TANGENCIAS, ENLACES Y RECTIFICACIONES. Dibujo Técnico I

DT I. 1º BACHILLERATO
TANGENCIAS
ENLACES Y RECTIFICACIONES
M
O1
A
B
O2
r1+r2
T1
T2
T3
T4
t1
t2

T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O O O
r
r
B
A
t
T
EXTERIORES TANGENTES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
SECANTES

O1
O1
O1 O1
O2
O2
O2 O1O2 O
O1
O2
T
T
EXTERIORES INTERIORES
CONCENTRICAS TANGENTES
EXTERIORES
TANGENTES
INTERIORES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
SECANTES

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
o
r (recta TANGENTE)
o1
o2
T
T
Si dos circunferencias son tangentes,
el punto T de tangencia es un punto
que comparten ambas y está en la
recta que une sus centros
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el punto de tangencia T
es el pie de la perpendicular trazada
por el centro O a la recta tangente

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
El radio perpendicular a una cuerda (r)
la divide en dos partes iguales, así como
el arco que ésta subtiende.
De ahí deducimos que
LA MEDIATRIZ DE UNA CUERDA PASA
POR EL CENTRO
O
r
B
A

o
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a
la tangente
T (Punto de tangencia)
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA

o
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
1. Trazamos el radio OT de la
circunferencia, es decir, del
centro al punto de tangencia

o
2. Trazamos la perpendicular al radio OT
desde el punto T. Dicha recta es la
tangente la circunferencia dada

o
r (recta TANGENTE)

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
d
O

1. Trazamos una perpendicular
del centro O a la recta d,
prolongándola hasta cortar
a la circunferencia en dos
puntos, T1 y T2.
d
O
T1
T1

2. T1 y T2 son los puntos de tangencia
de las dos soluciones que buscamos,
las rectas t1 y t2, paralelas a d
en los puntos T1 y T2
d
O
T1
T1

TRAZADO DE LA TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T
DE ELLA, SIN CONOCER EL CENTRO DEL ARCO
T

T
A
B
1. Trazamos desde T, dos arcos
iguales con radio arbitrario
consecutivos, TA y TB

T
A
B
2. Con centro en T y radio TB
trazamos un arco
TB

T
A
B
3. Trazamos el arco AB, que
corta al anterior en C
TB
C

T
t
A
B
4. Unimos C con T y obtenemos la
recta tangente que buscamos
TB
C

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
O
P

MO
P
M
r1
1. Trazamos el segmento OP
y su mediatriz

MO
P
M
T1
T2
2. Trazamos la circunferencia de
radio MO (=MP), que cortará a la
circunferencia dada en los puntos
T1 y T2, puntos de tangencia
de las rectas que buscamos

MO
P
M
T1
T2
r1
t1
t2
r2
3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemos
las rectas tangentes buscadas.
Para comprobar que están trazadas
correctamente, trazamos los
radios r1 y r2, que deben cortar
a t1 y t2 perpendicularmente.

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O1
O2

O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
1.Se traza desde O1 una circunferencia de
radio igual a la diferencia entre O1 - O2

MO1
O2
2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y
se le calcula la mediatriz.
A continuación se traza una circunferencia
con centro en M y radio M-O1,
que corta a la trazada anteriormente
en A y B.
B
O1
r1-r2
r2
r1
r2
A

M
A
B
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
De esta manera estamos simplificando
el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia
(el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)

M
A
B
O1
O2
la de radio O1 menos O2)

M
A
B
T1
T2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
3. Una vez realizadas estas dos tangentes
provisionales, se prolongan los radios O1A
y O1B, hasta que corten a la circunferencia
dada de centro O1. Estos dos puntos serán
T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta
circunferencia.

