Presentación unisimon evento matemáticas

1. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Ecuaciones Funcionales:
Problemas conectados a las EDP
Johnny Cuadro M
Facultad de Ciencias Básicas
Universidad Tecnológica de Bolivar
4 de noviembre de 2019

2. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Contenido
Introducción
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema matemático
Descripción de problemas
Descripción de problemas
Enunciado del problema
Referencias

3. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
I Son ecuaciones en la que la incógnita o las incógnitas son
funciones.
I Algunos ejemplos:
I f(x + y) = f(x) + f(y)
I f(x + y) = f(x)f(y)
I f(x)g(y) = g(y)f(x)
I f−1(x) = 1
f(x)

4. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
I Son ecuaciones en la que la incógnita o las incógnitas son
funciones.
I Algunos ejemplos:
I f(x + y) = f(x) + f(y)
I f(x + y) = f(x)f(y)
I f(x)g(y) = g(y)f(x)
I f−1(x) = 1
f(x)
I Modelan una gran variedad de fenómenos fı́sicos complejos:
I clima
I corrientes oceánicas
I aerodinámica
I movimiento de estrellas

5. Johnny Cuadro
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Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
I Son ecuaciones en la que la incógnita o las incógnitas son
funciones.
I Algunos ejemplos:
I f(x + y) = f(x) + f(y)
I f(x + y) = f(x)f(y)
I f(x)g(y) = g(y)f(x)
I f−1(x) = 1
f(x)
I Modelan una gran variedad de fenómenos fı́sicos complejos:
I clima
I corrientes oceánicas
I aerodinámica
I movimiento de estrellas
I No se conoce una fórmula general que resuelva las ecuaciones,
excepto en algunos tipos de flujos concretos.

6. Johnny Cuadro
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Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
I Son ecuaciones en la que la incógnita o las incógnitas son
funciones.
I Algunos ejemplos:
I f(x + y) = f(x) + f(y)
I f(x + y) = f(x)f(y)
I f(x)g(y) = g(y)f(x)
I f−1(x) = 1
f(x)
I Modelan una gran variedad de fenómenos fı́sicos complejos:
I clima
I corrientes oceánicas
I aerodinámica
I movimiento de estrellas
I No se conoce una fórmula general que resuelva las ecuaciones,
excepto en algunos tipos de flujos concretos.
I En algunos casos es necesario recurrir al análisis numérico para
determinar soluciones aproximadas.

7. Johnny Cuadro
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Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Qué son las ecuaciones funcionales?
I Son ecuaciones en la que la incógnita o las incógnitas son
funciones.
I Algunos ejemplos:
I f(x + y) = f(x) + f(y)
I f(x + y) = f(x)f(y)
I f(x)g(y) = g(y)f(x)
I f−1(x) = 1
f(x)
I Modelan una gran variedad de fenómenos fı́sicos complejos:
I clima
I corrientes oceánicas
I aerodinámica
I movimiento de estrellas
I No se conoce una fórmula general que resuelva las ecuaciones,
excepto en algunos tipos de flujos concretos.
I En algunos casos es necesario recurrir al análisis numérico para
determinar soluciones aproximadas.

8. Johnny Cuadro
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Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Cómo surgen?
Jean le Rond D’Alembert (1717 - 1783)
A principios del siglo XVII el matemático francés Jean
le Rond D’Alembert estudia el problema de las cuerdas
vibrantes. En 1747 muestra en la Memoria de la
Historia de la Academia de Ciencias y Bellas Letras de
Berlı́n la ivestigación titulada: Investigación sobre la
curva que forma una cuerda tendida puesta en
vibración, donde pretende dar una solución más
general ayudado por una función de dos variables.
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler
formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones
describen precisamente el movimiento de un fluido
hipotético no viscoso.

9. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
¿Cómo surgen?
Jean le Rond D’Alembert (1717 - 1783)
A principios del siglo XVII el matemático francés Jean
le Rond D’Alembert estudia el problema de las cuerdas
vibrantes. En 1747 muestra en la Memoria de la
Historia de la Academia de Ciencias y Bellas Letras de
Berlı́n la ivestigación titulada: Investigación sobre la
curva que forma una cuerda tendida puesta en
vibración, donde pretende dar una solución más
general ayudado por una función de dos variables.
Leonhard Euler (1707 - 1783)
Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler
formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones
describen precisamente el movimiento de un fluido
hipotético no viscoso.

