) log 2
000 = 3.3010 c) log 6
000 = 3.7781
b) log 5
000 = 3.6990 d ) log 10
000 = 4
Todo logaritmo de un número que no sea potencia de 10 con exponente entero, está formado de una
parte entera y una parte decimal.
A la parte entera se le llama característica y a la parte decimal mantisa, por ejemplo:
Alerta
Los números negativos no
tienen logaritmo.
Problema resuelto
30.

Logaritmo Característica Mantisa
a) log 4 = 0.6020 0 0.6020
b) log 600 = 2.7781 2 0.7781
c) log 7
500 = 3.8750 3 0.8750
d ) log 85
000 = 4.9294 4 0.9294
Mantisa Siempre es Positiva
{ ∗
Característica
Positiva si el número es mayor o igual a 10
Cero si el número es mayor o igual a 1 y menor que 10
Negativa si el número es mayor que 0 y menor que 1
∗
∗
∗





Para conocer la característica de un número mayor a 1, se resta una unidad al número total de cifras de
la parte entera del número.

12
UNIDAD
1
Para conocer la característica de un número menor a 1, se suma una unidad al número total de ceros
que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa del número.
Problema resuelto
31.

Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa
a) log 5 = 0.6989 1 1 - 1 = 0 0 0.6989
b) log 650 = 2.8129 3 3 - 1 = 2 2 0.8129
c) log 5
700 = 3.7558 4 4 - 1 = 3 3 0.7558
d ) log 76
000 = 4.8808 5 5 - 1 = 4 4 0.8808
Problema resuelto

32.

Logaritmo Ceros Operación Característica Mantisa
a) log 0.1 = -1 0 0 + 1 = 1 -1 0
b) log 0.01 = -2 1 1 + 1 = 2 -2 0
c) log 0.001 = -3 2 2 + 1 = 3 -3 0
d ) log 0.0001 = -4 3 3 + 1 = 4 -4 0
Problema resuelto
33.

a) log 57 = 1.755874856 57 log = 1.755874856
b) log 0.8735 = -0.05873709 o 1.941262909 log 0.8735 = -0.05873709
c) ln 26 = 3.2580906 ln 26 = 3.2580906
d ) ln e = 1 ln 2.718281828459 = 1
Al escribir un logaritmo, cuya característica es negativa, el signo menos se coloca sobre la caracterís-
tica y nunca delante de ella, porque las mantisas son positivas, por lo tanto, un logaritmo no se debe
representar como: -2.3846; la forma correcta es: 2 .3846.
En la calculadora cuando la característica de un número menor a 1, en la pantalla indicador aparece de
la siguiente forma: log 0.6 = -0.2218, lo que significa que la característica es -1 y la mantisa 0.7782.
Si la característica de un número igual o mayor a 1, en la pantalla aparece de la siguiente forma:
log 260 = 2.414973, lo que significa que la característica es 2 y la mantisa 0.414973.
Para encontrar el logaritmo utilizando la calculadora se sigue la siguiente secuencia de tecleo depen-
diendo de la calculadora.
log x o x log
ln x o x ln
El logaritmo de base a se define como:
Sea a la base del logaritmo, en donde a es un número real
distinto de uno, se tiene:
y = loga
x si y solo si x = ay
para toda x 0, todo número real y
Alerta
En honor al matemático
suizo Leonhard Euler
(1707-1783), se eligió la
letra e para tomarla como
base del logaritmo natural
(o neperiano).

13
Si analizamos la definición encontramos dos funciones: una logarítmica (y = loga
x) y la otra exponencial
(x = ay
), con la misma base a.
Exponente
loga
x = y ay
= x
Base
De la interpretación del logaritmo como un exponente
están las siguientes propiedades:

Núm. Propiedad Motivo
1. loga
1 = 0 a0
= 1
2. loga
a = 1 a1
= a
3. loga
ax
= x ax
= ax
4. aloga x
= x ay
= x
Problema resuelto
35. a) log (4 × 10) = log (4) + log (10) = 0.602059 + 1 = 1.602059
b) log (12 × 31) = log (12) + log (31) = 1.07918 + 1.49136 = 2.57054
c) log (231 × 51) = log (231) + log (51) = 2.36361 + 1.70757 = 4.07118
Problema resuelto

34.

loga
x = y x = ay
a) log8
x = 2 82
= x
b) loga
16 = 2 a2
= 16
c) log10
x = y 10y
= x
Problema resuelto
36. a) log
12
8
log (12) log (8) 1.07918 0.90308 0.17609
= − = − =
b) log
5
17
log (5) log (17) 0.69897 1.23044 0.53147
= − = − = −
c) log
33
15
log (33) log (15) 1.51851 1.17609 0.34241
= − = − =
1.13 Propiedades de los logaritmos
❚
❚ 1.13.1 Logaritmo del producto
El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log(A × B) = log A + log B
❚
❚ 1.13.2 Logaritmo de un cociente
El logaritmo del cociente es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo divisor.
A
B
A B
log log log
= −

14
UNIDAD
1
❚
❚ 1.13.3 Logaritmo de una potencia
El logaritmo del cociente es igual a la multiplicación del exponente por el logaritmo de la base.
log An
= n(log A)
Problemas resueltos
40. Sea el log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de 1.1760912 es: 15
Con calculadora
a) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:

SHIFT log 1.1760912 = 15
Problema resuelto
37. a) log log ( ) ( . ) .
3 5 3 5 0 47712 2 38560
5
= 
 
 = =
b) log log ( ) ( . ) .
23 4 23 4 1 36172 5 44691
4
= 
 
 = =
c) log log ( ) ( . ) .
247 3 247 3 2 39269 7 17809
3
= 
 
 = =
Problema resuelto
39. a) Sea el log 76 = 1.88081, encontrar el antilogaritmo de 1.88081 es: 76
b) Sea el log 25 = 1.39794, encontrar el antilogaritmo de 1.39794 es: 25
c) Sea el log 397 = 2.59879, encontrar el antilogaritmo de 2.59879 es: 397
Problema resuelto
38. a) log
log
.
57
57
2
0 8779
= =
b) log
log
.
39
39
3
0 5304
3
= =
c) log
log
.
72
72
4
0 4643
4
= =
❚
❚ 1.13.4 Logaritmo de una raíz
El logaritmo de la raíz es igual al logaritmo del subradical dividido entre el índice del radical.
A
A
n
n
log
log
=
1.14 Antilogaritmo
Cuando se conoce el logaritmo de un número desconocido x, al encontrar el valor de x a este proceso
se le conoce como antilogaritmo y se abrevia antilog.
Utilizando la calculadora existen dos caminos para encontrar el antilogaritmo:
SHIFT log x o 2nf log x

15
1.15 Logaritmos naturales
Una función logarítmica de base a(y = loga
x) es la inversa de una función exponencial (x = ay
). A partir
de esto se puede llegar a una definición.
Cuando se sustituye la base a por la base e, se obtiene la siguiente expresión (si x 0):
y = loge
x, si y solo si x = ey
A partir de lo anterior la definición de logaritmo natural es:
ln x = loge
(x), para todo x 0
❚
❚ 1.15.1 Leyes de los logaritmos naturales
1. ln (AB) = ln A + ln B
2.
A
B
A B
ln ln ln





 = −
3. ln An
= n ln A
Alerta
Definición:
El loga
x se expresa de la
siguiente forma:
y = loga
x, si y solo si x = ay
Problemas resueltos
Con calculadora
42.

antilog 1.5563025 = 36
101.5563025
= 36
SHIFT log 1.5563025 =
2nf log 1.5563025 =
10 y x
1.5563025 =
10 ∧ 1.5563025 =
36
36
36
36
43.

antilog 2.1986571 = 158
102.1986571
= 158
2nf log = 2.1986571
10 y x
2.1986571 =
158
158
b) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:

1.1760912 2nf log = 15
41. Sea el log x = 1.30102999 y si 101.30102999
= x,
∴ x el antilogaritmo de 1.30102999, se representa como:
x = antilog 1.30102999 = 101.30102999
x = 10 ˆ 1.30102999
x = 20
Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:
log x = log (3.21.2
× 5)
log x = log 3.21.2
+ log 5
log x = 1.2 log 3.2 + log 5
Solución:
Problema resuelto
44. Encuentra el resultado de x = 3.21.2
× 5

