1. 1
Ecuaciones y Resolución deEcuaciones y Resolución de
Ecuaciones LinealesEcuaciones Lineales
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2. 2
Objetivos:Objetivos:
1. Definir el concepto de variable.
2. Definir el concepto de ecuación.
3. Clasificar ecuaciones en lineales y no lineales.
4. Definir los conceptos de : conjunto solución,
ecuaciones equivalentes, identidades,
ecuaciones inconsistentes y condicionales.
5. Aplicar las propiedades de las ecuaciones
para resolver ecuaciones lineales con una
variable.
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3. 3
DefiniciónDefinición
UnaUna variablevariable es un símbolo o letra que se usaes un símbolo o letra que se usa
para representar números o cantidades en unapara representar números o cantidades en una
expresión matemáticaexpresión matemática ..
Ejemplo:Ejemplo:
En la expresiónEn la expresión 5xy + 3a5xy + 3a , las letras, las letras
x,y,ax,y,a se consideran variables.se consideran variables.
DefiniciónDefinición
UnaUna ecuaciónecuación es una relación de igualdad quees una relación de igualdad que
contiene al menos una variable.contiene al menos una variable.
DefiniciónDefinición
Una ecuación con variableUna ecuación con variable xx que se puedeque se puede
reducir a la formareducir a la forma ax = bax = b se le llamase le llama
ecuación líneal.ecuación líneal. © copywriter

4. 4
Ejemplos de ecuacionesEjemplos de ecuaciones
712.1 =+x LINEALLINEAL1 VARIABLE1 VARIABLE
04.2 2
=−x 1 VARIABLE1 VARIABLE
NO LINEALNO LINEAL
CUADRÁTICACUADRÁTICA
32.3 =− yx 2 VARIABLES2 VARIABLES LINEALLINEAL
4.4 22
=+ yx 2 VARIABLES2 VARIABLES NO LINEALNO LINEAL
CUADRÁTICACUADRÁTICA
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5. 5
5. 6 6x x= 1 VARIABLE1 VARIABLE
6. 3 4 2 0x y z− + = 3 VARIABLES3 VARIABLES
LINEALLINEAL
LINEALLINEAL
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6. 6
DefiniciónDefinición
El valor o valores de las variables que hacenEl valor o valores de las variables que hacen
cierta una ecuación se llamancierta una ecuación se llaman soluciones.soluciones.
Ejemplos:Ejemplos:
712.1 =+x soluciónunaes3, =x
( ) 712 =+3
77 =
04.2 2
=−x 2y2, −== xx
Aclaración: Verifica que son soluciones.Aclaración: Verifica que son soluciones.
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7. 7
Definición
El conjunto de todas las soluciones de unaEl conjunto de todas las soluciones de una
ecuación se llamaecuación se llama conjunto soluciónconjunto solución.
Definición
Se dice que dos ecuaciones sonSe dice que dos ecuaciones son equivalentesequivalentes sisi
tienen el mismo conjunto de soluciones.tienen el mismo conjunto de soluciones.
3 6
2 4
x
x
=

+ =
Ejemplo:Ejemplo:.
2
2
=
=
x
x
{ }
Ejemplo: 2 1 7
Conjunto Solución es 3
+ =x
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8. 8
Tipos de ecuacionesTipos de ecuaciones
Las ecuaciones se pueden clasificar en tres tiposLas ecuaciones se pueden clasificar en tres tipos
dependiendo de su conjunto de soluciones.dependiendo de su conjunto de soluciones.
1.1. Identidades :Identidades :
Las identidades son ecuaciones ciertasLas identidades son ecuaciones ciertas
para todo valor posible de la variable.para todo valor posible de la variable.
1. 3 3
2.
Ejempl
3 3
:
2
o
2
x x
x x
=
− = −
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9. 9
2. Ecuaciones InconsistentesEcuaciones Inconsistentes:
Las ecuaciones inconsistentes son ecuacionesecuaciones inconsistentes son ecuaciones
falsas para todo valor posible de la variable.falsas para todo valor posible de la variable.
1. 3 2 3 5
2. 2 3 2 3
Ejemp
3. 7 6
los: − = +
− = +
=
x x
x x
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10. 10
3. Ecuaciones Condicionales:Condicionales:
Las ecuaciones condicionales son ecuacionesecuaciones condicionales son ecuaciones
que pueden ser ciertas o falsas dependiendo delque pueden ser ciertas o falsas dependiendo del
valor asignado a la variable.valor asignado a la variable.
1. 7 21
2. 2 3 9
Eje
3.
mplos
3 5
:
2 2
x
x
x x
=
− =
− = + CIERTA SI x = 7CIERTA SI x = 7
CIERTA SI x = 6CIERTA SI x = 6
CIERTA SI x = 3CIERTA SI x = 3
AclaraciónAclaración:: Para otros valores dePara otros valores de xx las ecuacioneslas ecuaciones
son falsasson falsas.. © copywriter