10. Johnny Cuadro
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Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Problema matemático
I El primer avance significativo relacionado con las ecuaciones
funcionales es un problema sobre la ley del paralelogramo para
la suma de fuerza. D’Alembert simplificó el problema a
encontrar la solución de la ecuación funcional
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y).
I En 1900 David Hilbert, sugiere que aplicando técnicas elegantes
y potentes de la teorı́a de ecuaciones diferenciales se pueden
resolver ecuaciones funcionales sin la regularidad necesaria de la
diferencial, lo que da lugar a la teorı́a moderna de las EF.

11. Johnny Cuadro
M
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¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Problema matemático
I El primer avance significativo relacionado con las ecuaciones
funcionales es un problema sobre la ley del paralelogramo para
la suma de fuerza. D’Alembert simplificó el problema a
encontrar la solución de la ecuación funcional
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y).
I En 1900 David Hilbert, sugiere que aplicando técnicas elegantes
y potentes de la teorı́a de ecuaciones diferenciales se pueden
resolver ecuaciones funcionales sin la regularidad necesaria de la
diferencial, lo que da lugar a la teorı́a moderna de las EF.

12. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Consideremos la ecuación de ondas en R × (∞, 0)
p(u) :



∂ttu − c2
∂xxu = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = g(x) x ∈ R
∂tu(x, 0) = h(x) x ∈ R
I
∂ttu − c2
∂xxu = (∂tt − c2
∂xx)u (1)
= (∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u (2)

13. Johnny Cuadro
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¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Consideremos la ecuación de ondas en R × (∞, 0)
p(u) :



∂ttu − c2
∂xxu = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = g(x) x ∈ R
∂tu(x, 0) = h(x) x ∈ R
I
∂ttu − c2
∂xxu = (∂tt − c2
∂xx)u (1)
= (∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u (2)
I Si llamamos v(x, t) = (∂t + c∂x)u, entonces v verifica la ecuación
de primer orden
∂tv − c∂xv = 0
y
v(x, 0) = ∂tu(x, 0) + c∂xu(x, 0) = h(x) + cg0
(x)

14. Johnny Cuadro
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¿Cómo surgen?
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problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Consideremos la ecuación de ondas en R × (∞, 0)
p(u) :



∂ttu − c2
∂xxu = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = g(x) x ∈ R
∂tu(x, 0) = h(x) x ∈ R
I
∂ttu − c2
∂xxu = (∂tt − c2
∂xx)u (1)
= (∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u (2)
I Si llamamos v(x, t) = (∂t + c∂x)u, entonces v verifica la ecuación
de primer orden
∂tv − c∂xv = 0
y
v(x, 0) = ∂tu(x, 0) + c∂xu(x, 0) = h(x) + cg0
(x)
I
v(x, t) = h(x + ct) + cg0
(x + ct)
si h ∈ C1(R) y g ∈ C2
(R).

15. Johnny Cuadro
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¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Consideremos la ecuación de ondas en R × (∞, 0)
p(u) :



∂ttu − c2
∂xxu = 0 x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = g(x) x ∈ R
∂tu(x, 0) = h(x) x ∈ R
I
∂ttu − c2
∂xxu = (∂tt − c2
∂xx)u (1)
= (∂t − c∂x)(∂t + c∂x)u (2)
I Si llamamos v(x, t) = (∂t + c∂x)u, entonces v verifica la ecuación
de primer orden
∂tv − c∂xv = 0
y
v(x, 0) = ∂tu(x, 0) + c∂xu(x, 0) = h(x) + cg0
(x)
I
v(x, t) = h(x + ct) + cg0
(x + ct)
si h ∈ C1(R) y g ∈ C2
(R).

16. Johnny Cuadro
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funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Luego u verifica la ecuación
∂tu + c∂xu = v(x, t) = h(x + ct) + cg0
(x + ct)
u(x, 0) = g(x)
I
u(x, t) = g(x − ct) +
Z t
0
v(x − c(t − s), s)ds

17. Johnny Cuadro
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Descripción de
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Enunciado del
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Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Luego u verifica la ecuación
∂tu + c∂xu = v(x, t) = h(x + ct) + cg0
(x + ct)
u(x, 0) = g(x)
I
u(x, t) = g(x − ct) +
Z t
0
v(x − c(t − s), s)ds
I
u(x, t) = g(x − ct) +
1
2c
Z x+ct
x−ct
(h(y) + cg0
(y))dy
donde y = x − c(t − s) + cs
u(x, t) = g(x − ct) +
g(x + ct) − g(x − ct)
2
+
1
2c
Z x+ct
x−ct
h(y)dy
u(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct)
donde
F(x) =
g(x)
2
+
1
2c
Z x
0
h(y)dy
y
G(x) =
g(x)
−
1
Z x
h(y)dy

