Probabilidad

Dra. Lila Virginia Lugo García
Santa Ana de Coro Enero 2021
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DECANATO DE POSTGRADO
PROGRAMA MAESTRIA EN GERENCIA PÚBLICA
Sesión de Clase Semana 2
Estadística Aplicada

2
 Probabilidad definición
 Probabilidades simples
 Conteo Manual
 Conteo por medio del uso de la Teoría
Combinatoria
 Propiedades de la teoría de conjuntos que se
aplican en probabilidades
 Propiedades de la probabilidad
 Eventos Imposibles, Excluyentes y no
Excluyentes
 Teorema de la Suma
 Eventos independientes.
Tema III
ESTRUCTURA DE LA SESIÓN DE CLASE

3
Probabilidad
Posibilidad u oportunidad
que ocurra un evento en un
espacio muestral
Conteo
Manual
Asociaciones:
Una a una o
Diagrama de Árbol
Mecanizado
Teoría Combinatoria:
Combinaciones o
Variaciones (número
total)

4
ESPACIO
MUESTRAL
Eventos
Favorables
Espacio Muestral: Conjunto de elementos con todos los resultados posible
Eventos: Cualquier subconjunto del espacio muestral
Eventos Favorables: Subconjunto del espacio muestral que
poseen las características que nos interesa
Cálculo de la Probabilidad: Cociente de los Eventos
Favorables con el Espacio Muestral
La probabilidad es un valor que está comprendido entre 0 y 1.
Si dicho valor se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de probabilidad
PROBABILIDAD SIMPLE
Definición clásica de probabilidad:
La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que este se
realizará. Es la frecuencia con la que puede esperarse que ocurra un evento.

5
 Consiste en nombrar uno a uno los elementos del espacio
muestral.
 Tiene la ventaja de que se pueden verificar todos los
elemento, pero dependiendo del problema puede resultar
tedioso y largo el realizar las asociaciones.
 Dichas asociaciones se puede hacer una a una o por medio de
la utilización de un diagrama de árbol dependiendo del caso
Ejemplo: ¿Cuántas y cuáles asociaciones se tiene al
lanzar dos dados?
CONTEO MANUAL
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
=36 casos
Si el dado 1 tiene 6
caras y el lado 2 tiene
también 6, entonces se
pueden asociar de la
siguiente manera:

6
Dos
Dados
1
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
3
1
2
3
4
5
6
4
1
2
3
4
5
6
5
1
2
3
4
5
6
6
1
2
3
5
6…
1
2
3
4
5
6
36 casos
Esta representación se
llama:
Diagrama de Árbol

7
Calcular la probabilidad
que al lanzar dos dados
que:
a) Uno de los dados
salga 1 y el otro un
número par
b) Ambas caras sean
pares
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Respuesta: Considerando el espacio muestral construido en
la parte anterior se puede realizar el conteo de los eventos
favorables y totales para calcular la probabilidad
PROBABILIDAD
SIMPLE:
EJERCICIO I
Los elementos marcados
de azul cumplen con la
condición de que sea
uno y el otro par
Los elementos marcados
de verde representan los
que cumplen con la
condición de que ambos
sea par

8
Ejemplo 1: Al lanzar una moneda calcule la probabilidad de obtener cara.
Respuesta: El espacio muestral es de 2 ( cara o sello) como se pide que sea cara la probabilidad
será de:
Ejemplo 2: Al lanzar un dado calcule la probabilidad de obtener un 5
Respuesta: Un dado normalmente posee 6 caras entonces el espacio muestral es de 6, pero
como sólo existe un 5 la probabilidad será de
Ejemplo 3: Al lanzar un dado calcule la probabilidad de que número obtenido sea múltiplo de
2.
Respuesta: Un dado posee 6 caras entonces el espacio muestral es de 6, además existe 3
opciones que son múltiplos de 2 (2, 4 y 6) entonces la probabilidad es:

9
Ejemplo 4: Se tiene un mazo de cartas francesas ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una
carta roja?
Respuesta: Un mazo posee 52 de cartas, donde hay 4 pintas o palos y 13 de cada una, 26 rojas
y 26 negras. Con esta descripción entonces la probabilidad es:
Ejemplo 5: En una fabrica de bloques se producen 200 bloques por hora si se sabe que el 10
% de estos salen defectuosos ¿cuál es la probabilidad que al seleccionar un bloque este sea
bueno?
Respuesta: Este ejercicio se puede resolver de diferentes formas.
Primero, si se tiene 200 bloques el 10% salen defectuosos seria 20 bloques, es decir 180 salen
buenos. En este caso la probabilidad es:
Segundo, si se tiene 200 bloques el 10% salen defectuosos entonces el 90% es bueno lo que
significa que el porcentaje de probabilidad de bueno es 90% y la probabilidad es de 0,9

