Utilice el teorema de inducción para demostrar que
1. Utilice el teorema de inducción para demostrar que la suma de los cubos de
tres números naturales consecutivos es múltiplo de 9, es decir que:
P(n): [n3 + (n+1)3 + (n+2)3]
1) p(1): 1 + (1+1)3 + (1+2)3
1 + 8 + 27 = 36 = 4*9 (v)
2) p(k): k3 + (k+1)3 + (k+2)3 = 9p(k)
3) P(k) → p(k+1)
p(k+1): (k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3
: (k+1)3 + (k+2)3 + k3 + 3(k)23 +3(k)(3)2 + 32
: k3 + (k+1)3 + (k+2)3 + 9(k2 + 3k +3)
: 9p(k) + 9(k2 + 3k +3)
: 9[p(k) + k2 + 3k + 3] ÷ 9 Lqqd.
2. Sean a(x) y v(x) dos predicados. Demuestre la siguiente propiedad distributiva
del cuantificador existencial: x(a(x) v v(x)) = xa(x) v xv(x)
Ε Ε Ε
x(a(x) v v(x)) ↔ A[a(x) v v(x)] = Ø
↔ A[a(x) U v(x)] = Ø
↔ Aa(x) = Ø U Ar(x) = Ø
↔¬(Aa(x) = Ø) v ¬( Av(x) = Ø)
↔ xa(x) v xv(x)Ε Ε
Ε