16
UNIDAD
1
Es importante aclarar que ln an
≠ (ln a)n
4. A
n
A
n
ln
1
ln
=
Cambio de base:
5. x
x
a
a
log
ln
ln
=
Teorema:
aloga x
= x ⇒ eln x
= x ⇒ ln ex
= x
Propiedades para cuando x = 0:
En cualquier sistema de logaritmos:
1. El logaritmo de la base (a) es uno.
e1
= e ∴ ln e = 1
2. El logaritmo de uno es cero, si la base es a se tiene:
e0
= 1 ∴ ln 1 = 0
Expresión para cambiar de base
x
x
log
ln
ln 10
10 = e
log
1
ln 10
=
Problema resuelto
45. Encuentra el valor de x
ln x = 2.3
eln x
= e 2.3
x = e 2.3
x = 9.974
Problema resuelto
Ejemplos:
46. a)
Si seleccionamos 6 cuadros, estos representan 6 partes de un total de 100 partes y se represen-
ta de la siguiente forma: 6/100, expresándolo en tanto por ciento: 6%.
1.16 Tanto por ciento
Todo número puede ser divisible entre una o varias partes, entonces si todo número lo podemos dividir
en las partes que se nos ocurra, por ejemplo en diez partes, en veinticinco, en cien, en quinientas, en
mil, etc. Cuando hablamos en un caso particular del tanto por ciento de un número a una o varias de
las cien partes iguales en que fue dividido el número.
Unidad = 1
1 2 3 . . . .
100
Cada cuadro representa un centésimo (1/100) del número (1).
Alerta
El signo de tanto por ciento
(%) aparece por un error
al utilizar la abreviatura
de ciento (Cto.), esta
siempre se empleaba en las
operaciones comerciales o
mercantiles.

17
Unidad = 1
1 2 3 4 5 6
100
b)
Si deseamos conocer el 3% de 80, lo que se debe hacer es dividir a 80 en cien partes iguales y
de ellas se toman tres.
Unidad = 80
1 2 3
100
El 3% de 80 o 3/80 de 80 equivale a tres centésimas partes de 80.

El 100% de 80 es 80, el 3% de 80, es lo que se desea conocer x, para encontrar el valor de x se
emplea la regla de tres.
Datos Tanto por ciento (%) Partes
Supuesto 100 80
Pregunta 3 x
Entonces:

x =
×
80 3
100
x = 2.4
El 3% de 80 es 2.4
Problema resuelto
48. ¿Qué porcentaje de:
a) 17
500 es 2
300 b) 22
500 es 13
250?

a) El 16% de 779 =
16
100





 (779) = 124.64
b) El 18% de 250 =
18
100





 (250) = 45
c) El 23.75% de 1
890 =
23 75
100
.





 (1
890) = 448.875
Solución
Problema resuelto
47. a) Obtén el 16% de 779
b) Obtén el 18% de 250
c) Obtén el 23.75% de 1
890

18
UNIDAD
1
a) x(17 500) = 2 300 b) x(22
500) = 13
250
x =
2300
17500
= 0.1314 = 13.14% x =
13250
22500
= 0.5888 = 58.88%
Solución
a) x es la base, el 6% de x es igual a 18 b) x(0.05) = 350 c) x(0.36) = 900
x(0.06) = 18

x =
350
0 05
.
= 7
000 x =
900
0 36
.
= 2
500
x =
18
0 06
.
= 300
Solución
Problema resuelto
49. ¿De qué número es:
a) 18 el 6% b) 350 el 5% c) 900 el 36%?
a) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de 0.60 es igual al incremento se
tiene:
x(0.60) = (5.00 - 0.60)
x(0.60) = 4.4
x = 7.3
x = 733.33%
b) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de $1.00 es igual al incremento se
tiene:
x(1.00) = (1.50 - 1.00)
x(1.00) = 0.5
x = 0.5
x = 50%
Solución
Problema resuelto
50. a)
El transporte en el D.F., costaba 60 centavos en 1970 y cinco pesos en 2012, ¿qué incremento
ha tenido el precio del transporte? Expresarlo en porcentaje.
b)
El precio del bolillo era de un peso en el año 2010 y en 2012 cuesta $1.50, ¿qué incremento ha
tenido el precio del bolillo? Expresarlo en porcentaje.
El precio de venta de un producto o servicio, se determina aumentando al costo del artículo una can-
tidad suficiente para cubrir los gastos de operación para poder tener una utilidad, a esta cantidad se
le llama utilidad bruta. Y se conoce como utilidad neta a la cantidad que queda después de cubrir los
gastos de operación.
Los gastos de operación son las cantidades que se pagan por concepto de luz, agua, renta, seguros,
salarios, publicidad, etcétera.
El costo de un artículo son todos los gastos realizados para fabricar o adquirir el artículo. Mientras que el
costo de un servicio son todos los gastos realizados para proporcionar el servicio.
Alerta
Utilidad bruta =
Gastos de operación +
Utilidad neta.

19
x es el costo de producción
Utilidad bruta = 65% de x = 0.65x

Precio de venta = x + 0.65x = 540
1.65x = 540
x =
540
1 65
.
x = $327.27
Solución:
Problema resuelto
51. Un fabricante desea producir ángeles de porcelana y venderlos cada uno en $540.00. Con la
experien
cia de la fabricación de productos anteriores, él considera que si añade 65% del costo
de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto puede gastar para
poder producir los ángeles?
Cuando se desea conocer la tasa de interés compuesto (i ) es necesario despejarla de la ecuación de
monto de interés compuesto.
M = C(1 + i )n
Existen dos caminos para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos alternativas.
Raíz Logaritmos
M
C
i n
= +
( )
1
M
C
i n
= +
( )
1
M
C
i
n n
n
= +
( )
1





 = +
log log(1 )
M
C
i n
M
C
i
n = +
1





 = +
log log(1 )
M
C
n i
i
M
C
n
=





−1 4 6
.
+ =






log(1 )
log
i
M
C
n
+ =














1 antilog
log
i
M
C
n
=













−
antilog
log
1 4.6
i
M
C
n
a
Datos:
C = $600
000.00 M = $950
000.00 n = 3 años y 4 meses n = 20 bimestres
Solución
Problema resuelto
52. El gerente de una empresa depositó en una institución financiera $600
000.00 y después de tres
años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950
000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral
que le dio la institución financiera a su inversión?

20
UNIDAD
1
La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en “p”
periodos por año.
[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]
Dividiendo ambos términos entre C se tiene:
C e C
i
p
e
i
p
p
p
( )
1 1
1 1
+ = +






= +





 −
La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.
Alerta
Tasa efectiva o rendimiento
anual efectivo. Es la tasa
de interés simple que da el
mismo rendimiento en un
año que la tasa compuesta.
Incógnita i Desarrollo
‚

i
M
C
i
i
i
i
i
i
T
n 1
950 000
600 000
1
1.583333 1
1.58333 1
1.58333 1
1.023243 1
0.023243 bimestral
2.3243% bimestral
20
20
1 20
0.05
[ ]
( )
( )
=





 −
=








−
= −
= −
= −
= −
=
=
Datos:
C = $22
000.00
T = 9.7% A. C. Trimestral
np = (2.5 años) (4 trimestres por año) = 10 trimestres
n = 2.5 años
p = 4 trimestres al año
Incógnita M Desarrollo
M = C
i
p
np
1+






M1
= 22
000 1
0 097
4
10
+






.
M1
= 22
000 1 02425
10
.
[ ]
M1
= 22
000 (1.2707)
M1
= 27
956.47
Solución:
Problema resuelto
53. El señor Martínez invirtió $22

000.00 en Banorte, por un plazo de cuatro años, con un interés de
9.7% capitalizable trimestralmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.