TEORÍA COMBINATORIA
10
Combinación: Asociación donde no importa el orden para el conteo. Se considera igual
AB y BA, es decir AB=BA. Por ejemplo: Nombre y apellido de una persona, personas de un
equipo y hijos de una familia. Se calcula por la fórmula, donde “m” es el total de elementos
y “n” las asociaciones:
Variación: Asociación donde el orden representa un elemento nuevo del conteo. Aquí la
posición es importante entonces no es lo mismo AB que BA, es decir AB≠BA. Por ejemplo:
Números de una cifra y letras que conforman un palabra. Se calcula por la fórmula, donde
“m” es el total de elementos y “n” las asociaciones:
Permutación: Es la variación donde m=n, es decir las asociaciones consideran el total
de elementos. Se calcula por la fórmula:

11
A continuación se presenta una serie de ejercicios donde debe aplicar las fórmulas
de la Teoría Combinatoria para encontrar el total de elementos, se requiere que
distinga inicialmente si es una combinación, variación o permutación para
calcular la probabilidad solicitada
1) Si se tienen 10 personas cuantas grupos diferentes de 3 se pueden formar. ¿Cuál
es la probabilidad que en dicho grupo estén: Alberto, Beatriz y Carlos?
2) Si se tienen 10 personas cuantas grupos diferentes de 3 se pueden formar si uno
de ellos será el presidente, otro el tesorero y el otro el vocal. ¿Cuál es la
probabilidad que en dicho grupo Alberto sea presidente, Beatriz la tesorero y
Carlos el vocal?
3) Si se tienen en papeletas los siguientes números: 1,2,3,4,5,6,7,8 ¿cuántas cifras
de 2 dígitos de pueden formar?¿Cuál es la probabilidad que dicho número
termine en 2?
4) Si se tienen 3 números (1,2 y 3) se desea saber cuantas combinaciones distintas
entre ellos se puede realizar?¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione el 321?

12
1) Si se tienen 10 personas cuantas grupos diferentes de 3 se pueden formar. ¿Cuál es la
probabilidad que en dicho grupo estén: Alberto, Beatriz y Carlos?
Respuesta: Como son asociaciones sin importar el orden es una combinación de 10 personas
para seleccionar 3, al aplicar la fórmula queda (este sería el espacio muestral):
Como se pregunta es saber la posibilidad de que en el grupo estén Alberto, Beatriz y Carlos
esto corresponde a sólo una opción, entonces la probabilidad será:
OBSERVACIÓN: Note que por ser un grupo donde no importa la posición el grupo de Alberto
(A), Beatriz (B) y Carlos (C), es decir es el mismo sin importar la posición que se nombre,
(ABC=ACB=BAC=BAC=CAB=CBA= 1 mismo grupo)

13
2) Si se tienen 10 personas cuantas grupos diferentes de 3 se pueden formar si uno de ellos
será el presidente, otro el tesorero y el otro el vocal. ¿Cuál es la probabilidad que en dicho
grupo Alberto sea presidente, Beatriz la tesorero y Carlos el vocal?
Respuesta: Como son asociaciones donde importa el orden (ya que la función de cada grupo
hace la distinción) es una Variación de 10 personas para formar grupos de 3, al aplicar la
fórmula queda:
Pero como nos interesa por un grupo en particular resulta ser sólo una opción (Alberto sea
presidente, Beatriz la tesorero y Carlos el vocal)
OBSERVACIÓN: Es importante mencionar que al comparar los ejercicios 1 y 2 se observa como
los enunciados son parecidos sin embargo al presentar una diferencia en la posición de las
funciones de los miembros del grupo que se quieren formar hace que pase de ser una
combinación a ser una variación. Se evidencia como este cambio incrementa la cantidad de
asociaciones de 120 a 720. Pero indiferentemente ambos resultados resultarían muy
tediosos de obtener de manera manual, es decir realizando una a una cada asociación

