Tema i introduccion a la geometria analitica matematica i iutajs

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos
geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de
manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una
interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en
forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del
álgebra se puede aplicar a la geometría y aprovechar la capacidad que tiene el hombre de
comprender diferentes fenómenos a través de la vista (un imagen vale más que mil palabras).
Hoy se conoce que el matemático francés Pierre de Fermat elaboró las primeras ideas acerca de
este asunto (en 1629) y unos años más tarde (en 1637) otro francés, René Descartes, publicó su
obra “Geometrie” en la cual hizo referencia a la misma idea de un “plano coordenado” en el cual
cada punto tuviera una dirección numérica. Este plano coordenado ha recibido el nombre de
“plano cartesiano” (en honor a Descartes).
EL PLANO COORDENADO
Consideremos dos rectas reales como la anterior: una horizontal y otra vertical, de modo que se
intersequen en los respectivos orígenes. Estas dos rectas determinan un plano que llamamos
“plano coordenado” o también “plano cartesiano”. A la recta horizontal la llamaremos “eje de
las x” o “eje de las abscisas” y a la recta vertical “eje de las y” o “eje de la ordenadas”. El origen
común lo designamos con la letra O y lo llamamos “origen del sistema coordenado” o,
simplemente, “origen”. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones que se llaman
“cuadrantes” y se numeran como se muestra en la propia figura mostrada arriba.
1 x
y
1
O
El plano cartesiano.
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante III Cuadrante IV
-1
-1

PUNTOS EN EL PLANO
EJERCICIO: Represente los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano y explique el
procedimiento aplicado: A (3, 2); B (0,-3); P (2, 3) y Q (3, 2)
EJERCICIO: De una característica de los puntos que están sobre los ejes coordenados:
Eje x: __________________________________________
Eje y: __________________________________________
FÓRMULA DE LA DISTANCIA
Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la distancia que los
separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es consecuencia directa del teorema de
Pitágoras. Consideremos que los puntos conocidos son P(x1, y1) y Q(x2, y2) y se quiere hallar la
distancia entre P y Q según la figura de abajo:
3 x
y
1
O 1 2
2
3
-3
-3
-2
-1
-1-2
x
y
P(x1, y1)
O
Distancia entre dos puntos
Q(x2, y2)
R
y2 – y1
x2 – x1

En la figura dada arriba tenemos que los puntos P y Q se han representado en el plano y se
muestra el segmento PQ cuya longitud se desea hallar. El segmento PQ es la hipotenusa del
triángulo rectángulo PQR. Los catetos de este triángulo miden respectivamente x2 – x1 y
además y2 – y1. Los módulos se requieren porque estas diferencias pudieran ser negativas, y
aquí estamos calculando longitudes, las cuales no admiten valores negativos.
Llamemos d(P, Q) a la distancia entre estos puntos. Al aplicar el teorema de Pitágoras al
triángulo rectángulo PQR se obtiene para la distancia entre P y Q:
   2
12
2
12),( yyxxQPd 
EJERCICIO: Halle la distancia entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).
SOLUCIÓN: Sean 3,4,2 121  yxx y .22 y Luego, aplicando la fórmula de distancia
entre dos puntos:
    
   
   
61),(
2536),(
56),(
3224),(
3224),(
22
22
22





QPd
QPd
QPd
QPd
QPd
FÓRMULA DEL PUNTO MEDIO
Otra importante fórmula que vale la pena deducir y recordar, es la que permite hallar las
coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos se conocen. Sean los puntos
P(x1, y1) y Q(x2, y2) los extremos de un segmento. Llamemos M(x, y) al punto medio del
segmento PQ, que se muestra en la figura de abajo:
x
y
P(x1, y1)
O
Punto medio entre dos puntos
Q(x2, y2)
M(x, y)
x1 x2x

EN RESUMEN: La fórmula para hallar las coordenadas del punto medio del segmento PQ es:





 