21
e
e
e
e
= +





 −
= −
= −
=
1
0 22
6
1
1 03667 1
1 2412 1
0 2
6
6
.
( . )
.
. 4
412
24 12
e anual
= . %
Es lo mismo invertir al 22% capitalizable bimestralmente que al 24.12% con capitalización anual.
Solución:
Problema resuelto
54.
Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestral
mente.
Datos
P0
= 103.9 millones de habitantes
k = 1.3% anual
t = 8 años
Incógnita P
Sustituyendo valores
P = P0
e kt
P = 103.9 [e (0.013)(8)
]
Aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad
P P e
P e
P e
P e
P
P anti
k t
ln ln 103.9
ln ln 103.9 (0.013)(8) ln ( )
ln 4.643428898 0.104 (ln )
ln 4.643428898 0.104 (1)
ln 4.747428898
0
( 0.013 )( 8 )
[ ]
[ ]
=
=
= +
= +
= +
=
P = 115.287 millones de habitantes
Solución:
Problema resuelto
55. Crecimiento de población
El crecimiento de la población en la República Mexicana en el año 2005 es de aproximadamente
103.9 millones de habitantes, la tasa de crecimiento promedio 1.3% anual. Determinar la población
esperada para el año 2013.
Se sabe que el comportamiento del crecimiento de una población es aproximadamente exponencial, a
partir de lo anterior resolver el problema utilizando la siguiente expresión:
P = P0
ekt
En donde:
Literal Significado
P Número de habitantes de los esperados para un determinado año.
P0
Número de habitantes en el año de referencia o base.
k Tasa de crecimiento promedio anual.
t Tiempo transcurrido.

22
UNIDAD
1
a)

Calcular el porcentaje
de una cantidad. =
×
16 1500.00
100
x 1 500 × 16 SHIFT % 240.00
=
24 000.00
100
x 1 500 × 16 2da. = = 240.00
x = $ .
240 00 1 500 × 16 % 240.00
b)

Calcular el porcentaje a
que le corresponde una
parte de la cantidad.
=
1660
2 880
x 1 660 ÷ 2 880 SHIFT % 57.64
=
1660.00
2 880.00
x 1 660 ÷ 2 880 2da.= 57.64
x = 0 576
. 1 660 ÷ 2 880 % = 57.64
x = 57 64
. %
Solución:
Problema resuelto
Con calculadora
56. a) Calcular 16% de $1
500.00
b) Encontrar qué porcentaje es $1
660.00 de $2
880.00

23
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.1 a) 26
= c) (x + 4)3
=
b) 134
= d ) (3x + a)n
=
1.2 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de
cálculo:
a) (53
) = c) (36
) =
b) (144
) = d ) (56.253
) =
cálculo:
a) (44
)(43
) = c) (82
)(83
) =
b) (3.53
)(52
) = d ) (8.133
)(2.252
) =
1.4 a) [(3)(4)]2
=
b) [(7)(5)]4
=
c) [(3x + n)(x + m)]4
=
1.5 a)
3
5
4





 =
b)
5.5
6.35
2





 =
1.6 a) z7/6
= c) (3x + 4ab)2/7
=
b) 2ab4
x2/3
= d ) 8x1/3
=
1.7 a) 47
3
= c) 4 72
5
ax =
b)
1
4
210 = d ) − =
10
3
cálculo:
a) 16
3
= c) 85
5
=
b) 161/6
= d ) 361/4
=
1.9 a) 4 6 2 9
− = c) 5 21 9 6 2 7
− + =
b) 8 25 5 7
− = d ) 5 36 4 10 3 10
− + =
1.10 a) 6 7
( ) = c) 125 27
3 3
( ) =
b) 5 72
( ) = d ) 3 77 39
3 3
( ) =
1.11 a)
34
9
= c)
44
19
3
3
=
b)
8
13
= d )
46
5
5
5
=
Potencia de un monomio:
1.12 a) −
( ) =
5 4 3
2
x a b
b) −





 =
3
2
2
3
3
ya b
x
c) 6 4 3
2
a x
( ) =
Realiza producto de potencia de igual base:
1.13 a) (3)2
(3)2
=
b) (2)4
(2)3
=
c) (-5)3
(-5)2
=
Eleva la potencia a otra potencia:
1.14 a) (x2
)4
=
b) [(-13
)]4
=
c) [(-xa)2
]4
=
Realiza el producto elevándolo a una potencia:
1.15 a) (3xy)4
=
b) -2(3ax)4
=
c) (-xab)4
=
1.16 a) (-xab)3
=
b)
xy
2
3





 =
c)
xab
4
5
2





 =
Eleva el cociente a una potencia n:
1.17 a)
x
ay





 =
4
b)
ax
x
−





 =
2
5
1.18 a)
4
3
xb
y





 =
b)
−





 =
3
2
x
ab
Realiza el cociente de dos potencias de igual base con ex
ponente diferente:
1.19 a)
16
256
2
5
abx
x
=
b)
27
3
4
2
ax
x
=
c)
5
5
6
4 2
ax
x
( )
=
UNIDAD
1
Problemas para resolver

24
UNIDAD
1
1.20 a)
256
16
6 2 6
2 2
a b x
a x
=
b)
64
8
4 6 5
2 3
a b x
a x
=
Exponente cero y negativo:
1.21 a) (4ax)0
=
b)
a x
ax
3 2
2
=
1.22 a)
( )
( )( )
4
4 4
2
ax
ax ax
=
b) 2
4
16
2 6
6
c
ax
ax





 =
c)
( )( )
( )
4 25
5
6
3 2
ab x
x
=
Exponente fraccionario:
1.23 a) 16
2
3
( ) =
b) 9
3
6
( ) =
c) 2
3
7
7
3
xa b =
1.24 a) 3
5
4
ab mn
( ) =
b) 7 3
3
4
4
3
a x y =
c)
5
7
2 3
6
5
m n x =
Simplifica los siguientes radicales:
1.25 a) 27 6 4
3
a bx =
b) 3 81
3
=
1.26 a)
1
3
108 4
x
( ) =
b) 2 32 3
3
a x =
c)
ax
a b x
5
108 4 2
( ) =
Introduce el coeficiente dentro del radical:
1.27 a) ax a
2 2
=
b) 3a ax =
c) 4 3
mx am =
1.28. a) x xy
2 2
3
=
b) 4 2
4
ax b =
Realiza la suma de radicales semejantes:
1.29 a) 2 3
2 2
ax ax
+ =
b) 4 3
2 2 2 2
x ax x ax
− =
1.30 a)
x
mn
x
mn
5
2
5
3
5 3
5
( ) ( )
( )+ ( ) =
b) 4 33 8 33 7 33
4 4
mn x mn x mn x
− + =
Realiza la multiplicación de radicales semejantes con el mis
mo índice:
1.31 a) 2 6 3
4 4 4
a ax ax x ax
( )( ) −
( ) =
b) 2 8
2
3 3 3
m amx m bmnx
( ) − ( )

 
 =
1.32 a) 2 3
3 2 3 2 3
ax mxy x y bx x
( )( ) ( )



 ( )

 
 =
b) −
( )




 ( ) =
3 3
3
2
2 4 3
4 4 2
4
ax ax
x
xy ax a
Realiza la división de radicales del mismo índice:
1.33 a)
48
3
3
3
2 3
3
x
x y
( )
( )
=
b)
( ) ( )( )
8 1 1
4 1
x a a
a
− +
+
( )
=
Potenciación de radicales
1.34 a) 7 2 3
4
2
a x
( ) =
b) 7 3 2
3
2
a x
( ) =
1.35 a) 5 2
2 2 3
3
2
x a y
( )
( ) =
b)
a
y
2
4 3
2
( )





 =
Realiza la radicación de radicales:
1.36 a) a
3
=
b) 625 =
c) 729
3
=
Resuelve las ecuaciones exponenciales
1.37 a) (1 + x)12
= b) 700(1 + x)12
=

