4. Rapidez de la variación Dada una función como y=x2, derivando mediante la aplicación de la regla general, resulta: y+∆y= (x+∆x)2 y +∆y =x2 +2x∆x + (∆x)2 ∆y = 2x∆x + (∆x)2 3. ∆y =2x +∆x ∆x
5. Si antes de dar el cuarto paso para obtener la derivada, consideramos por ejemplo que x = 2y∆x = 0.8, la ecuación 3 se convierte en ∆y = 4.8, por lo que podemos afirmar que la ∆x rapidez media de variación y con respecto a x, equivale a 4.8, cuando x aumenta de x=2 a x=2.8. De manera general se dice que ∆y es la rapidez media de ∆x variación de y con respecto a x, cuando x varia de x a x +2x. Así en el caso de la función:
6. y = ax + b ecuación de la recta y + ∆y = a(x +∆x) + b ∆y = a∆x ∆y = a ∆x Se puede concluir que la rapidez media de variación de y con respecto a x es igual a la pendiente a de la recta y es constante. Es decir, se trata de una rapidez constante de variación. Mas si tomamos la primera función dada, es decir y = x2 , a partir del paso 3 de la aplicación de la regla general, tenemos:
7. ∆y= 2x +∆x ∆x Al considerar que el intervalo de x a x + ∆x disminuye cuando ∆x -> 0; la rapidez media de variación de y con respecto a x se convierte en rapidez instantánea de variación de y con respecto a x. Por consiguiente, viene a ser el límite de la razón de los incrementos, es decir, la derivada: dy= rapidez instantánea de variación dx de y con respecto a x para un valor determinado de x.
8. Entonces como lim∆y = dy ∆x dx ∆x-> 0 dy = 2xrapidez instantánea de variación dx Por ejemplo, si x= 2, la rapidez instantánea de variación de y seria 4 unidades por unidad de variación de x. Comúnmente se omite la palabra instantánea, y algunos autores se llaman “razón de cambio” o “rapidez de cambio”.
9. Interpretación geométrica de la rapidez de variación Dada la función y = f(x), haciendo la grafica correspondiente se tiene:
10. ___ ___ ___ ___ si x crece de OM a ON entonces y crece de MP a NQ. La rapidez media de variación de y con respecto a x es igual a la pendiente __ de la tangente PT, es decir, m = tg ά
11. Velocidad en el movimiento rectilíneo La velocidad esta expresada por la formula Velocidad = distancia , v = e tiempo t por lo que si consideramos que un punto A se mueve sobre una recta, ocupando las posiciones A y A’ :
12. S ∆S 0 A A’ La razón entre el incremento de la distancia (∆s) y el incremento del tiempo (∆t) es la velocidad media de variación en ese intervalo. Es decir: Velocidad media = v = ∆s ∆ t
13. Mas, si tomamos el limite de esa velocidad media, cuando el intervalo tiende a ser infinitamente pequeño, esto es, si ∆s -> 0 y ∆t -> 0, resulta: Velocidad = lim∆s ∆t -> 0 ∆t Es decir v= ds dt La velocidad será positiva cuando s sea creciente y negativa en el caso contrario. Empero, lo común es considerar que la velocidad que expresada por su valor numérico, sin tener en cuenta el signo.
14. Aceleración en el movimiento rectilíneo Sabemos que la aceleración de un móvil es la variación de su velocidad. Entonces, la aceleración de un punto que se mueve sobre una recta será la variación de su velocidad. Es decir: Aceleración = a = dv dt y como v= ds dt aceleración = a = dv = d2 s dt dt2
15. Problemas Ejemplo En forma experimental se ha demostrado que si un cuerpo cae libremente en el vació, a partir del reposo y hacia la superficie de la tierra, obedece, aproximadamente, a la ley expresada para la formula s=4.9 t2, en la que s representa la distancia recorrida en metros y t el tiempo en segundos. Calcular la velocidad y la aceleración en cualquier instante, al cabo de 2 segundos y al final de 10 segundos. Solución: en un instante cualquiera: v= ds = 9.8 t v= 9.8 t m por segundo dt a = dv= d2s = 9.8 = s a = 9.8 m por segundo2 dt dt2 Al cabo de 2 segundos: v= 9.8 (2) =19.6 v=19.6 m por segundo a= 9.8 m seg.2 Al cabo de 10 segundos: V= 9.8 (10) =98 V=98 m por segundo A=9.8 m seg.2
16. . x Q (x + ∆x, t + ∆t) ∆x θ P(x, t) t 0 t ∆t t + ∆t Desplazamiento, velocidad y aceleración . Derivada de una función "Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto." Si una función es discontinua en un punto no puede ser derivable en dicho punto. Hay funciones continuas que no son derivables (por ejemplo, y = |x| en x=0).
17. Interpretación geométrica de la derivada (problemade la tangente a f(a) y–f (a)=f '(a)(x–a) y= f (x) La derivada de una función f en un punto a: f '(a), es la Pendiente 1 de la recta tangente a la gráfica de dicha función en el punto (a, f(a)). La recta tangente a y = f(x) en el punto (a, f(a)) tiene como ecuación: y–f (a) = f '(a)(x–a)
18. Movimiento El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición. En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula). Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia. El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.
19. Desplazamiento, velocidad y aceleración Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t. La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo.
20. Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t.
21. La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente. Conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite. Por la ecuación, se considera que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento. Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.
22. Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido , en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo. También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad instantánea que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,…
23. Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de axconforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vxcon respecto a t, como la segunda derivada de x con respecto a t: En consecuencia, se puede decir que la aceleracióninstantánea es la rapidez de variación de la velocidadinstantánea. Si se graficara la velocidad vx como función del tiempo (y no del desplazamiento), se encontraría que la pendiente dvx/dt en cualquier punto sería igual a la aceleración instantánea en el tiempo correspondiente.
24. Escribiendo dv/dt = (dvx/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dvx/dt por dx/dx (es decir, por la unidad), se obtiene: Se verá que esta relación sirve para encontrar el desplazamiento en términos de la velocidad, o viceversa.