2
,
2
),( 2121 yyxx
QPPM .
OBSERVACIÓN: Nótese que la proyección horizontal de M es exactamente el punto medio de
la proyección horizontal del segmento PQ. Lo mismo sucede para las proyecciones verticales.
Como el número central entre dos números es simplemente su promedio, resulta:
)( 212
1
xxx  y )( 212
1
yyy 
EJERCICIO: Halle el punto medio entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).
SOLUCIÓN: Sean 3,4,2 121  yxx y .22 y Luego, aplicando la fórmula del punto
medio:
 












 






 

2
1
,1),(
2
23
,
2
2
),(
2
23
,
2
42
),(
QPPM
QPPM
QPPM
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Sean los puntos A (2, 3), B (4, 1) y C (–1, 1). Halle la longitud de la mediana
correspondiente al vértice C del triángulo ABC.
2. Determine la distancia entre los puntos:
a) )3,4(  y )1,1(
b) )2,1( y )3,2( 
3. Determine el área y el perímetro de la figura determinada por los puntos )1,3(  , )3,1( ,
)3,7( y )1,5( 
4. Determine el punto medio del segmento de recta con los puntos extremos 




 
4
3
,
3
7
,





 
4
9
,
3
5

CURVAS Y ECUACIONES
Después de los puntos, los objetos matemáticos más simples son las curvas (suponiendo que una
recta es un tipo especial de curva). Sin embargo, una curva, por más sencilla que pueda parecer,
está formada por infinitos puntos. Por suerte, muchas curvas tienen la característica de que todos
sus puntos cumplen una cierta condición; si esta condición la podemos representar mediante una
ecuación, entonces decimos que dicha ecuación es “la ecuación de la curva” y también que “la
curva es la gráfica de la ecuación”.
En las secciones que sigue se abordarán dos de las curvas más importantes, por su simplicidad
geométrica y por su utilidad: las circunferencias y las rectas.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia es la región del plano en la cual todos los puntos están a igual
distancia fija de uno interior llamado centro. El punto interior es llamado centro C de la
circunferencia y la distancia fija es llamada radio r, veamos la figura de abajo:
Para hallar la ecuación de la circunferencia necesitamos expresar la definición anterior mediante
una ecuación. Antes que nada, hay que referir todos los elementos de la definición a un sistema
cartesiano, como aparece en la figura:
De la fórmula de distancia tenemos que:
   22
),( kyhxCPd 
Y como la distancia es el radio r, tenemos que:
   22
kyhxr 
Elevando al cuadrado ambos miembros nos queda que:
   222
kyhxr 
Que es la ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) y radio r.
C
P
La circunferencia
r
C(h, k)
P(x, y)
La circunferencia
r
x
y

EJERCICIO: Halle la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 2) y radio 4. Determine
las coordenadas de los puntos en que esta circunferencia corta a los ejes coordenados.
SOLUCIÓN: Como el centro es C(3, 2), entonces h=3 y k=2 y como el radio es r=4, usando la
ecuación anterior tenemos que:
   222
234  yx
Desarrollando nos queda que:
   
3460
1613460
134616
449616
22233216
22
22
22
22
2222





yxyx
yxyx
yyxx
yyxx
yyxx
La figura muestra dicha ecuación gráficamente:
¿Cualquier ecuación de segundo grado con estas características, será la ecuación de una
circunferencia?
EJERCICIOS PROPUESTOS: Dada la ecuación que sigue, determine si su gráfica es una
circunferencia. En caso de que lo sea, halle su centro y su radio y trácela.
a) 0662 22
 yyxx
b) 01462 22
 yyxx
c) 0114622
 yxyx
d) 091222 22
 yyx
EJERCICIO: Determine la ecuación estándar de la circunferencia, cuyos extremos de un
diámetro son (1, 3) y (5, 7).
3
C(3,2)
P(x, y)
La circunferencia
r=4
x
y
2