25
c) 1
500(1 + x)12
= d )
( )
.
1 1
0 3
6
+ −
=
x
Completa los cuadros de acuerdo con lo solicitado en el
encabezado del cuadro:
1.38
Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa
a) log 9 =
b) log 10 =
c) log 12 =
Operaciones con logaritmo base 10
Realiza el producto:
1.39 a) log (5 × 7) =
b) log (12 × 27) =
c) log (55 × 9) =
Encuentra el cociente:
1.40 a) log
(66 )
(94 )
=
b) log
(122)
(324 )
=
c) log
(7422)
(6534 )
=
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po
tencia:
1.41 a) log 235
=
b) log 323
=
c) log 1203
=
Obtén el logaritmo del radical
1.42 a) log 81 =
b) log 85
3
=
Realiza las siguientes operaciones con logaritmo de base
(las respuestas tienen: de base 10)
Encuentra el producto:
1.43 a) log (25.55 × 39.29) =
b) log (720 × 24.10) =
Obtén el cociente:
1.44 a) log
(2022)
(3.41)
=
b) log
(32)
(1.24 )
=
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po
tencia:
1.45 a) log 235.2335
=
b) log 59.323
=
Obtén el logaritmo del radical:
1.46 a) log 81.47 =
b) log 235.85
3
=
c) log 4532.81
4 =
Encuentra el antilogaritmo:
1.47
Antilogaritmo
a) antilog (0.95424)
b) antilog (1.0000)
c) antilog (1.07918)
1.48
Antilogaritmo
a) antilog (1.62324)
b) antilog (2.17609)
c) antilog (1.44715)
Logaritmos naturales
Encuentra el logaritmo:
1.49 a) ln 28 =
b) ln 42 =
1.50 a) ln 250 =
b) ln 420 =
Operaciones con logaritmos naturales
Realiza las siguientes operaciones:
1.51 a) ln (5) + ln (7) =
b) ln (12) + ln (27) =
1.52 a) 5(ln (123)) =
b) 3(ln (32)) =
c) 3(ln (120)) =

26
1.53 a)
ln 81
2
=
b)
ln 85
3
=
c)
ln 281
4
=
1.54 Redondea a cuatro cifras significativas:
a) 0.4118235
b) 4.8794854
c) 2.4822016
1.55 Redondea a cuatro cifras significativas:
a) 0.5158618
b) 9.677712
c) 0.4467823
1.56 Expresa las siguientes cantidades en notación cien
tífica:
Respuesta
Número Notación científica Con calculadora
a) 1
033
756
b) 0.0133756
c) 0.000018739
d ) 0.00035
Resuelve los siguientes problemas de porcentaje:
1.57 a) Obtener 16.75% de 2
600
b) Obtener 20% de 5
400
1.58 ¿Qué porcentaje de
a) 900 es 250?
b) 4
427 es 777.50?
1.59 a) ¿De qué número es 480 el 15%?
b) ¿De qué número es 4
427.50 el 16%?
c) ¿De qué número es 14
542.50 el 18.9%?
UNIDAD
1 Problemas para resolver
PROBLEMAS RETO
a)
El año pasado, el señor Orozco recibía un salario de $9

500 mensuales; en este año, con la revisión
salarial, tiene un pago de $10
600 mensuales. ¿De cuánto es el aumento salarial?
b)
En el reparto de utilidades de una empresa, el señor Pedro Martínez recibió $12
800 y Rosa María Juárez
$14
981. ¿De cuánto es la diferencia del reparto de utilidades de Pedro y Rosa María, expresado en %?
a)
Se representa de la siguiente forma: 7/100, expresándolo en tanto por ciento es 7%, represéntalo en
una figura.
b)
Se representa de la siguiente forma: 4/80, expresándolo en tanto por ciento es 5%, representa en una
figura el 5%.
a) El 1/8% de 46 es:
Utilizando la calculadora
a) Calcular 12% de $1
500.00.
Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
1500 × 12 SHIFT %
1500 × 12 2da. = =
1500 × 12 %
b) Encontrar qué porcentaje es $660.00 de $880.00.
Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
660 ÷ 880 SHIFT %
660 ÷ 880 2da. = =
660 ÷ 880 %
1
2
3
4

UNIDAD
2
Series
y sucesiones
OBJETIVOS
Identificar las progresiones, aprender a encontrar los elementos de la progresión
utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
Aprender a encontrar los elementos de la serie aritmética utilizando fórmula, la suma
de los elementos que la forman y calcular el número de elementos de las progresiones
aritméticas.
Identificar las progresiones geométricas, aprender a encontrar los elementos de la
progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
Aprender a encontrar los elementos de la progresión geométrica utilizando fórmula, la
suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos.
¿QUÉ SABES?
Encuentra los 3 primeros términos y el décimo de: an
n
5
n n
2
a = .
Obtén la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an
= 5n - 6.
Determina los 3 primeros términos de la sucesión aritmética: an
= 5n + 6.
Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1
= 6, n = 9 y d = 3.
Halla la suma de los primeros 14 términos de la sucesión aritmética 25, 31, 37,…

28
Series y sucesiones
UNIDAD
2
Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 9, 45, 225,…
Determina el valor del sexto término de la progresión geométrica: 2.5, (2.5)4
,…
Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 9,
45, 225,...
Halla el décimo sexto término y la suma de los 17 primeros términos, si la
razón es dos y el primer término es 18.
2.1 Introducción
Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas fórmulas
que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e inge-
niería. Las sucesiones en matemática financiera se usan para resolver problemas de interés compuesto,
de anualidades, la amortización de un crédito, las compras a plazos, etcétera.
2.2 Sucesiones o progresión aritmética
Definición
Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de
una regla; a cada número se le llama término de la sucesión y se denota con an
, en
donde n indica la posición del término.
a1
, a2
, a3
, …, an
Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros
positivos.
Problema resuelto
1. a)
Las ventas anuales de los últimos 5 años de una tienda de abarrotes (en miles de pesos):
130.25, 195.38, 312.68, 437.72 en donde el primer término es 130.25 y el último 437.72.
b) La inflación anual en un país de Latinoamérica (en %): 3.2, 4.5, 4.8, 5.3, 6.7, 7.3,…
Problema resuelto
2. a) Encuentra los primeros 4 términos de la fórmula an
= 3n - 1:

an
= 3n - 1

a1
= 3(1) - 1 = 2

a2
= 3(2) - 1 = 5

a3
= 3(3) - 1 = 8

a4
= 3(4) - 1 = 11
b) Encuentra los primeros 3 términos:

an
= 4n + 3

a1
= 4(1) + 3 = 7

a2
= 4(2) + 3 = 11

a3
= 4(3) + 3 = 15
Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna.
Con frecuencia las sucesiones se designan mediante fórmulas, por ejemplo:

29
Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con Sn
. Si n es un
número entero positivo y la sucesión a1
, a2
, a3
, …, an
; se tiene:
S1
= a1
S2
= a1
+ a2
S3
= a1
+ a2
+ a3

Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ ··· + an
La sucesión aritmética se forma sumando
al primer término una cantidad constante
conocida como diferencia común
para obtener el segundo término y así
sucesivamente.
Término
a1
4 4 + d = 4 + 4 = 8
a2
8 8 + d = 8 + 4 = 12
a3
12
Alerta
Problema resuelto
3. a) Encuentra la suma de los 3 primeros términos de la progresión:
an
= 3n - 9
a1
= 3(1) - 9 = -6
a2
= 3(2) - 9 = -3
a3
= 3(3) - 9 = 0
S3
= -6 - 3 + 0 = -9
b) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la progresión:
an
= 3n + (2)n + 1
a1
= 3(1) + (2)1 + 1
= 7
a2
= 3(2) + (2)2 + 1
= 14
a3
= 3(3) + (2)3 + 1
= 25
a4
= 3(4) + (2)4 + 1
= 44
S4
= 7 + 14 + 25 + 44
S4
= 90
c) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la sucesión:
an
= 3n + (-1)n + 1
a1
= 3(1) + (-1)1 + 1
= 4
a2
= 3(2) + (-1)2 + 1
= 5
a3
= 3(3) + (-1)3 + 1
= 10
a4
= 3(4) + (-1)4 + 1
= 11
S4
= 30
c) Escribe los primeros 4 términos:

a
n
n
a
a
a
a
n
=
−
+
=
−
+
=
=
−
+
=
=
−
+
=
=
1
1
1 1
1 2
0
2 1
2 2
1
4
3 1
3 2
2
5
1
2
3
4
4
4 1
4 2
3
6
−
+
=

