Integration Formulae 5 Fórmula de Integración 5

1. Integration Formulae
G. Edgar Mata Ortiz
5

3. Fórmulas de
Integración
5
න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

4. Continuando con el estudio de las fórmulas básicas de
integración, vamos a revisar la fórmula número cinco, que
tiene cierto parecido con la número dos, y se aplica en
forma similar.
Fórmulas de Integración
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 =
𝒙 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

5. Es importante
observar que la
fórmula no
puede aplicarse
si el exponente
de la variable
es igual a
menos uno.
Fórmulas de Integración
La fórmula se lee:
La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de 𝒗 es igual a:
𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏
Más la constante de integración C
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

6. Para aplicar
esta fórmula se
requiere un
procedimiento
llamado:
“completar el
diferencial”
Fórmulas de Integración
La fórmula se lee:
La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de 𝒗 es igual a:
𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏
Más la constante de integración C
න 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

7. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
Podríamos resolver esta integral con las primeras cuatro fórmulas;
solamente habría que elevar el binomio a la cuarta potencia, sin
embargo, la fórmula cinco, aunque requiere algo más de análisis,
nos permite integrar más fácilmente.

8. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
De acuerdo con la fórmula, la expresión entre paréntesis es la
variable 𝒗, el exponente cuatro, es 𝒏, y el resto de la expresión
debería ser el diferencial 𝒅𝒗.

9. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
En esta frase: “y el resto de la expresión debería ser el diferencial
𝒅𝒗” se encuentra la clave del procedimiento que debemos seguir.
Significa que, para poder aplicar la fórmula, debe estar presente el
diferencial de variable.

10. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
Se llama el diferencial de la variable, a la derivada multiplicada por
el diferencial de la variable independiente, en este caso 𝒅𝒙.
Este diferencial del que hemos hablado tanto, se obtiene derivando
lo que se encuentra dentro del paréntesis y se pasa multiplicando el
𝒅𝒙.

11. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Se acostumbra escribir el procedimiento
mediante el que se obtiene el diferencial,
debajo de la integral.
Y el procedimiento de integración se
anotará a la derecha del signo de igual.

12. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Observamos que el diferencial que debería
estar en la fórmula es 𝟐𝒅𝒙, y el que
realmente tenemos es solamente 𝒅𝒙.

13. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 = න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
En vista de que solamente
le falta el dos, se lo vamos
a agregar, este paso se
anota a la derecha del
signo de igual…

14. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 = න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
No parece un procedimiento
aceptable en matemáticas, eso
de que “si le falta un dos se lo
ponemos” parece ir en contra
de lo que sabemos de
matemáticas.

15. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Para poder agregar el dos que necesitamos para
completar el diferencial, debemos multiplicar la
integral por su inverso multiplicativo, y así no
afectará al valor total de la expresión.

16. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Así está mejor, agregamos arbitrariamente un
dos que necesitábamos, pero lo compensamos
con un medio y el valor total sigue siendo el
mismo.
Pero conseguimos algo importante…

17. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Ahora que está completo el diferencial, podemos
aplicar la fórmula de integración sin problema.
Este paso se coloca debajo del anterior, como se
muestra en la siguiente diapositiva.

18. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
Se recomienda colocar una línea vertical separando el
procedimiento empleado para obtener el diferencial, del
resultado de la integración.
=
𝟏
𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟓
𝟓
+ 𝑪

19. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
La aplicación de la fórmula es muy sencilla, se le suma una
unidad al exponente y este mismo resultado se escribe como
denominador.
=
𝟏
𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟓
𝟓
+ 𝑪

20. Ejemplo 1 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
න(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒 𝟐𝒅𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐
𝒅𝒗 = 𝟐 𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟓
𝟓
+ 𝑪
=
𝟏
𝟏𝟎
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟓
+𝑪

21. El siguiente ejemplo no se explica con tanto detalle,
sencillamente se muestra el procedimiento con la
intención que sirva como material de análisis para el
aprendizaje. Además servirá como modelo acerca de la
forma en la que deben entregarse los problemas de
integración.
න(𝟑𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟖
𝒙𝒅𝒙 =

22. Ejemplo 2 න 𝒗 𝒏
𝒅𝒗 =
𝒗 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
න(𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) 𝟖 𝒙𝒅𝒙 =
𝟏
𝟔
න(𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) 𝟖 𝟔𝒙𝒅𝒙
𝒗 = 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟓
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟔𝒙
𝒅𝒗 = 𝟔𝒙 𝒅𝒙
=
𝟏
𝟔
(𝟑𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟗
𝟗
+ 𝑪
=
𝟏
𝟓𝟒
(𝟑𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟗
+𝑪

23. Gracias Por su atención