LA RECTA EN EL PLANO
PENDIENTE DE UN SEGMENTO
Consideremos un segmento de recta determinado por dos puntos del plano según la figura de
abajo P1( 1x , 1y ) y P2( 2x , 2y ). La pendiente de este segmento es un número real que mide la
inclinación del segmento.
DEFINICIÓN DE PENDIENTE: La pendiente m del segmento no vertical determinado por
los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, 2y ) es el número:
12
12
xx
yy
m


 ya que ella está relacionada con
tangente del ángulo, es decir, con tan(θ) definido de acuerdo con las razones trigonométricas.
RAZONE SOBRE LO SIGUIENTE:
¿Un segmento vertical tendrá pendiente?, explique su respuesta: _________________________
¿Un segmento horizontal tendrá pendiente?, explique su respuesta: _______________________
EJERCICIO: Hallar la pendiente entre los puntos A = (–2, 3) y B = (4, –2).
SOLUCIÓN: Usemos la fórmula de la pendiente tenemos que como 3,4,2 121  yxx y
22 y :
 
6
5
24
5
24
32







m
m
m
P1
x1
P2
x2
y2
y1
x
y
Segmento P1P2

EJERCICIOS PROPUESTOS: Calcule la pendiente de los siguientes segmentos. Trácelos y
clasifíquelos en crecientes, decrecientes u horizontales.
a) Segmento AB, donde A = (5, 1) y B = (2, 3).
b) Segmento PQ, donde P = (–1, 1) y Q = (4, 2).
c) Segmento MN, donde M = (3, 2) y N = (–5,2).
FORMA PUNTO - PENDIENTE DE LA RECTA
A partir de la gráfica, deducimos la ecuación de la recta
en su forma punto pendiente, a partir de que la recta pasa
por el punto  110 , yxP  y tiene pendiente m:
Como la pendiente es:
1
1
xx
yy
m



Transponiendo términos nos queda que:
 11 xxmyy 
EJERCICIO: Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (–2, 3) y tiene pendiente 0,5.
Halle los puntos en que la recta corta a los ejes coordenados.
SOLUCIÓN: Como 3,2 11  yx y 5,0m , entonces de acuerdo con la ecuación punto-
pendiente tenemos que:
  
 
45,0
315,0
15,03
25,03
25,03





xy
xy
xy
xy
xy
FORMA PENDIENTE – INTERSECCIÓN
Dada la gráfica, deducimos la ecuación de la recta en la
forma pendiente – intersección con el eje y. De la
ecuación anterior  ,0 xmby tomando el punto
por donde pasa la recta (0,b), despejando tenemos que:
bmxy
mxby


P(x, y)P0
x
y
Forma punto - pendiente
x0
y0
Pendiente: m
L
x
y
b
Pendiente: m
Forma pendiente -intersección y

EJERCICIO: Trace la recta y = 2x – 1
RECTAS VERTICALES Y HORIZONTALES
En el caso de los segmentos y las rectas verticales el concepto
de pendiente no se define. Establezca una característica para las
rectas verticales, les puede ayudar, la recta que pasa por x = 2,
como se muestra en la figura. Por lo tanto, las rectas verticales
poseen ecuaciones del tipo: x =2
El caso de las rectas horizontales es más sencillo porque ellas sí
poseen pendiente. Su pendiente es 0. Haciendo m = 0 en
cualquiera de las ecuaciones vistas anteriormente se aprecia que
la ecuación de las rectas horizontales tiene la forma: y =-1.
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas es muy simple determinar cuando se trata de
rectas paralelas, pues en ese caso sus pendientes son idénticas. La perpendicularidad entre rectas
no es tan obvia: se requiere que las pendientes satisfagan la condición: m1m2 = –1. Esta
condición puede probarse por varias vías; la más simple es mediante el uso de vectores, tema
que veremos posteriormente.
EJERCICIO: Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y es perpendicular a la
recta y = 2x – 3.
EJERCICIOS VARIADOS
1. Exprese el intervalo  13/  xRxI , en sus diferentes formas.
2. Exprese en notación modular el intervalo  8,4 .
3. Trace cada par de puntos en el plano coordenado y halle la distancia entre ellos:
a) (3, –1) y (6; 3) b) (–3, 1) y (8, 13)
c) (4, 3) y (2; 5) d) (–2, 5) y (5, 3)
4. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (4, 3), (–3, 4) y (9, 8) es isósceles.
5. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son (2,–3), (4, 1) y (8, –1) es rectángulo.
6. Encuentre el punto del eje de las x que equidista de (4, 1) y (7, 4).
7. Encuentre la distancia entre los puntos medios de los segmentos AB y CD, donde A = (0, 2),
B = (1, 5), C = (3, 6) y D = (2, 3).
8. Se tiene los puntos  baP , y  7,6 Q ; si el punto medio entre ellos es 