30
Series y sucesiones
UNIDAD
2
2.3 Progresiones aritméticas
Las progresiones aritméticas se construyen considerando 2 números consecutivos cualesquiera, sepa-
rados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d ), por ejemplo: el litro de
gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer
su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante
de 8 centavos.
Considera la siguiente progresión aritmética cuyo primer término es a1
y su diferencia común es d:
a1
, (a1
+ d ), (a1
+ 2d ), (a1
+ 3d ),…
El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57 es una progresión, si observas con atención los elementos
del conjunto, te darás cuenta de que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza
cómo aplica esta regla, si al primer elemento (29) le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento
(29 + 4 = 33), para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37) y así sucesiva-
mente. La sucesión aritmética 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32,…, cuya regla indica que después del primer
término, el precedente se obtiene restando 3 unidades al antecedente, por lo tanto, la diferencia
común es de 3 unidades.
an
= an - 1
+ d
Problemas resueltos
5. Encuentra la diferencia común en la serie aritmética:
a) 11, 21, 31, 41,… d = 10 b) 17, 21, 25,… d = 4
c) 41, 49, 57,…, d = 8 d ) 63, 69, 75, 81,…, 111 d = 6
6. Escribe los 2 siguientes términos de la serie aritmética:
a) 43, 51, 59, … c) 34, 41, 48, …
R. 43, 51, 59, 67, 75, … R. 34, 41, 48, 55, 62, …
b) 115, 100, 85, … d ) 534, 549, 564, …
R. 115, 100, 85, 70, 55, … R. 534, 549, 564, 579, 594, …
Problema resuelto
4. Escribe los 4 primeros términos de la progresión definida recursivamente, comenzando con:
a) a1
= 0 an
= an - 1
+ 1.5
El primer término: a1
= 0
El segundo término: a2
= a2 - 1
+ 1.5 = a1
+ 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5
El tercer término: a3
= a3 - 1
+ 1.5 = a2
+ 1.5 = 1.5 + 1.5 = 3
El cuarto término: a4
= a4 - 1
+ 1.5 = a3
+ 1.5 = 3 + 1.5 = 4.5
b) a1
= 3 an
= an - 1
+ 3(n - 1)
= 3
= a2 - 1
+ 3(2 - 1) = a1
+ 3(2 - 1) = 3 + 3 = 6
= a3 - 1
+ 3(3 - 1) = a2
+ 3(2) = 6 + 6 = 12
= a4 - 1
+ 3(4 - 1) = a3
+ 3(3) = 12 + 9 = 21

c) a1
= 2 an
=
n
2
(a1
+ an - 1
)
= 2
=
2
2
(2 + a2 - 1
) = 1(2 + a1
) = 1(2 + 2) = 4
=
3
2
(2 + a3 - 1
) =
3
2
(2 + a2
) =
3
2
(2 + 4) =
18
2
= 9
=
4
2
(2 + a4 - 1
) = 2(2 + a3
) = 2(2 + 9) = 22

31
Problema resuelto
9. a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20, … , 135?
Primer paso, se encuentra la diferencia común:
d = 15 - 10 = 5
Segundo paso, se despeja a n de la fórmula:
an
= a1
+ (n - 1)d
Tercer paso
n
a a
d
n
n
n
n
n
=
−
+
=
−
+
=
−
+
= +
= +
1
1
135 10
5
1
135 10
5
1
125
5
1
25 1

n
a a
d
n
n
n
n
n
n
=
−
+
=
−
+
=
−
+
= +
= +
1
1
135 10
5
1
135 10
5
1
125
5
1
25 1
=
= 26
7. Encuentra los 3 primeros y el octavo términos:
a) b)

a
n
a
a
a
n
= +
= + = =
= + =
= + = =
1
2
1
1
2
3
2
1
1
2
1
2
2
2
1
3
2
5
2
2
1
2
1
2
3

a
n
a
a
a
n n
=
= =
= =
= = =
2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2
2
1
3
2
9
8
1
1
8

a8
1
8
2
10
2
5
= + = =

a8
2
8
8
2
64
256
1
4
= = =
Problema resuelto
8. Las compras de materia prima para un taller de camisetas en los últimos 7 meses es el siguiente:
43
680, 44
930, 46
180, 47
430, 48
680, 49
930, 51
180 pesos.
Mes Término Compras ($)
Primero a1
43
680
Segundo a2
44
930
Tercero a3
46
180
Cuarto a4
47
430
Quinto a5
48
680
Sexto a6
49
930
Séptimo a7
51 180
La diferencia común es: d = 44
930 - 43
680 = $1
250.
Si a1
es el primer término de una sucesión aritmética, d la diferencia común y n el total de términos.
Entonces se genera la siguiente sucesión:
a1
, a1
+ d, a1
+ 2d, a1
+ 3d, … , a1
+ (n - 2)d, a1
+ (n - 1)d
Siendo el último término de la sucesión aritmética el siguiente:
an
= a1
+ (n - 1)d

32
Series y sucesiones
UNIDAD
2
La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se simboliza con Sn
, en donde
n es el número de términos de la sucesión.
Sea la sucesión a1
, a2
, a3
, a4
, … , an
, n es un número entero positivo y d la diferencia común, se tiene:
S a a a a
S a
S a d
S a d
S a d
n n
= + + + +
=
= +
= +
= +
1 2 3
1 1
2 1
3 1
4 1
2
3

Entonces:
Sn
= a1
+ (a1
+ d ) + (a1
+ 2d ) … (an
- 2d ) + (an
- d ) + an
(1)
Reacomodando los términos en orden inverso se tiene:
Sn
= an
+ (an
- d ) + (an
- 2d ) … (a1
+ 2d ) + (a1
+ d ) + a1
(2)
Sumando las expresiones 1 y 2:
2Sn
= (a1
+ an
) + (a1
+ an
) + ··· + (a1
+ an
) + (a1
+ an
)
2Sn
= n(a1
+ an
)
Despejando a Sn
se obtiene:
S
n
a a
n n
= +
2
1
( )
Alerta
La sucesión geométrica
se forma multiplicando el
término anterior por una
cantidad constante llamada
factor común.
Término
a1
2 (2)(r) = (2)(4) = 8
a2
8 (8)(r) = (8)(4) = 32
a3
32
b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3, … , 33?
Primer paso, se encuentra la diferencia común:
d = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4
Segundo paso, encontrar el total de términos:
n
a a
d
n
n
n
n
n
n
=
−
+
=
− −
+
=
+
+
= +
= +
1
1
33 11
4
1
33 11
4
1
44
4
1
11 1
( )
=
= 12
Problema resuelto
10. a) Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27, …
Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 20 - 13 = 7

33
2.4 Progresiones geométricas
La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad
constante llamada factor común (r).
an
= an - 1
(r)
Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162 es geométrica, porque la regla dice que después del pri-
mer término, el siguiente se obtiene multiplicando por tres al antecedente y así sucesivamente.
Problema resuelto
11.

a) Término Razón r = 4 b) Término Razón
1
2
=
=
r
a1
2 a1
6
a2
2r = 2(4) = 8 a2
6 6
1
2
3
r =





 =
a3
8r = 8(4) = 32 a3
3 3
1
2
3
2
1
1
2
r =





 = =
a4
32r = 32(4) = 128 a4
3
2
3
2
1
2
3
4
r =





 =
Segundo paso, encuentra el décimo término:
a
a
a
a
10
10
10
10
13 10 1 7
13 9 7
13 63
76
= + −
= +
= +
=
( )( )
( )( )
Tercer paso, encuentra la suma:
S
S
S
10
10
10
10
2
13 76
5 89
445
=





 +
=
=
( )
( )
b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la sucesión aritmética 3, 10, 17, …
Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 10 - 3 = 7
Segundo paso, encuentra el término 30:
a
a
a
a
30
30
30
30
3 30 1 7
3 29 7
3 203
206
= + −
= +
= +
=
( )( )
( )( )
Tercer paso, encuentra la suma:
S
S
S
30
2
(3 206 )
15(209 )
3135
30
30
30
=





 +
=
=

34
Series y sucesiones
UNIDAD
2
En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término an-
terior:
r
a
a
n
n
=
−1
Problema resuelto
13. a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252,…
Primero se calcula la razón:
r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
84
28
3
Después se encuentra el sexto término:
a a r
a
a
a
a
n
n
28(3)
28(3)
28(243)
6 804
1
1
6
6 1
6
5
6
6
=
=
=
=
=
−
−
b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96,…
r = =
24
6
4
Problema resuelto
12. De las siguientes progresiones geométricas encuentra la razón.
a) 12, 48, 192,… b) 1, 3, 9, 27,…

r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
48
12
4

r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
3
1
3
Para saber cómo encontrar el n-ésimo término de una progresión geométrica es necesario analizar el
siguiente desarrollo:
Sea a1
, a2
, a3
, … , an
una sucesión geométrica, con a1
≠ 0 y r ≠ 0:
a a
a a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
1 1
2 1
3 2 1 1
2
4 3 1
2
1
=
=
= = =
= = =
( )
( ) 3
3
1
1

a a r
n
n
= −
Alerta
Todo número real al
multiplicarse por cero da
como resultado cero
a(0) = 0.
La división entre cero no
está permitida (a/0).

