b

1. International School
Cartagena
CLASE
Versión 00-12 Código FO-DC-01 Página 1 de 7
Área: Matemática Asignatura: Física Curso: 10
Fecha: Periodo: I Nº Hor: 12hr Semana: 1-3
Tema: Movimiento en dos Dimensiones
Indicador Realiza ejercicios del movimiento en dos dimensiones
de Logro
Exploración ¿Por qué una partícula describe un movimiento en dos ejes al mismo Tiempo?
Contextualización
Fuente: http://ieureka.com.mx/innovo/wp-content/uploads/2012/06/tiro.png
pagina para ver videos de todos los movimientos (colocar una Imagen)
https://sites.google.com/a/ps.edu.pe/quintoctaps/4-cinematica/caida-libre---tiro-vertical
Conceptualización
Vector : Es una Representación grafica en el plano cartesiano
Sentido : Es la dirección u orientación de un vector .
Magnitud o Modulo : Valor matemático o numérico de un vector
A EMOCIÓN
Punto de referencia: punto sobre el cual se toma el inicio del movimiento
Componentes : representación Grafica en los coordenados de un vector
Vector Resultante :Operación matemática para hallar un solo vector en el plano cartesiano
Ó
C
C
N
Producción
I

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Aproximándonos un poco más a los movimientos reales que ocurren
cotidianamente, comenzaremos a estudiar los que no son rectilíneos. En este caso
no sólo se debe tener en cuenta el desplazamiento horizontal (eje x) ó el vertical
(eje y) sino ambos a la vez. Como ya se había dicho, la velocidad es la mejor
representante del movimiento, por eso analizaremos que le sucede en este caso.
Toda velocidad que se mueva horizontalmente recibirá el nombre de vx, mientras
aquella que se mueva verticalmente será llamada vy.
Recordando lo que aprendiste en la escuela, si tenemos
dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero
llamado resultante. Para ello utilizaremos el método del
paralelogramo, en el cual trazamos dos segmentos
paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos
de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y
de los segmentos paralelos (puntos en color)
obtendremos un vector velocidad (resultante) que indica
la dirección y sentido del desplazamiento del objeto en
dicho punto y en ese preciso instante.
Por supuesto que si cambia vx ó vy , la dirección, sentido y módulo de V resultante no será el mismo.
Por lo tanto, todo movimiento en dos dimensiones donde una de las velocidades varíe no podrá ser
rectilíneo.
Tiro Oblicuo: Todo cuerpo que se halle suspendido en el aire, al soltarlo, caerá libremente en línea
recta al suelo, pues sobre él actúa la fuerza
de gravedad acelerándolo. Si en ese
preciso momento le pegamos con
dirección horizontal (figura) este cuerpo
no se moverá ni horizontalmente ni
verticalmente, sino que tomará una
dirección intermedia que podemos hallar
aplicando el método del paralelogramo por que los dos desplazamientos (horizontal y vertical) son
vectores.
El cuerpo que se encuentra sometido a la acción de dos vectores cae al mismo tiempo que se desplaza
horizontalmente. El problema es que a medida que cae su velocidad vertical
aumenta a cada instante (M.R.U.V.) pero su velocidad horizontal, al no
verse afectada por ningún rozamiento, resistencia del aire, ni siquiera por la
gravedad, no varía en magnitud (M.R.U.)
Si tomamos dos posiciones cualesquiera durante una caída (no vertical)
podemos observar que la velocidad resultante en ambos casos presenta
distinta magnitud y dirección. Deja caer el capuchón de tu birome o una
goma y pégale horizontalmente para ver que la trayectoria no es recta,
siempre describirá la misma trayectoria curva, desacelerando cuando sube y
acelerando al bajar.

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Este tipo de tiro, llamado tiro oblicuo, es mucho más complicado que los movimientos que vimos
anteriormente, pero puede ser descompuesto en un movimiento vertical (acelerado o desacelerado) y
un movimiento horizontal rectilíneo uniforme (M.R.U.), lo que puede facilitarnos su estudio.
Velocidad Tangencial :En todo movimiento no rectilíneo, la vm (velocidad media) puede interpretarse
geométricamente como la medida de inclinación de la recta determinada por dos puntos cualesquiera
de la trayectoria. Su valor depende del intervalo de tiempo (t)
escogido, de manera que cuanto mayor sea la inclinación
menor será t. Observando la figura vemos dos intervalos de
tiempo, uno menor que el otro. La velocidad media del más
chico está más inclinada, su ángulo es mayor, por lo tanto su
módulo también es mayor.
La velocidad aumenta su inclinación cuando t se hace cada
vez más chico (tiende a cero) pero la velocidad no puede dejar
de tocar la curva, entonces, cuando t sea tan pequeño como
para suponer que nos encontramos en un instante la velocidad
será tangente a la curva. Una recta tangente es aquella que
corta en un solo punto a una curva. Esta velocidad, que no es
otra que la velocidad instantánea, siempre será tangente en un
punto a la trayectoria, por eso suele llamársela velocidad
tangencial.
En el caso del movimiento rectilíneo, la recta tangente a una
recta posee su misma dirección; por eso las velocidades son colineales (única dirección).
Vector Posición : Cualquier objeto cuya posición pueda
describirse localizando un solo punto puede denominarse
partícula; no interesa su tamaño ni estructura interna. Esta
partícula puede moverse dentro de nuestro universo físico en
una, dos o tres dimensiones si se desplaza sobre una recta, un
plano o en el espacio. Podemos describir la posición de una
partícula confinada a un plano mediante sus coordenadas
cartesianas (rx ; ry), o mediante un vector "r" cuyo origen está en
el centro de coordenadas. Pero puede descomponerse
(desdoblarse) en dos componentes, cada una sobre un eje.
Es importante recordar los elementos importantes de un vector, los cuales se muestran en la siguiente
grafica.