 

2
1
,2 ,
determinar las coordenadas del punto  baP , .
9. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de forma tal, que la
distancia al eje y es igual que la distancia al punto (4, 0).
10. Halle la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones:
x
y
y = – 1 – 1
2

a) Centro en (1, –2), radio 6. b) Centro en (–3, 4), radio 8.
c) Centro en (2, –1), pasa por (5, 3). d) Centro en (4, 3), pasa por (6, 2).
e) Diámetro AB, donde A = (–1, 2) y B = (3, 8).
11. En los siguientes casos, determine el centro y el radio de cada circunferencia y trace la
misma en un sistema coordenado.
a) 02521022
 yxyx b) 16622
 xyx
c) 0351222
 yyx d) 0101022
 yxyx
12. Los puntos (1, 3), (5, 3), (5, –1) y (1, –1) son los vértices de un cuadrado. Halle las
ecuaciones de las circunferencias inscrita y circunscrita.
13. Demuestre que las siguientes circunferencias no se intersecan 0114222
 yxyx
y 072201222
 yxyx .
14. En cada inciso, halle la pendiente de la recta que contiene los dos puntos dados.
a) (2, 2) y (4, 7) b) (4, 2) y (8, 3) c) (5, 2) y (4, 0) d) (2, –5) y (0, 5)
15. Halle la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes condiciones. Escriba su respuesta
en forma simplificada. Trace la recta.
a) Pasa por (2, 3) y tiene pendiente 4 b) Pasa por (3, –4) y tiene pendiente –2
c) La intersección y vale 4 y la pendiente es –2 d) La intersección es 3 y la pendiente es 0
e) Pasa por (4, 8) y (2, 3) f) Pasa por (4, 1) y (8, 2)
16. En cada inciso, halle la intersección x, la intersección y y la pendiente de la recta dada.
Trace la recta.
a) 423  xy b) 252  xy c) 2x + 3y = 6 d) 4x + 5y = –20
17. Escriba la ecuación de la recta que pasa por (3; –3) y satisface, además, la condición dada.
Trace la recta en cada caso.
a) Es paralela a la recta y = 2x + 3 b)Es perpendicular a la recta y = 2x + 3
c) Es paralela a la recta 2x + 3y = 6 d)Es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6
e) Es paralela a la recta que pasa por (–1, 1) y (3, –2) f) Es paralela a la recta x = 6
g) Es perpendicular a la recta x = 6
18. El punto (3, 10) ¿está arriba o debajo de la línea y = 3x – 1?
19. En cada caso, halle las coordenadas del punto en que las rectas se intersecan. Después, halle
la ecuación de la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la primera de las rectas
dadas. a) 2x + 3y = 6 y –3x + y = 5 b) 5x – 2y = 5 y 2x + 3y = 6
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números
naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. Volume 6. Spanish
Edition. ISBN-10: 1505270146. https://www.createspace.com/5137020
 James Steward. 1994. Cálculo. Grupo Editorial Americana.
 Leithold, L. 1992. El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.
 Larson, Hostetler, Edwards. 1991. Calculus with Applications. Mc Graw Hill.
 Purcell y Vargerg. 1992. Calculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.
 Zill, D. 1985. Calculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.
“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”
Siddhartha

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