35
Propiedades de los logaritmos
■
■ loga
(p)n
= n [loga
(p)]
■
■ loga
(AB) = loga
(A) + loga
(B)
Para conocer el número de términos de una progresión se despeja la literal n de la siguiente expresión:
log log ( 1) log
log log ( 1) log
1
log log
log
log log
log
1
1
1
1
1
1
1
a a r
a a n r
a a n r
n
a a
r
n
a a
r
n
n
n
n
n
n
=
= + −
− = −
− =
−
=
−
+
−
Después se encuentra el séptimo término:
a a r
a
a
a
a
n
n
=
=
=
=
=
−
−
1
1
7
7 1
7
6
7
7
6 3
6 3
6 729
4374
( )
( )
( )
c) Encuentra el décimo término de una progresión geométrica:
1
16
1
8
1
4
, , ,...
-
r =
−
= − = −
1
8
1
16
16
8
2
Después se encuentra el décimo término:
a a r
a
a
a
n
n
=
= −
= −
= −
−
−
1
1
10
10 1
10
9
10
1
16
2
1
16
2
1
16
51
( )
( )
( 2
2
512
16
32
10
10
)
a
a
= −
= −

36
Series y sucesiones
UNIDAD
2
La serie geométrica es la suma de términos de una sucesión geométrica. Para calcular la suma de los n
primeros términos de una sucesión geométrica, es necesario deducir una fórmula.
Sea la progresión geométrica a1
, a2
, a3
, … , an
y “r” la razón de cambio.
S a a a a
S a
S a r
S a r
S a r
n n
= + + + +
=
=
=
=
1 2 3
1 1
2 1
3 1
2
4 1
3

Entonces:
S a a r a r a r a r a r
n
n n
= + + + + + +
− −
1 1 1
2
1
3
1
2
1
1
(1)
Multiplicando por r a la ecuación (1):
rS a r a r a r a r a r a r
n
n n
= + + + + + +
−
1 1
2
1
3
1
4
1
1
1
(2)
Realizando la diferencia de la ecuación (1) y (2):
S rS a a r
S r a r
n n
n
n
n
− = −
− = −
1 1
1
1 1
( ) ( )
Despejando Sn
:
S
a r
r
r
n
n
(1 )
1
; si 1
1
=
−
−
≠
Problema resuelto
14. Encuentra el número de términos de las progresiones geométricas:
a) b)

a r an
1
14
1
2
3
4
= = =
, ,

a r an
1
12
3
4
3
8
= = =
, ,

log log
log
1
1
n
a a
r
n
=
−
+

log log
log
1
1
n
a a
r
n
=
−
+

log 3 4 log 14
log 1 2
1
n =
−
+

log 3 8 log 12
log 3 4
1
n =
−
+

log 0.75 log 14
log 0.5
1
n =
−
+

log 0.375 log 12
log 0.75
1
n =
−
+

n =
− −
−
+
0 12493 1 14612
0 30102
1
. .
.
n =
− −
−
+
0 425968 1 079181
0 124938
1
. .
.

n =
−
−
+
1 27105
0 30102
1
.
.
n =
−
−
+
1 505149
0 124938
1
.
.

n
n
= +
=
4 22 1
5
.

n
n
= +
=
12 05 1
13
.

37
Problema resuelto
15. a) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica:
2, 6, 18, 54, …
S
a r
r
S
S
S
S
n
n
(1 )
1
2(1 3 )
1 3
2(1 59 049)
1 3
118096
2
59 048
1
10
10
10
10
10
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=

b)
La progresión geométrica tiene 6 términos, el primero es 18 y el último 3/8 y la razón es 1/2.
Calcula la suma de los 6 términos.
Datos: a1
= 18, a6
=
9
16
y r = 1/2.
Solución:

S
a r
r
n
n
=
−
−
1
1
1
( )

S
S
S
S
S
S
S
18 1 (1 2)
1 (1 2)
18(1 1 64 )
1 (1 2)
18(63 64 )
1 2
1134 64
1 2
2(1134 )
64
2268
64
35.4375
6
6
6
6
6
6
6
6
=
−

 

−
=
−
−
=
=
=
=
=

c)
Calcula la suma de los primeros 12 términos, si se conocen los siguientes datos: a2
= 7/4,
a5
= 14.
Solución:

Se sabe que: a2
= a1
r = 7/4 y a5
= a1
r4
= 14 despejando de la primera expresión a1
y sustituyén-
dola en la segunda se tiene:

a
r
1
7
4
=

a
r
r
5
4
7
4
14
=





 =
( )

r
7
4
( ) 14
3
=

38
Series y sucesiones
UNIDAD
2
2.5 Aplicaciones
Problemas resueltos
16.
El valor de una computadora en el mes de diciembre de cada año es 70% de su valor que en el mes
de enero del mismo año. Si la computadora costó 14
000 pesos, encuentra el valor final después de
4 años.
Datos: a1
= 14
000, r = 0.70 y n = 4.
a a r
a
a
a
a
n
n
( )
14 000(0.70 )
14 000(0.70 )
14 000(0.343)
$4 802
1
1
4
4 1
4
3
4
4
=
=
=
=
=
−
−
17.
Supón que el euro aumenta de precio a $0.0383 por día, hoy se cotiza en 16.7361 pesos a la venta.
¿En cuántos días alcanzará la cotización de 17.4512 pesos?
n
a a
d
n
n
n
n
n
1
17.4512 16.7361
0.0383
1
0.7151
0.0383
1
18.67 1
19.67 días
1
=
−
+
=
−
+
= +
= +
=
Alerta
La inflación, el desempleo,
entre otros, son factores
que influyen para que
una moneda, de un país,
pierda su poder adquisitivo
(adquirir bienes y servicios)
al paso del tiempo.

r 3 14 4
7
=
( )

r 3 56
7
8
= =
r = 2

d ) Encuentra la suma de los 12 primeros términos:

S
a r
r
n
n
=
−
−
1
1
1
( )

S
r
S
S
S
S
7
4
1 2
1 2
7
8
(1 2 )
1
7( 4 095)
8
28665
8
3583.125
12
12
12
12
12
12
12
[ ]
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=

39
18.
En qué porcentaje disminuye el poder adquisitivo del peso en el transcurso de 3 años, si la infla-
ción es de 3.5% anual.
En el primer año:

a a a
a a
a
1
1
1
0 035
1 0 035
0 965
= −
= −
=
. ( )
( . )
. pesos
En el segundo año:

a a
a a
a
2
2
2
1 0 035
0 965 0 965
0 9312
= −
=
=
( . )
( . )( . )
. pesos
En el tercer año:

a a
a a
a
3
3
2
3
1 0 035
0 965 0 965
0 8986
= −
=
=
( . )
( . )( . )
. pesos
Problema resuelto
19.
El corporativo K-VISTA está formado por 20 mini-autoservicios y 4 papelerías, el corporativo tiene
8 años de antigüedad, el año pasado tuvo utilidades de 20 millones de pesos y en el primer año
de 6.7 millones de pesos.
a)
Calcula la tasa de incremento anual de las utilidades, partiendo de que el incremento tiene un
comportamiento geométrico.
Año Utilidad
Primero U1
Segundo U2
= U1
+ U1
(r) = U1
(1 + r)
Tercero U3
= U1
(1 + r)2
Cuarto U4
= U1
(1 + r)3
.
.
.
.
.
.
n-ésimo Un
= U1
(1 + r)n - 1
U U r
r
r
n
n
= +
= +
= +
−
−
1
1
8 1
7
1
20 6 7 1
20
6 7
1
2 985074
( )
. ( )
.
( )
.
7
7
1
1 1690975 1
0 1690975
= +
= −
=
r
r
r
.
.
El incremento es de 16.91% anual.
Alerta
Ganancia o utilidad es el
beneficio que se obtiene de
la diferencia del precio
de compra y de venta de
un producto o servicio
(sin considerar el IVA) en
actividades comerciales.
Problema resuelto
20.
El señor Pedro Juárez pidió prestados 15
000 pesos en el banco Axtek, acordando pagar 200 pesos
al final de cada mes y pagar 28% de interés anual, sobre el saldo no pagado. Calcular la suma del
interés no pagado.