M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde
O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la
primera solución, la recta tangente t1

M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
T4
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde
O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la
segunda solución, la recta tangente t2

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
O1
O2

O1
O2
1. Este caso es similar al anterior. también se
resuelve simplificando el problema al de
tangencia entre un punto y una
circunferencia, pero en este caso en lugar
de restar los radios de las circunferencias,
los sumamos. De esta manera, trazamos
con centro O1 una circunferencia auxiliar
O3 de radio O1-O2
r1+r2
r1
r2
=O3

M
O1
O2
2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,
y trazamos la circunferencia MO2, que corta
a la circunferencia O3 en los puntos A y B
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3

M
O1
O2
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3
la de radio O1 más O2)

M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
3. Unimos el centro O1 con A y con B, y
dichas rectas cortan a la circunferencia O1
en los puntos de tangencia T1 y T2.
=O3

M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
t1
4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde
O2, pero en este caso por el lado contrario
del centro O2, obtendremos el punto de
tangencia T3
=O3

M
O1 =O3
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
T4
t1
t2
5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde
O2, También por el lado contrario del centro
O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y
uniendo T2 y T4 obtendremos la recta
tangente t2

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
R

r
T
O1
O2
R
R

r
T
O1
O2
R
R
R
R

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
r
T
P

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
r
T
P
o

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
P
R

r
P
R
R

r
R
R
P
O1 O2
r

r
R
R
P
O1
T1 T2
O2
R

r
P
O1
T1 T2
O2
R
R
R

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
r
R

s
r
R
R
R

s
O1
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R

s
O1
T1
T8
T7
T6
T5
T4
T3
T2
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA EN UNA DE ELLAS
s
r
T

s
r
T O

s
r
T
O1
O2
O

s
r
T
O1
T1
T2
O2
O

b c
A
C
B
a
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN DOS A DOS

b c
A
C
B
a
1.Se trazan las bisectrices tanto interiores como exteriores de los ángulos que se forman al cortarse las tres rectas

2.Las bisectrices interiores se cortan en el punto P (INCENTRO del triángulo que forman a, b y c), y las exteriores
se cortan en E, D y F. Esos cuatro puntos son los centros de las cuatro soluciones
b c
A
P
E
F
D
C
B
a

3. LOS PUNTOS DE TANGENCIA se obtienen trazando desde P, E, D y F
las perpendiculares a cada una de las rectas a, b y c
b c
A
P
E
F
D
C
B
a

4. Trazamos las circunferencias desde los centros hallados hasta los puntos de tangencia correspondientes
b c
A
P
E
F
D
C
B
a

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS r, s Y t CUANDO AL MENOS
DOS RECTAS SE CORTAN FUERA DEL DIBUJO
r
t
s

r
t
s
d
d

r
t
s
O
d
d

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
T
R
O

O
T
R

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADOS EL PUNTO DE TANGENCIA
O
O1
O2
T
R
R
T

O
O1
O2
T
R
R

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
Y QUE PASA POR UN PUNTO EXTERIOR P
O
P
T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
O
P
T
o1

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA, DADO EL PUNTO DE TANGENCIA T
O
P
T
o1

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA, QUE PASEN POR UN PUNTO P,
DADO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
R
O
P

Or
R+r
R
P

Or
R+r
R-r
R
P

Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
o4
P

Or
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3
T2
o4
P

O
P
r
R+r
R
R-r
R o1
o2
o3
T1
T4
T3
T2
o4

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA R
R
O
r

R
R
O
r

R
R
r
O
r
O1 O2
R+r

R
R
r
rR-r
O
O4O3
R+r
O1 O2

R
R
r
rR-r
O
O4O3
T2T1
R+r
O1 O2
T3T4

R
R
r
r
R+r
R-r
O
O4O3
T3T4
T2T1O1 O2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA Y A UNA RECTA DADA r,
DADO EL PUNTO DE TANGENCIA t EN LA CIRCUNFERENCIA
O
r
T

O
P
r
O
T
O

O
T
r
P
O1

O
T
r
P
O2
O1

O
T
r
P T1T2
O2
O1

O
R
T
r
P T1T2
O2
O1

ENLACES
Se llama enlace o empalme, en los trazados
geométricos, a la unión de rectas con curvas
o de curvas entre sí, efectuadas por medio de
su punto de tangencia.
Este punto común es el que permite la transición
suave de unas a otras sin brusquedades
de ningún tipo.
r T
T1
O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1
R1
T
O1
P
O

ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s

ENLACES
r T
s
Sabemos que el arco que buscamos
será tangente a r en T, por tanto su
centro estará en la perpendicular a r
trazada desde T

ENLACES
r T
O
s
También sabemos que el centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman

ENLACES
r T
T1
O
s
Para hallar el punto de tangencia en s,
trazamos la perpendicular a s desde O

ENLACES
r T
T1
O
s
Teniendo O, T y T1, podemos
trazar el arco que enlaza r y s

ENLACES
R
r
s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA

ENLACES
R
r
s
El centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
que dichas rectas forman