14
3) Si se tienen en papeletas los siguientes números: 1,2,3,4,5,6,7,8 ¿cuántas cifras de 2
dígitos de pueden formar?¿Cuál es la probabilidad que dicho número termine en 2?
Respuesta: Como son asociaciones donde importa el orden (ya que no es lo mismo 12 que 21)
es una Variación de 8 números para seleccionar 2, al aplicar la fórmula queda:
Como la pregunta se relaciona con que termine en 2, se pueden presentar 7 casos ya que es una
variación de 7 para un puesto:
Además por ser pocos elementos se pueden hacer manual enumerándolos:
12,32,42,52,62,72,82. Por lo que la probabilidad será:

15
4) Si se tienen 3 números (1,2 y 3) se desea saber cuantas combinaciones distintas entre ellos
se puede realizar?¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione el 321?
Respuesta: Como son asociaciones entre los mismos números donde el orden es importante es
una permutación, al aplicar la fórmula queda:
En este caso por sólo seis (6) casos se pueden las asociaciones manuales que serían:
123, 132, 213, 231,312, 321. De todas estas se pide la probabilidad de que sea sólo una
(321)

16 Unión de Eventos Ay B: Se denota como AB, es el conjunto
que consta de todos los elementos contenidos en A, en B o
en ambos.
Propiedades
Básicas de los
Conjuntos que se
requieren en
Probabilidades
Diagrama de Venn
D
A B
Intersección de Eventos A y B: Se denota como A B, es el
conjunto que consta de todos los elementos contenidos en A
y B.
Diagrama de Venn
D
A B
Complemento del Eventos A: Se denota como A’, es el
conjunto que consta de todos los elementos que no están
contenidos en A pero limitados por el espacio muestral .
A’ A Diagrama de Venn

17
En síntesis se lee y se puede representar de la siguiente manera:

PROPIEDADES
BÁSICAS DE LAS
PROBABILIDADES
18
1) La probabilidad es un números reales
que está comprendido entre 0 y 1; Es
decir: 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) Si se tiene la certeza de que un evento
ocurre su probabilidad es 1.
3) Si se tiene la certeza de que un evento no
ocurre entonces su probabilidad es 0.
4) Si A es un evento y A’ es su complemento
entonces: La suma de la probabilidad de
ocurrencia de un evento y de no
ocurrencia es 1. Es decir,
P(A) +P(A’) = 1

19
DEFINICIONES
BÁSICAS EN
PROBABILIDADES
 Evento Imposible: Es el evento que no tiene ninguna
probabilidad de ocurrir.
Ejemplo: Al lanzar un dado común la probabilidad de que
salga 7 no es posible
 Evento Mutuamente Excluyente: Llamado también
disjuntos, se refieren a que no se pueden dar a la vez, “la
ocurrencia de un evento impide la ocurrencia del otro”
Ejemplo: En la extracción de una sola carta se desea que
salga un As y un Rey. (No existe carta que los contenga a
los dos)
 Evento no Excluyente: se refieren a que se pueden dar
a la vez, “la ocurrencia de un evento no impide la
ocurrencia del otro”
Ejemplo: En la extracción de una sola carta se desea que
salga un As y que sea de trébol. (Existe carta que los
contiene a ambos)

“
Si los eventos son mutuamente excluyente la probabilidad de ocurrencia de
ellos es igual a la suma de la probabilidad individual, es decir:
 P (A  B) = P(A) + P(B) (Dos conjuntos)
 P (A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) (Tres conjuntos)
Si los eventos no son mutuamente excluyente la probabilidad de ocurrencia
de ellos es igual a la suma de la probabilidad individual de cada uno
menos la resta de las intersecciones, es decir:
 P (A  B) = P(A) + P(B) - P(A B) (Dos conjuntos)
 P (A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)- P(A B)- P(B C) P(A C) + P(A B  C)
(Tres conjuntos)
REGLA DE LA SUMA
20

21
REGLA DE LA SUMA: EJERCICIOS IV
1) En una librería existen 250 textos entre ellos 25 libros de cuentos y 30 de
novelas, si una persona elige al azar uno ¿cuál es la probabilidad de que el
seleccionado sea un cuento o una novela?
2) Se tiene 70 estudiantes entre ellos hay 20 que cursan estadística, 40 que
cursan matemática aplicada, 25 que cursan control de calidad. Entre este grupo
se sabe que 10 cursan Estadística y Matemática, 8 Estadística y control de
calidad, 7 Matemática y Control de calidad y solo 5 cursan las tres asignaturas. Si
se selecciona un estudiante de este grupo de forma aleatoria. Determine:
2.1) Probabilidad de que curse Estadística, Matemática y Control de calidad
2.2) Probabilidad de que curse Estadística, Matemática o Control de calidad
2.3) Probabilidad de que no curse ni Estadística ni Matemática ni Control de
calidad