40
Series y sucesiones
UNIDAD
2
❚
❚ Fórmulas empleadas en el capítulo
Sucesión o progresión a1
, a2
, a3
, … , an
Serie Sn
= a1
+ a2
+ a3
+ … + an
Sucesión aritmética
an
= an - 1
+ d
an
= a1
+ (n - 1)d
Diferencia común d
a a
n
n
=
−
−
1
1
Número de términos en sucesión aritmética n
a a
d
n
=
−
+
1
1
Serie aritmética S
n
a a
n n
= +
2
1
( )
Sucesión geométrica
an
= an - 1
(r)
an
= a1
rn - 1
Razón común r
a
a
n
n
=
−1
Número de términos sucesión geométrica =
−
+
log log
log
1
1
n
a a
r
n
Serie geométrica S
a r
r
r
n
n
(1 )
1
; si 1
1
=
−
−
≠
❚
❚ Terminología
Diferencia común d
Número de términos n
Razón común r
Serie aritmética y geométrica Sn
Término de la sucesión an
La posición del término n
Datos:
Tasa de interés 28% anual o 0.0233 mensual
Total de pagos mensuales
15000
200
75
= =
Solución:
Pago 1 2 3 75
Saldo 15
000.00 14
800.00 14
600.00 … 200.00
Interés 349.50 344.84 340.18 … 4.66

S
75
2
(349.5 4.66)
75 = +

S
26562
2
75 =
S75
= 13
281 pesos

41
❚
❚ Glosario
Bien. Cualquier objeto o servicio capaz de satisfacer una necesidad.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También, conjunto de bienes y servicios adquiri
dos en el acto de compra.
Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes o servicios. Precio o gasto de elabo-
ración de un producto.
Cotización. Precio al que se puede efectuar en un mercado determinado de compra o venta de un
bien, valor o divisa. También se aplica al precio al que compradores y vendedores están dispues-
tos a cerrar operaciones, pero que no es necesariamente el precio al que realmente se cierra.
Divisa. Término que engloba la moneda de curso legal de terceros países, medios de pago y activos
financieros denominados en moneda extranjera, e ingresos en monedas extranjeras originados
por transacciones en el exterior.
Ganancia. Beneficio, lucro o provecho que se obtiene de la relación de un trabajo o actividad. En las
actividades comerciales es el beneficio obtenido como diferencia del precio de compra de un
producto y el precio de venta.
Inflación. Elevación general del nivel de precios que normalmente es medida con el índice de precios
al consumidor.
Materias primas. Es un subgrupo del Plan General de Contabilidad que reconoce los elementos natu-
rales, no elaborados, que se incorporan al inicio del proceso de producción para ser elaborados o
transformados en productos fabricados o terminados.
Poder adquisitivo. Volumen de bienes y servicios a los que puede acceder, por término medio, una
persona o grupo de personas dado su nivel de renta.
Razón. Es el resultado de la comparación entre dos cantidades; razón directa o inversa.
Renta. Cantidad que una persona denominada rentista tiene derecho a percibir periódicamente duran
te un periodo limitado (renta temporal) o durante toda su vida (renta vitalicia). Utilidad, beneficio
o incremento de riqueza que una persona física o jurídica percibe en un periodo en forma de
retribuciones del trabajo o rendimientos del capital o de la tierra.
Serie. Es la suma de los términos de una sucesión.
Serie aritmética. Se forma realizando la suma de los términos de la sucesión aritmética, se simboliza
con Sn
, en donde n es el número de términos de la sucesión aritmética.
Serie geométrica. Es la suma de términos de una sucesión geométrica.
Servicio. Acción o efecto de servir.
Sucesión. Es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número
se le llama término de la sucesión.
Sucesión aritmética. Se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como
diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente.
Sucesión geométrica. Se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada
factor común.
Término. Cada una de las cantidades que componen un polinomio, razón, quebrado, entre otros.
Utilidad. Satisfacción que proporciona al usuario el empleo de un bien. En países latinoamericanos,
beneficio o ganancia.
Valor. De un número cualesquiera sin tener en cuenta su signo. Cualidad de las cosas en virtud de la
cual se da por poseerlas cierta suma de dinero o equivalente.

42
UNIDAD
2
d
) La diferencia entre los términos décimo y vigésimo se-
gundo en la progresión aritmética es 120, el cuarto tér-
mino es -2. Encuentra los 4 primeros términos.
2.8 a) Encuentra el último término de la sucesión aritméti-
ca si: a1
= 4, n = 8 y d = 4.
b) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si:
a1
= 7, n = 18 y d = 3.
2.9 a) ¿De cuántos términos estará formada la sucesión 3,
6, 9, … , 51?
b) Se desea conocer el número de términos de la sucesión
aritmética: 19, 30, 41, … , 338, cuya diferencia común
es 11.
2.10 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la
progresión aritmética, si el cuarto término es 21 y el octavo
es -3?
2.11 Encuentra la suma de los primeros 20 términos de la
sucesión aritmética: 19, 26, 33, …
2.12 Encuentra el primer término de una sucesión aritméti-
ca cuya suma de 25 términos es 3

200, si el último término
es 224.
Progresiones geométricas
2.13 a) Encuentra el noveno término de una sucesión
geométrica: 12, 48, 192,…
b) Encuentra el décimo segundo término de una sucesión
geométrica: 7, 14,…
c) Encuentra el quinto y el décimo término de la progresión
geométrica: 3, -1, …
2.14 a) Encuentra el valor del sexto término de la progre-
sión geométrica: 9, 45, 225, …
b) Encuentra el valor del sexto término de la progresión
geométrica: 1.5, (1.5)4
, …
c) Encuentra el valor del sexto término de la progresión
geométrica: 7, 21, 63, …
2.15 a) Encuentra el número de términos de la progresión
geométrica, conociendo: a1
= 12, r = 3/4, an
= 3/8.
b) Encuentra el número de términos de la progresión geo
métrica: 17, 34, 68, … , 34
816.
c) Encuentra el número de términos de la progresión geo
métrica, conociendo: a1
= 8, an
= 17
496 y r = 3.
2.16 El décimo y vigésimo términos de una progresión
geométrica son: a10
= 1/128 y a26
= 512. Encuentra los pri-
meros 4 términos.
2.17 a) Encuentra el décimo término y la suma de los 12
primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.
b) Determina la suma de los 15 primeros términos de la pro-
gresión geométrica, si el tercero y el quinto son 12 y 48.
c) Encuentra el décimo término y la suma de los 16 prime-
ros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.
Series y sucesiones
2.1 a) Encuentra los primeros 3 términos de la siguiente
progresión: an
= 2n + 3.
b) Escribe los primeros 3 términos y el vigésimo primero de
la progresión definida por:
a
n
n
n
=
− 2
2.2 a) Escribe los primeros 3 términos y el
vigésimo prime-
ro de la progresión definida por:
a
n
n
n
=
−
+
2 2
1
b) Escribe los primeros 3 términos de la progresión dada
por: an
= 10n2
- 3n.
2.3 a)
Escribe los primeros 2 términos de la progresión
dada por: an
= 2 log n2
.
b) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones
y encuentra sus resultados:
y = 4x + 3, si x toma valores 1, 2, 3.
c) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones
y encuentra sus m
x
x
=
−
+
1
1
, si x toma valores 1, 2, 3, 4.
Progresiones aritméticas
2.4 Encuentra los valores que faltan en las sucesiones:
a) 5, ____, 11, 14, ____, 20, 23,…
b) 3, ____, 12, 24, ____, 96, 192,…
c) 15, 21, ____, 33, 39, 45, ____, 57, 63,…
2.5 Encuentra la diferencia común de las siguientes series
aritméticas:
a) 7, 9, 11, … d =
b) 28, 24, 20, 16, 12, … d =
c) 155, 170, 185, … d =
2.6 Encuentra la diferencia común de las siguientes series
aritméticas:
a) 10, 16, 22, 28, 34, … d =
b) 50, 45, 40, 35, 30, … d =
c) 42, 50, 58, 66, 74, … d =
2.7 a) Encuentra el décimo cuarto término de la progre-
sión aritmética, siendo el primer término -3 y la diferencia
común es 18.
b) Obtén el valor de x en la progresión aritmética: -3, x,
15,…
c) Encuentra el vigésimo término de la serie aritmética: -4,
16,…