ENLACES
R
O
r
r
r
s
El arco de radio R será tangente a las rectas
r y s en aquellos puntos donde dos de sus
radios sean perpendiculares a r y s
respectivamente, por tanto el centro O
estará a distancia R de las dos rectas,
es decir, en la unión de las paralelas
a r y s a la distancia R

ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Para calcular los puntos de tangencia,
trazamos perpendiculares desde O a r y s
r
r

ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia,
podemos trazar el arco de enlace entre r y s
r
r

ENLACES
T1
T1
T2
T2
O
O
r r
s s
En el problema anterior, si no conocemos el vértice
del ángulo entre r y s, trazando las paralelas
obtenemos el punto O
Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectriz
del ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia
R y obtendremos el centro O
r r
r

ENLACES
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
s
T

ENLACES
r
d
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco
tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
que dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vértice
de dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente
a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice V
cuya bisectriz coincide con la de r y s

ENLACES
r
d
d
s
T
OV
Para calcular el centro del arco
que buscamos trazamos por T
una perpendicular a la bisectriz
hallada anteriormente.
Donde dicha perpendicular corta
a la bisectriz está el centro O
del arco que buscamos

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazando una perpendicular a s desde O
conseguimos el otro punto de tangencia T1

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazamos el arco OT

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de
r-arco-s

ENLACES
O
s
R
R1
ENLACE ENTRE UNA RECTA s Y UN ARCO DE RADIO R1
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (EXTERIOR)

ENLACES
O
s
R
R
R1

ENLACES
O
O1
s
R
R
R+R1
R1

ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R
R+R1
R1

ENLACES
O
O1
T1
T2
s
R
R
R+R1
R1

ENLACES
MEDIANTE UN ARCO DE RADIO R (INTERIOR)
O
s
R
R1

ENLACES
O
s
R
R
R1

ENLACES
O
s
R
R
R-R1
O1
R1

ENLACES
O
s
R
R
R-R1
O1
T1
T2
R1

ENLACES
O
s
R1
R
R
R-R1
O1
T1
T2

ENLACES
ENLACE DE UN ARCO CON OTRO EN UN PUNTO T Y QUE ADEMÁS PASA POR
UN PUNTO P EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
P
O

ENLACES
O
T
P

ENLACES
O
T
P
O

ENLACES
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
TP
O

ENLACES
UN PUNTO P INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA
T
O1
P
O

ENLACES
O
T
ENLACE DE UN ARCO DE RADIO R CON
UNA RECTA r SABIENDO QUE EL PUNTO
T DE LA RECTA ES DE TANGENCIA

R
R
ENLACES
O
T
1ª SOLUCIÓN

R
ENLACES
O
T
O1
R
1ª SOLUCIÓN

R
ENLACES
O
T
T1
O1
R
1ª SOLUCIÓN

R
ENLACES
O
T
R
2ª SOLUCIÓN

R
ENLACES
O
T
O2
R
2ª SOLUCIÓN

R
ENLACES
O
T
T2
O2
R
2ª SOLUCIÓN

ENLACES
ENLACE DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA POR MEDIO DE UN ARCO DE RADIO R DADO
O2
O1
R

ENLACES
O2
O1
O3
R
R1-R
R2-R

ENLACES
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2

ENLACES
O1
O3
T1
T2
R
R1-R
R2-R
O2
O4

ENLACES
O1
O3
O4
T1
T2
T4
T3
R
R1-R
R2-R
O2

ENLACES
UNIÓN DE DOS RECTAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y C DE TANGENCIA
C
B
A

ENLACES
C
B
A
7
1 2 3 4 5 7
6
5
4
3
2
1
6

ENLACES
C
B
A
7
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1

ENLACES
O2
B
A
O1
UNIÓN DE DOS CURVAS POR MEDIO DE UNA CURVA PARABÓLICA,
DADOS LOS PUNTOS A Y B DE TANGENCIA

ENLACES
O2
B
A7 6 5 4 3 2 1
O1

ENLACES
O2
B
A7
1
2
3
4
5
6
7
6 5 4 3 2 1
O1

RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
B

RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA
A
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13
14
15
17
16
A
B
B

RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
O

O1 2 3 4 5 6 7
RECTIFICACIONES

O1 2 3 4 5 6 7
1/7
RECTIFICACIONES

O1 2 3 4 5 6 7
1/7
2pr
RECTIFICACIONES

RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE LA SEMICIRCUNFERENCIA
1er PROCEDIMIENTO
O
B
A

O
B
r
A
RECTIFICACIONES
1er PROCEDIMIENTO

Triángulo inscrito
en la circunferenciaO
B
C
r
A
A
C B
RECTIFICACIONES
1er PROCEDIMIENTO

O
D
L3
B
C
r
Triángulo inscrito
en la circunferencia
A
A
C B
RECTIFICACIONES
1er PROCEDIMIENTO

Cuadrado inscrito
A
B
C
E
rD
L3
L4
A
D
C
B
F
RECTIFICACIONES
1er PROCEDIMIENTO

Cuadrado inscrito
A
pr
B
C
E
F rD
L3
L4
A
D
C
B
RECTIFICACIONES
1er PROCEDIMIENTO

RECTIFICACIONES
2º PROCEDIMIENTO
O

RECTIFICACIONES
2º PROCEDIMIENTO
O
A

RECTIFICACIONES
2º PROCEDIMIENTO
O
30º
B
A

RECTIFICACIONES
2º PROCEDIMIENTO
O
B
R
R R R
30º
A

RECTIFICACIONES
2º PROCEDIMIENTO
O
B C
A
R
R
pr
R R
30º

RECTIFICACIONES
RECTIFICACIÓN DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA
O

O
1
1
A
B
RECTIFICACIONES

O
1
A
B
2
RECTIFICACIONES

O
1
2
A
B
RECTIFICACIONES

O
1
2
3
A
B
RECTIFICACIONES

O
1
2
4
3
A
B
RECTIFICACIONES

O
1
2
4
3
A
B
pr/2
RECTIFICACIONES

Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
1. Trazamos el CUADRADO correspondiente
A
D
B
C
T8. TANGENCIAS EJERCICIOS

2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado
A
D
B
C

3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado
desde la mitad de cada uno de los lados
A
D
B
C

4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del
cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz
de AB
A
D
B
C
O1

5. Dibujamos la circunferencia de centro O1
A
O1
T1 T2
T3
D
B
C

6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centros
de circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado
trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC en
O2, O3 y O4
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C

7. Trazamos el resto de circunferencias
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C

Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
O1
O2

1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadas
aumentando sus radios 15 mm.
O1
O2 r2 + 15
r1 + 15
r2
r1

2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son los
centros de las circunferencias tangentes buscadas
O1
O4
O3
O2

3. Unimos los centros de las circunferencias dadas con
los de las circunferencias tangentes, así obtenemos los
puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para
trazar las circunferencias resultado
O1
O4
O3
T1 T2
T4
T3
O2

4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a las
circunferencias dadas.
O1
O4
O3
O2
T1 T2
T4
T3

Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
12
28
56
46
12

1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección de
ambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.
de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)
14
23
12
28
56
46
12

2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos,
a 56 mm de distancia en el eje mayor
14
23
56
12
28
56
46
12

2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos de
circunferencia de los extremos (12 mm. de radio).
12
6
56
12
28
56
46
12

3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1
T2
12
28
56
46
12

56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12

56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12

P
R
50
46
14
18
42
P
O
Dibujar la pieza cullo croquis se acompaña partiendo de la posición del punto P y la circunferencia de
diámetro 46. Dejar todas las construcciones auxiliares necesarias para el trazado.

R
9
P
R
50
46
14
18
42
P
O

R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
O

R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
O
T8. TANGENCIAS EJERCICIOST8. TANGENCIAS EJERCICIOS

R
9
P
P
T1
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R 23O
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T2

R 23
R
9
P
P
O1
T1
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
O
23
50
27
50 -23 = 27
P
O
T2

R 23
R
9
P
P
O
O1
T1
T2
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
R 23
23
50
27
50 -23 = 27
P
O

R 23
R
9
P
P
O1
T1
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
O
T2
23
50
27
50 -23 = 27
P
O

R 23
R
9
P
P
O1
T1
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
O

R 23
R
9
P
P
O1
T1
T3
T2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
14
O

R 23
R
9
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
50
42
14
O

R 23
P
P
O1
T1
T3
T2
M2
M1
R
50
46
14
18
42
R 27
R
9
R
50
42
14
O

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