11. 11
Propiedades de ecuacionesPropiedades de ecuaciones
1.1. Propiedad AditivaPropiedad Aditiva :
Si sumamos o restamos el mismo número o cantidad enSi sumamos o restamos el mismo número o cantidad en
ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuaciónambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación
equivalente a la ecuación original.equivalente a la ecuación original.
Si a = b y c es un número real entonces
a + c = b + c
Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.
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12. 12
Ejemplos:Ejemplos:
1. 2 3 8
3 3
2 5
x x
x x
+ = +
− =−
= + 5=x
2 5
5
x x
x x
x
= +
− =−
=
{ }5esSoluciónConjunto
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13. 13
Transposición de términos:Transposición de términos:
Podemos pasar un término (o número) de un ladoPodemos pasar un término (o número) de un lado
al otro de una ecuación con elal otro de una ecuación con el signo opuestosigno opuesto yy
obtenemos una ecuaciónobtenemos una ecuación equivalente a la original.equivalente a la original.
Aclaración:Aclaración: Las soluciones no cambian.
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14. 14
Ejemplos:Ejemplos:
Resuelve cada ecuaciónResuelve cada ecuación
4x =
2 7 3x = + −
1. 2 = 7x x +
2 7 3x x− = −
{ }Conjunto Solución es 4
3+ 3−
xx−
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15. 15
2. 3 3 2 8x x+ = +
3 2 8 3x x− = −
5=x
{ }5esSoluciónConjunto
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16. 16
3 6 2 4 3x x x− + = −
5 6 4 3x x− = −
3x =
{ }Conjunto solución es 3
( )3. 3 2 2 4 3x x x− + = −
5 4 3 6x x− = − +
© copywriter

17. 17
( ) ( )2
3 4 4 2 3 3 3 2x x x x x− + + = − − +
2 2
3 12 12 2 3 9 3 2x x x x x− + + = − − +
0 12=−
{ }Conjunto Solución es = ∅
( ) ( )
2
4. 3 2 2 3 3 3 2x x x x− + = − − +
2 2
3 3 12 12 2 14x x x x− − + = −
La ecuación es inconsistenteLa ecuación es inconsistente
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18. 18
Propiedades de ecuaciones:Propiedades de ecuaciones:
2. Propiedad multiplicativa:
Si multiplicamos o dividimos ambos lados de unamultiplicamos o dividimos ambos lados de una
ecuación por un número real distinto de cero, obtenemosecuación por un número real distinto de cero, obtenemos
una ecuación equivalente a la ecuación original.una ecuación equivalente a la ecuación original.
Si y entonces
y .
Aclaración:Aclaración: Las soluciones no cambianLas soluciones no cambian.
0c ≠
c
b
c
a
=
ba = ac bc=
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19. 19Ejemplos:Ejemplos:
Resuelve la ecuación.Resuelve la ecuación.
123 −=x
4 8 4x x− = − −
1. 4 4 8x x+ = −
123 −=x
33
4−=x
{ }Conjunto Solución es 4−© copywriter

20. 20
2) 0.5 2.6 3.2 5.1x x− = −
5.27.2 −=− x
6.21.52.3.50 +−=− xx
0.925x =
2.7 2.5x− = −
{ }Conjunto Solución es 0.925
2.7− 2.7−
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21. 21
( )2) 4 5 4 5 15x x− = − +
0 0x =
4 5 4 20 15x x− = − +
4 4 20 15 5x x− = − + +
0 0 Cierto=
Anotación:Anotación: La ecuación se reduce a una identidadLa ecuación se reduce a una identidad..
Conjunto Solución es el conjunto de todos los reales.
Conjunto Solución es R© copywriter

22. 22
Resuelve las ecuacionesResuelve las ecuaciones::
4 10 81. x x+ = +
13 82. x x+ = +
4 10 3 3 3 13. ( )x x x+ = + + +
4 2 10 11 8 4+ − = + −4. ( ) ( )x x x
3 1
10 8
4 3
5. x x+ = +
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
SoluciónSolución
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23. 23
Soluciones:
4 8 10x x− = −
3 2x =−
3 3
2
3
x
−
=
2
Conjunto Solución es
3
− 
 
 
EjerciciosEjercicios
1. 4 10 8x x+ = +
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24. 24
13
13−
5x = −
0 5= −
La ecuación es inconsistente.(falsa)
x−
{ }Conjunto Solución es φ=
2. 13 8x x+ = +
8x x= +
EjerciciosEjercicios
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25. 25
4 10 3 3 3 13. ( )x x x+ = + + +
4 10 9 9 1x x x+ = + + +
4 10 10 10x x+ = +
6 0− =x
6− 6−
0x =
4 10 10 10− = −x x
{ }0essoluciónConjunto
EjerciciosEjercicios
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26. 26
8 40 11 8 32+ − = + −x x x
61− =−x
1−
61=x
{ }Conjunto Solución es 61
4 2 10 11 8 4+ − = + −4. ( ) ( )x x x
8 29 9 32+ = −x x
8 9 32 29− =− −x x
1−
EjerciciosEjercicios
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27. 27
3 1
10 8
4 3
5. x x+ = +
Multiplicando por el denominador común se simplifica la ecuaciónMultiplicando por el denominador común se simplifica la ecuación
3 1
10 8
4 3
( ) ( )x x+ = +12 12
9 120 4 96x x+ = +
9 4 96 120− = −x x
5 24= −x
5 5
24
5
=−x





−
5
24
esSoluciónConjunto
EjerciciosEjercicios
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