22
1) En una librería existen 250 textos entre ellos 25 libros de cuentos y 30 de novelas, si
una persona elige al azar uno ¿cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea un
cuento o una novela?
Respuesta: Se debe considerar que los eventos son excluyentes pues si el texto
seleccionado es un cuento no puede ser una novela, sin embargo lo que interesa es que sea
alguno de los dos. Por ello la regla de la suma que se aplica es:
P (A  B) = P(A) + P(B)
P (Cuento o Novela) =P(CN)= P(C) + P(N) 250
C
25
N
30

23
2) Se tiene 70 estudiantes entre ellos hay 20 que cursan estadística, 40 que cursan matemática aplicada,
25 que cursan control de calidad. Entre este grupo se sabe que 10 cursan Estadística y Matemática, 8
Estadística y control de calidad, 7 Matemática y Control de calidad y solo 5 cursan las tres asignaturas.
Si se selecciona un estudiante de este grupo de forma aleatoria. Determine:
2.1) Probabilidad de que curse Estadística, Matemática y Control de calidad
Respuesta: Cuando se pide que curse Estadística, Matemática y Control de Calidad se refiere a que
curse las 3, es decir la intercepción:
P (E y M y CC) = P(E M  CC)
Para entender lo solicitado vamos a apoyarnos en un diagrama de Venn
E
CC
M
20
10
40
70
8
25
7
5
En la figura se puede observar como el área que nos interesa es el
presentado por la intersección de las tres asignaturas es decir 5
personas.
Por tanto la probabilidad será:

24
Estadística y control de calidad, 7 Matemática y Control de calidad y solo 5 cursan las tres asignaturas. Si
2.2) Probabilidad de que curse Estadística, Matemática o Control de calidad
Respuesta: Cuando se pide que curse Estadística, Matemática o Control de Calidad se
refiere a que curse las 3, 2 o 1 de ellos, es decir la suma de los tres espacios . Aquí se aplica
la fórmula de las suma de tres eventos, es decir
P (E  M  CC) = P(E) + P(M) + P(CC)- P(E M)- P(M CC)- P(E CC) + P(E M  CC)
E
CC
M
20
10
40
70
8
25
7
5
En la figura se puede observar como el área que
nos interesa es la suma por ello se aplica la
formula anterior. Por tanto la probabilidad será:

25
Estadística y control de calidad, 7 Matemática y Control de calidad y solo 5 cursan las tres asignaturas. Si
2.3) Probabilidad de que no curse ni Estadística ni Matemática ni Control de calidad
Respuesta: En este caso se pide la probabilidad que no este contenida en el área del
ejercicio anterior sino que esté en la parte externa (blanca), es decir, que no curse
Estadística, Matemática ni Control de Calidad . Por tanto, es el complemento de la
probabilidad calculada en el apartado anterior, se aplica la fórmula de la propiedad. Es
decir, P(A) +P(A’) = 1P(A’) = 1 - P(A)
P (No curse (E ni M ni CC) = 1 P(curse E o M o CC)
E
CC
M
20
10
40
70
8
25
7
5
En la figura se puede observar como el área que nos interesa es el área
blanca del diagrama de Venn.Por tanto la probabilidad será:

26
Si un evento no tiene que ver con el otro se dice que son
independientes. Es decir, “La ocurrencia o no de un
evento no tiene ningún efecto sobre la probabilidad u
ocurrencia del otro”
Ejemplos :
 El lanzamiento seguido de un dado.
 La probabilidad de que salga 6 en el dado y cara en una
moneda
 La probabilidad de ocurrencia de dos eventos
independientes es el producto de sus probabilidades
respectivas, es decir: P(A B) = P(A) * P(B)
Ejemplos :
El lanzamiento seguido de un dado.
P(A B) = 1/6* 1/6= 1/36
La probabilidad de que salga 6 en el dado y cara en una
moneda
P(A B) = 1/6*1/2= 1/12
EVENTOS
INDEPENDIENTES
REGLA DEL
PRODUCTO PARA
EVENTOS
INDEPENDIENTES