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Llamaremos a la componente sobre las abscisas y a la componente sobre las ordenadas. El
vector posición se relaciona con sus componentes a través de las funciones trigonométricas del ángulo.
Los vectores están representa por dos vales numéricos en los ejes del plano cartesiano. Es por esto
que se afirma que ellos son bidimensionales ya que poseen componentes en los dos ejes del plano
cartesiano y simbólicamente desde el punto de vista matemático su fórmula es la siguiente: De esa
manera tenemos:
Si operamos matemáticamente resolviendo estas cuentas veremos que el módulo de cada componente
es igual al valor de la coordenada correspondiente al eje donde se encuentra: r ai bj r 3i 2 i si
tenemos dos vectores r1 x1i y1 j y r2 x 2 i y 2 j su operaciones básicas de suma y resta se
representan de la siguiente manera.
r1 r2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
r1 r2 ( x1 x 2 )i
Un
vect
or puede nombrarse indicando el módulo de sus
componentes señalando sobre que eje estas se hallan.
El vector unitario, es un vector cuyo módulo siempre
es uno. Sobre el eje x encontramos al vector "i" y sobre
el eje y hallaremos al vector "j". Podemos describir al
vector posición así:
En la figura a se hallan marcadas dos posiciones (P1 y
P2) de un objeto que cae en tiro oblicuo. Los vectores posición de cada punto

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tienen sus respectivas coordenadas cartesianas: ; .
r es el desplazamiento desde P1 hasta P2. Hallamos su módulo simplemente restando los dos
vectores:
Como ya determinamos el desplazamiento, calculemos la velocidad media:
(distribuimos t.)
Ecuación de la Trayectoria : La trayectoria en este movimiento depende tanto del desplazamiento
vertical como del horizontal. En un momento dado podemos encontrar un punto en el cual hayamos
recorrido distancia x y hayamos alcanzado cierta altura y empleando, por supuesto, el mismo intervalo
de tiempo t.Así que utilizamos la ecuación " x = vx. t " despejamos t tendremos
Si reemplazamos en la ecuación horaria:
operando matemáticamente llegamos a:
Elementos para toma en cuenta al resolver un ejercicio:
Ya habíamos aclarado que un cuerpo arrojado en tiro oblicuo
presenta una trayectoria parabólica. La parábola presenta un eje que
divide a la gráfica en dos partes iguales (figura). Físicamente, esto
implica que el tiempo empleado en el primer tramo (antes del eje)
será igual al segundo. Además, dos posiciones distintas x1 y x2
pueden tener la misma altura.
Un cuerpo desplazándose en tiro oblicuo se mueve en dos
dimensiones, una horizontal y otra vertical. Sobre el desplazamiento
horizontal no actúa ninguna fuerza por cuanto este movimiento es uniforme.
Así que x = vx . t

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X V o C os .t Y V o Sen .t gt .
2
Modelación
Ejemplo 1: determine las componentes del vector de la siguiente grafica.
Desarrollo:
El vector presenta una característica y es que tiene
componentes en los dos eje del plano cartesiano, es
decir su ecuación matemática está regida por la
siguiente ecuación : r ai bj
Donde el valor de “ a ” es la componente del vector en
el eje de las “X”, es la distancia comprendida desde el
punto A y el punto B, par el que su valor es de 3 y por
lo cual “ a ” es igual 3 .
Para el valor de” b ” , que es la componente del vector
en el eje de las “Y” desde el punto A al punto “B”, cuyo
valor es de 2 y por lo cual el valor de b =2.
Por lo anterior la ecuación que muestra las componentes
del vector es :
r 3i 2i
Ejemplo 2: hallar las componentes vectoriales de la distancia recorrida por Superman en la grafica que
se muestra a continuación.
Desarrollo:
En la grafica se observa que el vector tiene dirección en los dos ejes del plano cartesiano y en el eje
“X” la componente es positiva y en el eje “Y” es negativa por el sentido del vector. Las expresiones
vectoriales son las siguientes :
r1 x1i y1 j
La componente en el eje “X” es de:
0
x1 100 m cos 30 x1 89,1m
La componente en el eje “Y” es de:
0
y1 1 0 0 m S en 3 0 y1 50 m
La ecuación para el vector posición es:
r (89,1m ) i (50 m ) j
Taller
UA
ON
EV
AL
CI
1. Hallar la Componentes de cada vector indicados en la graficas que se muestran a continuación.

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Figura 1. Figura 2.
2.Analizar la siguiente preguntas:
1) En el tiro oblicuo ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "x"?
2) En el tiro oblicuo ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "y"?
3) ¿Cuál es la velocidad inicial en el eje "y"?
http://movimientobidimencional.blogspot.com/
Bibliografía
1. Se dispara un perdigón con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil
parte con una velocidad de 50 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 37° con la horizontal,
despreciando el rozamiento, determinar:
a) La posición del perdigón a los 2 s, 5 s y 8 s después de haber partido, respectivamente y representar
en un diagrama X-Y.
b) Las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores, representar dichos vectores,
en el diagrama anterior, en las cuatro posiciones conocidas.
c) Instante, posición y velocidad en el momento en que se encuentra al mismo nivel que el de partida.
d) Sin hacer cuentas, justifique entre que instantes de los especificados cree Ud. que el proyectil
alcanzará la máxima altura, ¿qué velocidad tendrá allí?, calcúlelo ahora y verifique su hipótesis.e) Con
toda la información anterior, dibujar la trayectoria del proyectil y escribir la ecuación de la misma.