18. Johnny Cuadro
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Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
La ecuación de Ondas en R. La fórmula de D’Alembert
I Luego u verifica la ecuación
∂tu + c∂xu = v(x, t) = h(x + ct) + cg0
(x + ct)
u(x, 0) = g(x)
I
u(x, t) = g(x − ct) +
Z t
0
v(x − c(t − s), s)ds
I
u(x, t) = g(x − ct) +
1
2c
Z x+ct
x−ct
(h(y) + cg0
(y))dy
donde y = x − c(t − s) + cs
u(x, t) = g(x − ct) +
g(x + ct) − g(x − ct)
2
+
1
2c
Z x+ct
x−ct
h(y)dy
u(x, t) = F(x + ct) + G(x − ct)
donde
F(x) =
g(x)
2
+
1
2c
Z x
0
h(y)dy
y
G(x) =
g(x)
−
1
Z x
h(y)dy

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Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Existe una función continua f : R → R, tal que
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
para todo x, y ∈ R
I Si. Existen constantes α y β reales tales que f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = cosh(αx) y f(x) = cos(βx).

20. Johnny Cuadro
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Descripción de
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Descripción de
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Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Existe una función continua f : R → R, tal que
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
para todo x, y ∈ R
I Si. Existen constantes α y β reales tales que f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = cosh(αx) y f(x) = cos(βx).
I En efecto: Si x = y = 0, entonces
f(0) + f(0) = 2(f(0))2
Ası́ f(0) = ó f(0) = 1

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problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Existe una función continua f : R → R, tal que
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
para todo x, y ∈ R
I Si. Existen constantes α y β reales tales que f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = cosh(αx) y f(x) = cos(βx).
I En efecto: Si x = y = 0, entonces
f(0) + f(0) = 2(f(0))2
Ası́ f(0) = ó f(0) = 1
I Si f(0) = 0 y y = 0 entonces
f(x) + f(x) = 2f(x)f(0)
para todo x ∈ R de donde f(x) = 0,para todo x ∈ R.

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Problema
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Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Existe una función continua f : R → R, tal que
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
para todo x, y ∈ R
I Si. Existen constantes α y β reales tales que f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = cosh(αx) y f(x) = cos(βx).
I En efecto: Si x = y = 0, entonces
f(0) + f(0) = 2(f(0))2
Ası́ f(0) = ó f(0) = 1
I Si f(0) = 0 y y = 0 entonces
f(x) + f(x) = 2f(x)f(0)
para todo x ∈ R de donde f(x) = 0,para todo x ∈ R.
I Si f(0) = 1 y x = 0, entonces
f(y) + f(−y) = 2f(0)f(y)
de donde
f(y) + f(−y) = 2f(y)
para todo y ∈ R. Ası́ f(−y) = f(y) es decir que f es par.

23. Johnny Cuadro
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Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Existe una función continua f : R → R, tal que
f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)
para todo x, y ∈ R
I Si. Existen constantes α y β reales tales que f(x) = 0, f(x) = 1,
f(x) = cosh(αx) y f(x) = cos(βx).
I En efecto: Si x = y = 0, entonces
f(0) + f(0) = 2(f(0))2
Ası́ f(0) = ó f(0) = 1
I Si f(0) = 0 y y = 0 entonces
f(x) + f(x) = 2f(x)f(0)
para todo x ∈ R de donde f(x) = 0,para todo x ∈ R.
I Si f(0) = 1 y x = 0, entonces
f(y) + f(−y) = 2f(0)f(y)
de donde
f(y) + f(−y) = 2f(y)
para todo y ∈ R. Ası́ f(−y) = f(y) es decir que f es par.

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matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Por la continuidad de f
Z t
−t
f(x + y)dy +
Z t
−t
f(x − y)dy = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
I Z x+t
x−t
f(z)dz +
Z x−t
x+t
f(w)(−dw) = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
para todo x ∈ R.
I Z x+t
x−t
f(y)dy +
Z x+t
x−t
f(y)(dy) = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
de donde Z x+t
x−t
f(y)dy = f(x)
Z t
−t
f(y)dy
para todo x ∈ R.
I Como f es continua y f(0) = 1, entonces existe t > 0, tal que
Z t
−t
f(y)dy > 0

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matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Por la continuidad de f
Z t
−t
f(x + y)dy +
Z t
−t
f(x − y)dy = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
I Z x+t
x−t
f(z)dz +
Z x−t
x+t
f(w)(−dw) = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
para todo x ∈ R.
I Z x+t
x−t
f(y)dy +
Z x+t
x−t
f(y)(dy) = 2f(x)
Z t
−t
f(y)dy
de donde Z x+t
x−t
f(y)dy = f(x)
Z t
−t
f(y)dy
para todo x ∈ R.
I Como f es continua y f(0) = 1, entonces existe t > 0, tal que
Z t
−t
f(y)dy > 0

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funcionales?
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Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Por el TFC, derivando con respecto a x
d
dx
Z x+t
x−t
f(y)dy =
d
dx
f(x)
Z t
−t
f(y)dy
para todo x ∈ R.
f(x + t) − f(x − t) = f0
(x)
Z t
−t
f(y)dy
f0
(x) =
f(x + t) − f(x − t)
R t
−t
f(y)dy
I Por inducción que
f(n)
(x) =
f(n−1)
(x + t) − f(n−1)
(x − t)
R t
−t
f(y)dy
para todo n ∈ N y todo x ∈ R. Ası́ f es continuamente
diferenciable.