27
Ejemplos:
Si se tiene 12 papeletas en una caja, 3 rojas, 4 azules y 3 amarillas y 2 blancas. Si se selecciona 4
calcular la probabilidad de seleccionar
a) Una de cada color si cada vez que se tome una se vuelve a colocar (con reemplazo)
b) Todas las papeletas seleccionadas sean azules (sin reemplazo y con remplazo)
c) Que se seleccionen dos del mismo color sin reemplazo)
Respuesta:
a) Como se vuelven a colocar en la caja las papeletas siempre se tendrán las mismas 12, por tanto los
eventos son independientes. Entonces la probabilidad será:
EVENTOS INDEPENDIENTES EJERCICIOS V

28
Respuesta:
b.1) Si todas las papeletas seleccionadas son azules y si se vuelven a incluir dentro de la caja (con
reemplazo) siempre se tendrán las mismas 12 del todos los colores, por tanto los eventos son
independientes. Entonces la probabilidad con reemplazo será:
Ejemplos:

29
Respuesta:
b.2) Si todas las papeletas seleccionadas son azules y si se vuelven a incluir dentro de la caja (con
reemplazo) siempre se tendrán las mismas 12 del todos los colores, por tanto los eventos son
independientes. Entonces la probabilidad sin reemplazo será:
Ejemplos:

30
Respuesta:
c) Que todas las papeletas seleccionadas sean del mismo color, significa que sean 2 rojas o 2 azules, o 2
amarillas o 2 blancas. Como es “o” y se supone que es una suma de eventos excluyentes entonces la
probabilidad sin reemplazo será:
Ejemplos:

31
En cierta empresa la probabilidad de producción de un tornillo
defectuoso es de 0,02. Así mismo en otra área de la empresa que
produce vigas la probabilidad de que una de ellas salga defectuosa o
mala es de 0.01. Adyacente a la fábrica existe una tienda que vende sólo
productos adquiridos en dicha empresa, determine:
a) Probabilidad de comprar un tornillo y una viga defectuosa
b) Probabilidad de comprar un tornillo o una viga defectuosa
c) Probabilidad de comprar 3 un tornillos y 2 vigas buenas
EVENTOS INDEPENDIENTES: EJERCICIOS VI

32
En cierta empresa la
probabilidad de
producción de un tornillo
defectuoso es de 0,02. Así
mismo en otra área de la
empresa que produce
vigas la probabilidad de
que una de ellas salga
defectuosa o mala es de
0.01. Adyacente a la
fábrica existe una tienda
que vende sólo productos
adquiridos en dicha
empresa, determine :
a)Probabilidad de
comprar un tornillo y una
viga defectuosa
Respuesta:
Como los eventos son independientes pues las
líneas de producción están separadas, además al
pedir que un tornillo y una viga sean defectuosas
implica que se deben dar a la vez, entonces
P(T y V) = P(TV)= P(T) * P(V)
P(TV)= 0,02 * 0,01
P(TV)= 0,0002
%P(TV)= 0,02 %

33
probabilidad de
empresa que produce
adquiridos en dicha
empresa, determine
b)Probabilidad de
comprar un tornillo o una
viga defectuosa
Respuesta:
En este caso se pide la unión, es decir que se compre un
tornillo defectuoso, una viga defectuosa o ambas. En tal caso
se utiliza el teorema de la suma
P(T  V) =P(T) + P(V) - P(TV)
Pero como
P(T y V)= P(TV)= P(T) * P(V)
Entonces en este caso resulta
P(T  V) =P(T) + P(V) - P(T) * P(V)
Por tanto, resultará:
P(T  V) =0,02 + 0,01 – 0,0002
P(TV)= 0,02 * 0,01
P(TV)= 0,0298

34
probabilidad de
empresa que produce
adquiridos en dicha
empresa, determine:
c) Probabilidad de
comprar 3 un tornillos y 2
vigas buenas
Respuesta:
Como todos los eventos son independientes la probabilidad
simplemente es el producto de ellos. Pero además las
opciones es que sean o buenas o defectuosas entonces las
probabilidades son complementarias, por tanto
P(Bueno) + P(Defectuoso)=1
Entonces:
P(Bueno) =1 - P(Defectuoso)
Por lo tanto,
P(Bueno tornillo) =1 – 0,02= 0,98
P(Bueno viga) =1 – 0,01= 0,99
En síntesis:
P(3T y 2V) = P(T1) * P(T2) * P(T3) * P(V1) * P(V2)
P(3T y 2V) = 0,98 * 0,98 * 0,98 * 0,99 * 0,99
P(3T y 2V) =0,9224
% P(3T y 2V) =92,24 %

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