43
2.20 El bufete de abogados AK compró una aspiradora in-
dustrial que les costó 8
500 pesos, la Secretaría de Hacienda
solo les reconoce una depreciación por año de 75%, valor
al principio de cada año. Calcula el valor de la aspiradora
después de 10 años.
2.21 ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la
progresión aritmética si el cuarto término es 21 y el octavo
es -3?
Aplicaciones
2.18 La señora Josefina pide prestados 2
500 pesos y acep-
ta pagar 100 pesos al final de cada mes y 12% anual de
interés sobre el saldo. Calcula la suma de todo el interés
pagado.
2.19 Un activo cuesta 20

000 pesos y la depreciación por
año se estima en 50%. ¿Cuál es el valor del activo después
de cinco años?
PROBLEMAS RETO
Encuentra los valores que faltan en las siguientes sucesiones:
a) 5, ______, 11, 14, ______, 20, 23
b) 3, ______, 12, 24, ______, 96
Sustituye cada uno de los valores de x en las siguientes expresiones y encuentra sus resul-
tados:
a) y = 4x + 3, si x toma los valores de: 1, 2, 3 R. ______, ______, ______.
b) m
x
x
=
−
+
1
1
, si x toma los valores de: 1, 2, 3, 4 R ______, ______, ______, ______.
Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones:
a) 4
430, 4
680, 4
930 d = ______.
b) 70, 110, 150 d = ______.
Escribe en la línea (F ) si el enunciado es falso o (V ) si es verdadero.
a) a3
representa el décimo tercer término de una sucesión. ___________ .
b) El subíndice n indica el término de una sucesión. ___________ .
c) El sexto término de la sucesión aritmética 3, 7, 11, … es 25. ___________ .
Las siguientes sucesiones son geométricas:
a) 3, 6, 12, 36, 108 Sí ___________ . No ___________ .
b) 18, 21, 25, 30 Sí ___________ . No ___________ .
Escribe los 4 primeros términos de la sucesión:
a
n
n
n
=
− 2
Encuentra los 3 primeros términos de la sucesión: an
= n(n - 4).
El primer término es 10 y el vigésimo primero 210, encuentra la diferencia común...
1
2
3
4
5
6
7
8

44
Series y sucesiones
UNIDAD
2
¿De cuántos términos estará formada la sucesión: 3, 14, 25, … , 201?
Encuentra el último término de la sucesión aritmética: 10, 16, 22, … La sucesión está forma-
da por 20 términos.
Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 42, 51, 60, … , 168, cuya
diferencia común es 9.
Supón que la udi aumenta de precio en 0.000132 por día, el día de hoy la udi se cotiza en
3.690061. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 3.692569?
Encuentra el número de términos de la sucesión: 17, 34, 68, … , 1
088.
Encuentra el número de términos de la sucesión: 9, 45, 225, … , 3
515
625. … .
La suma de los 12 primeros términos de una sucesión geométrica es: 531
440, la razón es 3,
encuentra el primer término.
9
10
11
12
13
14
15

UNIDAD
3
Interés
simple
OBJETIVOS
Comprenderá el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo.
Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado,
ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés.
Resolverá problemas de:
• Interés simple
• Monto
• Capital y valor presente
• Plazo
• Tasa de interés y tipo de interés
Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado,
pagaré, tasa de rendimiento.
Resolverá problemas de:
• Descuento simple
• Valor descontado
• Tasa de rendimiento
¿QUÉ SABES?
¿Qué interés simple produce un capital de $15 600.00, a pagarse dentro de 13 semanas a
una tasa de interés de 11.9% anual?

46
Interés simple
UNIDAD
3
Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $25 350.00 a 9.52%
en 240 días.
El dueño de la tlapalería del pueblo recibe un préstamo de $18 650.00 a dos
años. Si la tasa de interés es de 1.5% trimestral, ¿cuánto pagará dentro de
dos años?
Un banco entrega al licenciado Aldama la cantidad $1 255 000.00 por un
préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%, ¿cuál es el
capital inicial del préstamo?
Una deuda de $7 545.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque
cuyo importe es de $8 800.00. Si la tasa de interés simple es de 11.75%, ¿cuánto
tiempo estuvo prestado?
Se descuenta un préstamo de $150 000.00 a un plazo de 91 días, con una tasa
de descuento de 13% anual. Calcular:
a) ¿De cuánto es el descuento al momento de recibir el préstamo?
b) ¿Qué cantidad recibe?
Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor de
$368 056.00, con una tasa de descuento de 13% anual. Si la fecha de
vencimiento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía?
La señora Mendoza solicita un préstamo por una determinada cantidad de
dinero. El plazo es de siete meses y la tasa de descuento de 12%. Calcular la
tasa mensual de rendimiento.
El arquitecto Rodríguez recibe la cantidad de $80 500.00 por un préstamo a
pagar en ocho meses, con una tasa de descuento de 15% anual. ¿Qué cantidad
de dinero se debe solicitar prestada?
El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por
la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el
descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar
el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de descuento?
El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por
la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el
descuento es comercial 18%, el banco le descontó en el momento de entregar el
préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
3.1 Introducción
El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de
dinero a corto plazo (de un año o menos).
Definición
El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante
un periodo determinado y se representa con la letra I.
También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma producti-
va, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias.
Los prestamistas en la Edad Media cobraban a los particulares intereses hasta de 42%
anual, y en operaciones comerciales el interés variaba desde 12 hasta 20% anual. En la
actualidad la mayoría de los países establecen mecanismos de regulación o leyes que
prohíben la usura.
A toda cantidad de dinero prestada o invertida se le conoce como capital, siendo esta una operación
financiera que en el transcurso del tiempo se incrementa a un valor M.

47
Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura:
C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia
M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C
n = Tiempo
El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza
la expresión:
I = M - C 3.1
Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo.
I = CnT 3.2
El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por
la tasa de interés dividida entre 100 .
=






I Cn
T
100
3.3
T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual).
i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual).
=
i
T
100
3.4
Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria.
I = Cni 3.5
La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere
decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final).
La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe
estar en años).
i
I
Cn
= 3.6
El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la
fecha inicial y la fecha final en una operación financiera.
Cuando el tiempo está dado en días se calcula.
El interés simple exacto o real:
a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días.
=












I C
T n
100 365
3.7

Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en
el año real o exacto.
b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días.
=












I C
T n
100 366
3.7a

48
Interés simple
UNIDAD
3
El interés simple ordinario:
a) Año comercial en tiempo real es 360 días.
=












I C
T n
100 360
3.7b

El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el
año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran
calcular los intereses.
Cuando el tiempo está en meses:
=












I C
T n
100 12
3.7c

Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma men-
sual).
=
I
Cni
30
3.7d
El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco
es la “Casa de San Giorgio”.

a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1.
Datos: Desarrollo:
C = $20 000.00 I = M - C
M = $22 348.00 I = 22 348.00 - 20 000.00
n = Un año I = $2 348.00
Incógnita I.

b) La tasa de interés
Incógnita i.
i
I
Cn
2348
20 000
0.1174 anual
= = =

c) El tipo de interés
Incógnita T.
T = (0.1174)(100)
T = 11.74% anual
Solución
Problema resuelto
1.
El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, des-
pués de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular:

a) El interés

b) La tasa de interés

c) El tipo de interés

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