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Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Para x = 0, se tien
f(t) − f(−t) = f0
(0)
Z t
−t
f(y)dy
I f0
(0) = 0 y f(0) = 1
I
f0
(x + y) − f0
(x − y) = 2f(x)f0
(y)

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ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Para x = 0, se tien
f(t) − f(−t) = f0
(0)
Z t
−t
f(y)dy
I f0
(0) = 0 y f(0) = 1
I
f0
(x + y) − f0
(x − y) = 2f(x)f0
(y)
I
f00
(x + y) + f0
(x − y) = 2f(x)f00
(y)

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Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Para x = 0, se tien
f(t) − f(−t) = f0
(0)
Z t
−t
f(y)dy
I f0
(0) = 0 y f(0) = 1
I
f0
(x + y) − f0
(x − y) = 2f(x)f0
(y)
I
f00
(x + y) + f0
(x − y) = 2f(x)f00
(y)
I Para y = 0, se tiene que
2f00
(x) = 2f(x)f00
(0)

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Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Para x = 0, se tien
f(t) − f(−t) = f0
(0)
Z t
−t
f(y)dy
I f0
(0) = 0 y f(0) = 1
I
f0
(x + y) − f0
(x − y) = 2f(x)f0
(y)
I
f00
(x + y) + f0
(x − y) = 2f(x)f00
(y)
I Para y = 0, se tiene que
2f00
(x) = 2f(x)f00
(0)
I 


d2
f
dx2 = kf k = f00
(0)
f(0) = 1
f0
(0) = 0

31. Johnny Cuadro
M
Introducción
¿Qué son las
ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Para x = 0, se tien
f(t) − f(−t) = f0
(0)
Z t
−t
f(y)dy
I f0
(0) = 0 y f(0) = 1
I
f0
(x + y) − f0
(x − y) = 2f(x)f0
(y)
I
f00
(x + y) + f0
(x − y) = 2f(x)f00
(y)
I Para y = 0, se tiene que
2f00
(x) = 2f(x)f00
(0)
I 


d2
f
dx2 = kf k = f00
(0)
f(0) = 1
f0
(0) = 0

32. Johnny Cuadro
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funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Si k = 0 entonces d2
f
dx2 = 0 y la solución general
f(x) = c1x + c2
para todo x ∈ R. Entonces
f(x) = 1
para todo x ∈ R.
I Si k 0 f = emx
con m2
= k, entonces
f(x) = c1eαx
+ c2e−αx
para α =
√
k.
I La solución general viene dada por
f(x) =
eαx
+ e−αx
2
= cosh(αx)
para todo x ∈ R.

33. Johnny Cuadro
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ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Si k = 0 entonces d2
f
dx2 = 0 y la solución general
f(x) = c1x + c2
para todo x ∈ R. Entonces
f(x) = 1
para todo x ∈ R.
I Si k 0 f = emx
con m2
= k, entonces
f(x) = c1eαx
+ c2e−αx
para α =
√
k.
I La solución general viene dada por
f(x) =
eαx
+ e−αx
2
= cosh(αx)
para todo x ∈ R.

34. Johnny Cuadro
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¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Enunciado del problema
I Si k 0, el polinomio tiene dos raićes imaginarias, m = ±ı
√
−k,
tomando β =
√
−k, se tiene
f(x) = c1 cos(βx) + c2 sin(βx)
para todo x ∈ R.
I Donde la solución general vien dada por
f(x) = cos(βx)
para todo x ∈ R.

35. Johnny Cuadro
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ecuaciones
funcionales?
¿Cómo surgen?
Problema
matemático
Descripción de
problemas
Descripción de
problemas
Enunciado del
problema
Referencias
Referencias
J.Aczél
Lecture on Functional Equations and Their Applications
Academic Press,New York, London 1966.
A. L. Cauchy
Cours d’Analyse de l’École Royale polytechnique, Premire partie
Analyse algébrique, Parı́s, Francia 1821.
J Fernándes B.
Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Anáalisis no Lineal, Buenos Aires argentina 2016.